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如题，2019新书，书名Linear Algebra, Signal Processing, and Wavelets - A Unified Approach_ Python Version
目录
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
1 Sound and Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Sound and Digital Sound: Loudness and Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 The Frequency of a Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Working with Digital Sound on a Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Fourier Series: Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Fourier Series for Symmetric and Antisymmetric Functions . . . . . . 19
1.3 Complex Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Some Properties of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Rate of Convergence for Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Differentiating Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Filters on Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 Convergence of Fourier Series* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.1 Interpretation of the Filters Corresponding to the Fejer
and Dirichlet Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7 The MP3 Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Digital Sound and Discrete Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Discrete Fourier Analysis and the Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . 49
2.1.1 Properties of the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Connection Between the DFT and Fourier Series: Sampling
and the Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3 The Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.1 Reduction in the Number of Arithmetic Operations . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.2 The FFT When N Is Non-prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 The Discrete Cosine Transform (DCT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.1 Cosine Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Efficient Implementations of the DCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5.1 Efficient Implementations of the IDCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5.2 Reduction in the Number of Arithmetic Operations . . . . . . . . . . . . . 90
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Discrete Time Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1 Discrete Time Filters on Periodic Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 General Discrete Time Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.1 A Second Approach to Finite Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.2 Connection Between Convolution and Circular Convolution . . . . . . 116
3.3 Low-Pass and High-Pass Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4 IIR Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.5 Symmetric Filters and the DCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.5.1 Implementations of Symmetric Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6 Relations to Signal Processing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4 Motivation for Wavelets and Some Simple Examples . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1 Motivation for Wavelets, and a Wavelet Based on Piecewise Constant
Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1.1 Function Approximation Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.1.2 Detail Spaces and Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2 Implementation of the DWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3 A Wavelet Based on Piecewise Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3.1 Detail Spaces and Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.3.2 Multiresolution Analysis: A Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4 Alternative Wavelet Based on Piecewise Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . 178
4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5 The Filter Representation of Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1 DWT and IDWT in Terms of Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1.1 Difference Between MRA Matrices and Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2 Dual Filter Bank Transform and Dual Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.3 Symmetric Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4 A Generalization of the Filter Representation, and Its Use in Audio
Coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4.1 Forward Filter Bank Transform in the MP3 Standard . . . . . . . . . . . 218
5.4.2 Reverse Filter Bank Transform in the MP3 Standard . . . . . . . . . . . 221
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6 Constructing Interesting Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1 From Filters to Scaling Functions and Mother Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2 Characterization of Wavelets w.r.t. Number of Vanishing Moments . . . . . 242
6.2.1 Symmetric Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.2.2 Orthonormal Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2.3 The Proof of Bezout’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.3 A Design Strategy Suitable for Lossless Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.3.1 The Spline 5/3 Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.4 A Design Strategy Suitable for Lossy Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.5 Orthonormal Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7 The Polyphase Representation of Filter Bank Transforms. . . . . . . . . . . 259
7.1 The Polyphase Representation and Perfect Reconstruction . . . . . . . . . . . . . 261
7.2 The Polyphase Representation and the Lifting Factorization . . . . . . . . . . . 265
7.2.1 Reduction in the Number of Arithmetic Operations . . . . . . . . . . . . . 268
7.2.2 The Piecewise Linear Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.2.3 The Spline 5/3 Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.2.4 The CDF 9/7 Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.2.5 Orthonormal Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.3 Polyphase Representations of Cosine Modulated Filter Banks
and the MP3 Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.3.1 Polyphase Representation of the Forward Filter
Bank Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.3.2 Polyphase Representation of the Reverse Filter
Bank Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.3.3 Perfect Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.3.4 The MP3 Standard Does Not Give Perfect Reconstruction . . . . . . . 282
7.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8 Digital Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.1 What Is an Image? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.2 Some Simple Operations on Images with Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.3 Filter-Based Operations on Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.3.1 Tensor Product Notation for Operations on Images . . . . . . . . . . . . . 298
8.4 Change of Coordinates in Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9 Using Tensor Products to Apply Wavelets to Images . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.1 Tensor Product of Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.2 Tensor Product of Function Spaces in a Wavelet Setting . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.2.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.3 Experiments with Images Using Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.4 An Application to the FBI Standard for Compression of Fingerprint
Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A Basic Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.2 Block Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.3 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
A.4 Inner Products and Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
A.5 Coordinates and Change of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
A.6 Eigenvectors and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
A.7 Positive Definite Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A.8 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
Nomenclature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359