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#这里主要是对于布莱克-斯克尔克的期权定价公式进行推导,
#至于在此之前的(包括:Bachelier 公式;Sprenkle 公式;Boness 公式;Samuelson 公式 等)这里不作笔记。
布莱克一斯科尔斯期权定价模型对股票市场和期权市场作如下假设:
①无风险利率已知,且不随时间变化:
②股票价格的运动是连续变化的,遵循几何布朗运动:
③股票不付红利或其他收益:
④在所讨论的期间内,标的证券的价格变化是连续的,不会有“异常"的震荡;
⑤市场没摩擦:
⑥没有卖空限制:
⑦股票可无限细分,自由买卖。
通过运用ITO定理,可推导出欧式期权的定价公式:
对于公式的推导:
方法一:无风险投资组合方法
①假设基础资产的价格过程为:dS = μSdt + σSdw (Ⅰ)
定义于S上的o欧式期权的价格为C(S,t),应用ITO引理(第二引理),得:(Ⅱ)
dC = CsdS + Ctdt + 1/2·(Css σ² S² dt)
= [CsμS + Ctdt + 1/2·Css σ² S² ]dt + CsσSdz(#代入,dS = μSdt + σSdw)
(#其中,http://data:image/png;base64,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)
伊藤引理是研究随机过程和解随机微分方程的重要特性,在金融数学里有广泛的应用。布莱克-斯科尔斯模型就是应用之一。
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附,关于其中的概率密度与分布函数值的计算,由于计算过程中进行网上查表不但不方便而且不准确,于是本人自行制作了一个简易准确的计算工具。也在此分享出来。
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