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原文标题: Thurston 与低维拓扑 (一)
作者: 季候风
这个周末美国拓扑学界的一大盛事就是不世出的天才 William Thurston 60 大寿, 各位大佬和 Thurston 学派的主要人物齐聚于科学圣地普林斯顿, 回顾过去, 展望将来.
近两年来由于丘老先生的热心, 使 Thurston 的大名越洋远波, 不少国人因而得知 Thurston 的主要贡献在于蕴涵 "Poincare 猜想" 在内的 "几何化猜想". 大会上的讨论显示, 几何化猜想被俄罗斯野人 Perelman 攻克已成公论. 想起代数几何学家 Griffiths 在他的<代数曲线>前言中说, Riemann-Roch 定理不应该是代数曲线理论的终结, 而是真正的开始. 我们现在也可以说, "几何化" 不是三维流形理论的终结, 而是一个新的开始, 我们现在解开束缚, 可以完全自由地讨论三维流形的分类问题了. 与我以前听到的相反, Thurston 似乎并没有对 "几何化猜想" 不在他所设计的步骤下被证明这件事感到不快. 而我这次亲眼看到他之后, 觉得他比传说中要和蔼可亲多了, 几乎肯定比传说中的 Grothendieck 更贴近正常人.
Thurston 于1967年从 New College of Sarasota, Florida 获得他的生物学士学位. 据他自己所述, 这个学校非常重视独立研究, 所以在本科期间他读了不少数学书. 毕业以后去加州伯克力攻读数学博士. 这个故事可以激励客栈里很多身在其它专业而热爱数学的同修, 专业不是困难, 也不是借口, 呵呵.
Thurston 的博士和博士后期间的工作都是关于 "分叶结构" 的. 我其实不是很理解为什么叫 "分叶", 就图像来说好像 "分页" 更合适. 简单说就是什么样的流形是维数统一的子流形的并. 如果流形是闭的, 那么 "低一维的分叶" (codimension one foliation)受到一个比较显然的限制, 就是欧拉示性数必须是0. Thurston 在这个课题上的结果就是: 如果考虑光滑分叶结构, 那么这个限制就是唯一的限制. 也就是说, 只要一个闭流形的欧拉示性数是0, 那么就存在光滑分叶结构. 这个结果是很出人意料的, 本来大家都觉得这个问题的答案应该不可能这么简单. Thurston 就是这样, 他得到的结果总是让所有人大吃一惊.
说到这里有一个故事, 关于 Thurston 和另外一个 Fields 奖得主 Michael Freedman 的. Freedman 毕业以后做了一些分叶结构的东西, 大佬 Milnor 很欣赏, 1975 年把他搞到普林斯顿高等研究所来做学术委员, 结果他刚过来, Thurston 就作出了上面的结果, 把这个问题回答得既干脆又圆满. 于是 Milnor 认为 Freedman 没有前途了, 立即解聘了他, 还好加州大学圣地亚哥分校收留了他. Freedman 当时恨的那叫一个牙痒痒, 痛定思痛, 决心搞个大的. 四年以后, Freedman 成绩斐然, Milnor 脸皮也够厚, 又把他搞到高等研究所去, 可惜 Freedman 对 Milnor 可能一直怀恨在心, 当 UCSD 用正教授职位来挽留他的时候, 他毅然留在了圣地亚哥. 在他回到圣地亚哥的当年(1982), 他就宣布证明了四维 Poincare 猜想. 1986年颁发 Fields 奖的时候, Milnor 又出现了, 高度评价了 Freedman 的工作. 对 Milnor 来说, 当年是秉持任人唯贤的原则, 而对于 Freedman, 的确有些残酷. 美国的数学界就是这样, 能够用来证明自己潜力的时间和机会都很少, 无比勤奋地工作才是抓住这些机会的唯一途径.
Thurston 博士期间研究的分叶结构是三维流形上的, 这些研究使得他对三维流形的内部构造有了非常敏锐的感觉, 这种感觉把他引至关于三维流形的几何结构的研究, 从而发现了最令人吃惊的结果 --- 原来绝大多数 "不可约" 三维流形都具有 "双曲度量". 当 Riemann 在1854年提出他的 "流形" 概念的时候, 他把当时人们还不能接受的 "双曲几何" (即 "非欧几何") 作为他的一般 "度量" 概念的一个非常特殊的情形, 他绝对不会想到在三维, 我们人类存在的空间维数, 双曲几何是如此普遍的存在. 而当 Poincare 将双曲几何从故纸堆里翻出来进行系统研究的时候, 他也不会想到这个几何结构同他另一个关心的问题 (Poincare 猜想) 正好构成三维流形分类过程中两个互补的方面.
这个故事中有一个普遍规律, 就是博士期间研究课题的重要性 (这里说的博士期间准确说应该是整个研究生期间, 包括硕士和博士. 美国的博士几乎都是直博, 对严肃的研究生来说, 直博肯定更好). 这个课题最好比较容易上手, 同时又比较有深度. 这里的 "深度" 可以这么理解: 它同某个领域里最核心的问题有微妙的关系. 这个课题又不能太深, 比如说它最好不要是某个领域最核心的问题, 核心问题通常是不能被直接攻击的, 必须迂回, 在博士期间直接攻击这种问题就是自毁前程. 这个课题最好需要一些特别的技巧 (多数人不会的技巧, 多半来自于导师的直接传授), 在整个博士研究过程中, 这些技巧慢慢被自己吸收, 发展, 成为自己的一套思维方式. 在博士毕业之后的一段独立研究中, 运用这一套思维方式来试探前人提出的一些相关问题, 由于这一套观点和技巧来源于自己长期 (4-5年) 对一个问题的深入研究, 它们已经成为威力强大的工具, 解决相关问题的希望是很大的.
博士期间练就的这一套思维方式和技巧, 我喜欢叫做 "看家本领". 这就像天龙八部里鸠摩智练的小无相功, 可以凭它这一种内力就催动少林七十二绝技, 玩得比少林高僧还似模似样. 以上这两个例子, Thurston 的看家本领就是分叶结构以及相应的动力系统的观点和技巧, Freedman 的看家本领也是分叶, 手术, 这些他博士期间研究的东西. 另一个很好的例子就是 Kontsevich, 他在博士期间研究二维引力理论, 证明了 Witten 猜想, 过程中学到的量子场论, 弦论, 代数几何, 以及对 Feynmann 图的灵活运用, 都深深地渗透到他这十多年的研究当中. 他最具代表性的成果, Kontsevich integral, 一个普适量子不变量, Poisson 流形形变量子化的存在唯一, 都是以 Feynmann 图为核心概念和工具, 而 Poisson 流形量子化和 homological mirror symmetry proposal 也来源于他对二维引力的深刻理解.
我自己非常遗憾地荒废了研究生阶段最宝贵的5年, 在这几年中, 我的兴趣过于广泛, 而读书又太流于表面, 时髦的名词和理论见到无数, 却从未严肃认真地去研究过其中任何一个. 最后的结果就是无一技防身, 亏了导师的贤明才得以毕业后苟延残喘几年, 现在懊悔不已. 虽然古语有云亡羊补牢为时未晚, 但习惯成自然, 现在想补救已是非常困难, 思维流动性太大, 每个问题思考半晌之后, 要么放弃, 要么就跳向另一问题, 其结果就是思之良久却一无所获. 技巧的缺乏又导致对任何问题都没有头绪, 想算却不知道算什么, 想推导却没有明确目标. 这些都是在博士期间没有深入研究一个课题, 没有对某个种类的对象形成良好的感觉所致.
这几年中国的大学生对数学或者物理的热情高涨, 在各种论坛上就能感受到. 只是大多数爱好者都是只见理论的冠冕堂皇, 而不知其探求过程的琐碎与丑陋. 各大数学论坛都有两极分化的趋势 --- 论坛办到最后, 一半帖子在高谈阔论 Grothendieck, 另一半帖子在问微积分线性代数概率统计的家庭作业. 所以我在此以我个人的教训, 来提醒至少这个客栈里正处于研究生阶段和要步入研究生阶段的后来人, 要重视对具体问题, 具体例子的深入, 透彻的研究.