边际效用递减假设的数学证明----我该得诺贝尔经济学奖吗-经管之家官网！

　
情景：在某一时间段内，一个人在不断地吃饼，一共吃了五个饼，分别标号｛1,2,3,4,5｝，在吃第一个饼时这个人没有感觉，但是他越吃越想吃（因为人是贪婪的），但是他却越吃越饱（因为人的胃口是有限的），而且他的表现是越吃越慢（正常情况下）．
　
证明一始：：：：：：：：：：：
　
在这个情景下：
　
假设建立一个由整数基点组成的坐标模型．
　
假设：N＝any｛1,2,3,4,5｝
　
假设第N个饼对这个人的'物质贡献'用变量 X 来表示．
　
假设第N个饼对这个人的'精神贡献'用变量 Y 来表示．
　
假设第N个饼对这个人的'使用价值'用变量 A 来表示．
　
假设第N个饼对这个人的'效用'用变量 B 来表示．
　
假设 A = X + Y．（加法）．
　
假设 B = X * Y．（乘法）．
　
　
　
那么同样是这个情景下：
　
由于这个人在吃第一个饼时没有感觉，就理解为第一个饼对这个人的精神贡献和物质贡献相同，即 X = 5　Y = 5．也就是初始情况下 A = 5 + 5 = 10
　
由于这个人越吃越想吃，就理解为 Y 不断地增加，假设吃下一个饼的 Y 是吃上一个饼的 Y+ 1．
　
由于这个人越吃越饱，就理解为 X 不断地减少，假设吃下一个饼的 X 是吃上一个饼的 X - 1．　　
　
所以得出的数据是：
　
N ： 1 2 3 4 5
X ： 5 4 3 2 1
Y ： 5 6 7 8 9
A ： 1010101010 (A = X + Y)
B ： 252421169(B = X * Y)
　
25 > 24 > 21 > 16 > 9
　
于是，所得的结论是 B （即效用）是递减的，也就可以理解为在情景中所描述的＂他的表现是越吃越慢＂．
　
而且
B(1) - B(2) = 25 - 24 = 1
B(2) - B(3) = 24 - 21 = 3
B(3) - B(4) = 21 - 16 = 5
B(4) - B(5) = 16 - 9= 7
　
1 < 3 < 5 < 7
　
可以看出的是，效用递减的速度越来越快，即负的边际效用越来越大，于是就证明了在'证明一'的情景和假设下边际效用应该是递增的．
　
证明一毕．．．．．．．．．．
　
　
虽然本数学模型证明了边际效用可以是递增的，但是只要把假设的 B （即相应的效用）的计算公式一改（改成由 X 和 Y 组成的某个复杂公式），就完全可以得出相应的边际效用下降的结论．
　
　
　
　
证明二始：：：：：：：：：：
　
情景不变．
　
假设 B = X / Y （除法），其他假设如'证明一'．
　
所以得出的数据是：
　
N ： 1 2 3 4 5
X ： 5 4 3 2 1
Y ： 5 6 7 8 9
A ： 10 10 10 10 10(A = X + Y)
B ： 1.000.670.430.250.11(B = X / Y)
　
1.00 > 0.67 > 0.43 > 0.25 > 0.11
　
于是，所得的结论是 B （即效用）是递减的，也就可以理解为在情景中所描述的＂他的表现是越吃越慢＂．这和'证明一'的相关结论是一样的．
　
B(1) - B(2) = 1.00 - 0.67 = 0.33
B(2) - B(3) = 0.67 - 0.43 = 0.24
B(3) - B(4) = 0.43 - 0.25 = 0.18
B(4) - B(5) = 0.25 - 0.11= 0.14
　
0.33 > 0.24 > 0.18 > 0.14
　
可以看出的是，效用递减的速度越来越慢，即负的边际效用越来越小，于是就证明了在'证明二'的情景和假设下边际效用应该是递减的．这和'证明一'的相关结论是不一样的．
　
最终的结论是在证明二的情景和假设下，如果 效用＝物质贡献／精神贡献 （即 B = X / Y） 的话，边际效用递减假设成立．
　
证明二毕．．．．．．．．．．．
　
　
　
总结和对现实的验证意义：
　
如果对 效用＝物质贡献／精神贡献 分析一下的话，可以看出在物质贡献和精神贡献同样上升的情况下，物质贡献的增长如何比精神贡献的增长更快，用物质贡献压住人性的贪婪和无穷无尽的精神欲望，这是一个时下最时兴的研究课题了．
　
也可以分析出来的是：正常情况下在本情景和相关假设下，效用一定是递减的，也就是一定有边际效用存在（边际效用不为0），边际效用的递增的速度或递减的速度决定了这个人吃饼的速度和吃饼的总时间．
　
实际情况中，自然不会像本模型分析的这样简单，边际效用究竟该怎么实际分析，又如何扩展到更多情况的边际分析，还需要更多的研究．比如说在物质贡献变量和精神贡献变量以外再增加政治贡献变量和社会贡献变量．