模型不确定性下带导数的效用最大化

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英文标题：
《On utility maximization with derivatives under model uncertainty》
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作者：
Erhan Bayraktar and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We consider the robust utility maximization using a static holding in derivatives and a dynamic holding in the stock. There is no fixed model for the price of the stock but we consider a set of probability measures (models) which are not necessarily dominated by a fixed probability measure. By assuming that the set of physical probability measures is convex and weakly compact, we obtain the duality result and the existence of an optimizer.
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中文摘要：
我们考虑使用静态持有衍生品和动态持有股票的稳健效用最大化。股票价格没有固定的模型，但我们考虑一组概率测度（模型），它们不一定由固定的概率测度控制。通过假设物理概率测度集是凸的和弱紧的，我们得到了对偶结果和优化器的存在性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> On_utility_maximization_with_derivatives_under_model_uncertainty.pdf (113.69 KB)

2022-4-28 18:00:45 上传

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关键词：效用最大化 不确定性 最大化 确定性 不确定

关于模型不确定性下带导数的效用最大化。我们考虑使用静态持有衍生品和动态持有股票的鲁棒效用最大化。股票价格没有固定的模型，但我们考虑了一组概率测度（模型），它们不一定由固定的概率测度控制。通过假设物理概率测度集是凸的和弱紧的，我们得到了对偶结果和优化器的存在性。1.设置我们假设在市场中，在离散时间t=1，TLetS=（St）Tt=1是路径空间RT+上的规范过程，即（s，…，St）∈ RT+我们有si（s，…，sT）=si。rand om变量表示t=i时风险资产的价格。我们将资产的当前现货价格表示为S=S。此外，我们假设市场上有一定数量的期权gi:RT+→ R、 i=1，N、 在P ice gi t=0时可以购买或出售的商品。我们假设gi是连续的，gi=0。LetM:={Q概率测度在RT+：S=（Si）Ti=1是一个Q- 马丁·盖尔；对于i=1，N、 EQgi=0。}我们假设M 6=.让我们考虑由静态期权组合和股票动态策略之和组成的半静态交易策略。我们将用 与股票持有量相对应的可预测过程。更准确地说，半静态策略产生的回报形式为：x+NXi=1higi（s，…，sn）+T-1Xj=1j（s，…，sj）（sj+1）-sj）=:x+h·g+( ·S） T，S，圣∈ R+，其中x是初始财富，h=（h，…，hN）和 = (, . . .

, T-1).我们假设U是定义在R+上的函数，它是有界的、严格递增的、严格凹的、连续可微的，并且满足Inada条件su′（0）=limx→0U′（x）=∞,U′(∞) = 利克斯→∞U′（x）=0。日期：2018年9月18日。关键词和短语。稳健效用最大化、模型不确定性、半静态套期保值。这项研究部分得到了国家科学基金会DMS 0906257和DMS 1118673的资助。我们还假设U的渐近弹性严格小于1，即AE（U）=lim supx→∞许′（x）U（x）<1。设P为RT+上的一组概率度量，代表市场的可能信念。我们对P作了如下假设：假设P：（1）P是凸的，弱紧的。（2） 任何P∈ P、 存在一个Q∈ M相当于P。请注意，第二个条件是自然的，因为市场模型中的每一个信念都与无套利有关，例如，参见[1]。我们考虑鲁棒效用最大化问题^u（x）=sup(,h） infP∈PEPU（x+( · S） T+h·g）。主要结果定理2.1和定理2.2是本文的主要结果。我们将首先介绍一些关于对偶性的空间和值函数。乐视电视（y）=supx>0[U（x）- xy）]，y>0，andI:=-V′=（U′）-1.任何P∈ P、 我们将一些空间定义如下，其中（in）等式是P-a.s.oXP（x，h）={x:x=x，x+( · S） T+h·g≥ 0，对一些人来说}o YP（y）={y≥ 0:Y=Y，XY是P-super-martin gale，十、∈ XP（1,0）}oYP（y）={y∈ YP（y）：EP（YT（XT+h·g））≤ xy，十、∈ XP（x，h）}oCP（x，h）={c∈ L+（P）：c≤ XT+h·g，对于某些X∈ XP（x，h）}oCP（x）=ShCP（x，h）oDP（y）={d∈ L+（P）：d≤ 是的，有点疯狂∈ YP（y）}表示（1）CP=CP（1），DP=DP（1）。很容易看出，对于x>0，CP（x）=xCP，DP（x）=xDP。

确定P下优化问题的价值∈ P:uP（x）=supc∈CP（x）EPU（c），vP（y）=infd∈DP（y）EPV（d）。然后定义（x）=infP∈幼崽（x），幼崽（y）=infP∈PvP（y）。以下是本文的主要结果。定理2.1。在假设P下，我们有（2）u（x）=^u（x）=infP∈Psup(,h） EPU（x+( · S） T+h·g），x>0。此外，u和v的值是共轭的，即u（x）=infy>0（v（y）+xy，v（y）=supx>0（u（x）- xy）。定理2.2。让x>0。在假设P下，存在一个概率测度^P∈ P、 非最优策略^XT=x+（^ · S） T+h·g≥ 0和^YT∈ Y^P（^Y）与^Y=u′^P（x）使得（i）u（x）=u^P（x）=E^P[u（XT）]，（ii）v（^Y）=u（x）- ^yx，（iii）v（^y）=v^P（^y）=E^PV（^YT）]，（iv）^XT=I（^YT）和^YT=U′（^XT），^P-a.s，而且E^P[^XT^YT]=x^y.3。主要结果的证明这一节致力于证明主要结果，定理2.1和定理2.2。定理2.1的证明。为了P∈ P和Rj+上定义的任何可测函数，都存在一系列连续函数（fn）∞n=1接近f P-a.s.（例如，见[5]第70页）。通过变元，Fn可以被选择为有界的。因此，我们有SUP(,h） EPU（x+( · S） T+h·g）=sup(,h） ,，∈CbEPU（x+( · S） T+h·g），其中 ∈ CBM表示每个组件是Rj+上的连续有界函数，j=1。T- 1.因此，^u（x）=sup(,h） infP∈PEPU（x+( · S） T+h·g）≥ 小吃(,h） ,，∈CbinfP∈PEPU（x+( · S） T+h·g）=infP∈Psup(,h） ,，∈CbEPU（x+( · S） T+h·g）（3）=infP∈Psup(,h） EPU（x+( · S） T+h·g）≥ ^u（x），其中（3）来自极大极小定理。由此证明了（2）。这个定理的其余部分可以根据[4]中引理7和8的证明中的论点来证明。定理3.1。在假设P（2）下，对于任何给定的P∈ P、 （1）中定义的集合CP、Dp满足[6]中命题3.1中的性质。证据

显然，（i）Cp和Dp是凸的和实的，（ii）Cp包含常数函数1，（iii）对于任何c∈ CP，d∈ DP，我们有EP[cd]≤ 1.我们将通过展示下四个引理来完成证明，其中我们使用符号dQ/dP来表示整个空间RT+上的Radon-Nikodym过程和R-ad-Nikodym导数，只要Q~ 引理3.2。CPI以L（P）为界。证据假设P（2），存在Q∈ 这相当于P.T.upc∈CPEPdQdPc= supc∈CPEQ[c]≤ 1.因此，supc∈CPP（c>K）=supc∈CPPdQdPc>dQdPK≤ supc∈人物配对关系PdQdP≤√K+ PdQdPc>√K≤ PdQdP≤√K+√Ksupc∈CPEPdQdPc≤ PdQdP≤√K+√K→ 0，K→ ∞.引理3.3。对于c∈ L+（P），如果EP[cd]≤ 1.D∈ DP，然后是c∈ CP.证据。可以证明，对于任何Q∈ M（P）：={Q∈ M:Q~ P} ，YP中的处理QDPI。那么c呢∈ L+（P）supQ∈M（P）EQ[c]=supQ∈M（P）EPdQdPc≤ 1.应用[1]第6页的超级套期保值定理，我们发现存在一种交易策略(, h） ，使1+( · S） T+h·g≥ c、 P-a.s.，因此c∈ 内容提供商。引理3.4。对于d∈ L+（P），如果EP[cd]≤ 1.C∈ CP，然后是d∈ 数据处理证据让d∈ L+（P）满足EP[cd]≤ 1.C∈ CP.然后应用[6]中的命题3.1（此处空间CPI大于[6]中（3.1）中定义的C），我们发现存在Y∈ YP（1），因此0≤ D≤是的。defineyk=（Yk，k=0，…，T）- 1，d，k=T，那么就很容易看出Y∈ YP，因此d∈ 因为d=YT。引理3.5。Cp和Dp在测度收敛的拓扑中是闭合的。证据让{cn}∞n=1 Cp关于P在概率上收敛到某个c。通过传递到一个序列，我们可以不损失cn的一般性→ C≥ 0，P-a.s.那么对任何人来说∈ DP，EP[cd]≤ 林恩芬→∞EP[cnd]≤ 1，法图引理。从艾玛3.3我们知道c∈ CP，这表明CPis在度量上收敛于拓扑结构。类似地，我们可以证明DPS是闭合的。

定理3.1的证明在此阶段完成。定理2.2的证明。我们使用定理3.1，通过应用[6]中的定理3.1和3.2，来证明（i）和（iii）以及（iv）中的第二个等式。其余的证明是纯凸解析的，并且可以用与[4]中引理9-12的证明完全相同的方法来完成。4.PWe示例将给出满足本节假设P的P示例。我们假设存在M>0，这样mm:={Q∈ M:Q（| | S）||∞> M） =0}6=.备注4.1。上述假设并不具有限制性。例如，如果我们在每个时间段的执行价格的有限范围内得到一组欧洲看涨期权的价格，并且价格与无套利模型一致，那么该模型可以在不确定概率空间上实现，详情见[3]。修正α∈ （0,1）和β∈ (1, ∞ ). 让（4）P：=P:P~ Q和α≤dPdQ≤ β、 对于一些问题∈ 嗯.备注4.2。从财务角度来看，Radon-Nikod y微分dP/dQ的有界条件意味着代表个人信仰的物理测度不应该离鞅测度太远。定理4.1。P定义在（4）满足性假设P.证明中。很明显，P是凸的、非凸的，并且满足假设P（2）。Let（P）∞n=1 P.然后存在Qn∈ 这相当于pnα≤ dPn/dQn≤ β. 由于（Pn）和（Qn）在[0，M]T上得到了支持，所以它们是紧密的，因此与Prokhorov的定理相比，它们的紧密性相对较弱。通过传递到子序列，我们可以在不丧失一般性的情况下假设[0，M]T上存在概率测度P和Q，这样Pnw-→ P和Qnw-→ 由于概率测度有一个紧支撑，可以用单调类理论证明∈ 嗯。设f为任意非负、有界且连续的函数。

然后αEQn[f]≤ EPn[f]≤ βEQn[f]。让n→ ∞, 我们有αEQ[f]≤ EP[f]≤ βEQ[f]。因此，P∈ P、 这就完成了证明。5.扩展现在，我们可以假设我们的模型被校准为一个连续的带支付功能的看涨期权，而不是假设市场有一定数量的期权- K） +，K∈ R+每次t=i，价格c（i，K）=EQ（是的- （K）+.众所周知，知道边际Si等于知道allK的价格C（i，K）≥ 0; 见[2]。因此，我们可以假设股价S=（Si）Ti=1的边际值由Si给出~ ui，其中u，uR+上的皮重概率度量。LetM:={Q概率测度在RT+：S=（Si）Ti=1是一个Q- 马丁·盖尔；对于i=1，T、 Sihas边际ui和平均值s}。如果我们对效用函数和P做出与之前类似的假设，并且如果我们可以将[1]中的超级套期保值定理推广到包含多个期权的情况（这里我们只需要一个概率测度的版本，这比[1]的完全推广要弱得多），我们可以相应地得到类似的结果。事实上，这可以从引理3.3的证明中看出。参考文献[1]B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》（2013）。2013年，预印本XIV:1305.6008。[2] D.Breeden和R.Litzenberger，《期权价格中隐含的国家未定权益价格》，商业期刊，51（1978），第621-655页。[3] M.H.A.戴维斯和D.G.霍布森，交易期权价格范围，数学。《金融》，17（2007），第1-14页。[4] L.Denis和M.Kervarec，《非支配模型中模型不确定性下的最优投资》，暹罗J.控制优化杂志。，51（2013），第1803-1822页。[5] J.L.杜布，《测量理论》，第143卷《数学研究生教材》，斯普林格·维拉格，纽约，1994年。[6] D.克拉姆科夫和W。

Schachermayer，效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资，Ann。阿普尔。Probab。，9（1999），第904-950页。密歇根大学数学系邮箱：erhan@umich.eduDepartment密歇根大学数学系邮箱地址：zhouzhou@umich.edu