跳跃市场中的套期保值——FBSDE方法

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英文标题：
《Hedging in a market with jumps - an FBSDE approach》
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作者：
Evelina Shamarova and Rui S\\\'a Pereira
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We propose a model for hedging in a market with jumps for a large investor. The dynamics of the stock prices and the value process is governed by forward-backward SDEs driven by Teugels martingales. Unlike known FBSDE market models, ours accounts for jumps in stock prices. Moreover, it allows to find an optimal hedging strategy.
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中文摘要：
我们提出了一个模型，在一个大投资者有跳跃的市场中进行套期保值。股票价格和价值过程的动态由Teugels鞅驱动的前后向SDE控制。与已知的FBSDE市场模型不同，我们的模型解释了股价的上涨。此外，它允许找到一个最佳的对冲策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Hedging_in_a_market_with_jumps_-_an_FBSDE_approach.pdf (151.39 KB)

2022-5-4 20:46:57 上传

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关键词：BSDE 套期保值 SDE FBS Differential

跳跃市场中的套期保值——FBSDE方法Rui S’a Pereiradepartmento de Matem’atica、波尔图大学、波尔图、葡萄牙萨马罗瓦德Matem’atica、巴西联邦大学Paraiba、Jo)ao Pessoa摘要我们为大型投资者提出了一个跳跃市场中的套期保值模型。股票价格和价值过程的动态由Teugels鞅驱动的前后向SDE控制。与knownFBSDE市场模型不同，我们的模型解释了股价的上涨。此外，它还可以找到最佳的对冲策略。关键词：最优套期保值策略，带跳跃的前后向SDE，不完全市场，正交标准化Teugels鞅2010 MSC:60H10，60G51，91B25，91G201。在这篇文章中，我们提出了一个向前向后的SDE（FBSDE）模型，用于在一个有la r ge投资者的市场中进行套期保值，并且允许股票价格跳跃。为未定权益定价的尝试有其原始邮件地址：manuelsapereira@gmail.com（鲁伊·萨佩雷拉），evelina@mat.ufpb.br（Evelina Shamarova）于2018年11月6日在Black and Scholes（1973）的著作中提交给Elsevier的预印本，作者给出了欧洲看涨期权定价公式，假设股票价格演变为几何布朗运动。经典Black-andScholes模型的一个假设是，没有个人投资者的行为能够影响市场价格。然而，考虑到电子交易的普遍性，尤其是高频交易，使得在短时间内发布数千份订单成为可能，说明大型投资者存在的重要性一直在增加。

Cvitanic和Ma（1996）解决了这个问题，作者为大型投资者提出了FBSDE市场模型，但在布朗市场环境中，被建模为几何布朗运动的股票价格不允许有跳跃。然而，关于收益分布跳跃的文献证据（例如，见Eberlein和Keller（1995））表明，年龄计量布朗运动并不完全适合于模拟真实市场中股票价格的演变。特别是，在市场剧烈动荡的时期，比如2010年5月的“金融危机”，当时美国主要指数暂时下跌了9%以上，布朗模型产生的对冲策略让投资者面临巨大的下行风险。众所周知，股票价格建模涉及列维过程的市场通常是不完整的，因此未定权益可能不允许采用自我融资复制策略。Follmer和Schweizer（1991）首次尝试在不完全市场的情况下确定最优策略，作者提出了一种最优策略，即在某种意义上最小化所需资本注入的策略。在我们的FBSDE市场模型中，d维股价St={Sit}di=1的演化由m独立布朗运动和d独立布朗运动驱动的SDE控制- 从正交规范化的Teugels鞅系统{H（ik）t}li=1，k中选取m个鞅∈确保每一个我∈ {1，…，l}，f家族{H（ik）t}∞k=1与L’evy流程相关。所有过程都被认为是独立的，完全不连续的。我们请读者toNualart和Schoutens（2001）（第763页）了解鞅H（ik）t的详细信息。注意，不同的股票价格可以在不同的时间跳跃。

此外，价值过程vt和投资组合过程πt={πit}di=1evo根据反向SDE和最终条件h（ST），即到期日的支付。我们的模型涉及鞅H（ik）t，因为它们是独立的、强正交的、纯粹不连续的，但最重要的是，系统{H（ik）t}li=1，k∈N、 完成布朗运动{Bit}mi=1，具有可预测的表示属性。后者允许将贴现价值过程分解为套期保值组合的价值和强正交鞅。因此，我们的模型允许找到Schweizer（2008）意义上的最优套期保值策略。值得一提的是，由于H（ik）t’s的存在，代表股票价值的SDE实际上由建立在潜在L’evy过程基础上的幂跳鞅驱动（见Nualart and Schoutens（2001），第763页）。这些“功率跳跃”术语的存在可能反映市场的“偏度”、“峰度”和其他波动行为或极端运动。因此，这项工作的主要贡献是引入了一个模型，该模型考虑了股票价格的跳跃，并允许在不完全市场的情况下找到最佳的享乐策略。2.跳转市场套期保值的FBSDE模型接下来，我们介绍了我们的模型。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，{Bit}mi=1b是独立的实值布朗运动，{Lit}li=1b是独立的纯间断实值L\'evy过程，L\'evymeasuresνisatisfyingZR（1）∧ x） νi（dx）<∞ 对于一些正的ε、λ和C，z |x |>εeλx |νi（dx）<C（1）。定义过滤Ft=σ{Bis，0 6 s 6 t，1 6i 6 m}∨ σ{Lis，06s6t，16i6l}∨ N，其中N是所有P-null集的集合。我们同意，在这项工作中考虑的所有L’evy度量都满足条件ν（{0}）=0。让我为每一个人∈ {1, . . .

，l}，{H（ik）t}∞k=1b是与L’evy过程有关的正交规范化的teugel鞅族。下面的引理1为与任意一维L’evy过程相关的正交规范化Teugel鞅（i）提供了一个有用的表示ltwith the L\'evy triple（b，a，λ），a=（a，…，aM），满足（1）的L\'evy测度λ被λ取代。正如Nualart和Schoutens（2001）所述，我们引入了多项式qi-1（x）由系统{1，x，x，…}的正交化得到与测度xλ（dx）+a |δ（dx）对应，其中δ是狄拉克测度。此外，我们定义了pi（x）=xqi-1（x）。引理1。允许l 用L\'evy It^o分解成为一个一维的L\'evy过程lt=bt+PMi=1aiβi（t）+R | x | 61x |u（t，dx）+R | x |>1xu（t，dx），其中{βi（t）}Mi=1是独立的实值标准B罗宁运动。然后，我认为H（i）t=qi-1（0）PMj=1ajβj（t）+RRpi（x）~u（t，dx）。特别是，如果l这完全是不连续的，那么H（i）t=RRpi（x）~u（t，dx）。证据定义π（x）=π（x）- xqi-1(0). 我们将在Nualart和Schoutens（2001）（第763页）中对H（i）进行以下表示：H（i）t=qi-1(0)lt+s6t<P0(l（s）- t EP0<s61~pi(l（s）- tqi-1（0）E[l].自从lt=lct+P06s6tls、 在哪里lCTI是计算机的连续部分lt、 我们得到了（i）t=qi-1(0)lct+P0<s6tpi(l（s）- EP0<s6tpi(l（s）- 气-1（0）E[lt] =齐-1(0)l计算机断层扫描- E[l[ct]+P0<s6tpi(l（s）- EP0<s6tpi(l（s）= 气-1（0）PMj=1ajβj（t）+RRpi（x）~u（t，dx）。让我们继续描述模型。将有限时间范围定为>0，然后考虑由d风险资产（股票）和存款无风险资金组成的市场。

我们假设无风险存款的价格过程根据方程式ddt=r（t，St，Vt，πt）Dt，D=1，（2）其中r:[0，t]×Rd×r×Rd演化→ R是利率，St={Sit}di=1是D维风险资产价格过程，VT是（实值）价值过程，πt={πit}di=1是投资组合过程，πit是第i个股票的资产组数。假设SITI的演变受SDEdSit=Sit的控制~fi（t，St，Vt，πt）dt+dXj=1σαji（t，St）-, 及物动词-)dMαjt（3） 在非随机初始条件Si>0的情况下。在（3）中，定义在适当维数空间上的∧fi和∑αjiare重赋值函数。此外，对于j=1，2，m、 αj=j和mαjt=Bjt，而对于j=m+1，d、 αj的区域从集合{（ik），i=1，…，l，k=2，4，…}中任意选取多个索引Mαjt=Hαjt。注意，索引k只取偶数。价值过程代表了一个“大”投资者的财富，他持有d股，并在存款中持有资金。投资者被假定为la r ge，因此我们模型中的系数将取决于Vt、St和πt。我们将一个可接受的hedgin g策略定义为一对可预测过程（πt、πt），使得Vt=Pdi=1πitSit+πTDT和Vt=h（St），其中h（St）是到期时的收益。注意，（2）的解取dt=exp{Rtrsds}，其中rs=r（s，Ss，Vs，πs）。让At=exp{-Rtrsds}。定义^Sit=atsit和^Vt=atvt分别为d贴现股价和贴现价值过程。此外，我们定义了累积成本过程Ct=^Vt-Pdi=1Rtπisd^Sis。我们说该策略是最优的，如果它是可容许的，那么CTI是一个与每个^Sit的鞅部分强正交的平方可积鞅。引理2。表示式^Vt=Pdi=1Rtπisd^Sis+CtandVt=V+dXi=1ZtπisdSis+ZtπsdDs+ztdsdsddc（4）是等价的。证据

自从五、 At=是的，At=[V，A]t=[Si，A]t=0，然后由它为公式生成，d^Sit=AtdSit- AtrtSitdt和d^Vt=AtdVt- rtAtVtdt。将这些表达式代入^Vt的方程中，我们得到dVt=Pdi=1πitdSit+（Vt-Pdi=1πitSit）rtdt+DtdCt=Pdi=1πitdSit+πtdDt+DtdCt。现在，我们推导出具有代表性（4）的过程VT的反向SDE（BSDE）。首先，我们分别用等式（2）和（3）的右侧替换dd和dsit。因为VT=h（ST），我们从（4）中得到VT- E[h（ST）-ZTtg（s，Ss，Vs，Z（α）s）ds-dXj=1ZTZαjsdMαjs-ZTDsdCs | Ft]=dXj=1ZtZαjsdMαjs+ZTDsdCs=lXk=1∞Xj=1Zt^Z（kj）sdH（kj）s，（5）其中g（t，s，v，Z）=g（t，s，v，s）-1σ（t，s，v）-1z）其中σ（t，s，v）是d×d矩阵，元素σαji在第j行和第i列中，~g（t，s，v，π）=Pdi=1siπifi（t，s，v，π）+（v）-Pdi=1siπi）r（t，s，v，π），π=（πi）di=1，s=（si）di=1，s=diag{s，…，sn}。此外，（α）表示多索引（α）={α，…，αd}和Z（α）t=（Zαt，…，Zαdt）的集合。（5）中的最后一个恒等式来自系统{H（kj）t}的可预测表示性质∞j=1对于a fixedk（^Z（kj）是可预测的过程），并且从t heLKevy过程Lkt的独立性来看，k=1，l、 Vt的BSDE如下（5）：Vt=h（ST）-ZTtg（s，Ss，Vs，Z（α）s）ds-dXj=1ZTtZαjsdMαjs-X（kj）/∈（α） ZTt^Z（kj）sdH（kj）s.（6）改变变量π=s-1σ（t，s，v）-引入函数fi（t，s，v，z）=fi（t，s，v，s-1σ（t，s，v）-1z），我们将SDE（3）转化为Sit=Sitfi（t，St，Vt，Z（α）t）dt+dXj=1σαji（t，St，Vt）dMαjt. （7） 引理3。FBSDE（6）-（7）等同于Sit=Si+RtSisfi（s，Ss，Vs，Zs，^Zs（·））ds+RtSisσi（s，Ss，Vs）dBs+RtRRlSisψi（s，Ss-, Vs-, u） ~N（ds，du），i=1，d、 Vt=h（ST）-RTtg（s，Ss，Vs，Zs，^Zs（·））ds-RTtZsdBs-RTtRRl^Zs（u）~N（ds，du），（8）其中u=（u。

ψi（t，s，v，u）=Pdq=m+1σαqi（t，s，v）pαq（uαq），其中uαq=ukifαq=（kj）。此外，Zt=（Zαt，…，Zαmt）和对于每个k∈{1，…，l}，^Z（kj）是^Zt（0，…，uk，…，0）分解的组成部分，与空间l（νk（duk））中多项式p（kj）（uk）的基有关，而（Zαm+1t，…，Zαdt）={Z（kj）t}（kj）∈(α). 最后，~N是L′evy过程（Lt，…，Llt）的补偿泊松随机测度。备注1。在系数f和g中，我们用Zt代替（Zαt，…，Zαmt），并用^Zt（·）代替（Zαm+1t，…，Zαdt）。对^Zt（·）的依赖被理解为对其d的依赖- m组分（Zαm+1t，…，Zαdt）。引理3的证明。注意，对于每个k，系统{H（kj）t}∞j=1具有可预测的表示属性。因此，ZTtZRl^Zs（u）~N（ds，du）=lXk=1ZTtZRk^Zs（0，…，英国，…，0）~Nk（ds，duk）=lXk=1∞Xj=1ZTt^Z（kj）sdH（kj）s，其中Rk={tek，t∈ R} 其中{ek}lk=1是Rl中的一个正交基，而∧Nk（t，·）是Lkt的补偿泊松随机测度，通过Lkt的独立性，它是∧N（t，·）对Rk的限制。因为，通过引理1，H（kj）t=RRkp（kj）（uk）~Nk（t，duk），我们得到了在L（νk），^Zt（0，…，uk，…，0）=P∞j=1^Z（kj）tp（kj）（uk）a.s.此外，对于每个k，多项式系统{p（kj）}∞最后，因为对于每个（kj），p（kj）（0）=0，我们得到了Zrldxq=m+1σαqi（t，x，y）pαq（uαq）~N（dt，du）=dXq=m+1σαqi（t，x，y）dHαqt。其中Rαq=Rk，~Nαq=~Nk，uαq=Uk表示αq=（kj）。备注2。因为{αj}dj=m+1是从集合{（ik），i=1，…，l，k=2，4，…，中选取的多索引。

然后，每一个偶数次的多项式pαjis，因此，实现了一个有限的全局最小值，我们用Aj表示。下面的假设（A1）保证了FBSDE（6）-（7）解的存在性和唯一性。（A1）FBSDE（8）的系数满足Wu（1999）中定理3.1的假设（第436页）。引理4。假设（A1）。因此，有一个可预测的解决方案。证据根据（A1），Wu（1999）中的定理3.1保证了F BSDE（8）的唯一Ft适应解（St，Vt，Zt，^Zt（·））的存在，使得（St，Vt）是c`adl`ag，并且（Zt，^Zt（·））是可预测的。通过引理3，这相当于（6）-（7）存在唯一的Ft适应解（St，Vt，Z（α）t）。下面的假设（A2）-（A4）保证了Sit价格的正性，Vt的非负性，以及最优策略的存在。（A2）det{σ（t，s，v）}6=0代表所有（t、s、v）∈ [0，T]×Rd×R.（A3）表示所有（T，s，v）∈ [0，T]×Rd×R，i∈ {1，…d}和j∈ {m+1，…，d}，σαji（t，s，v）>0。此外，如果Aj<0，那么σαji（t，x，v）|Aj |<（d- m）-1.（A4）如果（St，Vt，Zt，^Zt（·））是FBSDEs（8）的Ft适应解，则随机函数（ω，t，y，z，^z）7→ g（t，St，y，z，^z）满足Royer（2006）中的条件（Aγ）（第1362页）。此外，h（ST）>0a.s.我们的主要结果如下。定理5。设（A1）-（A4）成立，设（St，Vt，Z（α）t）为FBSDEs（6）-（7）的解。然后，静坐>0，i=1，d、 Vt>0a.s.此外，pairof随机过程（πt，πt），其中πt=diag{St，…，Sdt}-1σ-1（t，St，Vt）Z（α）和πt=^Vt-Pdi=1π是^Sit，是最优套期保值策略。证据请注意，上述πthold的表示是通过构造实现的。接下来，通过引理3中得到的函数ψi的表示，以及（A3），inft>0ψi（t，St-, 及物动词-, Lt）>-1.

因此，Sit可以用DOL’eans Dade指数来表示，该指数为有限a.s.：Sit=SieRt~fi（s，Ss，Vs，πs）-kσi（s，Ss，Vs）kds+Rtσi（s，Ss，Vs）dBs+RtRRlψi（s，Ss）-,Vs-,u） ~N（ds，du）×Y06s6t1+ψi（s，Ss）-, Vs-, Ls）E-ψi（s，Ss）-,Vs-, Ls），其中σi=（σαji）dj=1。因此，对于所有i，Sit>0 a.s.让我们证明Vt的非负性。为此，我们将Royer（2006）的比较定理（定理2.5，第1362页）应用于（8）中的BSDE，考虑到（Vt，Zt，^Zt（·）），而过程是固定的，并假定来自引理4。注：根据定义，g（t，St，0，0，0）=0。因此，我们将解（Vt，Zt，^Zt（·））与BSDE的相同零解进行比较，BSDE的生成器与（8）中相同，但最终条件为零。备注t（A4）暗示了比较t heoremin Royer（2006）的假设。因此，根据Royer（2006）中的定理2.5，Vt>0。注意，根据（5），Ct=V+P（kj）/∈（α） 因此，它是一个平方可积鞅。此外，Ctis（弱）对由{Mαjt}dj=1生成的稳定子空间S是负相关的，这是根据Protter（1992）（p.149）的定理35和鞅论αjt的强负相关性得出的。根据Protter（1992）（第150页）的定理36，CTI强烈支持toS。仍然需要注意的是{Sit}di=1的鞅部分服从于S的推论6。贴现或有矩阵（ST）的F¨ollmer-Schweizer分解取形式（ST）=V+dXi=1ZTπitd^Sit+X（kj）/∈（α） ZTAt^Z（kj）tdH（kj）t.参考文献。埃伯林，U.Keler，1955年。金融中的双曲线分布。伯努利，1（3），281-29 9。F.布莱克，M.斯科尔斯，1973年。期权和公司负债的定价。J.政治经济，81637-659。H.F–ollmer，M.Schweizer，1991年。不完全信息下的未定权益套期保值。应用随机分析，389–414。J.Cvitani\'c，J。