指数Léevy过程的多资产期权定价

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英文标题：
《Multi-Asset Option Pricing with Exponential L\\\'evy Processes and the
  Mellin Transform》
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作者：
D.J. Manuge
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Exponential L\\\'evy processes have been used for modelling financial derivatives because of their ability to exhibit many empirical features of markets. Using their multidimensional analogue, a general analytic pricing formula is obtained, allowing for the direct valuation of multi-asset options on $n \\in \\z^+$ risky assets. By providing alternate expressions for multi-asset option payoffs, the general pricing formula can reduce to many popular cases, including American basket options which are considered herein. This work extends previous results of basket options to dimensions $n \\geq 3$ and more generally, to payoff functions that satisfy Lipschitz continuity.
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中文摘要：
指数Lêevy过程被用于金融衍生品建模，因为它们能够展示市场的许多经验特征。利用它们的多维模拟，得到了一个通用的分析定价公式，允许对$n\\in\\z^+$风险资产的多资产期权进行直接估值。通过提供多资产期权收益的替代表达式，通用定价公式可以简化为许多常见情况，包括本文考虑的美式篮子期权。这项工作将以前的篮子期权结果扩展到维度$n\\geq 3$，更一般地，扩展到满足Lipschitz连续性的支付函数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Multi-Asset_Option_Pricing_with_Exponential_Lévy_Processes_and_the_Mellin_Transform.pdf (76.7 KB)

2022-5-4 21:51:52 上传

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关键词：期权定价 Quantitative derivatives Exponential QUANTITATIV

具有指数过程和Mellin变换的多资产期权定价。J.ManugeAbstract指数L’evy过程被用于金融衍生品建模，因为它们能够展示市场的许多经验特征。利用他们的多维模拟，得到了一个通用的分析定价公式，允许对n上的多资产期权进行直接估值∈ Z+风险资产。通过提供多资产期权收益的替代表达式，通用定价公式可以简化为许多常见情况，包括本文考虑的美式一揽子期权。这项工作将以前关于篮子选项的结果扩展到了维度n≥ 3和更一般地，满足Lipschitz连续性的支付函数。1简介全面的实证研究表明，金融市场表现出偏度、峰度、价格增量中缺乏自相关、有限方差、聚合正态性，并具有不连续变化的能力[12]。为了捕捉这些特征，选择指数L’evy过程来表示驱动期权价格的资产模型。在许多相关文献中，重点是根据资产原木价格求解期权价格。例如，众所周知，通过在Black-Scholes方程中使用变量变换，问题将简化为求解扩散方程。然而，使用梅林变换可以绕过这一点，直接求解偏微分方程（PDE）。尽管如此，Mellintransform直到最近才从财务角度考虑。2002年，Cruz-B\'aez和Gonz\'alez Rodr\'iguez开创了使用Mellin变换求解欧式看涨期权相关PDE的方法[3]。

2004年，帕尼尼和斯里瓦斯塔夫使用梅林变换方法求解欧洲看跌期权、美国看跌期权、欧洲篮子看跌期权（n=2项标的资产）和美国篮子看跌期权（n=2）[8,9]。在所有这些情况下，波动率都假定为常数，加拿大圭尔夫斯通东路50号圭尔夫D.J.曼努吉大学。电子邮件：dmanuge@uoguelph.ca2D.J.Manuge股息被省略，基础资产模型被假定为几何布朗运动（GBM）。通过加入一个一般的L′evy过程，相关问题成为一个偏积分微分方程（PIDE），上述模型的解可以作为特例得到。因此，本文的目的是在梅林变换的背景下提供一个通用的期权定价模型。我们推导了多资产的欧式期权和美式期权的解析公式∈ Z+由多维指数L’evy过程表示的潜在风险资产。由于对支付函数的唯一限制是Lipschitz连续性，许多其他已知的支付可以应用于该公式。作为一个应用，给出了一个篮子支付的替代表达式，可以简化为流行的期权公式，如广义Black-Scholes-Merton。然而，许多其他特殊情况是可以实现的。这份手稿的结构如下。第2节介绍了构建和求解定价公式所需的数学术语。在第3节中，定价PIDE是在一般情况下解决的，而第4节提供了对美式篮子期权的应用。2.准备为了说明资产定价模型并推导相关的期权公式，我们必须引入L’evy过程和梅林变换。

以下概述考虑了模拟多个基础资产所需的多维情况。2.1 L’evy过程L’evy过程L是一个具有独立和平稳增量的随机过程[7]。在多维情况下，它有一个由Lt=（Lt1，…，Ltn）′给出的表示。让你∈ Rn，超额收益¨u∈ Rn，协方差矩阵∑∈ Rn×nbe对称正有限元，而ν是集中在Rn/{0}上的度量。重值随机变量L的概率律η具有特征指数ψ（\'u）：=-tlog（E[ei\'uLt]），例如Φ（\'u；t）=ZRnei\'u\'yη（dy）=E-tψ（\'u）（1）如果存在三重态（\'u，∑，ν），则ψ（\'u）=-i\'u′u+\'u′∑u+ZRn（1- ei\'u\'y+i\'u\'y1（|y |<1））ν（dy）。（2） 具有指数L’evy过程和Mellin变换3方程（2）的多资产期权定价被称为L’evy-Khintchine公式[7]。或者，L’evy过程可以通过其L’evy It^o分解来表示，该分解自然地扩展到更高的维度，如Lti=uIt+σiWti+tZZ | y|≥1yηLi（ds，dy）+tZZ | y |<1y（ηLi）-νLi）（ds，dy）（3）为1≤ 我≤ n、 满足度的L’evy度量，ZRnmin（1，y）ν（dy）<∞ （4） 用ν（{0}）=0。为了结合过程布朗运动之间的相关性，让σ∈ Rn×nbe波动率σifor 1的对角矩阵≤ 我≤ n和ρ∈Rn×nbeρi j=corr（dWi，dWj）的相关矩阵∈ [-1,1]使得∑=σρσ。2.2梅林变换为了求解期权价格的相关PIDE，需要多维阿尔梅林变换。有关变换及其属性的详细说明，请参见[1,11]。定义1（梅林变换）。设‘x=（x，…，xn）’和‘w=（w，…，wn）’。对于函数f（`x）∈ 多维梅林变换是复函数，^f（\'w）：=M{f（\'x）；\'w}=ZRn+f（\'x）\'x\'w-1d\'x.（5）分析^f的最大域称为基本条带，以h\'a，\'a表示∞我

考虑相反的情况；函数的梅林变换是已知的，人们希望恢复原始函数。对于函数^f（\'w）∈ Cn在一般条件下，逆f（`x）∈ Rn+不仅存在，而且是唯一的（对于给定的基本条带）。定理1（梅林逆定理）。设w=（w，…，wn）\'，\'x=（x，…，xn）\'，和^f（\'w）∈ 由γj={aj+ibj:aj定义的γ=n×j=1γjd上的Cnbe分析∈ R、 bj=±∞}和aj∈ R（wj）=朝觐，a∞吉。假设r^f（\'a+i\'b）d\'b是绝对收敛的。那么，f（`x）=M-1{f（\'w）；\'x}=（2πi）-新西兰γ^f（\'w）\'x- “wd”w.（6）x“w”-1d’x被视为∏nj=1xwi-1idxi。4 D.J.ManugeIf f（\'x）=∏nj=1fj（xj），然后是^f（w）=∏nj=1M{fj（xj）；wj}。这使得单变量变换的良好特性可以用于解决多维情况。3 1期权定价的偏积分微分方程≤ 我≤ n且无风险利率r>0时，将指数L’evy modelSti=S0iert+lti视为过滤概率空间上多资产期权的资产价格过程(Ohm,F，P）。在无套利假设下，存在一个等价于P[12]的鞅测度Q。由于贴现资产（e-rt-St）t∈[0，T]是Q下的鞅，因此也是鞅。这就导致了以下条件：μi（σi，ν）=-R-σi-ZRn（ey）- 1.- y1 | y |<1）νLi（dy）。（7） 具有固定到期日T<∞ 可根据Q.i.e.V（\'S，t）=EQE-r（T）-t） θ（\'S（t））|St=\'S. （8） 定理2（[10，定理4.2.]）。设L是一个具有状态空间R和特征三重态（°u，∑，ν）的L′evy过程。假设（8）中的函数V（\'S，t）满足V（\'S，t）∈ C2,1Rn+×（0，T）∩C（注册护士）+∪ {0}×[0，T].

那么，V（`S，t）是后向科尔莫戈罗夫方程的经典解：五、t+n∑i、 j=1i6=jρi jσiσjSiSjVSiSj+n∑i=1σIsivSi+rn∑i=1SiVSi- rV+ZRnV（\'Sey）-五、-N∑i=1（是的- 1） 西夫西在（0，T）×Rn+上的ν（dy）=0（9），其中V（\'Sey）：=V（Sey，…，Sey，T），终端条件由V（\'S，T）=θ（\'S）给出。请注意，上述PIDE公式仅考虑欧洲情况。美式期权的不同之处在于，它们可以在任何时候行使∞. 在美国的案例中，我们知道存在一种分解，其中期权价值可以表示为欧式期权和提前行权溢价的总和，即VA（\'S，t）=VE（\'S，t）+VEEP（\'S，t）[2,5]。考虑到Anatz的解在证明中，θ必须是Lipschitz连续的。具有指数L’evy过程和Mellin变换的多资产期权定价5非齐次PIDE（9）解决了美国的情况。为便于注释，定义[V（\'S）]，并设f=f（\'S，t），使PIDE变为，五、t+L[V（\'S）]=f；V（\'S，T）=θ（\'S）。（10） 设V（\'S）在S时有界→ ∞ V（0，t）=Ke-r（T）-t） 。（10）的解由定理3给出。设‘S=（S，…，Sn）’，‘w=（w，…，wn）’，0≤τ≤ T和0<K，T，Sj<∞所有人1≤ J≤ n、 对于Lipschitz支付θ（\'S），n个指数L\'evy驱动资产上的多资产期权V（\'S，τ）的值由，V（\'S，τ）=e给出-rτM-1n^θΦ（\'wi，τ）o+M-1nZτ^fΦ（\'wi，τ）- s） e-r（τ）-s） dso（11），其中Φ（·）是（1）中L’evy过程的特征函数。证据考虑同质情况。将定义1应用于L[V（\'S）]以获得L[V（\'w）]的表达式，其中“w=（w，…，wn）”是复杂的梅林变量。由于M{Vt；\'w}=^Vt是独立的，因此可以形成同质PIDE的多维almellin变换的表达式：^Vt（\'w，t）=-Q（\'w）^V（\'w，t），其中Q（\'w）=L[^V（\'w）]^V=-wi（ψ）- r（12）通过（7）和（2）。

使用初始条件并求解（12）得到^V（\'w，t）=^θ（\'w）eQ（\'w）（t）-t） 。设τ=T-t、 Duhamel原理通过考虑s<t时f（`s，s）的贡献来解决非齐次问题。结果来自（1）和定理1。当^f=0时，（11）是多资产欧式期权的价值。当^f 6=0时，（11）是多资产美式期权的价值。因此，V（`S，τ）的第二项代表早期行使溢价。要实现这个公式，必须知道（i）Mellin payoff^θ（\'w），（ii）L\'evy过程的特征函数（或指数），以及（iii）练习边界^f（\'w）的Mellin变换。下一节将考虑GBM驱动的资产的美国一揽子看跌期权的这三个组成部分。在给定的情况下，max optionsK=talk arytics有一个payoff函数-∑nj=1Sj）=K-∑nj=1Sj）+。为了使用杜哈迈尔原理，这个问题必须被重新描述为初值问题。在[4]中，当K=1时，得到了一篮子收益的付息权在傅里叶变换下的显式表达式。通过适当改变变量（\'u=\'wi），他们的公式可以通过命题1.6 D.J.验证。ManugeOne可以通过归纳证明以下替代表达式，并通过伽马函数的参数推导出基本条带。提议1。设‘S=（S，…，Sn）’，‘w=（w，…，wn）’，0≤τ≤ T和0<K，T，Sj<∞ 所有人1≤ J≤ n、 因为R（wj）>0，篮子期权的看跌期权支付函数为θP（\'S）=M-1{^θ（\'w）}=M-1.βn（w）K1+∑“w”(∑w）（1）+∑“（w）（13） 其中βn（`w）表示多项式β函数。知道了运动边界，我们就可以解f:^f（`w）的梅林变换=-rKβn（\'w）∑w（S）*（s） )∑“w（14）在哪里*表示关键资产价格。

此外，由于L′evy过程的特征函数由（1）存在，由n维布朗运动驱动的返回Φ（·）的特征函数是已知的。因此，根据定理3，利用（13）、（14）中的^θ（`w）和Φ（·），得到了GBM驱动的n种风险资产的美式篮子看跌期权的表达式。通过设置n=2，我们可以得到[8,9]中推导的美式篮子期权公式。如果n=1，我们得到Black-Scholes-Merton美式期权[5,6]。类似地，通过使用广义看跌期权奇偶关系[3,12]，可以获得看涨期权的表达式。参考文献1。于。A.布里奇科夫、H.-J.格拉斯克、A.P.普鲁德尼科夫和武金团。多维积分变换。戈登和科学出版社，1992年2月。彼得·卡尔、罗伯特·贾罗和拉维·梅尼尼。美国选择的替代特征。数学金融，2（2）：87-1061992.3。D.I.Cruz-B\'aez和J.M.Gonz\'alez Rodr\'guez。半群理论应用于期权。J.阿普尔。数学2(3):131–139, 2002.4. 赫德和周卓伟。一种用于价差期权定价的傅里叶变换方法。西亚姆。金融数学。，1(1):142–157, 2010.5. 在俊金。美式期权的分析估值。《金融研究回顾》，3（4）：547-721990.6。郭耀国。金融衍生品的数学模型。斯普林格金融公司。斯普林格·柏林海德堡，2008.7。A、 E.基普里亚努。关于L’evy过程波动及其应用的介绍性讲座。Universitext（英语）。施普林格·维拉格柏林海德堡，2006年8月。帕尼尼。Mellin变换的期权定价。纽约州立大学石布鲁克分校，2004年9月。拉达·帕尼尼和拉姆·普拉萨德·斯利瓦斯塔夫。Mellin变换的期权定价。《数学与计算机建模》，40（1-2）：43–562004.10。N·赖希、C·施瓦布和C·温特。关于各向异性多变量过程的Kolmogorov方程。

《金融与随机》，14:527-5672010。βn（\'w）=∏Γ（\'w）Γ(∑其中Γ（·）表示复伽马函数。具有指数L’evy过程和Mellin变换的多资产期权定价711。I.N.斯奈登。积分变换的使用。麦格劳·希尔，1972年12月。P.坦科夫。带跳跃过程的金融建模，第二版。查普曼与霍尔/CRC金融数学系列。泰勒和弗朗西斯，2003年。