一个精确而明确的回望期权定价公式

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英文标题：
《An exact and explicit formula for pricing lookback options with regime
  switching》
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作者：
Leunglung Chan and Song-Ping Zhu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper investigates the pricing of European-style lookback options when the price dynamics of the underlying risky asset are assumed to follow a Markov-modulated Geo-metric Brownian motion; that is, the appreciation rate and the volatility of the underlying risky asset depend on unobservable states of the economy described by a continuous-time hidden Markov chain process. We derive an exact, explicit and closed-form solution for European-style lookback options in a two-state regime switching model.
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中文摘要：
本文研究了当标的风险资产的价格动态服从马尔可夫调制的几何布朗运动时，欧式回望期权的定价问题；也就是说，基础风险资产的升值率和波动性取决于由连续时间隐马尔可夫链过程描述的经济的不可观测状态。在一个两国政权转换模型中，我们推导了欧式回望期权的精确、显式和封闭形式的解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> An_exact_and_explicit_formula_for_pricing_lookback_options_with_regime_switching.pdf (144.8 KB)

2022-5-6 11:24:07 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Unobservable Appreciation QUANTITATIV

一个精确而明确的回望期权定价公式*和Song Ping Zhu+2018年9月11日摘要本文研究了当标的风险资产的价格动态假设遵循马尔可夫调制的几何布朗运动时，欧式回望期权的定价；也就是说，潜在风险资产的升值率和波动性取决于由连续时间隐马尔可夫链过程描述的不可观测的经济状态。在一个两国政权转换模型中，我们推导出了欧洲式回望期权的精确、显式和封闭形式的解。关键词：期权定价；马尔可夫调制几何布朗运动；政权转换；回顾选项。1简介期权定价是金融经济学从理论和实践角度研究的一个重要领域。Black and Scholes（1973）和Merton（1973）的开创性工作奠定了该领域的基础，并推动了期权定价理论、数学模型及其计算技术的重要研究。布莱克-斯科尔斯-默顿公式已被交易员、分析师和投资者广泛采用。尽管Black-Scholes-Merton公式很受欢迎，但在许多实证金融研究中，Black-Scholes-Mert on模型中假设的几何布朗运动（GBM）并不能提供资产价格动态行为的真实描述。在过去几十年中，文献中引入了Black-Scholes-Merton模型的许多扩展，为资产价格动态提供了更现实的描述。特别是，许多模型被引入来解释隐含波动率的经验行为——微笑和傻笑。

这些模型包括随机波动率模型、跳跃扩散模型和由L’evy过程驱动的模型。最近，马尔可夫链驱动的体制转换模型在各种金融问题中的应用引起了人们极大的兴趣。有关马尔可夫链的概述，请参阅*新南威尔士大学数学与统计学院，新南威尔士州悉尼，2052，澳大利亚，电子邮件：leung。chan@unsw.edu.au+澳大利亚新南威尔士州卧龙岗市卧龙岗大学数学与应用统计学院2522，电子邮件：spz@uow.edu.auElliott等人（1994年）。郭（2001）研究了一个随机切换模型下的欧式期权定价问题。Bu ffington和Elliott（2002a，b）考虑了黑斯科尔斯市场中欧洲和美国期权的期权定价问题，在黑斯科尔斯市场中，经济状态由有限状态马尔可夫过程描述。Boyle和Draviam提出了一种数值方法来求解制度转换下奇异期权价格的耦合偏微分方程组。Zhu et a l.（2012）推导了atwo国家政权转换模型中欧式期权的封闭形式解。在制度转换模型下，奇异期权不存在封闭形式解。求解定价偏微分方程组的数值方法很复杂，计算时间可能很长。本文研究了当标的风险资产的价格动态受马尔可夫调制几何布朗运动控制时，欧式回望期权的定价问题。马尔可夫调制的几何布朗运动是对几何布朗运动的推广，它根据连续时间马尔可夫链模型的状态，用相应的市场参数替换不变的市场参数。马尔科夫模型可以提供一种更现实的方式来描述和解释市场环境。

Yao等人（2003年）曾提到，允许市场参数响应一般市场水平的变动具有实际重要性，因为一般市场水平的趋势是控制单个风险集合价格变动的关键因素。马尔可夫调制模型或制度转换模型提供了一种可能的方法，用于模拟市场参数取决于市场模式的情况，市场模式在一定数量的状态之间切换，并反映基础经济的状态、宏观经济条件、投资者在市场中的总体情绪、商业周期和其他经济因素（见Yao等人（2003））。通过引入马尔可夫调制几何布朗运动模型，我们可以模拟风险资产波动的结构变化，以及由于市场机制的变化，特别是经济商业周期的变化，股票价格与波动之间的关系。我们利用同态分析方法（HAM）导出了回溯选项的解析解。火腿最初由奥尔特加和莱茵博尔特（1970）提出，并已成功地用于解决许多传热问题，见廖安和朱（1999）。Zhu（2006）提出在Black-Scholes模型中采用HAM来获得美式期权的分析定价公式。Gounden和O\'Hara（2010）将朱的工作扩展到在Black-Scholes模型中为一个美式亚洲浮式期权定价。Leung（2013）利用HAM推导了随机波动下回望期权的解析公式。由马尔可夫调制的几何布朗运动描述的市场通常是不完整的，因为马尔可夫链还有一个额外的不确定性来源。存在一系列等价鞅测度，因此存在一系列无套利期权价格。

郭（2001）通过引入一组Arrow Debreu的证券来完善市场，从而扩大了Markovm所描述的市场。布林顿和埃利奥特（2001 a，b）遵循郭（2001）的方法，推导了马尔可夫调制GBM的风险中性动力学。Elliott et al.（2005）引入了制度转换Esscher变换，以确定当标的风险资产的价格动态受马尔可夫调制GBM控制时的等价市场测度。他们通过最小化相对熵来调整马尔丁格尔测度的cho ice。在本文中，我们将采用区域切换Esscher变换来确定一个等价的鞅测度。我们将在这个框架下为回望期权定价。本文的结构如下：第2节描述了马尔科夫调制几何布朗运动下资产价格的动力学。第3节描述了制度转换Esscher变换，并建立了欧洲风格香草期权价格的偏微分方程系统。第4节制定了一个浮动罢工回望选项。第5节推导了一个精确的、封闭式的解决方案，该解决方案适用于浮动走向回望选项。第6节简要介绍了固定打击回溯选项。最后一节得出结论。2考虑完全概率空间的资产价格动态(Ohm, F、 P），其中P是真实世界的概率度量。设T表示模型的时间索引集[0，T]。写{Wt}t∈t关于平面上的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。假设一个经济体的状态由有限状态连续时间马尔可夫链{Xt}t建模∈吨(Ohm, F、 P）。在不丧失一般性的情况下，我们可以识别{Xt}t的状态空间∈t单位向量X的有限集合：={e，e，…，eN}，其中ei=（0，…，1，…，0）∈ 注册护士。

我们认为是{Xt}t∈Tand{Wt}t∈皮重独立。设A为发电机[aij]i，j=1,2，。。。，是马尔可夫链过程。从Elliott等人（1994）那里，我们得到了{Xt}t的半鞅表示定理∈T:Xt=X+ZtAXsds+Mt，（2.1）其中{Mt}T∈这是一个关于{Xt}t生成的过滤的RN值单增量过程∈T.我们考虑两种主要交易资产的金融模型，即货币市场账户B和风险资产或股票S。假设市场无摩擦；借贷利率相同；投资者是公关接受者。瞬时市场利率{r（t，Xt）}t∈Tof银行账户由以下公式给出：rt:=r（t，Xt）=<r，Xt>，（2.2），其中r:=（r，r，…，rN），每个i=1，2，…，ri>0，N和<·，·>表示RN中的内积。在这种情况下，价格过程的动态{Bt}t∈t银行账户的描述如下：dBt=rtBtdt，B=1。（2.3）假设股票升值率{ut}t∈和波动率{σt}t∈Tof依赖于{Xt}t∈用以下公式描述：ut:=u（t，Xt）=<u，Xt>，σt:=σ（t，Xt）=<σ，Xt>，（2.4），其中u：=（u，u，…，uN），σ：=（σ，σ，…，σN），每个i=1，2，…，σi>0，N和<·，·>表示RN中的内积。我们假设基础风险资产S的价格动态受马尔科夫调制的几何布朗运动控制：dSt=utStdt+σtStdWt，S=S.（2.5）3风险中性度量和欧洲风格的VanillaOption在本节中，我们描述了Elliott et al.（2005）在马尔科夫政权转换布莱克-斯科尔斯-默顿经济背景下引入的政权转换埃舍尔变换。这里我们将介绍Elliott等人的定价方法。

（2005）确定一个等价的鞅测度。每个t∈ T，设θT表示一个G（T）可测量的随机变量，它代表一个r egimeswitching Esscher参数，定义为：θT:=hθ，X（T）i，（3.1），其中θ：=（θ，θ，…，θN）′∈ R和θi，i=1，2，N∈ (-∞, ∞).设（θ·W）（t）：=RtθudWu，对于每个t∈ T定义G-a适应密度过程∧θ：={∧θ（t）|t∈ T}如下∧θ（T）：=e（θ·W）（T）e[e（θ·W）（T）| FX（T）]，T∈ T（3.2）这里E[·]代表P下的期望值。然后，将其应用于E（θ·W）（t）上的^o微分规则和FX（t）上的条件，E[E（θ·W）（t）|FX（t）]=expZtθudu. （3.3）所以∧θ（t）：=expZtθudWu-Ztθudu, T∈ T（3.4）自θi<∞, 对于每个i=1，2，N、 E经验ZTθtdt< ∞ .因此，Novikov条件是满足的，∧θ是（G，P）-鞅。因此，E[λθ（T）]=1。现在，我们定义了区域切换Esscher变换Qθ~ 与时间索引的埃舍尔参数族θ：={θT | T相关的G（T）上的P∈ T}通过设置：dQθdP:=∧（T）。（3.5）假设θ：={θt|t∈ T}表示风险中性状态切换参数的时间指数族。让我们：={St|t∈ T}表示风险股票的贴现价格，使得~St:=e-RtruduSt，每个t∈ T然后，通过考虑如下所示的放大过滤，给出了martinga-le条件：~Su=E ~θ[~St | G（u）]，对于任何t，u∈ T和T≥ u，P-a.s.，（3.6），其中E)θ[·]表示关于Q)θ的期望。通过设置u=0，S=Eθ[E-RtruduSt | FX（t）]，对于任何t∈ T，P-a.s.（3.7）设E（T）：=E∧θ[E-RtruduSt | FX（t）]，每t∈ T那么，E（t）几乎肯定是一个恒常变量，对于每一个t，在度量P（即，P（E（t）=S）=1）下取最确定的值∈ T）。当没有政权转换时，条件（3.7）与Gerber a和Shiu（1994）中提出的条件一致。Elliott等人已经证明了这一点。

（2005）鞅条件（3.7）在满足且仅当|θ满足|θt=rt时满足- utσt=NXi=1rt- uiσihX（t），eii，t∈ T（3.8）由于∞, 每个t∈ [0，T]，P-a.s.，诺维科夫条件经验ZT∧θtdt< ∞ ,所以∧θ是一个（G，P）-鞅，且∧θ（T）]=1。然后，通过设置：dQθdP=∧θθ（T）=exp来定义风险中性状态转换的Esscher变换QθZt俄罗斯- uuσudWu-Zt俄罗斯- uuσu杜. （3.9）然后，使用Girsanov定理，~Wt=Wt-Zt俄罗斯- uuσu杜特∈ T是关于G的标准布朗运动。我们假设W和X在Qθ下是独立的。然后，链X的概率定律在测度变化下是不变的。在Qθ下，潜在风险股票的价格动态由σ-场FW（t）的dst=rtStdt+σtStd＠Wt.（3.10）Write＠G（t）控制∨FX（T），每T∈ T然后，给定G（t），o pt离子V的条件价格为：V（t）=E＠θ[E]-RTtruduV（ST）|G（t）]。（3.11）给定St=s和X（t）=X，选项V的价格为：V（t，s，X）=E＠θ[E]-RTtruduV（ST）| ST=s，X（t）=X]。（3.12）设Vi:=V（t，s，ei），对于每个i=1，2，N、 写V：=（V，V，…，VN）′，所以V（t，s，x）=hV，xi。然后，Bu ffington和Elliott（200 2a，b）得出了以下制度转换Pdegovering期权价格的演变：=V（t，s，x）：- rtV+五、t+rts五、s+σts五、s+hV，Axi=0，（3.13），终端条件：V（T，s，x）=V（s）。（3.14）因此，如果X（t）：=ei（i=1，2，…，N），ut=ui，V（t，s，X）=V（t，s，ei）：=Vi，（3.15）和Vi（i=1，2，…，N）满足以下PDE系统：- 里维+六、t+ris六、s+σ是六、s+hV，Aeii=0，（3.16），终端条件：V（t，s，ei）=V（s），i=1，2，N

（3.17）4回望选项在本节中，我们现在转向政权转换模型中的回望选项。我们将采用上一节中规定的Qθ下风险股票的风险中性价格动态来评估回望期权的价格。特别是，我们考虑了政权转换模型下的浮动罢工回溯期权。该期权的收益是启动和到期期间的最高资产价格与到期时的资产价格之间的差异。截至时间t的资产价格的最大值用y（t）=max0表示≤U≤苏。（4.1）那么回望期权在到期时的支付T isV（T）=Y（T）-ST.（4.2）给定ST=s，Y（t）=Y和X（t）=X，回溯选项V的价格为：V（t，s，Y，X）=E~θ[E-RTtrudu（Y（T）- ST）| ST=s，Y（t）=Y，X（t）=X]。（4.3）将费曼-卡克公式应用于上述方程，则V（t，s，y，x）满足偏微分方程组（PDE）五、t+rts五、s+σts五、s- rtV+hV，Axi=0，（4.4）在{（t，s，y）区域；0≤ t<t，0≤ s≤ y} 满足边界条件sv（T，s，y，x）=f（s，y）=y- s、 0≤ s≤ y（4.5）五、y（t，y，y，x）=0，0≤ T≤ T、 因此，如果X（T）：=ei（i=1，2，…，N），uT=ui，V（T，s，y，X）=V（T，s，y，ei）：=Vi，（4.7）和Vi（i=1，2，…，N）满足以下PDE系统：- 里维+六、t+ris六、s+σ是六、s+hV，Aeii=0，（4.8），边界条件为：V（T，s，y，ei）=f（s，y）=y- s、 0≤ s≤ y、 i=1，2，N（4.9）五、y（t，y，y，ei）=0，0≤ T≤ T、 y>0，i=1，2，N.（4.10）5一个封闭形式的公式在本节中，为了简化我们的讨论，我们将自己限制在一个特殊情况下，其中N个区域的数量为2。利用同伦分析方法，我们得到了政权转换模型下的一个浮动打击回望期权的封闭形式解。

浮动走向回望期权的支付具有线性齐次性质：f（s，y）=sg自然对数Y（5.11）式中g（z）=ez- 1，z=lnY. （5.12）这种线性齐次性质连同变换z=ln（ys）和Ui=Vis，i=1，2将方程组（4.8）-（4.10）转化为LU（t，z）=aU（t，z）- U（t，z）, 0≤ T≤ T、 z>0U（T，z）=g（z）Uz（t，z）| z=0=0（5.13），其中=t+σZ- （r+σ）z（5.14）和LU（t，z）=aU（t，z）- U（t，z）, 0≤ T≤ T、 z>0U（T，z）=g（z）Uz（t，z）| z=0=0（5.15），其中=t+σZ- （r+σ）Z