算术亚式期权价格的递推公式

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英文标题：
《Recursive formula for arithmetic Asian option prices》
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作者：
Kyungsub Lee
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We derive a recursive formula for arithmetic Asian option prices with finite observation times in semimartingale models. The method is based on the relationship between the risk-neutral expectation of the quadratic variation of the return process and European option prices. The computation of arithmetic Asian option prices is straightforward whenever European option prices are available. Applications with numerical results under the Black-Scholes framework and the exponential L\\\'evy model are proposed.
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中文摘要：
在半鞅模型中，我们推导了有限观测时间的算术亚式期权价格的递推公式。该方法基于收益过程二次变化的风险中性预期与欧式期权价格之间的关系。只要有欧式期权价格，算术亚式期权价格的计算就很简单。文中给出了在Black-Scholes框架和指数LSevy模型下数值结果的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Recursive_formula_for_arithmetic_Asian_option_prices.pdf (160.44 KB)

2022-5-5 05:17:42 上传

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关键词：亚式期权 relationship Quantitative Applications expectation

算术亚式期权价格的递推公式*摘要在半鞅模型中，我们推导了具有有限观测时间的算术亚式期权价格的递推公式。该方法基于收益过程二次变化的风险中性预期与欧元期权价格之间的关系。当欧洲期权价格可用时，算术亚洲期权价格的计算非常简单。建议在BlackScholes框架和指数L’evy模型下应用数值结果。1引言算术亚式期权是一种金融衍生工具，其支付效果取决于标的资产价格的算术平均值和预先确定的观察时间。与标准的欧洲期权相比，亚洲期权在接近到期时对标的资产的操纵方面更为稳健。然而，没有已知的算术亚洲期权价格的封闭式公式。本文给出了算术亚式期权价格的递推公式，并基于二次变分法证明了这些价格与欧式期权价格一致。收益过程的二次变化（由s q uared returns之和的极限定义）在财务分析中起着至关重要的作用，因为它用于衡量收益分布的波动性和高风险。金融资产回报率的二次变量过程的一个最重要的特性是，固定时间段内变化的风险中性预期由欧洲期权价格合成。

因此，收益过程二次变化的风险中性预期由一个由加权欧式期权价格组成的积分公式计算。作为一个应用，Carr和Wu（2009）通过比较收益的已实现变化和变化的风险中性预期来计算期权隐含方差风险溢价。此外，Choe和Lee（2011）建立了一种新的方法来测量风险中性和物理概率下收益分布的高阶矩。它们表明，关于回报的二次变化过程，某一随机积分的风险中性预期由一个积分公式表示，其被积函数由欧洲期权组成*韩国大田KAIST数学科学系，305-701，电子邮件：klee@euclid.kaist.ac.kr，电话：+82-42-350-5709，传真：+82-42-350-2710价格。这个结果的一个有趣应用是算术亚式期权定价。我们演示了如何推导算术亚式期权价格的风险中性预期，这也是因为该价格与欧式期权价格一致。在以往推导算术亚式期权价格的研究中，存在使用几何亚式期权价格的近似解（Ruttiens，1990；Vorst，1992），使用近似分布的方法（Levy，1992；Turnbull and Wakeman，1991；Bouaziz et al.，1994），这些方法基于f-Fast Fourier trans-forttm（Carverhill and Clewlow，1990）和蒙特卡罗模拟技术（Kemna and Vorst，1990）。Vecer（2001）和Vecer（2002）解释了如何在基于偏微分方程方法的几何布朗运动模型中对连续和离散监测的亚洲期权进行定价。

Vecer和Xu（2004）推导出了一个亚式期权价格的积分微分方程，假设其最终价格过程遵循指数L’evy过程。Fouque和Han（2003）将Vecer（2001）和Vecer（2002）的工作扩展到随机波动率模型的情况。Bayraktar和Xing（2011）扩展了Vecer和Xu（2004）的工作，并演示了如何在跳跃扩散模型中实现亚式期权定价的数值近似方案。Shiraya和Takahashi（2011）在Heston和扩展的SABRstochastic波动率模型下提出了一个新的平均期权定价近似公式。Chang和Tsao（2011）使用中央χ分布作为真实分布的代理，得出了亚洲期权估值的近似公式。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们推导了算术亚式期权定价的递推公式。第3节给出了BlackScholes框架和指数L’evy模型的数值结果。在第四部分中，我们总结了本文。2递归公式在本文中，我们引入了一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 P）具有时间索引集[0，T*] 对于一些固定的T*> 0.我们有一个过滤{Ft}t∈[0，T*]英国《金融时报》在哪里*= F.度量是物理概率度量。本文介绍的所有过程都定义在概率空间上，并且这些过程都适用于过滤。让我们来看一个基础资产价格过程。假设存在一个等价的风险中性测度Q，且每个贴现资产价格过程都是鞅。此外，我们假设S是一个马尔可夫过程。为简单起见，假设瞬时利率r在时间间隔[0，T]内为常数*]. 我们有N个观察时间0<T<··<TN=T≤ T*对于算术亚洲选项。设τn=Tn- Tn-1，n=1。

，N其中t=0。对于每个n=1，N我们确定期货价格F（N）t=eTn-tStfor 0≤ T≤ Tn，也就是说，在时间t的未来，随着时间t的成熟，F（n）是0的Q-鞅≤ T≤ Tn.现在我们定义了到期日为Tn，1的欧洲看涨期权价格函数≤ N≤ N.定义1。对于Tn-1.≤ t<Tn，设c（n）t（x，K）和dp（n）t（x，K）分别为t时刻的欧式看涨期权和看跌期权价格，作为t时刻现货价格x和到期日为Tn的履约价格K的函数。下标t表示当前时间，上标（n）表示到期时间。换句话说，c（n）t（St，K）=EQhe-r（Tn）-t） （STn）- （K）+Fti，p（n）t（St，K）=EQhe-r（Tn）-t） （K）- STn）+Fti。此外，我们定义了φ（n）t（x，K）=（p（n）t（x，K），0<K≤ er（Tn）-t） x，c（n）t（x，K），er（Tn）-t） x<K<∞.为了简化符号，当t=Tn时-1，我们省略了c（n）t，p（n）和φ（n）t的下标t。换句话说，c（n）=c（n）Tn-1对于p和φ也是如此。对于随机过程X，X的二次变化过程定义为[X]t=Xt- 2ZtXudXu。注意，对于在[0，t]上的一个划分πn序列，我们有[X]t=lim | |πn||→0Xi（Xti- Xti-1） 很可能。有关二次变化的详细信息，请参见Protter（2004）。首先，我们考虑一个具有连续标的资产价格过程的算术亚式期权价格。以下结果在Choe and Lee（2011）和Lee（2012）中介绍。引理1。L et X是一个连续的过程。对于具有反导函数g（x）的连续函数g（x），我们有Ztug（Xs）d[x]s=2Ztu（G（Xu）- zxTx（xTx+xSg）- K） dK= 2.Zt（G（Xu）- G（Xs））dXs+ZXug（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xug（K）（Xt）-K） +dK,为了0≤ U≤ T≤ T证据

如果f是两次连续可微的，那么通过它的引理，f（Xt）=f（Xu）+Ztuf′（Xs）dXs+Ztuf′（Xs）d[X]和泰勒定理，其积分形式为r（Xt）=f（Xu）+f′（Xu）（Xt）- Xu）+ZXtXuf′（K）（Xt）- K） dK=f（Xu）+f′（Xu）（Xt）- Xu）+ZXuf′（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xuf′（K）（Xt）-K） +dK。通过比较上述方程，我们得到了ztuf′（Xs）d[X]s=2Ztu（f′（Xu）- f′（Xs））dXs+ZXtXuf′（K）（Xt- K） dK= 2.Ztu（f′（Xu）- f′（Xs））dXs+ZXuf′（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xuf′（K）（Xt）- K） +dK.最后，用g代替f′，我们得到了期望的结果。让LQ，[Y]（[s，t]×Ohm) 表示适应随机过程X的空间，使得ZtsXud[Y]u财政司司长< ∞. a、 在这个条件下，我们保证X关于Q鞅Y的随机积分是Q鞅。有关详细信息，请参考Kuo（2006）。定理2。对于连续函数g（x）及其反导数g（x），ifGF（n）∈ LQ[F（n）]（[Tn-1，Tn]×Ohm),那么Tn呢-1.≤ t<Tn，EQZTntgF（n）sdhF（n）是英尺= 2er（Tn）-t） Z∞g（K）φ（n）t（St，K）dk.证明。引理1，ZTntgF（n）sdhF（n）is=2ZTntGF（n）t- GF（n）sdF（n）s+ZF（n）tg（K）K- F（n）Tn+dK+Z∞F（n）tg（K）F（n）Tn- K+dK！=2.ZTntGF（n）t- GF（n）sdF（n）s+ZF（n）tg（K）（K）- STn）+dK+Z∞F（n）tg（K）（STn）-K） +dK！。将Q-期望应用于Ft，我们得到了积分公式。推论3。对于两次连续可微函数g（x），ifdgdxF（n）∈ LQ[F（n）]（[Tn-1，Tn]×Ohm),那么Tn呢-1.≤ t<Tn，EQhgF（n）TnFti=gF（n）t+ er（Tn）-t） Z∞Gx（K）φ（n）t（St，K）dKor相等，等式[g（STn）| Ft]=ger（Tn）-t） 圣+ er（Tn）-t） Z∞Gx（K）φ（n）t（St，K）dK。证据应用^o引理，我们得到了F（n）Tn= GF（n）t+ZTntdgdxF（n）sdF（n）s+ZTntdgdxF（n）sdhF（n）是并应用定理2。现在我们假设基础价格过程是一个半鞅，因此这个过程可以是不连续的。对于不连续的价格过程，我们得到了类似的结果。

我们有以下内容，而不是形式1。引理4。设xC是X的连续部分。如果g是一个连续函数，其反导函数g和二次反导函数g，则ztug（Xs-)d[Xc]s+2Xu≤s≤t[\'G（Xs）- XsG（Xs-)]= 2.Ztu（G（Xu）- zxTx（xTx+xSg）- K） dK= 2.Ztu（G（Xu）- G（Xs））dXs+ZXug（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xug（K）（Xt）- K） +dK.证据如果f是两次连续可微的，那么通过半鞅的^o引理，f（Xt）=f（Xu）+Ztuf′（Xs-)dXs+Ztuf′（Xs-)d[Xc]s+Xu<s≤t[f（Xs）- Xsf′（Xs-)]利用泰勒定理，余项的积分形式为f（Xt）=f（Xu）+f′（Xu）（Xt）- Xu）+ZXtXuf′（K）（Xt）- K） dK=f（Xu）+f′（Xu）（Xt）- Xu）+ZXuf′（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xuf′（K）（Xt）-K） +dK。通过比较上述方程，我们得到了ztuf′（Xs-)d[Xc]s+2Xu≤s≤t[f（Xs）- Xsf′（Xs-)]= 2.Ztu（f′（Xu）- f′（Xs））dXs+ZXtXuf′（K）（Xt- K） dK= 2.Ztu（f′（Xu）- f′（Xs））dXs+ZXuf′（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xuf′（K）（Xt）- K） +dK.最后，用g代替f′，我们得到了期望的结果。定理5。对于具有反导数g和二次反导数g的连续函数g，我们有ZTntgF（n）s-dhF（n）cis+2Xt<s≤总氮[\'G（Fs）-\'G（Fs-) - FsG（财政司司长）-)]F（n）t= 2er（Tn）-t） Z∞g（K）φ（n）t（St，K）d kfortn-1.≤ 证明。对引理4的结果进行Q-期望，X=F（n）。对于一个半鞅过程，我们得到了与推论3相同的结果。推论6。假设标的股票价格S是一个半鞅。对于双连续可微函数g（x），如果g′（F（n））∈ LQ，[（Fc）（n）]（[Tn-1，Tn]×Ohm), 然后是福顿-1.≤ t<Tn，EQhgF（n）TnFti=gF（n）t+ er（Tn）-t） Z∞dgdx（K）φ（n）t（St，K）dKor，EQ[g（STn）| Ft]=ger（Tn）-t） 圣+ er（Tn）-t） Z∞dgdx（K）φ（n）t（St，K）dk.证明。应用半鞅的^o引理和定理5。现在我们有了以下关于亚式期权价格的递推公式的定理。定理7。

一个人≤ N≤ N- 2，负（n）（x，…，xn）=e-rτn+1g（n+1）（x，…，xn，erτn+1xn）+Z∞g（n+1）xn+1（x，…，xn，K）φ（n+1）（xn，K）dKandg（n）-1） （x，…，xN）-1） =Nc（N）xN-1.N.E-N-1Xi=1Xi！{PN-1i=1xi<NE}+e-rτNN-1Xi=1Xi+xN-1.- 氖！{PN-1i=1xi≥不！。假设g（n）是连续的，与xnand相对应的g（n）xn圣，STN-1，F（n）∈ LQ[F（n）]（[Tn-1，Tn]×Ohm)一个人≤ N≤ N-1.然后是在时间0时对亚式期权支付的贴现风险中性预期≤ t<t由eqt“e”给出-r（T）-t） NNXi=1STi- E！#=E-r（T）-t） g（1）呃(T)-t） 圣+Z∞dg（1）dx（K）φ（1）t（St，K）dk证明。注意等式“e”-rτNPNi=1STiN- E+FTN-1#=Nc（N）STN-1.N.E-N-1Xi=1STi！{PN-1i=1STi<NE}+e-rτNN-1Xi=1STi+STN-1.- 氖！{PN-1i=1STi≥不=Nc（N）erτNSTN-1.N.E-N-1Xi=1STi！{PN-1i=1STi<NE}+e-rτNN-1Xi=1STi+STN-1.- 氖！{PN-1i=1STi≥嗯！=g（N）-1)圣，STN-1..此外，根据推论6，我们有-rτN-1g（N-1)圣，STN-1.FTN-2i=e-rτN-1g（N-1)圣，STN-2，erτN-1STN-2.+Z∞g（N）-1)xN-1.圣，STN-2，Kφ（N）-1)STN-2，KdK。递归地应用结果，我们得到了期望的结果。解决期权价格问题的一个好处是，我们可以很容易地计算出这些灵敏度。推论8。亚式期权在时间0时的增量≤ t<Tist=dg（1）dx呃(T)-t） 圣+ 呃(T)-t） Z∞dg（1）dx（K）φ（1）tx（St，K）d K.证明。通过区分期权价格与基础价格，我们得到了预期结果。备注9。在定理7中，函数gn（x，…，xn）表示期权价格与给定观察到的基础价格x，…，的时间，xnat T，分别是Tn。福顿≤ t<Tn+1时，t时的亚洲看涨期权价格表示为另一个亚洲看涨期权价格。那个isEQE-r（TN）-t） NNXi=1STi-E+英尺=N- nNEQE-r（TN）-t） N- nNXi=n+1STi- 嗯+英尺wheren=NE-Pni=1STiN- n、 例1。

考虑一个在Black-Scholes框架下有两个观察时间的算术亚式期权。在此假设下，算术期权价格由一个积分公式表示。我们有g（1）（x）=c（2）（x，2E）- x） 1{x<2E}+e-rτ（x）- E） 1{x≥2E}。和dg（1）dx（x）=c（2）x（x，2E）- 十）-c（2）K（x，2E）- x） !！{x<2E}+e-rτ{x≥2E}和dg（1）dx（x）=c（2）x（x，2E）- 十）+c（2）K（x，2E）- 十）-2.c（2）十、K（x，2E）- x） !！{x<2E}。注意，在该框架下，欧洲看涨期权价格isc（2）（x，K）=xN（d（x，K））- 柯-rτN（d（x，K）），其中N是标准的正常c.d.f.，d（x，K）=logxK+r+στσ√τ、 d（x，K）=d（x，K）- σ√τ.自从c（2）x（x，K）=N（d（x，K）），c（2）K（x，K）=-E-rτN（d（x，K）），c（2）x（x，K）=N′（d（x，K））xσ√τ=xσ√2πτexp-d（x，K）,c（2）K（x，K）=e-rτN′（d（x，K））Kσ√τ=τ-rτKσ√2πτexp-d（x，K）,c（2）十、K（x，K）=-E-rτN′（d（x，K））Kσ√τ= -E-rτKσ√2πτexp-d（x，K）,我们有dg（1）dx（x）=2σ√2πτxexp-d（x，2E）- 十）+E-rτ2E- xexp-d（x，2E）- 十）+2e-rτ2E- xexp-d（x，2E- 十）{x<2E}。因此，亚式期权在0时的价格≤ t<TisEQ“e-r（T）-（t）ST+ST- E+英尺#=e-r（T）-（t）c（2）呃(T)-t） St，2E- 呃(T)-t） 圣{er（T）-t） St<2E}+e-rτ呃(T)-t） 圣- E{er（T）-t） 圣≥2E}+2σ√2πτZ2EKexp-d（K，2E）- （K）+E-rτ2E- Kexp-d（K，2E）- （K）+2e-rτ2E- Kexp-d（K，2E）- （K）φ（1）t（St，K）dK。要处理观察次数众多的算术亚式期权价格，最好使用下一个结果。对于简单性，在下一个定理中，假设τ=τ≤ N≤ N、 即平均分布的观察时间。定理10。让“A”(l)（w） ,，-∞ < w<∞, 表示算术亚式期权价格l-观察时间，当前s锅价格1，罢工p米w，然后“A”(l)（w）=(l - 1)l“A(l-1)Wl - erτerτ(l - 1)+Z∞WlK(l - 1)“A(l-1)WWl - KK(l - 1)φ（1，K）dk，其中A（1）（w）=c（1，w）1{w>0}+（1）- E-rτw）1{w≤0}.证据我们可以把g（n）改写为（Pn）的二维函数-1i=1xi，xn）。

注9，g（n）n-1Xi=1Xi，xn=xn（N）- n） n\'A（n-n）氖-Pni=1xixn（N- n）.注意g（n）xn（u，xn）=（NE- u） xnN（N）-n）’A（N）-n）W氖- U- xnxn（N）- n）其中u=Pn-1i=1xi。通过定义g（n），xn（n-n） n\'A（n-n）氖-Pni=1xixn（N- n）=xn（N）- N- 1） N\'A（N-N-1)氖-Pni=1xi- erτxnerτxn（N- N- 1)+Z∞（东北）-Pni=1xi）KN（N-N- 1)’A（N）-N-1)W氖-Pni=1xi- KK（N）- N- 1)φ（xn，K）dK。设置xn=1，我们有¨A（N-n）氖-Pni=1xi（N- n）=N-N-1N- n\'A（n-N-1)氖-Pni=1xi- erτerτ（N）- N- 1)+Z∞（东北）-Pni=1xi）K（N-n） （n）- N- 1)’A（N）-N-1)W氖-Pni=1xi-KK（N）-N- 1)φ（1，K）dK。Putw=NE-Pni=1xiN- n、 然后A（n-n） （w）=（n）- N- 1） （N）- n） ’A（n）-N-1)w（N）- n）- erτerτ（N）- N- 1)+Z∞w（N）- n） K（n）- N- 1)’A（N）-N-1)Ww（N）- n）- KK（N）-N- 1)φ（1，K）dk和通过设置l = N- n、 我们完成了证明。3数值结果3。1 Black-Scholes模型在本小节中，我们考虑具有几何布朗运动的算术亚式期权价格。对于数值计算，我们应用定理10。首先，我们在合理的罢工线上计算A（1）（w），例如w∈ （0,2），步长为0.0025，并计算其二阶导数。第二个导数由原始函数值的差来近似。接下来，我们用第10章中的数值积分公式计算走向层位上的A（2）（w）。对于数值积分，走向范围设定为0.01至2 w，步长为0.001，并应用辛普森规则。我们重复同样的过程，直到得到A（90）（w），并根据当前现货价格调整期权价值。数值结果如表1所示，其中S=100，σ=0.2，r=0.05，τ=1天，TN=90天。我们报告了2×10路径的蒙特卡罗模拟结果作为比较。我们还报告了基于Vecer（2001）的偏微分方程方法的结果。