金融的新兴量子力学

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Emergent quantum mechanics of finances》
---
作者：
Vadim Nastasiuk
---
最新提交年份：
2013
---
英文摘要：
  This paper is an attempt at understanding the quantum-like dynamics of financial markets in terms of non-differentiable price-time continuum having fractal properties. The main steps of this development are the statistical scaling, the non-differentiability hypothesis, and the equations of motion entailed by this hypothesis. From perspective of the proposed theory the dynamics of S&P500 index are analyzed.
---
中文摘要：
本文试图从具有分形性质的不可微价格-时间连续统的角度来理解金融市场的量子动力学。这一发展的主要步骤是统计标度、不可微性假设以及该假设所包含的运动方程。从该理论的角度分析了标准普尔500指数的动态变化。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
--> Emergent_quantum_mechanics_of_finances.pdf (109.05 KB)

2022-5-5 06:59:12 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：量子力学 Quantitative Applications Econophysics Statistical

金融的涌现量子力学Vadim A.Nastasiuk*南乌克兰国立师范大学，Staroportorofrankivska街，26号，敖德萨，乌克兰65020摘要本文试图从具有分形性质的非可微价格-时间连续统的角度来理解金融市场的量子动力学。这一发展的主要步骤是统计标度、不可微性假设以及该假设所包含的运动方程。从提出的理论出发，分析了标准普尔500指数的动态变化。关键词：经济物理学、金融市场、统计标度、分形、薛定谔方程1。引言在过去的几十年里，人们对如何将量子力学应用于金融市场进行了大量研究，尤其是二级金融市场（参见[1-8]和书[9]，以及arxiv.org上的许多出版物）。不幸的是，量子金融理论的构建往往简化为薛定谔方程的简单假设，以及在某些进入条件下的后续解。同时，市场的基本属性使得价格路径类似于微观粒子的轨迹，即不考虑分形。我们将参考费曼的研究[10]和工作结果[11]，这些研究表明，量子粒子的典型轨迹是连续的，但不可微分，并且可以在小长度尺度下以分维D=2为特征。众所周知，这是布朗运动的分形维数，或者从数学角度来看，是维纳过程。在他那个时代，纳尔逊假设[12]任何粒子都会受到未知起源的布朗运动的影响。这一假设使他以一种自然的方式得出了薛定谔方程，但完全采用了经典的物理解释。

后来，诺特尔在一系列著作[13-16]和书[17]中提出了物理定律的尺度不变性的概念，将分形的性质归因于时空连续统，从而将量子力学作为小尺度下空间不可微性的一种表现形式。在金融数学中，普遍认为价格时间序列构成了维纳过程的某种变形。记住Nelson的假设，我们可以正确地假设依赖于某个机械系统的价格轨迹，并试图揭示其动力学规律。本文追溯了诺特尔形式主义的主要步骤，揭示了价格动力学是量子性质的，主方程是Shr¨odinger方程。2.统计标度金融市场具有统计标度或分形的性质，反映在其部分与整个对象的结构“相同”。例如，如果等时间间隔τ的对数收益（价格对数的差异）具有概率密度p（ξ，τ），那么时间间隔kτ，k>0的对数收益值将服从分布[18]p（kHξ，kτ）=k-Hp（ξ，τ）。（1） 这里H是赫斯特指数，倒数值，D=1/H被称为统计分形维数。*电话：+380487347896电子邮件地址：nasa@i.ua（Vadim A.Nastasiuk）于2013年12月12日提交给爱思唯尔的预印本在大多数市场上都可以观察到缩放（1）。当估计数H接近1/2（D=2）时，几何（经济）随机游动近似[20]是有效的：对数价格收益序列似乎是一组独立的正态分布随机数，平均值和标准偏差为零（波动性）∝ τH.该过程的连续修正称为布朗运动或维纳过程。

该模型对应于著名的有效市场假说，其基础是假设价格同时吸收所有当前经济信息，只有在新信息出现时才会发生变化。如今，几何布朗运动仅被视为真实数据中观察到的第一个近似值。指数H显示许多市场的系统性超过1/2（D<2）[21]，因此，经验波动率对τ的依赖性更强，这通常与价格序列中出现的“记忆”或持久性有关。记忆效应与价格递减的绝对值（或平方）相关，而价格递减的绝对值（或平方）正相关。价格变化的非线性函数中存在的长期相关性表明，除了价格变化本身，还必须有一个更基本的（可能是随机的）过程，这通常归因于波动性。波动的非平稳性在一定程度上解释了经验分布的高瘦肉症（窄尾、大尾和肥尾）。相关统计模型的概述见本书[19]。在这个问题上并没有普遍共识，随机过程更充分地描述了金融市场。但很明显，在任何情况下，规模都应该出现在人们打算构建的价格运动基本方程中。3.无差异性时间x（t）的连续函数所描述的价格的当前位置由一组连续的增量dx=dx+dξ（2）定义，以其平均值dx=<dx>和与平均值dξ（例如<dξ>=0）对应的函数来表示。分辨率取决于时间。根据第2节和维纳对随机函数的定义[22]，依赖性为ξ∝ dt1/D。

（3） 其中，微分元素dt与时间分辨率τ一致。这让我们回到已知的布朗轨迹不可微性问题[18,22]。导数dDTF（t）=limdt的两个定义→0+f（t+dt）- f（t）dt=limdt→0+f（t）- f（t）- dt）dt，在可区分的情况下是等效的，在不可区分的情况下失败，因为限制不再确定。因此，为了讨论随机过程的运动学，我们需要一个导数的替代品。在尺度相关性[15]的框架中，标准函数f（t）被显式依赖于时间分辨率间隔的分形函数f（t，dt）取代。因此，其中一个定义了两个新的导数ESD+dtf（t，dt）=f（t+dt）- f（t）dt，d-dtf（t）=f（t）- f（t）- dt）dt，其中过渡dt→ 仍然考虑0，但没有达到标准微积分中dt=0的极限（目前尚未定义）。当应用于价格坐标时，这些定义会产生一对分形速度d±X（t，dt）/dt，每一个都会根据平均部分v±=*d±Xdt+，（4）进行分解，它们是可区分的，独立于分辨率，以及依赖于标度的波动部分。这两个经典速度v±v没有先验的理由是相等的。所以，用等式。（2） ，（3）和（4）一起，我们考虑了两个不同的随机过程dx±=v±dt+dξ±。在这两种情况下，dξ的平均值均应为零，相互独立，因此hdξ±i=±2D（dt）2/d，（5）其中d是维度上的扩散系数。

（注意，特定类型的统计分布（1）不是必需的；我们只假设它的第二个瞬间是真实的）。因此，与标准描述相比，描述系统所需的信息增加了一倍。Nottale[14]提出的解释这种加倍的简单方法是使用复数，并将两个导数（4）组合在一个复导数运算符中，^ddt=*（d++d）-) - i（d）+- D-)2dt+，（6）将等式（6）的算子应用于位置向量，产生复数速度V=^ddtx（t）=V- iU=v++v-- 四+- 五、-.值V的实部V代表经典平均速度，而虚部U则是由不可微性产生的新量。在D=2的特殊情况下，我们可以利用已知的It^o引理[25]，将一些光滑函数f（x（t），t）的微分展开为二阶，在平均这对导数后计算：*D±fdt+=t+v± ±D!f、 （7）在这里，对于一维价格空间，符号 和 简单地分别表示一阶导数和二阶导数。下一步，将（7）代入（6），得到时间导数的最终表达式：^ddt=t+V - 身份证件. （8） 正如我们所看到的，对不可微性的解释需要用新的复数运算符替换标准时间导数（8）。注意，项D中的纯二阶导数算子 f是二维分形的结果。在第7节将讨论的D，2的情况下，我们得到了一个明确的尺度依赖行为：Dτ（2/D）-1. f[13].4。金融薛定谔方程现在引入一个力函数Φ，我们写的运动方程是牛顿-欧拉形式：^ddtV≡t+V - 身份证件!V=-MΦ. （9） 通过这样做，我们默认价格动态是牛顿的，对于复拉格朗日[13]所考虑的最小作用原理是公平的。

我们还假设存在非随机函数Φ，并描述保守力的影响。这些力量来源于全球经济环境，并描述了特定市场运行的条件。下一步，我们可以将等式（9）分成实部和虚部：m电视- DU+（V·)五、- （U·)你！=-Φ，m屠- DV+（V·)U+（U·)V！=并在给定的实数Φ下，原则上求解得到的水动力方程组，但我们对可能的边界条件一无所知。接下来我们进行替换v=-2iD（lnψ）（10）在（9）中，经过一些代数变换[13]得到方程Dψ+iDtψ-Φ2mψ=0（11），如果用~/2m代替D，则取标准薛定谔方程形式：i~ψt=-~2米ψ + Φψ. （12） 得到的表达式（11）和（12）描述了复杂速度场潜在lnψ的价格动态。引入该潜力的可能性本身是基本金融潜力假设的结果。关系式D=~/2m（13）允许我们考虑与扩散成反比的资产惯性质量m。这里的常数是维度纵横比。很难从财务角度对m给出明确的解释。我们只强调低波动性（大“质量”）涉及高流动性。市场流动性是指资产在不引起重大价格变动且价值损失最小的情况下出售的能力。价格上涨幅度很小——当买入订单量和卖出订单量接近平衡时，市场将保持稳定。要做到这一点，具有不同投资视野的参与者必须在场。由于视野不同，且相差一百万倍，经济主体做出不同的决定（购买或出售）。

如果市场让投资者失去了不同的投资期限，那么流动性和稳定性就会降低。现代金融理论中没有市场流动性或稳定性的数值特征。这个角色的候选人可能是大众。根据（5），价格波动的平均二次速度为hvi≈ h（δx/δt）i=2D/δt，相应的能量表示为ε=mhvi/2≈ mD/δt。考虑到（13），并将时间间隔δt与时间分辨率τ相关联，我们得出了财务不确定性关系：ε·τ≈ ~/2.（14）因此，波动能量与时间间隔成反比。在量子力学中，零时间分辨率区间的传递没有物理意义（进行测量需要有限的能量）。在观察市场时，我们面临着一个不同的问题。用连续（τ）→ 0）观察价格看起来完全不同。固体轨迹消失了，我们只能看到滴答声（几乎）瞬间（带v）→ ∞) 改变。换句话说，价格在一段时间内保持其价值，然后下降。财务指标行为的这种高频模式消失，我们回到过渡到有限周期τ>0的连续路径。滴答声的统计数据需要另一种考虑[18]，这里不进行分析。5.回到经典力学在目前的方法中，我们在不引入概率密度的情况下得到了薛定谔方程。现在我们的理论必须通过统计解释来完成。ψ=A exp形式的ψ-函数的逆代换i~S（15） 转化为公式（10）给定SV=S/m（16）使得将S解释为经典动作成为可能。Schr¨odinger公式（12）中变量的相同替换产生了Bohm-Madelung方程组[26,27]：A.t=-2米[A]S+2A·[S]，-st=(S）2m+Φ-~2米AA。（17） 第一个等式。

（17） 由于（16）被转化为连续性方程：Pt=-（P·V）（18）对于函数P（x，t）=A=ψ*这可以解释为在一维价格空间的某个位置发现价格点的概率密度。根据（18），概率密度随电流速度v=S/m.（17）的第二个比值只不过是哈密顿-雅可比方程，其中嵌入了波姆形式的量子势[26]：Q=-~2米AA。与外力函数Φ相反，依赖于概率振幅的量子势必须反映交易者预期或解释[5]和[4]时的“心理ψ场”的影响。由于现代电子通信，金融代理人几乎可以立即获知所有价格变动，这可能会改变他们对市场的看法，即进行反过来影响报价的交易。波姆解释中的微粒波二象性是这种递归相互作用的量子模拟。我们还可以对通过函数U=D表达的势Q给出相当“经典”的解释P/Pit采用公式Q=-穆- 医学博士U的平均值Hqi=Zmupdx，其形式为能量，除平均外电势外。根据爱因斯坦的布朗运动理论（见[12]），这种能量是粒子在与外力平衡时获得的，用来平衡神的力量。我们可以称之为渗透速度。在我们的财务解释中，渗透压是由交易者订单总量的不平衡造成的。6.财务潜力全球财务潜力Φ在很长一段时间内似乎是恒定的。如果是这样的话，我们就有了固定的量子力学任务-S/t=E=const，平均速度V=S/m等于零。然后，薛定谔方程将tom（Φ- E） =2D√P√P

（19） 在这一点上，我们有机会从“实验”数据中提取潜在的Φ（x）（或相同的，估计渗透影响）。我们考虑了标准普尔500指数，并计算了两个时间图1的概率P（x）：标准普尔500指数区间：1997年至2002年和2003年至2008年（图1）。选定的时段包括长期上涨和下跌，分别包含327和311个交易周。（完整的数据集可在www.yahoo.com上获得）。研究发现，特定时期的差异分别为00169和00136。为了构造P（x），我们将选定的间隔划分为19个部分，并计算每个特定框中的时间步数。在无花果上。2和3 x位置是水平绘制的，出现的次数是垂直绘制的。直方图给出了我们的计数结果。图2：函数2D√P/√1997-2002年间标准普尔500指数的P（实线）与相应的分布P（x）（柱状图）。概率平方根的二阶导数计算为y“=（xk+1- 2xk+xk-1)/x、 与x=0.04如图1所示，在这两段时间内，现货价格均未超出价格范围（600；1600）$。所以我们可以假设势阱。然后，将P代入式（19）（图2和图3中的实线）的结果应视为井型的粗略估计。在这里，我们实际上解决了量子力学的返回问题，但不能完全准确地定义“散射”势，因为测试次数仅限于一次。它出现在无花果上。2和3考虑的两个时间间隔的井底振荡周期均为0,08。振荡的次数大致相同，但振荡的位置发生了移动。