费希尔信息与金融量子力学模型

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英文标题：
《Fisher information and quantum mechanical models for finance》
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作者：
Vadim Nastasiuk
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The probability distribution function (PDF) for prices on financial markets is derived by extremization of Fisher information. It is shown how on that basis the quantum-like description for financial markets arises and different financial market models are mapped by quantum mechanical ones.
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中文摘要：
金融市场价格的概率分布函数（PDF）是通过费舍尔信息的极值化得到的。本文展示了在这个基础上，金融市场的类量子描述是如何产生的，不同的金融市场模型是如何被量子力学模型映射的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Fisher_information_and_quantum_mechanical_models_for_finance.pdf (101.02 KB)

2022-5-8 19:44:04 上传

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关键词：量子力学 费希尔 Econophysics Quantitative Applications

Fisher信息和金融量子力学模型。A.乌克兰国立师范大学纳斯塔苏克斯南方分校，Staroportorofrankivska街，26号，敖德萨，乌克兰65020摘要金融市场价格的概率分布函数（PDF）是通过对投资者信息进行极值化而得出的。本文展示了如何在此基础上，对金融市场进行类似量子的描述，并将不同的金融市场模型映射为量子力学模型。关键词：费希尔信息、量子金融1。引言这项工作讨论了费希尔变分原理[1]在金融市场等现象中的应用。这些全球结构被视为复杂的系统，因此，应使用统计力学和理论物理的工具和方法进行建模。不同市场（股票、商品、外汇等）的完整统计特征包括PDF评估等重要方面。目前正在尝试开发最令人满意的随机模型，描述实证分析中遇到的主要特征[2]；价格回报的非高斯形状是其中一个常见的主题。第二个领域涉及理论模型的开发，该模型能够涵盖真实金融系统的基本特征，其特征是PDF。金融经济学借鉴了统计物理学[3]的成果，除了统计力学描述之外，量子力学表示也出现了[4]–[8]。不幸的是，金融量子理论的构造往往简化为薛定谔方程的直接假设，以及在某些进入条件下的后续解。

这封信的目的是为了说明量子力学框架是如何从费希尔信息中自然推导出来的，从而为金融经济学提供一个全面的基础。15在许多应用中，一种非常常见的费希尔技术用费希尔信息测度代替熵（参见[9]–[12]和其中的参考文献列表）。但是，与以固定指数形式求解的最大熵问题相比，最小化（极值化）Fisher信息函数导致了Schr¨odinger型二阶微分方程，其解表现出多种数学形式。塑造薛定谔方程中的势函数，我们给出一些“物理”来解释。然后，解决方案的具体选择必须考虑到经验统计分布的主要特征。2.极值费舍尔信息法众所周知，金融市场上的价格随机变化，平均值接近相同。根据通过固定时间间隔获得的价格变化序列x（财务分析中常用的对数回报），并估计其PDF p（x），我们可以确定离散度σ=h（x- hxi）25次观察，或市场波动。费舍尔信息测度[9]I=Zdxp（x）d ln p（x）dx= 4Zdxdψ（x）dx(1)*相应的authorEmail地址：nasa@i.ua（V.A.Nastasiuk）2021年6月23日提交给《物理快报》A的预印本（ψ（x）≡根据Cramer-Rao不等式[13]σ·I，pp（x））作为色散的下界出现≥ 1，从而作为价格下降的质量指标。假设金融系统状态还可以用平均值fk=Zdxfk（x）p（x），k=1。。。，M、 （2）某些M函数的fk（x）。可测量值的集合（2）构成关于系统的可用经验信息。

如果没有其他来源的信息，每个PDF的静态时刻可以被视为Fk。在这种情况下，re vant PDF ex Tremezies I受先前条件（2）[1]，[9]的约束。Norma-liz-srdxp（x）=1，基于Fisher的极值问题采用δpI[p]的形式- Zdxp（x）-MXk=1λkZdxfk（x）p（x）！=0（3）与（M+1）拉格朗日乘子和λk，其可能的财务意义在问题的特定公式下得到澄清（通过一组特定的函数fk（x））。35变化（3）现在产生振幅ψ（x）的薛定谔方程[1]：-ψ′′-MXkλkfk（x）ψ（x）=ψ（x），（4），其中乘法器E=/8显然起到了能量本征值的作用。显然，对函数集fk（x）的选择（其均值可以检测）完全定义了等式（4）解和PDF的数学形式，从而定义了金融系统的物理模型。403.金融量子振荡器如果我们对被调查系统的先验知识仅限于功率矩sfk=hfki=xk, （5） 在Schr¨odinge r方程（4）中引入mannerU（x）中的势函数-MXkλkxk（6）这是可能的，因为U（x）属于陆地，因此允许x、x、x等的一系列扩展[14]。通常情况下，应保持在势函数（6）中的项数M，以及相应的时刻45，足以接近目标分布，取决于特定的分布。对于以零为中心的分配函数，第一刻退出。如果在表达式（6）中只保留第二项，则得到量子谐振子方程-ψ′′+ωxψ=Eψ（7），频率ω=p |λ|/2，能谱n=ωn+.经验价格收益分布通常是单峰的。

因此，在多重振子的seigenfunctions[15]（其中Hn（x）为厄米多项式）中，50ψn（x）=snn！rωπHn(√ωx）e-1/2ωx，（8）必须选择基态解n=0，它没有节点。这个产量sp（x）=（ψ）=rωπe-ωx.（9）它是色散σ的高斯分布≡十、= (2ω)-1=（4E）-1.金融理论通常将正常PDF视为在实证数据中观察到的数据的第一个近似值。为了考虑到与正态的微小偏差，我们可以在展开式中保留更多的项（6）。在第三和第四时刻，我们来讨论非谐振荡器的问题：55-ψ′′+ωx+ε(√ωx）+ε(√ωx）ψ=Eψ。（10） （此处重新命名λ=-8εω3/2和λ=-8εω）。在量子力学微扰理论的框架下（当系数ε和ε足够小时），我们感兴趣的n=0的本征函数可以写成[16]ψ（x）=ψ（x）+Xm6=0m |ε(√ωx）+ε(√ωx）|0相对长度单位- Eψm（x）+。。。（11） 作为标准计算的结果，我们在第一个近似值中获得了扰动圆态的波函数60ψ（x）=ωπE-ωx1.-εω-2ε√ωx+εx+√ωεx-ωεx. （12） 相应地，近似分布函数的形式为p（x）=（ψ（x））=rωπe-ωxC（x；ω，ε，ε）（13），其中八次多项式是（12）中括号内表达式的平方。未知参数ω，ε，ε将通过拟合（13）在经验曲线下进行评估。4.Delta势和高轻量级Urtosis尽管文献中没有完全一致的数值分布的实际形状，但一些模型成功地利用了幂律尾PDF的思想（参见参考文献）。

在[2]和[17]中。事实是，虽然经验回归分布是单峰且近似对称的，但通常发现它们表现出相当大的瘦素性荨麻疹，也就是说，与具有相同方差的苏联相比，它们在中心的峰值更高，尾巴更肥。试图用函数（13）拟合这样的PDF曲线并不能得到令人满意的结果。因此，信息势U（x）需要修改。方电位70Wellu（x）=-λ、 |x|≤ a0，| x |>a（14）似乎是一个比抛物线更好的选择。在具有位势（14）的薛定谔方程的解中，偶数解的观点是[18]：ψ（x）=（A cosp2（λ- |E |）x，|x |≤ 阿贝-√2 | E | | x |，|x |>a（15），其中特征值E取决于井的宽度a和深度λ。波函数（15）在井外的指数衰减对应于厚尾PDF，如果P DF的峰值是尖锐的，则势阱是明确的。关于菲涅斯条件aλ<< 1，波函数中间部分（|x |<a）的特殊形式失去了意义，唯一的状态ψ（x）≈ （2 | E |）1/4e-√2 | E | x |带能量| E |≈ 2λatakes place。在这种情况下，标准偏差σ=（4 | E |）-1/2>> a、 这意味着75PDF的尾巴比高斯的更胖。不必详细讨论PDF峰值结构，可以将a=0，λ→ ∞ 从（14）到delta potentialU（x）=-λδ（x）。这种转变意味着，根据（2），我们对系统的先验知识只涉及PDF峰值的高度：F=Zdxp（x）δ（x）=p（0）。现在薛定谔方程的唯一解是ψ（x）=√λe-λ| x |。（16） 对应的一个参数PDF，p（x）=λe-2λ| x |，（17）是L空间分布。由于x表示对数回报，等式（17）意味着r e turns y=exof资产价格具有幂律分布P（y）=λ| y | 2λ，在[17]中广泛讨论。805。总结金融市场的数量机械结构已使用费希尔信息表示。

在这种情况下，由一些PDF描述的金融系统的状态与价格递减（速度）的量子粒子的耦合状态相关。相关Schr¨odinger方程的势函数来源于从PDF中学习到的经验数据。结果表明，dee p抛物型势阱对应于正态分布随机游动的重要模型。该模型在金融理论中被称为有效市场。与之相反，价格行为的非高斯模型（将PDF的尾部衰减描述为指数）由一个明确的势阱，甚至三角函数对应。显然，对于进一步的研究，PDF特定的特征可以通过势函数形式的变化来建模。90我们的方法的优点在于，它可以得到解析可解的方程，这需要使用广泛可用的财务数据进行理论研究。参考文献参考文献[1]R.Fri eden、A.R.Plastino、A.Plastino和H.So ff，Phys。牧师。E 60（1999）48.95[2]R.N.曼特尼亚，H.E.斯坦利，《经济物理学导论》。财务方面的相关性和复杂性。剑桥大学出版社（2000）[3]J.Voit，《金融市场的统计力学，物理学的文本和专著》，德国柏林斯普林格，2005[4]B.E.Baaquie，量子金融，剑桥大学出版社，英国剑桥，2004年。[5] V.A.Nastasiuk，Physica A 403（2014）148.100[6]E.Haven，Int.J.Theor。菲斯。44 (2005), 1957.[7] E.黑文，国际J.托尔。物理。，47（2008）193[8]O.Choustova，Internat。J.Theoret。菲斯。47 (2008) 252.[9] B.R.弗里登，B.H.苏夫，物理系。牧师。E 52（1995）2274[10]A.埃尔南多，D.普伊格多姆`埃内克，D.维伦达斯，C.维斯佩里纳斯，A.普拉斯蒂诺，菲斯。莱特。A 374（2009）18.105[11]S.P.Flego，A.Plastino，A.R.Plastino，Physica A 390（2011）4702-4712[12]R.N.Silver，收录于《E.T.Janes：物理学与概率》，W.T.编辑。

小格兰迪和P·W·米洛尼，剑桥大学出版社，英国剑桥，1992年。[13] 物理系M.J.W霍尔。牧师。A 62（2000）012107。[14] W.Greiner和B.Mueller，量子力学。《导论》，柏林斯普林格，1988.110[15]S.弗鲁格，《实用量子力学》，第一卷。Springer Verlag（1971）[16]L.D.Landau，E.M.Lifshitz，量子力学，Pergamon出版社（1965）[17]A.N.Shyryaev，《随机金融基本原理：事实、模型、理论》，世界科学，新加坡，1999年。[18] V.Galitski，B.Karnakov，V.Kogan，V.Galitski，Jr.《探索量子力学：为学生、讲师和研究人员解决的700多个问题集》，牛津大学出版社，英国牛津，2013.115