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有四个附录提供了论文四个部分中描述的系统细节：3、4、5、6。在收益递减的贷款市场中，自催化马歇尔-沃尔拉斯均衡过程中贷款数量的演变本附录给出了迭代过程的一些额外数学推导，在迭代过程中，供应商（此处为贷款人）通过修改价格（利率）对超额需求作出反应，而客户（债务人）通过修改利率对新价格作出反应如第3.1节所述，他们需要的数量（借款金额），导致马歇尔-瓦拉斯均衡。利率的这种变化对经济中借款金额的影响，以及反过来对借款金额的影响，是在同等条件下处理的。该贷款市场基于以下两个假设：-债务人在任何一个时间t所需的贷款总额Nloans是他们当时必须支付的利率it的递减幂律函数：Nloans（t）=Nt=itk公司-u（46），其中{k，u}>0。-银行在下一阶段收取的利率it+1是上一阶段设定的贷款金额的幂律函数，Nt:it+1=αt（47），其中α>0。这些方程式决定了未偿还贷款金额Nt和利率it之间的相互作用，如下所示：NEq。47----→ iEq。46----→ 内克。47----→ i··NtEq。47----→ 它是+1Eq。46----→ Nt+1··（48）引入平衡条件it+1=it和Nt=Nt-1在Eqs中。46和47:i=iik-αu（49）N=ik-uN-αu（50）可以用初始利率i表示固定点（Nfix，ifix）（注意，该点不依赖于N的初始值）。所以通过重写等式。

49和50，它可以用初始利率i来表示：（Nfix，ifix）=ik-u1+αu,ikαu1+αu!（51）对于αu<1和αu>1，该迭代过程如图16所示。通过反复应用等式。46和47，然后使用公式51，可以表示固定点Nfix:Nt的贷款数量=itk公司-u=ik-uN-αut-1=ik-u(1-αu）N-（αu）t-2=ik-u(1-αu-（αu）N-（αu）t-3= · · · =ik-u(1-αu-(αu)-···-（αu）（t）-1） ）N-（αu）t=ik-u1+（αu）t1+αuN-（αu）t=N1+（αu）tfixN-（αu）t=NfixNNfix-（αu）t（52）这个固定点可能是吸引的，在这种情况下，系统会收敛到它，或者是排斥的。I fff |αu|<1固定点是稳定的。附录C中给出了这方面的证明。在[Galor 2007]中可以找到更详细和完整的收敛性证明。B贷款市场中自催化马歇尔-瓦尔拉斯均衡过程中贷款数量的演变，回报率增加本附录给出了第3.2节中介绍的贷款和利率共同演变的数学推导。该贷款市场与附录A中描述的贷款市场不同，因为贷款方对信贷需求增加的反应不同。借贷的增加并没有导致利率的上升，而是导致了利率的下降。其动机是规模回报率的增加；贷款越多，安排和监控贷款的过程就越便宜。因此，这个过程基于以下两个假设：（a）收益递减规律的可视化，公式48，其中红线，公式47，代表贷款价格随需求增加而增加，而蓝线代表贷款价格随需求增加而减少，公式46。

这里αu<1，因此贷款市场Nloanand i收敛到一个固定的平衡点，而不考虑其初始值（在这种情况下（N，i）=（2，0.2%）。（b） 与图16（a）类似，差异现在αu>1。这意味着要么银行通过非常强烈地降低利率来应对贷款需求的减少，要么借款人通过非常强烈地降低利率来应对利率的增加，或者两者兼而有之。这会使系统处于暂时的不平衡状态，直到它达到需求的最小值。这里的初始值是（N，i）=（12,0,2%）。图16:Marshall-Walras迭代程序的说明，在收益递减的市场中平衡贷款数量和利率，等式48。如果回报率（系数u）的下降速度快于贷款需求（系数1/α），则系统中的波动会变得更大→ 0，i→ 0.-与之前一样，债务人要求的贷款金额是他们必须支付的利率的递减幂律函数：Nloans（t）=Nt=itk公司-u（53），其中{k，u}>0。-但现在，关于银行收取的利率it+1的假设是，它是上一期贷款金额的递减幂律函数：it+1=in-αt（54），其中α>0。同样，这些方程式决定了贷款金额Nt和利率it之间的相互作用，如下所示：NEq。54----→ iEq。53----→ 内克。54----→ i··NtEq。54----→ 它是+1Eq。53----→ Nt+1··（55）这个迭代过程如图17所示。引入平衡条件it+1=it和Nt=Nt-1在Eqs中。53和54给出：i=iikαu（56）N=ik-uNαu（57）得出的固定点（Nfix，ifix）仅取决于初始利率i，而不取决于贷款金额的初始值N。

因此，固定点等于：（Nfix，ifix）=ik-u1-αu,ikαu1.-αu!. （58）（a）当αu<1时，迭代过程等式55收敛到固定点，与初始值和i无关（此处显示的是两种情况（N，i）=（2，0.18%）和（N，i）=（900，0.18%）（b）当αu>1时，迭代过程等式55偏离固定点，与初始值Nand i无关（此处显示的是两种情况（N，i）=（2，0.18%）和（N，i）=（900，0.18%））图17：贷款市场中贷款数量和利率的自催化马歇尔-瓦拉斯均衡过程中，贷款人的回报率不断增加。固定点可以是吸引的，在这种情况下，系统会收敛到它，也可以是排斥的。I fff |αu|<1固定点是稳定的。附录C中给出了这方面的证明。通过重新组合等式，可以在[Galor 2007]中找到更详细和完整的收敛性证明。53、54和58可以用固定点Nfix:Nt的贷款数量来表示任何时候的贷款数量=itk公司-u=ik-uNαut-1=ik-u（1+αu）N（αu）t-2=ik-u（1+αu+（αu））N（αu）t-3= · · · =ik-u（1+αu+（αu）+··+（αu）（t）-1） ）N（αu）t=ik-u1-（αu）t1-αuN（αu）t=N1-（αu）tfixN（αu）t=NfixNNfix（αu）t（59）C基于非空间模型的自动催化明斯基危机加速器过程的演变本附录的目的是解释第4节中介绍的自动催化过程分析方法的细节，就庞氏公司数量与利率i之间的互动和反馈所产生的迭代过程的固定点而言，该模型是非空间的（它忽略了信用/债务网络或其他传染效应，如持有共同资产）。

它假设利率i通过公司个体弹性r（n）的异质分布，决定系统中属于庞氏骗局的单位比例。公司的可靠性n定义为其收益与债务的比率：r（n）=收益（n）债务（n）。（60）假设每家公司的收益和名义债务在短期内没有变化，例如在金融危机期间，其支付利息的能力将只取决于名义利率i的变化。更准确地说，如果利率i超过弹性：i>r（n），公司n将成为庞氏骗局。因此，n公司的弹性r（n）是利率i的最低水平，这使得n公司成为庞氏骗局。换句话说，弹性r（n）是利率的最大值，它仍然允许公司n在不产生进一步债务的情况下支付其债务的利息。我们考虑了一组具有不同弹性水平的NTO公司。对于不确定性（并基于经验数据[Takayasu 2000]），我们将公司弹性分布视为具有异质指数β的帕累托或齐普幂定律。这意味着一家公司拥有庞氏状态（其弹性r（n）低于给定利率i）的概率为：P rob[r（n）<i]=irmaxβ（61），其中rmaxis是在给定的一组NTO公司中发现的弹性的最大值。异质指数β的值通常在1到2之间。因此，考虑到系统中的公司总数Ntot，庞氏公司的数量N（i）取决于利率i:N（i）=NtotP[r（N）<i]=Ntot×的幂律irmaxβ=ikβ（62），为了简单起见，我们引入了一个新常数k=rmax/N1/βtot>0。

因此，在我们的金融加速器模型中，根据公式62:Nt=Nponzi（t），在某个时刻t的利率增加，它会导致庞氏公司数量Nt的增加=itk公司β（63）庞氏骗局数量的增加（所有这些都被视为失败）会提高利率；银行不仅会在信贷需求增加的情况下提高利率，而且还会在客户数量增加而无法履行债务的情况下提高利率。利率的提高会内在地降低弹性。银行在调整利率时采用的机制可能有不同的建模方式。在我们当前的分析中，我们将使用特定的幂律关系，在给定时间t，Nt的庞氏（或陷入困境的）公司的数量和他们在下一个时期产生的利率it+1之间。it+1=αt（64）中的等式。63和64定义了一个迭代过程，其中，从某个初始利率i开始，以及由非公司破产构成的外部冲击，触发了一个连锁反应：NEq。64----→ iEq。63----→ 内克。64----→ i··NtEq。64----→ 它是+1Eq。63----→ Nt+1··（65）下面的分析正是在探索迭代过程方程的性质。63、64和准备用于网络模型类似分析的工具，其中系统有多个固定点。Eqs。第63条和第64条规定了庞氏公司数量（假定失败）与下一个时期利率之间的相互影响（反馈）。要查看由此类方程产生的迭代过程，假设一个以初始状态开始，利率为i。假设出现了一个使多个公司庞氏骗局（ponzi），即导致其失败的ashock。根据公式64，该事件将使下一个时期的利率跃升至：i=α。