明斯基金融不稳定、规模间反馈、渗透和

在本例中，从非网络模型定义的分歧定点（Ndis，idis）上方和网络模型定义的分歧定点（Ndiv，idiv）下方的庞氏公司数量开始的过程，可以防止易受影响节点（庞氏公司）的传染/失败，以及网络的利率上升。图20：明斯基加速器渗流模型。根据方程式110，根据前面阐述的两个模型（方程式63和94），失败的庞氏公司数量Nt的同时演化是获得明斯基加速器渗流模型的必要条件。它们分别用蓝色虚线和曲线表示。红线用于等式64。给定it（y轴上）的实际Nt（x轴上）是更接近垂直轴的Nt。因此，很明显，在灰色阴影区域，网络解决方案占主导地位：失败的庞氏公司数量下降，而不是跟随越来越多的庞氏公司（正如非网络模型所规定的那样）。注意，图20（a）和图20（b）上的相关交叉点同时代表了图22（a）和图22（b）所示相图的水平截面。图21：确定isafe一个值的图。isafeis的条件是Ncore=Ndiv，即代表三种机制的三条线——利率设定机制it=iNαt（等式64红线），设定庞氏公司数量Nt=（it/k）β（等式63）的简单机制，以及确定被发现为庞氏公司（因此处于困境）的公司数量的网络机制Nt=S[1]- （it/iC）β]-γ（等式94）——在一个点上相遇（Nsafe，isafe）。N0C=S（1+1/αβγ）γ。

（108）图20中给出了两个例子，其中一个很容易看出网络如何对系统的收敛/发散产生不同影响。整个系统被视为三个模型的共同进化：两个微观模型：自下而上模型（蓝线）、对等网络模型（蓝曲线）和宏观上下模型（红线）。根据等式109，网络情况下失败的庞氏公司的实际数量等于系统中没有网络的庞氏公司数量和网络模型预测的失败庞氏公司数量中的较小者。一旦失败的庞氏骗局数量确定，则利率将被确定为两个模型（非网络模型等式63和有限网络模型等式94）预测的最小利率。Nfail=min{S[1- Nponzi/NC]-γ、 Nponzi}（109）因此，从109中去掉NP Onzi，系统的时间演化简化为Nfail=min{S之间的迭代过程1.- （it/iC）β-γ、 （it/k）β}（110）和i，等式64（it+1=iNαt）。在图20中，不考虑网络的系统由两条直线表示：代表自上而下宏观效应的红线和代表微观自下而上效应的蓝色直线。当αβ<1时，它们的交点被标记为（Ncore，icore），当αβ>1时，它们的交点被标记为（Ndis，idis）。网络化系统用红线（宏）和蓝曲线（微）表示。它们的交点定义了两个固定点：（NCOV，iconv）和（Ndiv，idiv），与这些参数的值无关。模型的宏观部分根据失败的庞氏公司的数量修改利率。在Eq的视觉分析中。

110，图20，图形分析尚未完全完成：自下而上和点对点模型被绘制成彼此独立的图形，现在由读者决定失败庞氏公司数量的最小值，从而确定实际解决方案，以及流程的最终演变。最终结果将只包含一条红线、一条蓝曲线（现有蓝线和蓝曲线的组合）和一条演变曲线（图21给出了一个完整过程的示例）。图22给出了明斯基加速器模型的最终结果：根据失败庞氏公司的初始数量和初始利率，预测系统的状态。正如前面的分析所证明的，如果初始条件等于其中一个固定点，初始状态不会改变；否则，失败的庞氏公司的数量和利率要么会增长（可能导致危机），要么会衰退（稳定状态），这取决于初始状态相对于权重固定点的位置。图22中代表这些位置的线是图22（a）中的紫丁香曲线（Nconv，iconv），红色曲线（Ndiv，idiv），蓝色线是收敛固定点（Ncore，icore），或发散固定点图（Ndis，idis）；它们已被用于构建相图。如等式103所示，平方根为负数，当Ia接近0时，丁香色曲线接近S。直线在假设下计算：αβγ=1。当αβ<1（图22（A））在正文中给出时，相图的详细和描述性解释，并将在以下段落中部分和相当技术性地重复。

当αβ>1（图22（b））时，图的解释留给读者。根据庞氏密度的明斯基加速器模型，同样的动力学可以用Nt和ρt之间的反馈来表示，使用从公式63重新排序得出的关系，并注意到NT=ρt/Ntotal:it=kN1/βt=kρ1/βtN1/βtotal（111a）i=kN1/β=kρ1/βN1/βtotal（111b）iponzi=kN1/βponzi=kρ1/βponziN1/βtotal（111c）iC=kρ1/βCN1/βtotal。（111d）方程组。然后110和64变成：Nt=min{S1.-ρtρC-γ、 ρtNtotal}（112）ρt+1=ρNαβt.（113）将等式113代入等式112，给出了当存在网络效应时，在平衡固定点失败公司的数量：Nfix=S1.-ρρCNαβfix-γ. （114）Ncore公式的推导：当未感受到网络效应时，系统由两个等式给出。63和64。表示这些方程的两条直线相交于一个固定点，当αβ<1时，我们将其标记为（Ncore，icore），当αβ<1时，标记为（Ndis，idis）。这些点的位置可以通过将等式64替换为等式63来确定，如附录C中的等式81所示，给出：Ncore=（icore/k）β（115）icore=inα。（116）代替Icore区：Ncore=（Nαi/k）β（117）N1-αβcore=（i/k）β（118）Ncore=（i/k）β/（1）-αβ). （119）考虑到ρtotal=1:（i/k）β=（i/imax）β（imax/k）β=ρNtotal，这可以用ρ来表示。（120）最终：Ncore=（ρNtotal）1/（1）-αβ). （121）同样适用于该点（Ndis，idis）。NSAFE和isafe公式的推导：为了确定三条曲线——红线、蓝线和蓝线——相交的条件，如图21所示，我们假设N较大，因此N=S[1]- （i/iC）β]-γ意味着，在一个很好的近似值下，i=iC。因此，三条线满足的条件，通过等式中的替换，变成。

63和64:Nsafe=（iC/k）β（122）（已经确定Nsafe）和：iC=isafeNα安全（123）Ornafe=（iC/isafe）1/α。（124）消除Nsafe：（iC/k）β=（iC/isafe）1/α（125）（iC/k）αβ=（iC/isafe）（126）isafe=iC（k/iC）αβ。（127）注意，图22中显示了该点，即蓝线与红曲线的交点。事实上，蓝线与紫丁香曲线的交点也是（Nsafe，isafe）的一个可能位置，但isafe的值大致相同，但Nsafe的值较小。这里只给出了一个值，这是由于我们对i=ic的近似。使用与上述相同的技巧可以翻译等式。122和127表示ρ：Nsafe=（iC/k）β=（iC/imax）β（imax/k）β=ρCNtotal（128）isafe/iC=（k/iC）αβ（129），可以重写为：（ρsafe/ρC）1/β=（ρCNtotal）-α（130）或ρsafe=ρC（ρCNtotal）-αβ. （131）（a）αβ<1的系统可能状态的相图表示。红线代表固定点（Ncore、icore）。如果初始庞氏公司数量确定的起点和初始利率在所有线以下的区域下降，系统将保持稳定：庞氏公司的数量将随着每次迭代而衰减。如果庞氏公司的初始数量大于S，且（N，i）点位于所有行之上，则庞氏公司的数量随着每次迭代而增加。（b） 红线代表αβ>1的固定点（NDI、IDI）。NDI使用与Ncore相同的公式，但其作用有所不同：对于所有低于蓝线的起点（N，i），失败的庞氏公司数量最终降至零，而对于所有高于蓝线的起点（N，i），迭代过程发展为危机。

然而，如果起点落在红线或紫线以下的区域，系统在很大程度上受到网络的保护，否则会在蓝线以上并导致危机的空间保持稳定。图22：绘制的线代表可能的相位之间的相空间边界线：初始冲击N，i后的Crisisa加速或减速。红色和淡紫色线分别代表给定参数的执行点（Nconv，iconv）和（Ndiv，idiv）。它们是在αβγ=1的假设下计算的。图22（a）相图上的i范围分析：由于固定点不依赖于Nb，除了参数值，仅依赖于i，不同相位之间的边界平行于图22（a）中的x轴。在这些范围之间有三个范围和两个临界值，它们对应于系统可能进入“明斯基不稳定期”的不同风险水平：i<isafeIn在该区域，系统自那时起是安全的：–点（Ncore，icore）位于蓝线交叉点的左侧，代表用于设置庞氏Nt=（it/k）β（等式63）公司数量的机制，以及蓝曲线，代表用于确定其中有多少公司被发现为庞氏（因此处于困境）Nt=S[1]的网络机制- （it/iC）β]-与图21类似的图中的γ（等式94）以及代表利率设定机制的红线（它=αt）（等式97）低于代表两种确定失败庞氏公司数量机制的蓝线的汇合点或者点（Ncore，icore）在蓝线和红线相交的右侧，在蓝曲线上方。因此，Ndivand Ncoredo不存在，因此过程等式。

45收敛到NCOV（见图21），不存在“明斯基不稳定阶段”。i=isafe（定义见等式127）固定点Ncore=Ndiv=Nsafe=（iC/k）β，且“明斯基不稳定期”收缩至一点。isafe<i<i0c在该范围内，所有三个固定点Nconv<Ndiv<n都存在，所有相位也存在。i=i0C（定义见等式107）两种溶液Nconvand Ndivcoincide（等式108）：Nconv=Ndiv=N0C=S1 +αβγγ（132），稳定相收缩到一个点。i> 10在这一范围内，进入加速危机的风险非常高。红线i=iNα，在蓝色曲线S的上方升高1.- （i/iC）β-γ、 所以它们的交叉点（NCOV，iconv）和（Ndiv，idiv）不存在，“稳定阶段”也不存在。在没有这些固定点的情况下，故障传播过程45将继续不受阻碍地超过渗透阈值。这就是明斯基不稳定阶段的含义，如图22（a）所示，这一阶段将延伸到剩下的唯一固定点：Ncore=（i/k）β/（1）-αβ).Ncoreconvergent Fixed point确保了只有最具弹性的公司才能生存，并定义了图22（a）中非常坚实的核心阶段。