明斯基金融不稳定、规模间反馈、渗透和

（66）随着利率的上升，一些到目前为止还可以生存的公司（投机性的：有了旧的利率，他们能够为自己的债务支付利息（r（n）>i）将成为庞氏骗局。更准确地说，所有弹性r（n）<i=iNα的公司现在都将是庞氏骗局。根据等式63，庞氏公司的总数为：N=ikβ=ikNαβ=ikβNαβ。（67）为了不确定性（我们将研究以下所有情况），假设参数为N>N。根据公式64，新的、增加的庞氏公司数量N依次导致新的利率增加：i=inα=ik1+αβkNαβ（68），这反过来会导致更多的庞氏公司：N=ikβ=ikNαβ=ikβNαβ=ik（1+αβ）βNαβ。（69）庞氏公司的新数量具有系统性后果，它将利率提高到i=α=ik1+αβ+αβkNαβ。（70）这反过来又导致更多的庞氏公司：N=ikβ=ik（1+αβ+αβ）βNαβ。（71）一般来说，经过多次迭代后，t的利率为：=ik1+αβ+αβ+···+α-1β-1kNαtβt-1（72）且庞氏公司的数量为：Nt=ik（1+αβ+αβ）β+·α+t-1βt-1Nαtβt.（73）对于αβ6=1，等式指数中的几何级数。72和73可以求和，这就把方程变成了它们的紧凑形式：it=ik1.-αtβt1-αβkNαtβt-1（74）andNt=ik1.-αtβt1-αβNαtβt.（75）从这些方程可以很容易地讨论过程的结果。更准确地说，我们可以计算出在什么条件下，这个过程会在最初的明斯基时刻之后继续，在什么条件下它会分裂成一场危机，在什么条件下它会收敛并停止在一个临界点。

此外，如果庞氏状态是可逆的，系统也可以朝着恢复的方向发展。为了澄清与沃尔拉斯计算平衡状态的方法的相似性，请注意，如果这样的平衡/静态=∞, 新界=∞) 存在于Eqs中。74,75，该状态将是系统方程的定点解（Nfix，ifix）。63,64:it+1=it=iNαt（76）Nt+1=Nt=itk公司β（77），很容易用代换法求解：i=iikαβ（78）N=在αk中β1-αβ（79）和ifix=ik-αβ1.-αβ（80）Nfix=ikβ1-αβ（81）当αβ<1时，这个结果实际上与取t得到的结果相同→ ∞ 等式中的极限。74和75，从那时起∞= 0，这些方程简化为等式。分别为80和81。注意，在这种情况下，对于一个给定的时间，最终平衡点是（Nt=∞, 它=∞) = （Nfix，ifix）且不取决于N的初始值。当然，由等式给出的固定点。80,81:（Nfix，ifix）=ikβ1-αβ,ikαβ1.-αβ!（82）对于αβ>1是相同的，但其在过程74、75中的作用非常不同：它不再是一个吸引人的点，而是一个排斥点。实际上，通过将等式75重新组合为：=ikβ1-αβik-β（αtβt）1-αβNαtβt=ikβ1-αβ\"ik-β1-αβN#αtβt=ikβ1-αβNNfixαtβt=NfixNNfix（αβ）t（83）我们可以看到，对于αβ>1，指数αtβtofhnf ixirather然后对于t为零→ ∞, 分歧。Thusrather than（新界）→∞, 信息技术→∞) 向（Nfix，ifix）收敛时，情况正好相反：如果初始点N甚至稍小，N<Nfixthen Nt→∞→ 而如果N>Nfix，N就会增加，直到整个系统变成庞氏体。网络模型纠正了这一不切实际的特征，即使是系统性危机，也只有部分公司失败。总之，由迭代过程方程定义的动力学。

63,64有两种可能的结果：-当αβ<1时，系统在危机后收敛到固定利率和固定数量的庞氏公司；-当αβ>1时，系统要么在利率非常低的状态下运行，没有庞氏公司，要么在整个系统变成庞氏且利率出现差异的状态下运行。收敛/发散的图形表示。在一个双对数图18中，横轴上的庞氏公司数量N和纵轴上的利率i表示EQS。63和64是直线，如图18所示：-红线给出的利率是庞氏公司数量的函数，由等式确定。64，作为一条斜率等于α：ln（it+1）=αln（Nt）+ln（i）（84）的线——蓝色虚线绘制了系统中有多少庞氏公司，如等式63所示。请注意，在图形表示中，等式63是“倒置的”，因为利率i位于纵轴上，而庞氏公司的数量N位于横轴上：ln（it）=（1/β）ln（Nt）+ln（k）（85）。当αβ<1时，由等式83定义的固定点是一个稳定的吸引点。对于任何数量的庞氏公司，系统（在足够的时间后）达到固定点。如图18（a）所示。基本自催化过程图示中的参数选择如下：初始利率i=0.4%，庞氏公司初始数量N=2或N*= 900，α=0.5，β=1.3，k=0.0015。图中显示，这两条线的位置是固定点左侧的蓝色虚线位于红色实线上方，因此它+1>它，因此利率和庞氏公司的数量会随着每一次向固定点的迭代而增长。

在固定点右侧的区域中，红色实线位于蓝色虚线上方，因此为+1<iti。e、 利率的价值和庞氏公司的数量在固定点上下降。当αβ>1时，固定点不稳定，动力学使系统远离（Nfix，ifix）。下面的示例和图18（b）显示了这一点。我们选择了：β=1.8，α=0.75，k=0.005，以及（a）当固定点稳定，αβ<1时，系统的两种可能发展中的庞氏公司数量和利率。这里β=1.3，α=0.5，i=0.4%，k=0.0015。庞氏公司的初始数量设置为N=2或N*= 900.在两种情况下，在初始冲击后，系统向Nf ix=38收敛。（b） 当固定点不稳定，αβ>1时，系统两种可能发展中的庞氏公司数量和利率。这里β=1.8，α=0.75，i=0.003和k=0.005。庞氏骗局的初始数量设置为N=12到N*=16.在这两种情况下，系统都会出现分歧；在第一个案例中，庞氏公司的数量减少，而在第二个案例中，庞氏公司的数量增加。图18：基于非空间模型的自动催化明斯基危机加速器过程的演变。确定庞氏公司数量的机制，等式63，由红线给出。决定利率的机制，等式64，由蓝线给出。18（a）：αβ<1，因此固定点具有吸引力；18（b）：αβ>1固定点是排斥的。i=0.3%。固定点变为（Nfix，ifix）=（14，2.1%）。从式83可以看出，从式81给出的Nfix下方开始，过程进入较低的N；当从Nfixt开始时，过程会变大。

因此，如果一个从N=12开始，那么N<nfix和庞氏公司的数量随着每次迭代而下降；在图形表示中，这意味着红色实心曲线位于蓝色虚线曲线上方。如果一开始的N=16比Nfix=14大，那么庞兹的数量就会增加，这就导致了危机。不动点稳定性。Eqs。84和85代表两个线性微分方程组：ln（it+1）=αln（Nt）+ln（i）ln（Nt+1）=βln（it+1）- βln（k）=αβln（Nt）+βln（i/k）。（86）该系统可以方便地以矩阵形式重写为：ln（it+1）ln（Nt+1）=0 α0 αβln（it）ln（Nt）+ln（i）βln（i/k）. （87）让我们把矩阵A表示为：A=0 α0 αβ. （88）稳定性定理：一阶矩阵微分方程87是稳定的，即渐近收敛到稳定状态ln（ifix）ln（Nfix）– 当且仅当转移矩阵A（无论是实矩阵还是复矩阵）的所有特征值都有一个小于1的绝对值。有关其证明，请参见教科书中的一个非线性微分方程，如[Galor 2007]。给定矩阵A的特征值是方程的解：det（λI- A） =λ（λ）- αβ) - 0=0（89）λ=0和λ=αβ。（90）因此，系统86渐近稳定的条件是：|αβ|<1。（91）D基于网络模型的明斯基加速器流程演变上一附录中的非空间模型未考虑公司之间的信用/债务关系、其共同资产或任何其他网络影响。债务背景下的网络效应至关重要，因为破产债务人与其债权人之间的直接联系直接影响到债权人。让我们考虑一下，我们有一个公司网络。网络可以是有向的，也可以是无向的，有固定或可变数量的邻居，并且具有任意的聚类特性。

本附录中给出的分析仅取决于网络的两个参数：临界密度ρC和临界指数γ，我们现在定义了这两个参数。这些公司代表网络的节点。通常，给定一组节点（也称为站点），网络由连接这些节点的链接（或边）定义。通过alink连接的节点是“邻居”。链接可以是定向的，也可以是无向的。如果一个链接是“定向”的，那么它相邻的两个节点中的一个被称为链接的原点，另一个被称为链接的目标。渗透的概念是通过将一些节点声明为“易受影响”来引入的，也就是说，如果只有一个节点的邻居（如果链接是定向的，则源节点）已经被“污染”，那么这些节点就有可能被“污染”。当然，这种污染规则提供了污染雪崩的可能性：受污染的节点可能会污染新节点（其易受影响的邻居），而新节点反过来可能会污染其他节点（其自身易受影响的邻居），等等。渗流的关键概念是团的概念；想象一下，一个人通过污染一个节点开始了污染雪崩。由此引发的雪崩将持续下去，直到任何当前受污染的节点附近没有易受影响的站点（节点）。这样一组易感节点可以相互污染（直接或间接通过中间易感节点的污染），但没有任何额外的易感节点，被称为集群。许多网络的关键特性是，在有限规模系统的限制下，一旦（随机分布的）易感节点的分数ρ接近某个临界值ρC，最大簇的大小N就会发散。

特别是，对于许多类型的网络，这种差异遵循一个普遍的“标度”定律：Nt=S1.-ρtρC-γ（92），ρc和γ独立于网络中链路或敏感节点的特定分配细节[Stau ff 1979]。S>0是一个常数，与传染过程的初始化方式有关（参见[Cantono 2010]）。事实证明，这个属性将把附录C的分析扩展到一个更现实的系统。在附录C中，我们假设只要一家公司n是庞氏（即r（n）<i），系统就会认识到它是庞氏（ponzi），并且全球动态会受到等式64中利率增加的影响：it+1=αt。实际上，每个公司的确切财务状况都不知道，甚至对其交易伙伴也不知道；因此，如果没有额外的外部事件，庞氏公司将被视为正常的公司。只有当公司的困境被其直接环境中的负面事件突显时，系统才会认识到公司并将其视为负面事件。公司债券上市所需的条件可能会有所不同。例如，在[Kindler 2013]中，一家公司考虑了其邻国的累积影响。在这里，我们将使用附录C中模型的一个最小扩展：我们将假设一家庞氏公司被认为是这样的（“未覆盖”），它的一个庞氏邻居被发现就足够了。一种是导致一种网络模型，在该模型中，庞氏骗局与易受影响的节点相识别，并且通过其业务或财务链接，可以相互污染，导致公开的灾难。附录C的反馈回路提供了通常的渗滤问题和当前问题之间的区别：随着受污染庞氏骗局的规模扩大，参见等式92，利率增加，参见等式64，以及庞氏骗局的比例，即。

根据toEq，易感节点NSU也在增加。62，这导致易感节点的密度增加：ρt=Nsus（t）Ntot=（it/k）βNtot=itrmaxβ. （93）通过在公式92中替换公式93，可以得到公开污染公司数量Nt与利率的函数关系，即：Nt=S“1-itiCβ#-γ（94），其中，根据公式93，iC定义为iC=ρ1/βCrmax。因此，通过引入网络邻居的污染作为庞氏公司被识别和采取行动的附加条件，我们只需在之前定义的迭代过程（等式63，64）中替换等式63，即等式94。虽然比系统63、64稍微复杂一些，但新的迭代过程具有相同的结构：NEq。64----→ iEq。94----→ 内克。64----→ i··NtEq。64----→ 它是+1Eq。94----→ Nt+1··（95）与EQ的情况相同。63和64，理解过程相图的关键是找到固定点，即系统的解决方案：Nfix=S“1-非毒性β#-γ（96）ifix=αfix。（97）通过将等式97替换为等式96，问题简化为找到等式的解：Nfix=S“1-在αfixiC中β#-γ（98），通过替换iC=ρ1/βCrmax（等式93），可以重写为：Nfix=S1.-ρρCNαβfix-γ. （99）基于网络的过程等式95在图19给出的示例中可视化，用于各种参数值，类似于图18（a）和18（b）描述非网络过程的各种情况。从这些图中可以看出（并将在下面进行计算），在网络情况下，确定未覆盖庞氏公司数量的函数（我们将其称为“失败的”，公式96）现在是一条曲线，它与代表利率机制的直线（公式97）相交，或者在两点上，或者根本不相交，对应于公式98的解的数量，如图19（b）和图19（a）所示。

在图19（b）中，两个固定点，一个收敛，另一个发散，分别被标记为（NCOV，iconv）和（Ndiv，idiv）。为了定量评估上述交叉点，我们将等式98改写为：NFIX1/γ\"1 -iiCβNαβfix#=1（100），进一步为：NFIX1/γ\"1 -iiCβNαβfix#=1（101）即F（Nfix）=iiCβNαβ+1/γ固定- N1/γ固定+S1/γ=0。（102）假设αβγ=1，等式102可简化为二次方程：iicβS1/γNFIX2/γ-NFIX1/γ+ 1 = 0.（a） 当公式96的蓝色虚线和公式97的红色虚线这两个函数不相交时，该方程组没有解。系统的稳定性完全由附录C中给出的非网络模型决定。然后，网络通过在两个功能彼此非常接近的区域只允许非常低的传染率来延迟分歧。（b） 通过将初始利率i从19（a）中的1%降低到此处的0.5%，等式97的红色实线与等式96的蓝色虚线相交。这些线的交点给出了系统的两个解。很明显，从黑点演化曲线上箭头的方向看，其中一种解决方案（NCOV，iconv）是有吸引力的，并且近邻中的系统会向它收敛。另一种解决方案（Ndiv，idiv）是排斥的，箭头指向外部。图19：红色实线表示利率对陷入困境的公司数量的反应（等式96），蓝色虚线表示失败的数量，等式97。根据给定的网络结构和传染过程的初始化方式，这两条线要么相交（19（b）），要么不相交（19（a））。这意味着等式系统。

96和97可以有两种解决方案，也可以没有。通过求解（Nfix/S）1/γ的二次函数，我们得到了收敛点和发散点中失败公司的数量：Nfix=Nconv/div=S1±r1- 4.iiCβS1/γiiCβS1/γγ（103），给出了图22所示的相空间图中Nconv（淡紫色）和Ndiv（红色）的两条曲线。显然，当4i0CiCβS1/γ=1，式103只有一种溶液N0C=Nconv=Ndiv=2γS。根据公式97，相应的临界利率为i0C=iαγSγ。为了确定一般情况下的固定点（N0C，i0C），当αβγ6=1时，我们设置F（Nfix）的导数，如等式102所示，相对于Nfix 0，因为这将给出Nfix的一个解，其中Nconvand NdivcoincideδFδNfix=（αβ+1/γ）iicβNαβ+1/γ-1固定- γN1/N1-1fix/γ=0（104）iicβNαβ+1/γ固定=αβγ + 1N1/γ固定。（105）将Nfix的值从公式105代入公式102，得到了该奇异点Nfix的方程：αβγ + 1N1/γ固定- N1/γ固定+S1/γ=0。（106）重新排列方程式106，并在方程式97中进行替换，得到固定点（N0C，i0C）：i0C=是α（1+αβγ）1/β1 +αβγαγ（107）（a）对于αβ<1的系统，进化方程110的实现。因此，非网络模型（Ncore，icore）定义的固定点是收敛的。然后在这个固定点下方和左侧的小区域，庞氏公司的数量会增加。在浅灰色阴影区域，网络（从蓝色曲线上看）保护大量庞氏公司（易受影响的模式）免于失败。该地区失败公司的数量受到网络的限制。（b） 两个子模型的可视化，失败数（蓝色曲线）和庞氏公司数（蓝色线），由等式110给出，用于αβ>1的系统的协同进化。