约束最优运输

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英文标题：
《Constrained Optimal Transport》
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作者：
Ibrahim Ekren and H. Mete Soner
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The classical duality theory of Kantorovich and Kellerer for the classical optimal transport is generalized to an abstract framework and a characterization of the dual elements is provided. This abstract generalization is set in a Banach lattice $\\cal{X}$ with a order unit. The primal problem is given as the supremum over a convex subset of the positive unit sphere of the topological dual of $\\cal{X}$ and the dual problem is defined on the bi-dual of $\\cal{X}$. These results are then applied to several extensions of the classical optimal transport.
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中文摘要：
将Kantorovich和Kellerer关于经典最优输运的经典对偶理论推广到一个抽象的框架中，并给出了对偶元素的一个刻画。这个抽象泛化是在一个具有序单位的Banach格$\\cal{X}$中设置的。将原问题定义为$\\ cal{X}$拓扑对偶的正单位球面的凸子集上的上确界，并将对偶问题定义在$\\ cal{X}$的双对偶上。然后将这些结果应用于经典最优运输的几个扩展。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Constrained_Optimal_Transport.pdf (371.68 KB)

2022-5-26 18:37:44 上传

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关键词：Mathematical Quantitative distribution mathematica Generalized

约束最优运输Ibrahim EKREN和H.METE SONERAbstract。将Kantorovich[24]和Kellerer[25]关于经典最优输运的经典对偶理论推广到一个抽象的框架中，并给出了对偶元素的特征。这个抽象推广是在具有阶单位的Banach格X中设置的。原始问题被给出为X的拓扑对偶的正单位球面的凸子集上的上确界，对偶问题被定义为X的双对偶。然后将这些结果应用于经典最优输运的几个推广。1、导言Monge最优运输问题的Kantorovich松弛[24]是在所有概率测度η上最大化η（f）：=ZRd×Rdf（x，y）η（dx，dy），这些概率测度η给出了边缘u和ν。Kantorovich证明这个问题的凸对偶由，Dot（f）：=inf给出u（h）+ν（g）：h（x）+g（y）≥ f（x，y）（x，y）∈ Rd×Rd.事实上，Fenchel-Moreau定理的标准应用表明，当f是连续且有界的时，这两个问题的值相同。我们让读者参考安布罗西奥（Ambrosio）[3]、拉契夫·安德鲁斯·亨多夫（Rachev andR¨uschendorf）[29]、维拉尼（Villani）[35]的经典著作以及其中的参考文献，以获取更多信息，并参考扎耶夫（Zaev）[36]最近的文章，该文章提供了一种新的对偶方法。上述二元性可以看作是原始测度和一组对偶函数之间配对的结果。实际上，让Qotbe是具有给定边缘u和ν的所有概率度量的集合，hot是形式k（x，y）=（h（x）的所有连续和有界函数的集合- u（h））+（g（y）- ν（h）），（x，y）∈ Rd×Rd，对于某些h，g∈ Cb（Rd）。

然后，我们可以将对偶问题简洁地重写如下，Dot（f）=inf{c∈ R:k∈ 加热，使c+k≥ f}。此外，对偶函数Hot和原始测度qotar具有对偶性，即qotar是消除Hot的所有概率测度的集合。日期：2017年9月12日。2010年数学学科分类。G12，D53。关键词和短语。最优运输，鞅最优运输，凸对偶，正则凸集，Fenchel-Moreau定理。这项研究得到了ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会的部分支持，SNF 200021-153555.2 Ekren&S Oner我们基于对偶和原始元素之间的这种对偶性扩展了经典的最优运输问题。即，我们从Banach格X的拓扑对偶X′中正单位球面的凸子集qo开始。假设存在一个闭子空间HQ X使得Q是H的截面积⊥Q（HQ的零化子），拓扑对偶X′中正单位球。然后，直接应用经典的Fenchel-MoreauTheorem得到P（f）：=supη∈ Qη（f）（1.1）=D（f）：=inf{c∈ R: h类∈ 总部。t、 c e+h≥ f} ，则，f∈ X，其中e是Banach晶格X中的单位order。事实上，推论4.2证明了这种二元性是一般结果的结果。将凸对偶应用于映射D:X，证明了上述结果→ R、 当X=Cb时(Ohm) 具有给定的拓扑空间Ohm, 我们也可以考虑D asa Lipschitz，有界和Borel可测函数上的凸函数，Bb(Ohm).那么，这个问题的凸对偶就是B的拓扑对偶上的一个函数(Ohm), 即，有界和完全可加泛函集ba(Ohm). 因此，要使所有有界和可测函数都具有对偶性，而不仅仅是连续函数，需要通过添加适当的ba子集来扩充原始测度(Ohm).

事实上，[8]的示例8.1表明，对ba的这种扩展(Ohm) 如果将对偶元素HQor等效为对偶问题D，则有必要。相反，我们从由P:a给出的双变量定义的原始问题开始∈ X′\'→ P（a）：=supη∈ Qa（η），其中Q是X′正单位球面上的给定闭凸集。由于人们可能会将X视为其双倍体的子集，因此这种方法包括对偶性（1.1）。此外，通过选择适当的X，可以嵌入Bb(Ohm) 作为X′的闭子集。一旦在对偶空间上定义了P，就可以通过直接分离式证明对偶性。特别地，我们在定理4.1中证明了p（a）：=supη∈ Qa（η）=D（a）：=inf{c∈ R: z∈ KQs。t、 c e+z=a}，一∈ X′，其中对偶集KQ由给出，KQ：={z∈ X′：z（η）≤ 0η∈ Q}。此外，根据KQI的定义，KQI是一个凸锥，并且很弱*关闭吉田（Yoshida）[34]表明，正如Krein&ˇSmulian（26）所定义的那样，对偶空间中的此类集合是规则凸的。正则凸性的定义性质是预对偶中的凸分离（见下文定义3.4）。这使我们能够用X′中的固定原始集Q证明X′中所述的对偶。特别地，我们在不增广Q或等价地不将Q扩展到ba的情况下识别对偶元素(Ohm). 此外，定理4.1证明了在X′的任何闭子空间L上，对偶只能与对偶集L保持∩ KQ。在应用中，需要进一步表征KQI。实际上，对于X=Cb的经典最优传输(Ohm) 和Ohm = Rd×Rd，命题5.4证明了对偶集Kot：=由Hot+X′给出的KQotis-, 其中热=（H⊥加班费）⊥是子空间H的零化子吗⊥加班费。集hot还被描述为两个自然集的sumConstrained最优传输3。

那么，Bb中的对偶性(Ohm) 在命题5.5中被证明为这些结果的一个序列。我们的方法与之前的研究截然不同，它基于Krein&ˇSmulian提出的正则凸性的概念[26]。事实上，引理3.5证明了一个普遍的结果，对偶集KQis是弱的*HQ+X′的正则凸包络-, 其中HQ：=（H⊥Q）⊥. 然后，为了证明这两个集合是相等的，需要证明HQ+X′-很弱*关闭证明这一点或刻画hqemanna的主要困难在于无界正则凸集的和可能不是正则凸集。我们使用[26]中的两个结果来克服这个问题。一个是经典的Krein&ˇSmulian定理。它指出一个集是正则凸的当且仅当它与所有有界球的交集是正则凸的。其次，有界正则凸集的和也是正则凸的。因此，在应用中，我们的方法必须证明对偶元素分解的一致逐点估计。事实上，引理5.3证明了最佳传输的这一估计，并考虑了C′b中命题5.4的双重结果(Ohm) 和Bb中的命题5.5(Ohm). 在命题7.2的证明步骤4中，得到了一个类似的超鞅估计，定理8.2中的IneQuality（8.3）证明了它对于鞅最优传输的估计。在第6节中，我们成功地将此技术应用于optimaltransport的扩展，我们称之为约束最优Transport。在这个问题中，通过指定原始度量集在X的有限维子集上的操作，进一步限制了原始度量集。Rachev Andruschendorf在[29][第4.6.3节]中针对下半连续函数也考虑了这类问题。

命题6.3通过Bb中的双向andalso中概述的方法证明了该扩展的对偶性(Ohm).抽象扩展的一个激励示例是鞅最优运输。在这个问题中，Qmotis是qott中的一组概率测度，它也表示γ（x）·（x）形式的所有函数- y） 。实际上，设Hmot是formk（x，y）=（h（x）的全线性增长函数集- u（h））+（g（y）- ν（g））+γ（x）·（x- y） ，（x，y）∈ Ohm,对于一些线性增长的连续函数h，g和有界的连续向量值函数γ。那么，Qmotis是H的交点⊥莫特和单位正球面。这个问题也可以被看作是一个有约束的最优运输问题，但对偶集现在被扩展为可数函数，而不是很多函数。鞅最优运输首先由Beiglb¨ock、Henry Labord¨ere和Penkner在离散时间引入，然后由Galichon、Henry Labord¨ere和Touzi在连续时间引入。这种扩展的主要动机来自Hobson【20】和Hobson-andNeuberger【21】的模型自由融资或稳健对冲结果。最初的文献[6，17]也证明了连续函数的对偶性。Dolinsky和第二作者【14、15、16】进一步将二元性扩展到以下情况：Ohm 是通过离散化技术得到的c’adl’ag函数的Skorokhod空间，后来Hou和Ob l’oj【22】通过考虑进一步的约束对其进行了扩展。最近的手稿[18，19]也使用了雅库博夫斯基在theSkorokhod空间中的S-拓扑来研究鞅最优输运的性质。文献中还研究了鞅最优运输对偶的几种其他类型的推广。事实上，特别是在金融应用中，需要放松对偶问题定义中的逐点不等式。

初始文件【17】中已经使用了【31、32】中开发的准肯定框架4 Ekren&S Oner给出了该定义。在其他类型的扩展中，一个保持Ohm = Rd×rdbut研究了所有有界可测函数的对偶性，不仅是连续函数或上半连续函数。这个问题提出了有趣的新问题。Beiglb¨ock、Nutz和Touzi在最近的一篇论文中对一维空间进行了彻底的分析[8]。这篇文章除了描述对偶集外，还包含了几个激励示例和反例。最近的一篇手稿[28]研究了超鞅耦合。研究了线性增长连续函数Banach格上的鞅最优输运问题。在定理8.2中，我们得到了集Hmot=（H⊥mot）⊥消除了H中的原始符号度量⊥莫特。然而，设定Hmot+X′\'-不等于[8]的示例8.4和示例8.4中所示的Kmot=KQmotasshown。同样，在第7节中，我们研究了通过鞅测度定义的相关问题。这些问题与凸函数以及Strassen的经典结果密切相关【33】。第9节对这些连接进行了精确说明。在一系列论文中，Bartl、Cheredito、Kupper和Tangpi【4、12、13】也为这类对偶问题开发了一个功能分析框架。然而，他们从对偶问题开始，利用对偶泛函上的半连续性假设来刻画原始测度。在各种各样的问题中，包括存在摩擦的金融市场，它们非常有效地获得了上半连续函数的对偶结果。另一个相关主题是资产定价的无模型基本定理。近年来，在这个方向上有许多有趣的结果得到了证实[1、5、9、10、11]。

这些结果基本上是从对偶元素开始的，并定义了原始测度，Q是它们的零化子。然后，他们主要关心的是证明Q包含可数可加Borel测度的元素。在这篇手稿中，我们从集Q作为x′的子集开始，并证明了对偶性。本文的组织结构如下。第2节介绍了本文使用的符号和基本结果。第3节定义了抽象问题并介绍了正则凸性。下一节将证明对偶结果。第4.1小节通过kq证明了X′中的第一个对偶结果，第4.2小节建立了完整的对偶inX。H+X′型对偶空间对偶的充要条件-对于子空间H，可在第4.3小节的定理4.4中获得。第4.4小节证明了商空间中的对偶结果。第5节研究了经典最优运输，第6节研究了约束最优运输的扩展。第7节定义并描述了鞅测度。这些结果在第8节中用于研究多维鞅最优输运。最后一节说明了双曲面上定义的凸函数的结果。2.

X，Y的凸闭子集的预备知识 Rd，我们表示Ohm := X×Y，对于Banachlattice X，我们使用以下标准符号，我们参考了Aliprantis&Border（2）和Yoshida（34）的经典书籍或Kaplan（23）的课堂讲稿X′是X的拓扑对偶，X′是X的对偶，oBb(Ohm) 是具有上确界范数的有界实值Borel可测函数的Banach空间，约束最优传输5oC(Ohm) 是所有连续实值函数的集合，oCb(Ohm) 是具有上确界范数的所有连续实值有界函数的Banach格。对于h∈ Cb（X）和g∈ Cb（Y），we set（h⊕ g） （x，y）：=h（x）+g（y），ω=（x，y）∈ Ohm.对于η∈ （Cb(Ohm))′, 其边缘，ηx∈ （Cb（X））′和ηy∈ （Cb（Y））′由ηx（h）给出：=η（h⊕ 0），ηy（g）：=η（0⊕ g） ，其中0是与0相同的常数函数。Banach空间X通过正则映射X嵌入到X′∈ X 7→ I（x）∈ X′，其中I（X）（X′）：=X′（X），x′∈ X′。显然，I的这种表示法依赖于底层空间，我们在表示法中抑制了这种依赖性。在X′上，我们使用X的阶诱导的阶。设X′＋是X′中所有正元素的集合，即η∈ X′＋如果η（f）≥ 每f 0∈ X和f≥ 0、Wede FINE X′-类似地。在X′上，我们使用X′诱导的顺序。我们总是假设Banach格X是一个具有由序单元e诱导的格范数的AM空间∈ X+，即（2.1）kfkX=inf{c∈ R:-c≤ f≤ c}，其中c：=c e。那么，双X′也是一个以I（e）为序单元的AM空间；[2] [理论9.31]。此外，（2.2）kakX′=inf{c∈ R:-c≤ f≤ c}，其中c：=c I（e）。我们还有，（2.3）η（e）=kη+kX′- kη-kX′， η∈ X′。我们用带集B+：=B来表示X中的单位球∩ X+。同样，我们假设B′和B′分别是X′和X′中的单位球。

我们设置B′+：=B′∩ X+，B′，：=B′\'∩ X+。对于给定的Banach空间Z的子集a和子集Θ Z′，A的零化子和Θ的前零化子由，A给出⊥:= {η∈ Z′：η（a）=0，一∈ A}，Θ⊥:= {a∈ Z：η（a）=0，η∈ Θ}。很明显⊥很弱*Z′和Θ闭合⊥在Z中是弱闭的。对于标量c，c表示等于c e的函数。显然，这种表示法依赖于顺序单位，但由于滥用了表示法，我们在所有域中使用相同的表示法。在本文中，我们主要使用Banach格Cb(Ohm) 或者spaceCl(Ohm) 由C定义的线性增长连续函数l(Ohm) := {f∈ C类(Ohm) : kfk公司l< ∞ } ,where，withlX（X）：=1+| X |，lY（Y）：=1+| Y |和l（x，y）=lX（X）+lY（Y），（2.4）kfkl:= supω∈Ohm|f（ω）|l（ω） 。为了简化演示，我们将Cb表示为：=Cb(Ohm) 和Cl:= Cl(Ohm).6 Ekren&S Oner很明显，这两个空间都是AM空间，并且是Cbis e中的订单单位≡ 1、空间Cl订单单位为e（x，y）=l（x，y）。此外，加权空间SClX（X）和ClY（Y）也是具有顺序单位的AM空间lX和lY、 分别为。我们还使用符号C：=C(Ohm) 并将其视为Frechet空间。那么，C′等于car，C(Ohm), 所有紧支持的可数加性正则度量。抽象问题设X是一个Banach格，具有（2.1）给出的格范数和序单元e。回想一下符号c：=c e，由于滥用了符号，我们在双元组中也使用了相同的符号。允许B′是X′中的单位球面。鉴于（2.3），我们有B′+：=B′∩ X′+=η∈ X′+：η（e）=1.我们分析的起点是一个闭凸集Q B′+。我们作出如下假设。假设3.1。