离散时间环境下的计算动态市场风险测度

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摘要翻译：
定义动态市场风险度量的不同方法在文献中可用。大多数是从概率论、经济行为或动态规划中集中或派生出来的。在此，我们提出了一种基于递归和状态经济表示的定义和实现动态市场风险度量的方法。建议的方法是可实施的，并继承了静态市场风险度量的性质。
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英文标题：
《Computational Dynamic Market Risk Measures in Discrete Time Setting》
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作者：
Babacar Seck, Robert J. Elliott, Jean-Pierre Gueyie
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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英文摘要：
  Different approaches to defining dynamic market risk measures are available in the literature. Most are focused or derived from probability theory, economic behavior or dynamic programming. Here, we propose an approach to define and implement dynamic market risk measures based on recursion and state economy representation. The proposed approach is to be implementable and to inherit properties from static market risk measures.
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关键词：离散时间 市场风险 Quantitative Presentation Applications

DiscreteTime SettingBabacar Seck*,Robert J.Elliott,Jean-Pierre Gueyie.2018年1月24日抽象现有的动态市场风险度量方法，大多集中于或源于概率论、经济行为或动态规划。在此，我们提出了一种基于递归和状态经济表示的动态市场风险度量方法。本文提出的方法是可实施的，并继承了静态市场风险度量的性质。关键词：动态风险度量；马尔可夫链；风险价值；从最近的经济危机中可以看出，对于一个健康的经济来说，了解金融风险和用于计算风险指标的相关方法是必要的。对于商业银行，巴塞尔委员会一、二、三所倡导的条例和规则包括最低资本要求、监管审查和市场纪律；见《巴塞尔》(2005年；2010年）。即使用于market风险的方法现在已经很好地建立起来，并且所使用的度量是在险价值，这种市场风险的动态抵消部分也是近似的。最近，Delbaenet提出了风险度量的公理。在（Artzner等人，1999)。在Cheridito等人的研究中，已经提出了将这些性质扩展到di-heled erent模型设置中，特别是扩展到动态框架中的建议。(2006、2005)；Cheridito和Kupper(2006)；朱伊尼等人。（2008年）；Stadje(2010)，以及其中的参考文献。最近关于动态市场风险度量的文献综述可在Acciaio和Inner(2011)中获得。本着这些研究的精神，本文所考虑的问题是如何在静态度量的基础上建立易于实现且满足一定性质的动态风险度量。在给定的静态风险测度R和离散马尔可夫链模型的状态经济表示的基础上，我们利用递归公式来实现这一目的。通过这些方法，动态风险度量继承了静态风险R的性质。然后，动态风险度量的计算复杂性被降低到*数学和统计学系，卡尔加里大学2500大学驱动器NW卡尔加里，美国广播公司，T2N 1N4,加拿大。电子邮件:Babacar@ucalgary.ca_ca_haskayne Business School of Business,University of Calgary Calgary,2500 University Drive NW Calgary,AB,T2N 1N4,Canada。对应作者:Relliott@ucalgary.Ca Endisdépartement de Finance,Universitédu QuebecàMontréal,315,rue Sainte-Catherine Est Local R-3555 Montréal,Québec,H2X 3x2,Canada。电子邮件:gueyie.jean-pierre@uqam.cacomputational复杂性的静态风险之一。在解释上，马尔可夫链抓住了经济中的不确定性，而决策者的行为是通过递归公式表达的。论文的组织方式如下。第二节回顾了市场风险度量的一般性质及其解释。第三部分介绍了动态市场风险的递推原理和状态经济学方法。这些动态风险度量的公式继承了静态风险度量的性质。第四节通过两种主要的市场风险度量：价值风险和条件风险价值，给出了递归风险度量和马尔可夫调制风险度量的封闭公式。当考虑高斯和威布尔收益时，这两种风险度量的应用被展示出来。递推风险值给出了一个易于计算的封闭公式，即在任意时刻t只考虑直到时刻t的分布参数。十天时间的模拟结果显示，一个相对较小且稳定的Markovmodulated风险度量可以有助于降低资本需求。

2.静态风险测度的性质考虑一个由随机变量X集合转化为Rué{-∞}}{+∞}=R的函数R。为了简单起见，假定X是一个实值随机变量集合，其取值如下:±X∈X,±m∈R,X+m∈X。在静态和动态条件下，本文给出了市场风险测度的一般性质。（1）识别1 R是一个（静态）货币风险度量，如果它满足以下两个性质：P。单调性:±X,Y∈X,X≤Y≈R(X)≥R(Y),p。平移不变性:±m∈R,R(X+m)=R(X)-m。在单调性下，如果位置X不比位置Y更有价值，那么与X相关的风险将大于与Y相关的风险。平移不变性规定additionalcash降低风险，特别是R(X+R(X))=0。2风险度量R如果满足P、P和：P的性质，则称其为相干的。亚辐射性:±X，Y∈X，R(X+Y)≤R(X)+R(Y)，p。正齐性：若k>0，且X∈X，则R(kX)=kR(X)。在次可加性的情况下，风险通过转移而降低。正同质性意味着风险与投资组合的规模成正比。关于风险度量公理的进一步讨论可以在Artzner等人中找到。（1999；2002）。2.2动态风险度量的性质fix时间范围T>0。未定权益是由随机变量X在概率空间(Ω，F，P)中表示的，随机变量X在概率空间(Ω，F)t∈S上表示的。这里的S，[0；T]是一组时间，包括0和时间范围T。在文献中，有两种方法可以用来描述动态市场风险：一种是在T时刻给出一个有效的支付，另一种是在T<T时刻给出一个随机过程，表示为xt。在这两种情况下，确定时间一致的dynamicrisk度量的问题是至关重要的。时间一致性是指风险度量在特定时间内相互关联的方式。文献中引入了时间一致性的概念。这里所说的时间一致是指强时间一致。考虑一族映射RT:Lp(Ω,FT,P)→Lp(Ω,FT,P）。为了给出dynamicrisk度量的性质，假设X在时间T给出了一个给定的payo，并以Lp(Ω，FT，P)为单位。Denoteby Rt(X)在时间t时与X相关的风险。Rt(X)通常被解释为知道信息ft时t的最小资本金要求。动态风险度量的性质是：d。归一化:Rt(0)=0,d。单调性:±X,Y∈Lp(Ω,FT,P）,X≤YyenRt(X)≥Rt(Y),d。平移不变性:±X∈Lp(Ω,FT,P）,±m∈L∞(Ω,FT,P）,Rt(X+m)=Rt(X)-m,d。局部性质:±X,Y∈Lp(Ω,FT,P）,±a∈FT,Rt(1ax+1acy)=1art(X)+1acrt(Y),d。时间一致性：f X,Y∈Lp(Ω,FT,P）,Rt(X)≤Rt(Y)yenRs(X)≤Rs(Y),S,t∈S,S≤t。归一化后，零头寸不需要任何资本储备来使风险为零。localproperty意味着，如果事件A是ft可度量的，那么决策者应该知道tif A发生的时间，并相应地调整他的评估。在文献中，出现了许多关于时间一致性的解释，这些解释源于偏好和决策策略的解释。时间一致性源于所谓的Bellman原理；参见（Bellman and Dreyfus，1962；Bertsekas and Tsitsiklis，1996)。如果一个动态风险度量满足D、D、D，并且具有以下性质，它就是凸的：D。凸性:λX,Y∈L∞(Ω,FT,P）和任一η:L∞+(Ω,FT,P)→[0,1]Rt(ηX+(1-η)Y)≤ηRt(X)+(1-η)Rt(Y)，(2)其中L∞(Ω,FT,P）是有界FT可测随机变量的空间，且L∞+(Ω,FT,P）,X∈L∞(Ω,FT,P）。凸性的性质说明反向性应随之减小，如果映射rtsatis匹配Dto d，则相干性得到充分利用，正的均匀性得到充分利用。正齐性:±X∈Lp(Ω,FT,P）,±m∈L∞+(Ω,FT,P）Rt(mX)=mRt(X)。

（3）通常，静态风险度量与相应的可接受头寸相关联。可接受集合描述了对不确定性免疫的位置集合。下面的定义将这一概念扩展到动态情况。定义3设RT:Lp(Ω,FT,P）→Lp(Ω,FT,P）是动态风险度量。我们定义了与rtby相关的可接受集:crt:={X∈Lp(Ω,FT,P）Rt(X)≤0}。（4）动态风险测度的性质可以通过相关的可接受集CRt来表示，反之亦然。命题1假定Rtsatis满足性质D、D、D，则CRtsatis满足以下性质。oCRtis不是空的，满足以下性质:INF{m∈Lp(Ω,FT,P)m∈CRt}>-∞,(5a)±X∈CRt,±Y∈Lp(Ω,FT,P）,Y≤XyenY∈CRt。(5b)o设CRtbe。相关动态风险测度RTIS:rt(X)=ess inf{m∈Lp(Ω,FT,P)m+X∈CRt}。(6)Rtis凸当且仅当相关的可接受集CRtis条件凸:θv,W∈CRt,βv+(1-β)W∈CRt,具有β:L∞+(Ω,Ft,P)→[0,1]。(7)Rtis相干当且仅当相关的可接受集CRtis是条件凸锥证明。参见（Cheridito等人，2006年；Roorda等人，2005年）。2在本文的其余部分，我们假定X=(Xt)t≥0是一个在给定概率空间(Ω)内的给定维随机过程，3.新的动态风险度量公式介绍了递归原理和动态市场风险的一种国家经济方法。新的动态风险度量公式比较容易计算和继承静态风险度量的性质。3.1基于递归公式的动态风险度量构造了一个动态风险度量，用(Rt)t∈S，它是基于静态风险度量:X→R。假设时间指标集是离散的，并且是S,{0,.假设给定一个静态风险度量R。我们通过给出的函数集合Rt，得到一个动态递归风险测度，该函数的集合为：取F∈Ft,Rt(X),1fr(xt+rt-1(X)),R(X),R(X),(8),其中如果F∈Ft，1F(w)=0,则取F,1F(w)=0。对上述认识的解释如下：在t=0时，决策者知道风险量R(X)。在时间t=1时，根据他在时间t=0时的知识，为了免疫位置X，需要资本R(X)。然后，在timet=1处的风险位置变成X+R(X)。因此，基于风险测度R和随机过程X产生的信息，在时间t=1时的风险资本为1fr(X+R(X))。任何时刻t的风险都是通过知道t-1时刻的风险的递归来构建的。上述动态风险度量的递归公式类似于Epstein和Zin(1989，1991)提出的递归效用函数。这里介绍的原理是从递归效用出发的，其中递归是基于规划周期中可用的信息。地图集合继承了静态风险度量R的性质。命题2假设X和Y是两个随机过程。假设静态风险测度R:X→R满足单调性，且R(X)≤R(Y)。然后将动态递归风险测度Rtis单调化。假设静态风险测度R:X→R满足平移不变性，且函数R为可加性。然后对动态递归风险度量Rtis不变量进行平移。假设R:X→R是正齐次和可加的。然后，相关的dynamicrecursive风险度量RTSATIS对本地属性进行筛选。假定R:X→R是凸单调的。然后，关联的动态递归风险度量Rtis凸性。我们将证明1.；第二点，第三点。和4。都是直截了当的。证明：1。设X和Y是两个随机过程，使得X≤Y,P a.s.结果表明，对于几乎每一个ω∈Ω,Xt(ω)≤Yt(ω),t=1,。特别是X(ω)+R(X)≤Y(ω)+R(Y)。

由R的单调性得到了F,1fr(X+R(X))≥1fr(Y+R(Y)),然后R(X)≥R(Y),通过递推，当t=1时，Xt(ω)≤Yt(ω)≈Rt(X)≥Rt(Y)。因此Rtis是单调的。假设给定一个动态递归风险度量Rtis。相应的可接受集可以定义为：CRT,{X∈Lp(Ω,FT,P）Rt(X)≤0}。（9）显而易见，上述可接受集可以从静态风险度量的可接受集导出。然后，与动态递归风险度量相关的可接受集可以通过静态风险R的可接受集来表示，并继承了它的性质，作为命题2.3.2马尔可夫调制动态风险度量。本节的目的是为给定的风险度量找出考虑经济状况的动态风险度量。设Z={Zt,t≥0}是一个离散时间的状态马尔可夫链，状态空间Z,{Z,...,zN}是完全概率空间(Ω,F,P）上的。ofZ的状态被解释为一个经济体的直接状态。继（Elliott et al.，1994)之后，我们将Z的状态空间表示为单位向量E,{E,...,eN}的集合，其中ei=(0,..,0,1,0,..,0)>∈RNand>表示矩阵或向量的转置。然后Z具有以下半鞅分解:Zt=Azt-1+mt∈RN，(10)其中A=[aji]i,J=1,...,Nand aji=P Zt=EjZt-1=EI-。A是Markovchain的转移矩阵，Mtis是关于Z生成的序列FZ的鞅增量。假设随机过程X和Z不是独立的。例如，假定在任何时刻t存在一个N向量实值随机变量ext，它代表N个可能的随机变量，例如xt=<ext,zt+1>，t=0。（11）定义6假设时间索引集是离散的，并且定义为：S,{0,...,T}。设RT:Lp(Ω,FT,P）→Lp(Ω,FT,P）为动态风险度量。本文给出了基于状态的动态风险测度RZtasRZt(X),EPⅤRT(X)FTüFZT,t=0,。3.2.1马尔可夫调制动态风险度量的例子假定函数F是马尔可夫链Z的实值函数，则F具有线性表示F(Zt)=F>Zt，其中F=(F，..，FN)>和FI=F(ei)。函数F可以解释为经济各状态的总和。马尔可夫调制的动态风险测度可以根据潜在风险测度的定义来考虑。定义7设静态风险测度R。假设动态风险度量是由:rt(X)=R(Xt)<F,zt+1>,t=0,。.，T，(13)，其中<·,·>是Rn中标量积的状态。然后，导出了基于状态的动态风险度量值Zt(X),Eprt(X)ftüfzt isrzt(X)=R(Xt)<F,azt>,t=1,。..,T,（14）如果Rt(X)=R(Xt)<F,ZT+1>则rzt(X)=eutl<R(Xt)F,ZT+1>ftüfzt=R(Xt)<F,azt>。如果随机过程X和Z是独立的，我们仍然可以构造一个依赖于Z的马尔可夫调制动态风险测度。假设任何经济状态都可以关联，我们假设ZT+1,ZT，当视界时间是T.到一个特定的风险测度。对这一说法的一种可能解释是，决策者的风险厌恶程度取决于经济状况。因此，我们将考虑n维风险测度。设给出一个n向量静态风险测度R，即R，R，...,Rn-with ri:X→R,i=1,。假设动态风险测度为:rt(X)=<R(Xt)>,zt+1>,t=0,。（15）然后，导出了Markov调制动态风险测度RZt(X),Eput(X)ftüfzt isrzt(X)=<R(Xt),azt>,t=1,。.。，T，(16)其中RZ(X)，R(X)。如果动态风险度量值为:ert(X)=<Rt(X)>,zt+1>,T=0，..，T，其中Rt(X)=Rt，....

,Rnt_(17)和Rit(X)=Ri(xt+Rit-1(X)),则导出的Markov调制动态风险测度Zt(X)=Epert(X)ftüfzt iserZt(X)=<Rt(X),Azt>,t=1,。3.2.2 Markov调制动态风险测度的性质Markov调制动态风险测度rzt继承了相关动态风险测度rt的性质。命题3 1。若关联动态风险测度Rtis单调，则基于状态的动态风险测度RZtis单调。基于状态的动态风险度量rztSATIS对局部属性进行识别当且仅当rtSATIS对ftüFZt上的局部属性进行识别时，其中fztS表示由马尔可夫链生成的识别。基于状态的动态风险测度RZtis平移不变性当且仅当Rtis平移不变性在FTüFZT4上。如果关联的动态风险测度Rtis时间一致，则基于状态的动态风险测度RZtis时间一致。证明：我们将证明时间一致性质。其他属性直接来自条件期望属性。假设与Markovmodulated动态风险相关的动态风险测度，Rtis时间一致，假设X,Y∈Lp(Ω,FT,P）,Rt(X)≤Rt(Y)。通过条件期望算子的单调性，得到了put(X)ftüfzt≤eput(Y)ftüfztRZt(X)≤RZt(Y),p.a.s.Rt(X)≤Rt(Y),p.a.s.Rt(X)≤rt-1(X)≤rt-1(Y),p.a.s.Rt(X)≤rt-1(Y),p.a.s.Rt(X)≤rt-1(Y),p.a.s.Rt(X)≤rt-1(Y)。则RZT-1(X)≤RZT-1(Y)。因此，RZtis时间一致。24在风险值和条件风险值上的应用从前一节得到的引理出发，导出了风险值和条件风险值的递归风险测度和马尔可夫调制风险测度的闭式。然后给出了在考虑高斯和威布尔返回时的应用。递归风险值给出了易于计算的封闭公式，即在任何时刻t只考虑直到时刻t的分布参数。Markov调制的风险度量似乎是小而稳定的，这表明在资本管理方面有好处。4.1风险价值（Value-at-RiskValue-at-Risk，VaR）是金融机构使用最广泛的市场风险度量。1995年，在OECD（巴塞尔委员会）中领先的10家银行推荐了这一风险度量方法；BaselII委员会提倡VaR作为标准的风险度量。认识10与随机变量X相关的风险价值，1[被定义为X：varp(X)的最小p分位数，inf{η∈R:ρx(η)≥p}，（19）其中，ρx(η)，P(X≤η)表示X的累积分布函数。达到上述最小值是因为函数ρX在左边连续且不递减。如果ρX连续且递增，那么η=VaRp(X)是方程式ψX(η)=p的唯一解。否则，后一方程式可能有解（当X的密度为零时）或根本没有解（当概率密度离散时）。例如，说一个投资组合的var99%等于100美元，意味着该投资组合的最大价值损失小于100美元，概率为99%。不幸的是，作为一个分位数，theVaR没有考虑极端事件，它不是次加法。转嫁并不一定会降低风险价值。因此，VaR不是相干的，也不是凸的。我们将（19）中定义的staticValue-at-Risk扩展到2.2节中介绍的动态框架。在实际应用中，计算VaR的方法主要有三种：历史方法、参数方法和蒙特卡罗方法。每一种方法都有优点和缺点。

当考虑参数方法时，静态VaR可以通过时间序列估计方法扩展到一个动态框架下，假设下的因素为正态分布。事实上，如果在t时刻，随机变量Xt'AN(μt,σt)thenVaRp(Xt)，μt+σtq1-p，(20)作为市场风险的标准，但当使用VaR时，风险值不能降低，如前面所述。其中q1-p代表标准正态分布的分位数。然后，一旦设置了一种估计方法来分别确定μT+1和σT+1，则可以计算与XT+1相关的风险价值。本文还将讨论随机变量Xt服从Weibull分布的情形。形状参数小于1的Weibull分布是一种常见的重尾分布，可以近似多种分布函数。在实践中，给定一组数据，通常可以根据数据的方差和均值，在对Weibull分布的参数进行校准时，找出一个Weibull分布来找出数据。回想一下，如果Xtis使Weibull分布变元，参数λt>0,αt>0和θt，即xtW(λt,αt；θt)，即相关的累积分布函数θXt，由:(η>0)θXt(η),1-e-η-θtλtθαt,如果η≥θt,0,别处给出。(21)VaRp(Xt)，与Xtis相关的风险值由p=θXt VaRp(Xt)。ThenVaRp(Xt)=θt+λt-ln(1-p)αt。引理1假定随机收益(X，.，XT)是独立同分布的。假定xt'AN(μt,σt)和VaRp(X)=VaRp(X)。与X相关的基于风险值的动态递归为:varpt(X)=txk=1(-1)t-k(μk+σkq1-p)+(-1)t(μ+σq1-p)。（23）2。假定xtW(λt,αt；θt)使得与xtis相关的累积分布函数在（21）中得到，并且VaRp(X)=VaRp(X)。基于与X相关的递归的动态风险值为:varpt(X)=txk=1(-1)t-kθk+λk-ln(1-p)→αk+(-1)tθ+λ-ln(1-p)α。（24）证明：对于t=1,VaRp(X)=VaRp(X+VaRp(X))=VaRp(X)=VaRp(X)+VaRp(X).利用平移不变性，得到VaRp(X)=VaRp(X)-VaRp(X).通过归纳法，对于任何给定时间t≥1和任何自然数n≤t，VaRp(X)由:VaRp(X)=txk=t-n+1(-1)t-kvarp(X)+(-1)nvarp-n(X).（25）对于t=n，我们得到了闭式arpt(X)=txk=1(-1)t-kvarp(Xk)+(-1)tVaRp(X)。（26）1。如果Xk￣N(μk,σk)，则VaRp(Xk)=μk+σkq1-p。根据规定，VaRp(X)=VaRp(X)。通过用（26）中的Varp(Xk)的值代替Varp(Xk)，我们得到了所需的结果。若Xk→W(λk,αk；θk)，则VaRp(Xk)=θk+λk-ln(1-p)→αk。因此，用（26）中的VaRp(Xk)代替其值，得到等式（24）。如果随机收益的密度函数存在，则可以通过随机收益的密度函数的参数来解释随机收益与Markov链所表示的经济状态之间的依赖关系。例如，1。若xtíN(μt,σt)，则μt,<μs,Zt+1>和σt,<σs,Zt+1>,其中μs,σ∈Rn；2。若xtW(λt,αt；θt)，则λt,<λ,Zt+1>，αt,<α,Zt+1>和θt,<θ,Zt+1>随λ,α,θ∈Rn。引理2假定返回xta是高斯且独立的，其中μt,<μ,Zt+1>和σt,<σ,Zt+1>随μ,σ∈Rn。假设动态风险值由递归公式驱动，则Markov调制动态风险值为VaRp z(X),VaRp(X)和（27）varpt z(X)=txk=1(-1)t-k(μk+σkq1-p)+(-1)t(μ+σq1-p),（28）其中μk=<μa>，zk>和σk=<σa>，zk>。2引理3设xt→W(λt,αt；θt),其中λt,<λ,Zt+1>和θt,<θ,Zt+1>与λ,θ∈Rn。

假设动态风险值由递归公式驱动，即VaRpt(X)=txk=1(-1)t-kθk+λk-ln(1-p)→αk+(-1)tθ+λln(1-p)α,则Markov调制的动态风险值为VaRp z(X),VaRp(X)和varptz(X)=txk=1(-1)t-kθk+λk-ln(1-p)→αk zk+(-1)tθ+λln(1-p)α，(29)其中λk=<λa>，zk>和θk=<θa>,zk>。证明：证明是立即的。24.2条件风险值在风险文献中引入了条件风险值，以克服VaR的局限性；参见（Artzner et al.，1997；Embrechts et al.，1999)。则相关的CVaR是条件期望：Cvarp(X),eutlx X≥V aRp(X)。（30）下面的定理允许我们将CVaR改写为一个优化问题的解。Denotel+=max(l,0）。定理1对于任意随机变量X，当e[X]<+∞时，函数Fp(X，·)是凸的，连续可穷且cvarp(X)=minη∈RFP(X，η)。（32）上述优化问题的解集(X)=Argminη∈RFP(X,η)(33)是非空的、闭的和有界的。然后，V aRp(X)∈Argminη∈RFP(X,η)和CVaRp(X)=FP X,V aRp(X).证明：参见（Rockafellar and Uryasev,2000）。引理4假设随机收益(X，.，Xt)是独立同分布的。假定在时间t,xtéN(μt,σt)时的返回值。与X相关的基于动态条件风险值的递归是:CVaRp(X)=CVaRp(X)，对于t=1，..，T(34)CVaRpt(X)=μT+σTq1-P-Cvarpt-1(X)，如果xt≤VaRp(Lt)-2Cvarpt-1(X),则p.a.sμt-P1-P-σTq1-P+1+P1-PCvarpt-1(X)。（35）2。假定在时间t时的返回值，xt→W(λt,αt；θt)。基于与X相关的递归的动态条件风险值为:CVaRp(X)=CVaRp(X)，对于t=1，。.，T(36)CVaRpt(X)=θT+λt-ln(1-p)→αt-cvarpt-1(X),如果Xt≤VaRp(Xt)+2cvarpt-1(X),1-pe[Xt]-p1-pθT+λt-ln(1-p)→αT+1+p1-pcvarpt-1(X),其他地方。（37）证明：我们将证明1。作为2的证明。按照相同的步骤。从定义4中，基于与X isCVaRpt(X)=cvarp xt+cvarpt-1(X)-相关的递归的动态cvarpt，根据定理1，上述动态cvarpt=varp xt+cvarpt-1(X)+1-peh xt+cvarpt-1(X)-varpt-1(X)+cvarpt-1(X)+i.from（20）,varp xt+cvarpt-1(X)=μt-cvarpt-1(X)+σtq1-p。则varpt(X)=μt-Cvarpt-1(X)+σtq1-p+1-peh xt+cvarpt-1(X)-∑tq1-1(X)-σtq1-p+i，=μt-Cvarpt-1(X)+σtq1-p+2cvarpt-1(X)+I.引理5假设返回值xta是高斯且独立的，其中μt,<μ，zt+1>和σt,<σ，zt+1>带有μ，σ∈rn。假设动态风险值由递推公式驱动，则Markov调制动态风险值为CVaRp z(X)=CVaRp(X),对于t=1,。..,t cvarpt z(X)=μt+σtq1-p,如果Xt≤VaRp(Xt),则μt+p1-pσtq1-p,别处。（38）证明：按照引理2的证明步骤，使用引理4的结果。2引理6假定返回xtW(λt,αt；θt)且独立，其中λt,<λ,Zt+1>和αt,<α,Zt+1>与λ,α,θ∈Rn。假设动态风险值是由递归公式驱动的。则Markov调制的动态条件风险值为CVaRp z(X)=CVaRp(X),对于t=1,。.............................................................................................................................................................................................24.3说明通过模拟，我们将说明在两个直接问题中，在前面引理中得到的封闭动态风险公式。这说明了当随机收益为高斯型时的动态风险。

高斯回报的参数是根据1970年至2009年间MSCI世界发达市场业绩指数和马尔可夫链进行校准的。第二个重点是服从威布尔分布的随机收益。Weibull分布的参数是根据NYMEX市场上引用的一个投资组合指数（即global equityportfolio index）的历史数据来校准的。关于全球股票投资组合指数的完整风险/回报报告也可在彭博社获得。Weibull分布的参数将取决于经济状况。注意动态风险测度和马尔可夫调制风险测度相对容易计算。结果表明，递归风险测度和马尔可夫调制风险测度受静态风险测度的约束，因而可能导致较低的资本要求。4.3.1高斯回归假设xt'AN(μt,σt)。则μt，<μ，Zt+1>和σt，<σ，Zt+1>，其中μ，σ∈RN，这里=2。为了校准∑T和σT，假设风险资产的回报XèN(M,∑)（初始投资为1000美元美国），其中的平均值和标准差是根据1970年至2009年间MSCI世界发达市场表现年度指数校准的。因此，平均值为M=1 113.3425美国元，标准差为∑=186.29美国美元。然后，写∑，∑*1.05 m*0.95和σ，∑*1.05∑*0.95。对于马尔可夫链，假定转移矩阵isA=0.25 0.750.35 0.65,使得Z=[1；0]>。控制级别p被定义为0.99。考虑10天的时间范围，这是市场风险报告中通常的时间范围。然后计算并比较了市场风险的两种表现形式：静态、动态递归和马尔可夫调制风险的一种情形。图1中收集了这些结果。首先，VaR低于CVaR，这与VaRis低于CVaR的事实是一致的。其次，对于VaR和CVaR来说，递归风险和马尔可夫调制风险在大多数情况下都被静态风险所限制。我们已经绘制了马尔可夫调制风险的轨迹，但更多的模拟显示了相同的行为。请注意，RecursiverISK比其他风险更易变，因为它在某些日子导致高风险，而在其他日子导致低风险。这是因为，在投资组合中加入现金试图降低风险。4.3.2 Weibull分布的收益我们从估计Weibull分布的参数开始，即λt，αt和θt。为此，我们从Bloomberg获得的实际数据中推导出λ和α，然后生成λt，αt。假定θt=0,对于t=0,。...,T.参数λ和α是根据彭博社BBGEX在12/30/11至09/27/12期间的全球股票投资组合的回报进行校准的。作为tradedportfolio指数，历史数据和完整的风险报告（收益、风险和相对于地平线时间的风险/收益比）可以从Bloomberg获得，见图2。然后我们将λT，<λ，ZT+1>定义为λ∈R，并将λ，ρλ*1.05λ*0.95和αT，α写成allt=1，...T.用Matlab命令WBL firet求出λ=6.7679和α=0.8016。然后计算和比较了两种不同的市场风险，如图3所示。对于VaR和CVaR来说，递归和马尔可夫调制风险再次远远高于静态风险。递归风险度量的行为2 4 6 8 100 10020030040050060070080010天水平值–AT–RiskVar vs VaR–Recur Varvar–Recur 2 4 6 8 100 20040060080010001200140010天水平条件值–AT–RiskCVar vs CVaR–Recur CVARVAR–Recur 2 4 6 8 101 002003004005006000080080010天水平值–AT–RiskVar vs Markov调制VaR varz–VaR 2 4 6 8 102 00300400500600800100010001100120010天水平条件值–AT–RiskCVar vs Markov调制CVaR cvarz–VaR 2 4 6 8 102 00300400500500000010001000120010天水平与高斯返回。是comformed的，上面被静态风险限制，有时为空。

马尔可夫调制风险相对稳定且较低。图2：Bloomberg全球股票投资组合的历史数据和风险报告。0 2 4 6 8 100 10203040506010天水平VaR（百分比）VaR vs VaR-recur varvar-recur 0 2 4 6 8 100 10203040506010天水平VaR（百分比）CVaR vs CVaR-recur cvarcvar-recur 0 2 4 6 8 104 243444546474810天水平VaR（百分比）VaR vs Markov调制VaR varz-VaR 0 2 4 6 8 104 243444546474810天水平VaR（百分比）CVaR vs Markov调制CVaR cvarz cvarz-cvarz图3：威布尔回报的动态风险。总之，动态公式与文献中现有的公式相比，所提出的市场风险度量相对容易计算和解释。其次，马尔可夫调制风险比静态风险给出了更低的值，并且不需要像基于递归的风险那样多的额外现金。此外，在风险管理方面，马尔可夫调制风险可能更好，因为它们导致较低的资本要求，并通过考虑经济状况给出更好的估计。一个缺点是如何校准经济增长速度的参数。这些参数是否依赖于某种类型的回报，或者是否可以针对任何类型的资产进行校准？由于转移矩阵出现在马尔可夫调制风险封闭公式中，这些问题是开放的，也是至关重要的。5.结论利用递归公式和状态经济表示，得到了易于计算的动态风险度量公式。从平移的不变性质出发，导出了具有递归公式的动态风险。马尔可夫调制风险是基于一个表示经济状态的状态离散马尔可夫链。在这两种情况下，动态风险度量都继承了用于表示动态风险度量的初始风险度量的属性。在给定时间t下，静态风险测度不一定大于递归动态风险测度，马尔可夫调制风险测度给出的值更低。将动态风险公式扩展到一个连续的时间框架中会很有趣。《巴塞尔规则：资本计量和资本标准的国际趋同》，巴塞尔银行监管委员会，可在以下网址下载:http://www.bis.org/publ/bcbs118.pdf，2005年。.章节标题。《巴塞尔金融体系：国际流动性风险衡量、标准和监测框架》，巴塞尔银行监管委员会，可在http://www.bis.org/publ/bcbs188.pdf，2010年下载。.Acciaio,B.和Inner,I.，2011年。载于:《动态风险度量》，1-34纽约：载于G.Di Nunno和B.Uzksendal（编辑），《金融的高级数学方法》，Springer.Artzner,P.等人，1997年。连贯地思考风险。Risk，10(11)，68-71.Artzner,P.等，1999。一致的风险度量。数学金融，9,203-228.Artzner,P.等，2002。相干多周期风险度量。可下载的工作文件：//www.math.ethz.ch/~delbaen.Bellman,R.和Dreyfus,S.，1962年。应用动态规划。普林斯顿：普林斯顿大学出版社。Bertsekas和Tsitsiklis,J.N.,1996年。神经动力程序设计。贝尔蒙特：Athena Scienti,Cheridito,P.,Delbaen,F.和Kupper,M.，2005年。无界Càdlàg过程的相干凸货币风险测度。金融随机，9(3)，369-387。Cheridito,P.,Delbaen,F.和Kupper,M.，2006。有界离散时间过程的动态货币风险度量。电子概率杂志，11(3)，57-106.Cheridito,P.和Kupper,M.，2006。离散时间度量的时间一致动态货币风险的构成。出版前，Reprint.Elliott,R.J.,Aggoun,L.和Moore,J.B.,1994年。隐马尔可夫模型：估计与控制。柏林，海德堡，纽约：Springer。Embrechts,P.Resnick,S.和Samorodnitsky,G.，1999。极值理论作为风险管理工具。北美精算杂志，第3（2）,32-41页。