基于序贯蒙特卡罗的障碍期权估值

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Valuation of Barrier Options using Sequential Monte Carlo》
---
作者：
Pavel V. Shevchenko and Pierre Del Moral
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  Sequential Monte Carlo (SMC) methods have successfully been used in many applications in engineering, statistics and physics. However, these are seldom used in financial option pricing literature and practice. This paper presents SMC method for pricing barrier options with continuous and discrete monitoring of the barrier condition. Under the SMC method, simulated asset values rejected due to barrier condition are re-sampled from asset samples that do not breach the barrier condition improving the efficiency of the option price estimator; while under the standard Monte Carlo many simulated asset paths can be rejected by the barrier condition making it harder to estimate option price accurately. We compare SMC with the standard Monte Carlo method and demonstrate that the extra effort to implement SMC when compared with the standard Monte Carlo is very little while improvement in price estimate can be significant. Both methods result in unbiased estimators for the price converging to the true value as $1/\\sqrt{M}$, where $M$ is the number of simulations (asset paths). However, the variance of SMC estimator is smaller and does not grow with the number of time steps when compared to the standard Monte Carlo. In this paper we demonstrate that SMC can successfully be used for pricing barrier options. SMC can also be used for pricing other exotic options and also for cases with many underlying assets and additional stochastic factors such as stochastic volatility; we provide general formulas and references.
---
中文摘要：
序贯蒙特卡罗（SMC）方法已成功地应用于工程、统计学和物理学等领域。然而，这些在金融期权定价文献和实践中很少使用。本文提出了一种对障碍条件进行连续和离散监测的障碍期权定价的SMC方法。在SMC方法下，由于障碍条件而被拒绝的模拟资产价值从不违反障碍条件的资产样本中重新取样，从而提高期权价格估计器的效率；而在标准蒙特卡罗下，许多模拟资产路径可能会被障碍条件拒绝，这使得更难准确估计期权价格。我们将SMC与标准Monte Carlo方法进行了比较，并证明了与标准Monte Carlo方法相比，实现SMC所需的额外努力非常少，而价格估计的改善可能是显著的。这两种方法都会使价格无偏估计值收敛到$1/\\sqrt{M}$的真实值，其中$M$是模拟的数量（资产路径）。然而，与标准蒙特卡罗方法相比，SMC估计的方差较小，且不随时间步长的增加而增加。在本文中，我们证明了SMC可以成功地用于障碍期权的定价。SMC还可用于其他奇异期权的定价，也可用于许多标的资产和其他随机因素（如随机波动性）的情况；我们提供一般公式和参考。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> Valuation_of_Barrier_Options_using_Sequential_Monte_Carlo.pdf (449.11 KB)

2022-5-6 15:11:05 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：障碍期权 蒙特卡罗 蒙特卡 Successfully Applications

使用顺序Monte CarloPavel V.ShevchenkoCSIRO计算信息学对障碍期权进行估值，地址：新南威尔士州北莱德朱利叶斯大道11号，邮编：2113，澳大利亚新南威尔士州数学与统计学院。Shevchenko@csiro.auPierre新南威尔士州数学与统计学院，新南威尔士州2052，澳大利亚。德尔-moral@unsw.edu.auFinal2015年7月24日版本，2014年5月17日第1版摘要序贯蒙特卡罗（SMC）方法已成功应用于工程、统计学和物理学的许多应用中。然而，这些在金融期权定价文献和实践中很少使用。本文提出了一种对障碍条件进行连续和离散监测的障碍期权定价方法。在SMC方法下，从未违反障碍条件的资产样本中重新采样因障碍条件而被拒绝的模拟资产价值，从而提高期权价格估计器的效率；在标准蒙特卡罗下，许多模拟的资产路径可能会被障碍条件拒绝，这使得更难准确估计期权价格。我们将SMC与标准Monte Carlo方法进行了比较，并证明与标准Monte Carlo方法相比，实施SMC的额外效果非常小，而价格估算的改善可能非常显著。这两种方法都得到了价格收敛到真值为1{？M的无偏估计，其中M是模拟次数（资产路径）。然而，与标准蒙特卡罗方法相比，SMC估计的方差较小，且不随时间步数的增加而增加。本文证明了SMC方法可以成功地用于障碍期权的定价。

SMC还可用于其他奇异期权的定价，也可用于许多标的资产和其他随机因素（如随机波动率）的情况；我们提供一般公式和参考。关键词：序贯蒙特卡罗，粒子方法，费曼-卡茨表示法，势垒期权，蒙特卡罗，期权定价1简介序贯蒙特卡罗（SMC）方法（也称为粒子方法）多年来已成功地应用于工程、统计学和物理学中的许多应用，尤其是在信号处理中，随机事件概率的状态空间建模和估计。SMC方法与量子蒙特卡罗方法一致，量子蒙特卡罗方法是1948年恩里科·费米在研究中子散射时引入的一种启发式物理方案。从数学角度来看，SMC方法可以看作是费曼-卡茨模型的平均场粒子解释。对于这些随机模型和应用的详细分析，我们参考了德尔莫勒尔（Del Moral，2004，2013）的两本书以及其中的参考文献。这些粒子方法在数学金融中的应用最近已经开始。例如，利用SMC的罕见事件解释，Carmona et al.（2009）和Del Moral&Patras（2011）提出了SMC算法，用于计算大型信贷组合中的同时违约概率，Targino et al.（2015）开发了用于资本分配问题的SMC。有许多文章利用SMC来估计随机波动率、跳跃扩散和状态空间价格模型，例如Johannes等人（2009年）和Peters等人（2013年）。最近，第二作者在Carmona等人（2012）的系列文章中开始了SMC方法在期权定价中的应用；德尔莫勒尔等人（2011、2012a、b）；Jasra&Del Moral（2011）。

然而，这些方法在期权定价从业者和期权定价文献中并不广为人知。本文旨在为SMC方法及其效率提供简单的说明和解释。使用SMC为许多exoticoptions定价是有益的。为了便于说明，我们考虑标的资产具有简单几何布朗运动的障碍期权。SMC还可用于pricingother奇异期权和不同的基本随机过程；我们提供一般公式和参考。障碍期权在交易中被广泛使用。当基础资产达到特定水平（障碍）时，期权失效（取消）或激活（取消）。许多相关的更复杂的工具，如双变量障碍、阶梯、阶梯式或阶梯式障碍期权，在场外交易市场非常流行。一般来说，这些期权可以被视为收益取决于基础资产路径极值的期权。在经典的BlackScholes条件下，在波动率、利率和障碍水平不变的情况下，得到了单一标的资产上此类工具的各种闭式解。例如，见Heynen&Kat（1994b），Kunitomo&Ikeda（1992），Rubinstein&Reiner（1991）。如果屏障选项基于两种资产，那么对于Heynen&Kat（1994a）和He等人（1998）中考虑的一些特殊情况，可以获得实用的分析解。然而，在实践中，出于多种原因，例如，如果对恒定波动性和漂移的假设放松，或者支付过于复杂，则会使用数值方法对障碍期权进行定价。诸如二项式和三项式晶格（Hull&White，1993；Kat&Verdonk，1995）或有限差分格式（Dewyne&Wilmott，1994）等数值格式可以应用于该问题。

然而，这些方法的实施可能很困难。此外，如果定价方程中涉及两个以上的标的资产，那么这些方法是不实用的。蒙特卡罗（MC）模拟方法是一种很好的通用定价工具；有关屏障选项的高级蒙特卡罗方法，请参见Gobet（2009）。许多研究都是通过在离散日期对资产进行抽样来发现持续监测资产的极值。由于需要大量的采样日期和模拟，标准的离散时间MC方法在计算上非常昂贵。采样日期之间连续时间路径的所有部分的信息丢失会导致期权价格出现重大偏差。对于Naa1，偏差下降非常缓慢，为1{N，其中N是等间隔采样日期的数量（参见Brodie等人1997，这也说明了如何通过连续屏障案例，通过对屏障应用某些偏移，近似计算离散监测屏障选项）此外，由于采样误差有限，通常很难将蒙特卡罗估计值外推到连续极限。对于单一基础资产的情况，Andersen&Brotherton Racli ffe（2006）和Beaglehole等人（1997）表明，可以通过一种简单的调节技术，即所谓的布朗桥模拟，消除偏差。该方法基于模拟采样日期之间的一维布朗桥极值，根据极值分布的简单分析公式（或仅将模拟期权支付乘以未穿过采样日期之间障碍的路径的条件概率）；另见（格拉斯曼，2004年，第368-370页）。

在标的资产遵循标准对数正态过程的情况下，该技术非常有效，因为如果障碍、漂移和波动性在时间范围内保持不变，则只需要一个时间步来模拟资产路径及其极值。格拉斯曼和斯塔姆（Glasserman&Staum，2001）研究了在不跨越障碍的条件下对标的资产进行密切相关抽样的方法。正如舍甫琴科（2003）所研究的那样，布朗桥模拟方法也可以应用于多重基础资产的情况。重要抽样和控制变量方法可用于降低障碍期权价格MC估计量的方差；关于教科书式的治疗，参见Glasserman（2004）。为了提高时间离散化方案的收敛性，在更一般的基础随机过程的情况下，Giles（2008a，b）引入了一种用于金融期权定价的多级蒙特卡罗路径模拟方法，包括障碍期权，该方法通过使用不同数量的时间步长组合结果，提高了MC路径模拟的计算效率。Gobet&Menozzi（2010）开发了一个多维停止扩散过程的程序，该程序通过改变边界来解释边界修正，该程序可用于在多资产和多障碍期权具有更一般基础过程的情况下改进障碍期权MC估计。然而，当障碍条件拒绝的资产路径数量增加时（即，资产路径在不突破障碍的情况下达到到期的概率降低；例如，当障碍越来越接近资产点时），MC估计器的变异系数增加。这可以通过SMC方法进行改进，SMC方法从每个屏障监测日期未违反屏障条件的资产样本中重新采样屏障条件拒绝的资产价值。

SMC和MCestimators都是无偏的，都收敛到真值1{？M，其中M是模拟的数量（资产路径）但SMC的方差较小。本文介绍了SMC算法，并对SMC和MC估计进行了比较。为了便于说明，我们将重点放在一个标的资产的情况上，但该算法可以很容易地适用于多个标的资产以及其他随机因素（如随机波动率）的情况。请注意，我们没有解决由于时间离散化而产生的误差，但在给定的时间离散化下，我们提高了optionprice抽样估计器的精度。论文的组织结构如下。第2节描述了模型和符号。在第3节中，我们提供了基于SMC方法的Feynman-Kac表示的基本公式。第4节介绍了SMC和蒙特卡罗算法以及相应的期权价格估值器。第5节讨论了使用重要性抽样改进ESMC估计量。第6节给出了数值例子。最后一节给出了结束语。2模型假设标的资产遵循风险中性过程（1）其中u“r`q是漂移，r是无风险利率，q是连续分割利率（如果是STI汇率，则对应于外国利率；如果是STI股票，则对应于持续股息）σ是波动率，WT是标准布朗运动。利率可以是时间的函数，漂移和波动可以是时间和基础资产的函数。

本文不考虑时间离散误差；为简单起见，以下我们假设模型参数是时间的分段恒常函数。2.1定价障碍期权持续监控的淘汰障碍期权（具有较低障碍Lt和较高障碍Ut）的今日公平价格可计算为托里斯克中性过程（1）的预期价格，给出今天t“0（即以S”S为条件）QC“B0，TE`hpSTq1AtpStqtPr0，t S，B0，t”esTrpτqdτ，（2）其中B0，是从到期日t到t“0”的贴现因子；如果x P A为0，则1Apxq是指示函数等于1；hpxq是支付函数，即hpxq“maxpx”K，0q表示看涨期权，hpxq“maxpK”表示看跌期权，0q表示看跌期权，其中K表示看跌期权，其中K的价格为K；以及“pLt，Utq。通过为相应时间段设置Lt”0或Ut”8，可以获得所有标准屏障结构，例如仅下屏障、上屏障或多个窗口屏障。假设漂移、波动性和屏障是时间离散化0“tata¨tN的分段常数函数“T.表示相应的资产价值asS，S，…，SN；下限和上限分别表示为L，…，LN和U，…；漂移和波动性分别表示为u，…，u和σ，…，σN。也就是说，Lis表示时间段rt，ts的下限；Lis表示rt，ts等，与上限、漂移和波动性类似。如果rtn\'1，tns期间没有下限或上限，则我们et Ln“0或un”8。表示从Sn到Sn`1as f pSn`1 | Snq的转变密度，在过程（1）中，对于溶液n“Sn\'1exp^pun'σnqδtn`σnaδtnZn˙，n”1，…，n，（3）其中δtn“tn\'tn\'1和Z，…，Zn是标准正态分布的独立且相同分布的随机变量。如果在t，t。

，tN（离散监测屏障），期权价格（2）简化为QD“B0，TE ~hpSNqN'zn”1pLn，UnqpSnq,。（4）这是对持续监测的屏障期权qc的有偏估计，因此QD~nqc表示δtn 0；见Brodie等人（1997年）这也说明了在一维布朗运动的情况下，如何通过连续的障碍期权价格近似计算受严格监控的障碍期权，并将一些位移应用于障碍（关于高维情况和更一般的过程，请参见Gobet&Menozzi 2010）。对于连续监测的屏障，障碍期权价格预期（2）可以写为qc“B0，TzULdsfps | sqgps，sqzunlndsnfsn | sN\'1qgpsN\'1，sNqhpsNq，（5）其中gpSn\'1，Snq是rtn\'1内没有障碍击中的概率，tns条件是SnPpLn，Unq和sN\'1P pLn\'1，Un\'1q。对于rtn\'1内的单个障碍水平Bn（无论是较低的Bn\'ln\'ln还是较高的Bn\'Un），tns，gpSn\'1，Snq\'1exp\'2ln\'{Bnqσnδtn˙（6）对于rtn\'1，tnsgpSn\'1，Snq“1"ym”1rRnpαnm\'γn，xnq`Rnp\'αnm\'βn，xnqs`Rnp\'αnm，xnq`Rnp\'αnm，xnq`Rnp\'αnm，xnqs，（7）其中xn“lnsnsnsn\'1，αn”2lnn，βn“2lnn\'1，γ”2lnn\'2lnn\'1，lnn\'2lnn\'2lnn，xnqn“exp^'zpz'2xq2σnδtn˙。通常，上述总和中的少数项足以获得良好的精度（在实际实现中，项的数量可以自适应以达到所需的精度；时间步长δtn越小，所需的项数就越少）。公式（6）和（7）可以很容易地从已知的布朗运动的最大值和最小值分布中获得（见Borodin&Salminen，1996年；Karatzas&Shreve，1991年）；也可以在舍甫琴科（2011）中找到。积分（5）可以重写为qc“B0，Tzdsfps | sqgps，sq1pL，UqpsqzdsNfpsN | sN\'1qgpsN\'1，sNqhpsNq1pLU，UNqpsNq”B0，T^E)hpSNqN'zn“1`pLn，unqpsnqpsnqgpsn 1，Snq。

（8） 下一节中的公式（11）给出了可能提供更有效数值估算的屏障选项的替代表达式。本文未对其进行分析，也未对其进行进一步研究。2.2障碍期权的替代方案障碍期权价格的积分（8）也可以用马尔可夫链PSN重写，从atpS开始，用基本转换Pr\'pSnP dsn | pSn\'1“sn\'1”：“Pr pSnP dsn | sn\'1”sn\'1q 1pLn，UnqpsnqPrpSnP pLn，Unq | sn\'1“sn\'1q”。（9）我们很容易地检查pSn“pSn\'1exp\'an`bnpZn”（10）是否有：“pun |σnqδtn和bn：“σnaδtn.此外，给定状态变量pSN\'1，pZnstands为标准高斯随机变量，仅限于集合‘AnppSn\'1q，bnpsn\'1q’，其中AnppSn\'1q:”ln^LnpSn\'1˙{BN和BnppSn\'1q:“ln^UnpSn\'1˙{bn.设Φpxq:“sx\'8？2πe\'y{2dy是标准正态（高斯）分布函数，其逆函数是Φ1p–q。在这种表示法中，我们有Pr pSnP pLn，Unq | Sn\'1“Sn\'1q”Pr pZnP pAnpsn\'1q，Bnpsn\'1qq | Sn\'1“Sn\'1q”ΦpBnpsn\'1qq。我们还可以模拟转换psn\'1；psnb通过均匀随机抽样抽取（10）pZn\'Φ'AnppSn'1q'Un'Φ'BnppSn'1q''Φ'AnppSn'1q''。如果我们设立了一个QQ，那么我们就有了那个QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ，“k”1āk\'1psk\'1q+#n'zk“1Pr\'pSkP dsk | pSk\'1“Sk\'1”+，由此我们得出结论，qc“B0，T^E)hppSNqN'zn“1pGn\'1ppSn\'1，pSnq,（11）具有r0，1s值的潜在函数SPGN\'1ppSn\'1，pSnq:“%n\'1ppSn\'1q gppSn\'1，pSnq。