非参数随机贴现因子分解

该条件隐含地限制了k随n增长的最大速率。补充材料中的附录C.1给出了假设3.3的一些有效条件。在给出关于收敛速度的主要结果之前，我们首先介绍约束近似偏差和采样误差的常数序列。由于本征函数仅按比例标准化，因此施加标准化kφk=1和kφ*k=1。定义：δk=k∏kφ- φk和δ*k=k∏kφ*- φ*k、 （22）这里是δ和δ*K测量近似φ和φ产生的偏差*δ和δ的Bk界元素*当φ和φ*属于H？older、Sobolev或Besov类（参见，例如，Chen（2007））。设ck=G1/2ck和c*k=G1/2c*将CKC和CKC标准化*kso认为k)ckk=k)c*kk=1（这相当于kφkk=kφ*kk=1）。在假设3.3下，我们可以选择正序列ηn，和η*n、 k都是o（1），所以：k（（bGo）-1cMo- Mo）~ckk=Op（ηn，k）和k（bGo）-1mo0- Mo0）~c*kk=Op（η）*n、 k）。（23）附录C.1给出了ηn和η的界限*n、 k.定理3.1假设3.1-3.3成立。然后：（a）|ρ- ρ|=Op（δk+ηn，k），如果M不是紧致的，但对于某些τ，Mτ是紧致的≥ 2，然后可以将估计量应用于Mτ而不是M，并将解（ρτ，φ）估计为Mτφ=ρτφ，类似地，也可以估计φ*. ρτ、φ和φ估计量的大样本性质*然后直接遵循定理3.1-3.5。（b） k^φ- φk=Op（δk+ηn，k）（c）k^φ*- φ*k=Op（δ）*k+η*n、 k）式中δ和δ*第（22）和ηn，kanη中定义了kare*n、 kare在（23）中定义。^φ和^φ的收敛性*应理解为在标度归一化kφk=1，k^φk=1，kφ下保持*k=1和k^φ*k=1，符号归一化hφ，^φi≥ 0和hφ*,^φ*我≥ 值得注意的是，定理3.1适用于^ρ、^φ和^φ*根据满足假设3.3的任何估值器SBG和CM计算。

事实上，定理3.1非常通用，适用于具有潜在状态向量的模型，无需修改：所需的只是可以构造满足假设3.3的G和M的估计量。定理3.1显示了非参数估计中遇到的常见偏差-方差权衡。偏置项δ和δ*k将在k中减少（因为φ和φ*随着k的增加，近似于越来越丰富的子空间）。另一方面，方差项ηn，kandη*n、 kwill通常在k（更大的矩阵）中增加，在n（更多数据）中减少。选择k来平衡偏差项和方差项将产生最佳的收敛速度。作为说明，我们现在建立^φ和^φ的收敛速度*在案例1中，BG和Cmare如（17）和（18）所示，在统计学文献中关于最优收敛速度的标准条件下。虽然以下条件在定价环境中不一定合适，但结果对^φ和^φ的收敛性有一定的参考价值*.设Wp={f∈ L:P | a|≤pkDafk<∞} 和达夫=a++公元斧头···adxdf和| a |=a+…+一个光滑的Sobolev空间∈ N配备标准kf kWp=P | a|≤pkDafk。推论3.1假设3.1和下列条件成立：（i）X RDI为紧凑矩形；（ii）Q具有远离零的连续密度；（iii）φ，φ*∈ wp和M是一个有界线性算子，它来自于某些p的Linto W′pf≥ p>0；（iv）由具有等间距内部节点的ν>p阶张量积B样条平移；（v） E[m（X，X）r]<∞ 对于一些r>2；（vi）k2+2/r/n=o（1）；（vii）X是指数混合。然后：假设3.2和3.3成立，我们可以取δk，δ*k=O（k-p/d）和ηn，k，η*n、 k=O（k（r+2）/2r/√n） 。

选择k nrd2rp+（2+r）并矢：k^φ- φk=Op（n）-rp2rp+（2+r）d）k^φ*- φ*k=Op（n）-rp2rp+（2+r）d）。如果m是有界的，则速率变为n-p/（2p+d），当回归函数属于Wp时，这是非参数回归估计的最佳L-范数率。筛法也可用于数值计算ρ、φ和φ*在没有解析解的模型中。对于此类模型，矩阵M和G可以直接计算（例如通过模拟或数值积分）和ρk、φk和φ*可通过求解（15）得到。引理A.2给出了速率|ρk- ρ|=O（δk），kφk- φk=O（δk），和kφ*K- φ*k=O（δ）*k） 。我们在结束这一小节时给出了一条关于δ和δ的注释*kunder基于筛基Bk的附加条件。假设3.2意味着M是紧致的。因此，M有一个奇异值分解{（un，~nn，gn）：n∈ N} 其中{uN:N∈ N} M的非零奇异值是否按非递增顺序排列（即uN≥ un+1&0）和{~nn:n∈ N} 和{gn:N∈ N} 是Lw的正交基，其M k N=ungn和M*gn=unаn∈ N（例如，见Kress（1989）第15.4章）。注3.1假设3.2成立，并让bk跨越由{~nn:1生成的线性子空间≤ N≤ k} 和{gn:1≤ N≤ k} 。然后：δ和δ*kare均为O（uk+1）。例如，如果X是标量高斯AR（1），m（Xt，Xt+1）是（Xt，Xt+1）的指数函数，且基函数是厄米多项式，那么δ和δ*kare O（e）-ck）对于某些c>0。关于非参数工具变量模型的筛分估计的文献中经常会做出类似的跨越假设（例如，见Blundell、Chen和Kristensen（2007））。3.3渐近正态性在本节中，我们建立了^ρ的渐近正态性。还导出了情况1中的半参数有效界，并证明了^ρ在这种情况下是有效的。

附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+op（1）（24），其中影响函数ψρ由：ψρ（x，x）=φ给出*（x） m（x，x）φ（x）- ρφ*（x） φ（x）（25）带φ和φ*使kφk=1，hφ，φ*i=1。过程{ψρ（Xt，Xt+1）：t∈ T}是一个鞅差序列（相对于过滤{Ft:T∈ T}）。因此，^ρ的共态分布遵循（24）中关于鞅微分的中心极限定理。为了将这一论点形式化，我们做出以下假设。假设3.4假设如下：（a）δk=o（n-1/2）和δ*k=o（n）-1/2）（b）kbGo- Ik=op（n）-1/4）和kcMo- Mok=op（n）-1/4）（c）E[（φ*（Xt）m（Xt，Xt+1）φ（Xt+1））]∞.关于假设的讨论：假设3.4（a）是一个欠平滑条件，该条件确保主要偏差项√n（ρk）-ρ） 以及涉及φk，φ的高阶偏置项*k、 ρkare渐近可忽略。假设3.4（b）确保BG和CM的收敛速度足够快√n（^ρ）-ρk）可以用类似于（24）-（25）的渐近线性形式表示，但用φk，φ*k、 φ的ρkin位置，φ*, ρ。考虑到在假设3.4（a）下，前导项和高阶偏差项的渐近可忽略性，该结果导致出现（24）。假设3.4（b）的充分条件见附录C。1.假设3.4（c）允许将平方可积鞅微分的CLT应用于鞅微分序列{ψρ（Xt，Xt+1）：t∈ T}。设Vρ=E[ψρ（X，X）]。定理3.2假设3.1-3.4成立。

然后：渐近线性展开式（24）成立，并且√n（^ρ）- ρ) →dN（0，Vρ）。直接从定理3.2得出√n（^y）- y）→dN（0，ρ）-2Vρ）。最后，我们推导了情况1的半参数效率界。我们需要进一步的技术条件来描述切线空间（见附录B）。定理3.3假设3.1–3.4和B.1成立。那么：ρ的半参数效率界是Vρ，而ρ是半参数效率。3.3.2情形2的渐近正态性对于情形2，我们得到以下展开式（在正则条件下）：√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+ψα，k（Xt，Xt+1）+ op（1）（26），其中ψρ来自显示器（25），其中m（x，x）=m（x，x；α），其中：ψα，k（x，x）=φ*k（x）m（x，x；^α）- m（x，x；α））φk（x）。（27）展开式（26）表明^ρ和相关泛函的渐近分布将取决于第一阶段估计量^α的性质。下面的正则性条件是有意地一般化的，以适应广泛的估计类。我们首先假设α是一个有限维参数，插件估计器^α是root-n一致且渐近正态的。设ψρ，t=ψρ（Xt，Xt+1）。假设3.5保持以下条件：（a）√n（^α）-α) =√nPn-对于某些Rdα值随机过程{ψα，t:t，1t=0ψα，t+op（1）∈ T}（b）√nPn-1t=0（ψρ，t，ψα，t）→dN（0，V[2a]）对于某些有限矩阵V[2a]（c）m（x，x；α）在α的邻域N上对所有（x，x）连续可微∈ 存在一个函数“m:X”→ R与E[`m（Xt，Xt+1）s]<∞对一些人来说≥ 2这样：supα∈Nm（x，x；α）α≤ \'m（x，x）代表所有（x，x）∈ X.（d）E[（φ（Xt）φ*（Xt）s/（s）-1)] < ∞.设h[2a]=（1，E[φ*（Xt）φ（Xt+1）m（Xt，Xt+1；α）α] 定义V[2a]ρ=h[2a]V[2a]h[2a]。定理3.4假设3.1-3.5成立。然后：√n（^ρ）- ρ) →dN（0，V[2a]ρ）。现在我们假设α是一个有限维参数。参数空间是一个 A（Banach空间）配备了一些标准k·kA。

这包括以下情况：（1）α是一个函数，即α=h和a=h是一个函数空间；（2）α由有限维和函数部分组成，即α=（θ，h）和a=Θ×h和Θ Rdim（θ）。例如，在递归偏好下，向量θ可以由折扣、风险规避和安第斯参数组成，h可以是连续值函数。在这种情况下，推理涉及（通常是非线性的）函数“：A”→ R、 公式为：`（α）=E[φ*（Xt）φ（Xt+1）m（Xt，Xt+1；α）]。我们关注`（α）是根n可估计的情况。我们说函数“：A→ 如果limτ为α，则Ris可沿路径微分→0+(`(α+ τ[α - α]) - `（α） ）/τ对于每个固定α都存在∈ A.如果是，我们用˙`α[α]表示导数- α]. 定义G={Gα：α∈ A} 式中，gα（xt，xt+1）=φ*（xt）φ（xt+1）（m（xt，xt+1；α）- m（xt，xt+1；α））。让zn表示G上的中心经验过程。我们说G是Donsker ifPt∈ZCov（g（X，X），g（Xt，Xt+1））在g上绝对收敛到非负二次型K（g，g），并且存在一系列高斯过程Z（n），由g索引，具有协方差函数K和a.s.一致连续的样本路径，使得supg∈G | Zn（G）- Z（n）（g）|→p0为n→ ∞ （见杜汗、马萨特和里约（1995年））。

最后，让k·kp表示Lpnorm kψkp=（R |ψ| pdQ）1/pforany 1≤ p<∞ （请注意，在我们前面的符号中，k·k=k·k）。假设3.6假设如下：（a）G是Donsker（b）`在α和| `（α）是路径可微的- `(α) -˙`α[α - α] |=O（kα）- αkA（c）√n˙`α[^α]-α] =√nPn-一类R值随机过程{ψ`，t:t的1t=0ψ`，t+op（1）∈ T}，k^α- αkA=op（n-1/4）和K（g^α，g^α）=op（1）（d）√nPn-1t=0（ψρ，t，ψ`，t）→对于某些有限矩阵V[2b]（e）e[supα∈Am（Xt，Xt+1；α）s]<∞ 和kφkk2s/（s）中的任意一个-2） =O（1）和kφ*k2s/（s）-2)< ∞或kφ*kk2s/（s）-2） =O（1）和kφk2s/（s）-2） <∞ 保持一些s>2。关于假设的讨论：G类为顿斯克的充分条件是众所周知的（见Doukhan等人（1995））。（b）和（c）部分是非线性半参数模型中推理的标准条件（参见Chen（2007）中的定理4.3）。第（d）部分为轻度CLT状态，第（e）部分为轻度高于二阶矩状态。对于以下定理，设h[2b]=（1，1）并定义V[2b]ρ=h[2b]V[2b]h[2b]。定理3.5假设3.1–3.4和3.6成立。然后：√n（^ρ）- ρ) →dN（0，V[2b]ρ）.4值函数递归作为非线性Perron-Frobenius问题本节描述了如何通过解决非线性Perron-Frobeniuseigenfunction问题，非参数地估计一类具有递归偏好的模型中的连续值函数和SDF。我们关注的是一个有代表性的主体具有Epstein和Zin（1989）递归偏好的模型，该偏好具有跨期替代的单位弹性（EIS）。这类偏好也可以被解释为Hansen和Sargent（1995）公式化的风险敏感偏好（见Tallarini（2000））。在描述了设置之后，我们给出了一些局部识别的正则条件。

然后我们介绍了估计量并推导了它们的大样本性质。4.1设置根据Epstein Zin偏好，代表性代理的日期-t实用程序通过递归定义：Vt=n（1- β） C1-θt+βE[V1-γt+1 | Ft]1-θ1-γo1-θ，其中Ctis date-t消耗，1/θ是EIS，β∈ （0,1）是时间折扣参数，γ>1是相对风险规避参数。我们维持马尔科夫状态过程X的假设。让消费增长，即Gt+1=Ct+1/Ct，成为（Xt，Xt+1）的可测量函数。Hansen等人（2008）表明，标度延拓值Vt/ct可以写成V（Xt），其中：V（Xt）=(1 - β） +βEh（V（Xt+1）Gt+1）1-γXti1-θ1-γ1.-θ. （28）对于单位EIS（即θ=1），定点方程（28）简化为：v（Xt）=β1- γ对数Ehe（1）-γ） （v（Xt+1）+log Gt+1）带v（x）的Xti（29）=对数v（x）。通常，只有当马尔可夫状态的条件矩母函数为指数函数且log Gt+1为in（Xt，Xt+1）时，v的解析解才可用。假设市场无摩擦，SDF为：Mt+1Mt=βG-1t+1（Vt+1）1-γE[（Vt+1）1-γ| Xt]。（30）X的动力学决定了SDF分母中的值函数和条件期望。因此，当X的动力学被非参数处理时，值函数和条件期望是未知的。考虑以下将显示屏（29）中的定点问题重新表述为非线性费龙-弗罗贝尼乌斯问题。设定h（x）=exp（1-γβv（x））并重新排列，我们得到定点方程Th=h，其中：Tψ（x）=EhG1-γt+1ψ（Xt+1）βXt=xi。当我们寻求正解时，在前面显示的条件期望值内取一个绝对值不会改变固定点。

将Th=h除以khk，利用T是β次正齐次的事实，我们得到了非线性Perron-Frobenius问题：Tχ（x）=λχ（x）（31），其中χ（x）=h（x）/khk是T的正本征函数，λ=khk1-β是它的特征值。在本节中，我们对特征函数χ进行归一化，使其具有单位范数。与线性算子不同，这里改变h的标度会改变相应的特征值：cχ是T的正特征函数，特征值为cβ-1λ表示任何c>0。将递归重新表述为一个非线性Perron-Frobenius问题也可以方便地表示SDF。根据h重写显示（30）的SDF，我们得到：Mt+1Mt=βG-γt+1（h（Xt+1））βTh（Xt）。通过khk重新缩放并使用（31）产量：Mt+1Mt=βλG-γt+1χ（Xt+1）βχ（Xt）。（32）在下文中，我们展示了如何从X上的时间序列数据估计χ和λ。可将估计值^χ和^λ插入（32）中，以获得SDF过程的非参数估计值（即，不假设X的参数运动定律）。4.2局部识别在本节中，我们提供了局部识别固定点h及其相应特征函数χ的有效条件。我们建立了参数（函数）空间的结果，因为它便于筛选估计。使用收缩映射参数无法建立（全局）识别，因为T不是L上的收缩。我们估计所需的一些规则性条件足以满足局部遍历性，而局部遍历性又能满足局部识别。为了描述局部遍历性，首先选择一些（非零）函数ψ∈ Landsetχ（ψ）=ψ。然后考虑迭代定义的序列：χn+1（ψ）=Tχn（ψ）kTχn（ψ）kforn≥ 1.下面的命题4.1表明，序列χn（ψ）在适当定义的区域内收敛于任何起始值ψ的χ。

这类似于索洛和萨缪尔森（1953）之后关于平衡增长的文献中的各种“稳定性”结果。好了，T:RK→ RK是一个齐次投入产出系统，χn∈ RK列出了n期经济中商品的比例，Tχ通过其`范数标准化，因此χn+1:=Tχn/kTχnk`列出了n+1期的比例。“稳定性”涉及序列χntoa与T的正特征向量χ（代表平衡增长比例）的收敛性。写出T=GF，其中F是非线性算子Fψ（x）=|ψ（x）|β，G是线性算子：Gψ（x）=EhG1-γt+1ψ（Xt+1）Xt=xi。当G在L上有界（紧）时，算子T在L上有界（紧）（参见Krasnosel’skii、Zabreiko、Pustylnik和Sbolevskii（1976）第5章）。如果Gψ对任何非负ψ都是正的，我们说G是正的∈ 它不是完全相同的零。G的正性确保序列χn（ψ）被很好地定义，并且T的任何非零点都是正的。如果存在一个有界的假设T有一个正的固定点h，我们说T在h是可微的∈ L.功能“h”≡ 0也是一个固定点。因此，这不是L上的收缩（否则Banach收缩映射定理将产生唯一的固定点）。关于有限维Perron-Frobenius理论的文献通常涉及非负函数锥具有非空内部的函数空间（最近的综述见Krause（2015））。LHA中的非负圆锥体内部是空的。如果X是有界的，那么这些先前的结果可用于推导空间C（X）中的（全局）识别条件。