非参数随机贴现因子分解

（1995年），而魟（σ）是括号内的熵积分：魟（σ）=Zσqlog N[]（u，Hn，k，k·k2，β）du。Doukhan等人（1995）的指数β混合和引理2（φ（x）=xv）暗示：k·k2，β≤ Ck·k2von L2v（OA.4）对于任何v>1，其中常数C<∞ 仅取决于v和β-混合系数。取1<v<2s，根据H¨older不等式和条件（a），我们得到：suph∈Hn，kkhk2，β≤ C suph∈Hn，kkhk2v≤ Cξ2-2秒-v2svkkEk4s。因此我们取σn，k=Cξ2-2秒-v2svkkEk4s。为了限制括号内的熵，定义H*n、 k={b（x）b（x）h（x，x）：b，b∈ B*k、 h∈ H*n} B在哪里*k={（c)bk）/ξk:c∈ Sk-1} H*n={htruncα/E:α∈ A} 。为了B*k、 注意| cbk（x）/ξk- c~bk（x）/ξk|≤ (ξ-1kkbk（x）k）×kc- ck其中k（kbk（x）k/ξk）kp≤ （k/ξk）1/p任何p>2。根据van der Vaart和Wellner（1996）的定理2.7.11和van deGeer（2000）的引理2.5:N[]（u，B*k、 k·kp）≤ Nu2（k/ξk）1/p，Sk-1，k·k≤8（k/ξk）1/pu+1k、 由Kosorok（2008）中的引理9.25（ii）可知：N[（3u，H*n、 k，k·kp）≤8（k/ξk）1/pu+12kN[]（u，H）*n、 k·kp）。（OA.5）设[fl，fu]为H的ε-括号*n、 昆德L4SV2-vnorm。那么[ξkEfl，ξkEfu]是l2v形式下Hn的ξkkEk4sε括号，因为kξkE（fu- fl）k2v≤ ξkkEk4skfu- flk4sv2s-v、 取p=4sv2s-vin显示（OA.5）并使用M的截断*在不增加括号熵的情况下，我们得到：N[]（u，Hn，k，k·k2v）≤ N[]uξkkEk4s，H*n、 k，k·k4sv2s-五、≤24kEk4sξ2-2秒-v2svkk2s-v4svu+12kN[]u3ξkkEk4s，M*, k·k4vs2s-五、. （OA.6）现在，通过显示（OA.4）和（OA.6）以及条件（b）：а（σ）=Zσqlog N[]（u，Hn，k，k·k2，β）du≤Zσqlog N[]（u/C，Hn，k，k·k2v）du。k1/2Zσrlog1+24CkEk4sξ2-2秒-v2svkk2s-v4sv/udu+（ξkkEk4s）ζσ1-ζ1 - ζ. kEk4sξ2-2秒-v2svkk+2s-v4svZσ/（24CkEk4sξ2）-2秒-v2svkk2s-v4sv）plog（1+1/u）du+（ξkkEk4s）ζσ1-ζ1 - ζ.因为σn，k=Cξ2-2秒-v2svkkEk4s，我们得到：φ（σn，k）。kEk4sξ2-2秒-v2svkk+2s-v4svZk-2秒-v4svplog（1+1/u）du+（ξkkEk4s）ζ（ξ2）-2秒-v2svkkEk4s）1-ζ.

kEk4sξ2-2秒-v2svkpk对数k+kEk4sξ2-2秒-v2sv+ζ2s-v2svksinceRδplog（1+1/u）du=O（δ√-logδ）asδ→ 0+. 如果ζ2s-v2svk。√k logk然后Firsterm占主导地位，我们得到φ（σn，k）=O（ξ2-2秒-v2svk√k log k）。接下来的显示（OA.3）是：1，k，1=Opξ2-2秒-v2svk√k log k√n+Tnqk对数kn+Tnβq.通过马尔可夫不等式，我们可以推导出b1，k，2=Op（ξ8sk/T4s）-1n）和b1，k，3=O（ξ8sk/T4s）-1n）。选择Tnso:ξ8skT4s-1nξ2-2秒-v2svk√k log k√考虑到条件log n=O（ξ1/3k），nand q=Clog n，适用于足够大的指责1,k,1,b1、k、2和B1，k，3都是Op（ξ2-2秒-v2svp（k log k）/n）。对于剩余的期限，根据条件（c），我们有：1，k，4=k∏k（M（^α）- M） |Bkk≤ `*(^α) =√N√n˙`*α[^α - α] +O（k^α）- αkA）=Op（n）-1/2）订单较小。G.2附录C.2引理C.5的证明。Chen和Christensen（2015）的引理2.2给出了边界- Ik=Op（ξk（对数n）/√n） 。让{Tn:n≥ 1} 是一个正常数序列，以确定并让：Gtrunct+1=G1-γt+11l{k＠bk（xt）kk＠bk（xt+1）kβ| G1-γt+1|≤ Tn}Gtailt+1=G1-γt+11l{k＠bk（xt）kk＠bk（xt+1）kβ| G1-γt+1 |>Tn}。然后我们有：supv:kvk≤克布托夫- 托夫克≤ supv:kvk≤Cnn-1Xt=0bk（Xt）Gtrunct+1 | bk（Xt+1）v |β- E[bk（Xt）Gtrunct+1 | | bk（Xt+1）v|β]+ supv:kvk≤Cnn-1Xt=0bk（Xt）Gtail+1 | bk（Xt+1）v |β+ supv:kvk≤CE[bk（Xt）Gtailt+1 | | bk（Xt+1）v|β]=:bT+bT+bT.Let Hn，k={wbk（x）Gtrunc | bk（x）v |β：v∈ Rk，kvk≤ c、 w∈ Sk-1}. 然后：英国电信≤ N-1/2×suph∈Hn，k | Zn（h）|其中Zn是以Hn，k为中心的经验过程∈ Hn，kis一致有界于cβTn。因此，根据Doukhan等人（1995）的条件（a）和定理2:E[suph∈Hn，k | Zn（h）|]=O k（σn，k）+cβTnq k（σn，k）σn，k√n+√ncβTnβq！（OA.7）其中q∈ {1, 2, . . .}, σn，k≥ 嘘∈Hn，kkhk2，β为Doukhanet al.第400页定义的标准k·k2，β。

（1995年），而魟（σ）是括号内的熵积分：魟（σ）=Zσqlog N[]（u，Hn，k，k·k2，β）du。为了计算σn，k，by（OA.4）和H¨older不等式，我们有：∈Hn，kkhk2，β≤ C suph∈嗯，kkhk2s≤ CcβkG1-γk2sξ1+βkWkg1-根据条件（b）确定的γK2沉淀。设置σn，k=CcβkG1-γk2sξ1+βk。为了限制括号熵，首先x q>2，让w，wNbe aε-Sk的覆盖-1和v，{v的vNbeε1/β-覆盖∈ Rk:kvk≤ c} 。对于任何w∈ Sk-1和v∈ {v∈ Rk:kvk≤ c} 存在vi∈ {v，…，vN}和wj∈ {w，…，wN}这样：wj)bk（x）Gtrunc | bk（x）vi |β- ε（1+cβ）kbk（x）kkbk（x）kβ| Gtrunc|≤ wbk（x）Gtrunc | bk（x）v |β≤ wjbk（x）Gtrunc | bk（x）vi |β+ε（1+cβ）kbk（x）kkbk（x）kβ| Gtrunc|哪里：2ε（1+cβ）kbk（x）kkbk（x）kβ| Gtrunc|2秒≤ 2ε（1+cβ）kG1-γk2sξ1+βk=εCξ1+βk，其中C=2（1+Cβ）kG1-γk2s。因此，给定Sk的ε-覆盖-1和aε1/β-覆盖{v∈ Rk:kvk≤ c} 我们可以为Hn、kunder的L2snorm和van de Geer（2000）的soby引理2.5构造εcξ1+βk-括号：N[]u、 Hn，k，k·k2s≤4Cξ1+βku+1K4c（Cξ1+βk）1/βu1/β+1k、 由（OA.4）和上面的显示：ψ（σ）=Zσqlog N[]（u，Hn，k，k·k2，β）du≤Zσqlog N[]（u/C，Hn，k，k·k2s）du≤ k1/2Zσqlog1+4CCξ1+βk/udu+Zσqlog1+4c（CCξ1+βk/u）1/β杜.因为σn，k=CcβkG1-γk2sξ1+βk，通过变量的变化，我们得到了φ（σn，k）=O（ξ1+βk）√k） 。代入（OA.7）：bT=Opξ1+βk√K√n+Tnqkn+Tnβq.利用马尔可夫不等式，我们可以推导出bt=Op（ξ（1+β）2sk/T2s-1n）和bt=O（ξ（1+β）2sk/T2s-1n）。选择Tnso使ξ（1+β）2sk/T2s-1n ξ1+βkpk/n和q=根据条件（logn）（2s）进行足够大的谴责-1） /（s）-1） k/n=o（1），即bT、bT和btare allOp（ξ1+βkpk/n）。νn，know的表达式如下所示（S.18）以及bGOA和bTo的速率。G.3命题F.1附录F的证明。我们首先证明了M的任何正本征函数都必须有本征值ρ。假设存在正ψ∈ 陆地标量λ使得mψ（x）=λψ（x）。

然后我们得到：λhφ*, ψi=hφ*, Mψi=hM*φ*, ψi=ρhφ*, ψi与hφ*, ψi>0，因为φ*ψ为正，因此λ=ρ。类似的论证表明，M的任何正本征函数*必须对应于特征值ρ。仍然需要证明φ和φ*是M和M的唯一本征函数（在L中）*特征值ρ。我们通过以下三个步骤来实现这一点。设F={ψ∈ L:Mψ=ρψ}。我们证明如果ψ∈ 那么由|ψ|（x）=|ψ（x）|给出的函数|ψ|也在F中。在第二步中，我们展示了ψ∈ F表示ψ=|ψ|或ψ=-|ψ|. 最后，在第三步中，我们展示了F={sφ：s∈ R} 。对于第一步，首先观察F6={0}，因为φ∈ F根据假设F.1（b）。然后假设F.1（c），对于任何ψ∈ F我们有M |ψ|≥ |Mψ|=ρ|ψ|和so M |ψ|- ρ|ψ| ≥ 0（几乎无处不在）。另一方面，hφ*, M |ψ|- ρ|ψ| i=hM*φ*, |ψ| i- ρhφ*, |ψ| i=0这意味着M |ψ|=ρ|ψ|因此|ψ|∈ F对于第二步，取任意ψ∈ F不是相同的零。假设ψ=|ψ|是正Q测度的集合（否则我们可以-ψ代替ψ）。我们将矛盾地证明这意味着|ψ|=ψ。假设不是，即在一组正Qmeasure上|ψ| 6=ψ。然后|ψ|-ψ ≥ 0（几乎所有地方）和|ψ|-ψ 6= 0. 但在步骤1中，我们也得到了M（|ψ|- ψ) = ρ(|ψ| - ψ). 对于任意λ>r（M），我们有（ρ/λ）1- (ρ/λ)(|ξ| - ξ） =Xn≥1.ρλn（|ξ|- ξ） =Xn≥1λ-nMn（|ξ|- ξ） 根据假设F.1（c）大于0（几乎所有地方）。因此，|ψ|>ψ（几乎无处不在）。这与正Q测度集上的ψ=|ψ|这一事实相矛盾。类似的证据表明-ψ=|ψ|保持一组正Q测度-ψ = |ψ|.对于第三步，我们使用基于阿基米德公理的论点（参见，例如，第66页ofSchaefer（1974））。

取任何正ψ∈ F并定义集合S+={S∈ R：ψ≥ sφ}and-= {s∈ R:ζ≤ sφ}（这里的不等式被理解为几乎适用于所有地方）。很容易看出S+和S-是凸的和封闭的。我们也有(-∞, 0]  S+soS+不是空的。假设S-是空的。然后在ALL的一组正测度上ψ>sφ∈ (0, ∞). 因此，通过第二步，我们得到ψ>sφ（几乎所有地方）。但因为这是一个格，我们必须有kψk≥ skφk表示所有的s∈ (0, ∞) 这是不可能的，因为ψ∈ L.因此S-它不是空的。最后，我们证明了R=S+∪ s-. 吃点什么∈ R.ψ-sφ∈ F根据权利要求2，我们知道：ψ-sφ≥ 0（几乎无处不在），这意味着∈ S+或ψ- sφ≤ 0（几乎无处不在），这意味着∈ s-. 因此R=S+∪ s-.阿基米德公理意味着交点+∩s-必须是非空的。特里弗斯+∩ s-= {s*} （交点必须是一个单态，否则ψ=sφ和ψ=sφ与s6=s）和ψ=s*φ（几乎所有地方）。这就完成了第三步的证明。一个类似的论点暗示φ*是M的唯一正本征函数*.命题F.2的证明。假设2.1（a）意味着r（M）>0（见Schaefer（1974）的命题IV.9.8和定理V.6.5）。现在的结果是Sasser（1964）的定理6和7，ρ=r（M）。ρ是孤立的，这源于萨瑟（1964）第1030页的讨论。命题F.3的证明。考虑操作符M=ρ-1M，ρ=r（M）。命题F。2意味着{1}={λ∈ σ（M）：|λ|=1}。此外，因为M是幂紧的，所以它具有离散谱（Dunford and Schwartz，1958，定理6，第579页）。因此我们有sup{|λ|：λ∈ σ（M），λ6=1}<1，因此M=（φφ*) + 其中r（V）<1和M，（φφ*)和V通勤（参见Schaefer（1974）第331页或Sasser（1964）第1034-1035页）。

由于这些算符相互转换，一个简单的归纳论点得出：Vτ=（M- (φ  φ*))τ=Mτ- (φ  φ*) = ρ-τMτ- (φ  φ*)对于每个τ∈ T根据盖尔芬德公式，存在 > 0表示：limτ→∞kVτk1/τ=r（V）≤ 1.-  （OA.8）设{τk:k≥ 1}  T是k vτkk>0的T的最大子集。如果该子序列是确定的，则证明是完整的。如果这个子序列是有限的，那么通过表达式（OA.8），lim supτk→∞对数kVτkkτk<0。因此，存在一个有限的正常数c，因此对于所有足够大的τk，我们有：log kVτkk≤ -cτkand:kρ-τkMτk- (φ  φ*)K≤ E-cτkas是必需的。参考Boroviˇcka，J.，L.P.Hansen和J.A.Scheinkman（2016）。错误的恢复。金融期刊71（6），2493-2544。Chen，X.和T.M.Christensen（2015）。弱相依和弱条件下级数估计的最优一致收敛速度和渐近正态性。《经济计量学杂志》188（2），447–465。克里斯滕森，T.M.（2015）。正特征函数的非参数识别。计量经济学理论31（6），1310–1330。Doukhan，P.，P.Massart和E.Rio（1995年）。绝对正则经验过程的不变性原理。亨利·庞卡研究所年鉴（B）概率与统计31393–427。N.邓福德和J.T.施瓦茨（1958年）。线性算子，第一部分：一般理论。国际科学出版社，纽约。Gobet，E.，M.Ho Off mann和M.Reiss（2004年）。基于低频数据的标量差的非参数估计。《统计年鉴》3223-2253。Hansen，L.P.和J.A.Scheinkman（2009）。长期风险：运营商方法。计量经济学77（1），177-234。科索罗克，M.R.（2008）。介绍经验过程和半参数推理。斯普林格。Meyn，S.和R.L.Tweedie（2009）。马尔可夫链与随机稳定性。剑桥大学出版社。Sasser，D.W.（1964年）。准正算子。

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