非参数随机贴现因子分解

然后：（a）|^λ- λk |=Op（νn，k）+Op（τk）（b）k^χ- χkk=Op（νn，k）+Op（τk）（c）k^h- hkk=Op（νn，k）+Op（τk）。B关于推论的其他结果B。1.长期熵估计的渐近正态性我们考虑了SDF的永久分量熵的估计量^L的渐近分布。在情况1中，长期熵的估计值为：^L=log^ρ-nn-1Xt=0logm（Xt，Xt+1）。回想一下ψρ，t=ψρ（Xt，Xt+1），其中影响函数ψρ在（25）中定义。定义：ψlm（xt，xt+1）=对数m（xt，xt+1）- E[logm（Xt，Xt+1）]集ψlm，t=ψlm（Xt，Xt+1）。设~=（ρ）-1.-1).命题B.1让定理3.2的假设成立√nPn-1t=0（ψρ，t，ψlm，t）→dN（0，W）对于某些有限矩阵W。然后：√n（^L）- L）→dN（0，VL），其中VL=~W~。在前面的命题中，VL将是长期方差：VL=Xt∈ZCov（ψL（X，X），ψL（Xt，Xt+1）），其中ψL（Xt，Xt+1）=ρ-1ψρ（Xt，Xt+1）- ψlm（Xt，Xt+1）。下面的定理B.1表明，VL是L的半参数效率界。在情况2中，长期熵的估计量是：^L=log^ρ-nn-1Xt=0logm（Xt，Xt+1，^α）。与^ρ的渐近正态性一样，^L的渐近分布将取决于估计^α的退火炉。为简洁起见，我们只考虑定理3.4中的参数案例研究。设ψlm和ψlm，tbe，如之前定义的m（xt，xt+1）=m（xt，xt+1，α）。回顾假设3.5中的ψα和t，并定义：[2a]=ρ-1，Eφ*（Xt）φ（Xt+1）ρ-m（Xt，Xt+1，α）m（Xt，Xt+1，α）α, -1..命题B.2让定理3.4的假设成立。还假设（a）存在一个邻域Nofα，在该邻域上，函数logm（x，x，α）对于所有（x，x）在α中是连续可微的∈ Xwith:Esupα∈Nm（x，x，α）m（x，x，α）α< ∞及(二)√nPn-1t=0（ψρ，t，ψα，t，ψlm，t）→dN（0，W[2a]），对于某些有限矩阵W[2a]。

然后：√n（^L）- L）→dN（0，V[2a]L），其中V[2a]L=~[2a]W[2a]~[2a]。B.2情形1Let Pn（x，A）=Pr（Xt+n）的半参数效率界限∈ A | Xt=x）表示anyBorel集A的n步转移概率x。我们说{Xt}t∈Zis一致遍历if:limn→∞好的∈XkPn（x，·）- QkT V=0，其中k·kT V表示总变差范数，Q表示X的平稳分布。假设B.1{Xt}t∈齐是一致遍历的。假设B.1的充分条件，如多布林条件，是众所周知的。假设B.1还意味着{Xt}t∈Zis指数φ混合（Ibragimov和Linnik，1971年，第367-368页），因此是指数β-和ρ混合。定理B.1（1）假设3.1、3.4（c）和B.1成立，并假设h:R→ R在ρ处连续可微，h（ρ）6=0。那么：h（ρ）的效率界是h（ρ）Vρ。（2） 此外，如果E[（logm（Xt，Xt+1））]∞, 那么：L的效率界是VL。B.3筛扰动展开式下列结果表明^ρ-ρkbehaves作为ofcM的线性泛函-ρkbG，用于推导定理3.2中^ρ的渐近分布。根据假设3.3，我们可以选择正常数ηn，k，1和ηn，k，2的序列，例如：- Ik=Op（ηn，k，1）和kcMo- Mok=Op（ηn，k，2），ηn，k，1=o（1），ηn，k，2=o（1）为n，k→ ∞. 让我们来看看CKC和c*kbe标准化，使KG1/2ckk=1和c*0kGck=1（相当于kφkk=1和hφ*k、 φki=1）。引理B.1假设3.1-3.3成立。然后：ρ- ρk=c*0k（厘米）- ρkbG）ck+Op（ηn，k，1×（ηn，k，1+ηn，k，2））。特别是如果kbGo- Ik=op（n）-1/4）和kcMo- Mok=op（n）-1/4）然后：√n（^ρ）- ρk）=√北卡罗来纳州*0k（厘米）- ρkbG）ck+op（1）。参考赛，C.和X.陈（2003）。含有未知函数的条件矩约束模型的有效估计。《计量经济学》71（6），1795-1843年。Ait-Sahalia，Y.和A.W.Lo（1998年）。金融资产价格中隐含的状态价格密度的非参数估计。

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当X有一个有界的矩形支撑，Q有一个远离0和0的密度∞,ξkis已知为O(√k） 对于（张量积）样条、余弦和某些小波基，对于（张量积）多项式序列，andO（k）（Newey，1997；Chen和Christensen，2015）。也可以根据Kg的高阶矩推导出替代的有效条件-1/2bk（Xt）k（代替supxkG-1/2bk（x）k），通过扩展Hansen（2015）中的参数来适应弱相关数据和不对称矩阵。C.1.1情况下的充分条件1下面的第一个结果使用了来自Chen和Christensen（2015）的弱相依随机矩阵的指数不等式。第二个扩展了Gobet等人的观点。

(2004).引理C.1假设如下：（a）X是指数β混合（b）E[m（Xt，Xt+1）r]<∞ 对于某些r>2（c）ξ2+4/rk（logn）/n=o（1）。然后：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk（对数n）/√n显示（23）。（3） 此外，如果ξ4+8/rk（logn）/n=o（1），则假设3.4（b）成立。引理C.2假设如下：（a）X是指数ρ混合（b）E[m（Xt，Xt+1）r]<∞ 对于某些r>2（c）ξ2+4/rkk/n=o（1）。然后：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk/√n显示（23）。（3） 此外，如果ξ4+8/rkk/n=o（1），则假设3.4（b）也成立。C.1.2具有参数第一阶段的情况2的充分条件以下引理给出了假设3.3和3.4（b）的一组充分条件，当α∈ A. Rdα是一个有限维参数。引理C.3设引理C.1的条件为m（x，x）=m（x，x；α），并设：（a）k^α- αk=Op（n）-1/2）（b）m（x，x；α）在α的邻域N上对所有（x，x）都是连续可微的∈ 设存在一个函数m:X→ R与E[`m（Xt，Xt+1）]<∞这样：supα∈Nm（x，x；α）α≤ \'m（x，x）代表所有（x，x）∈ 那么：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk（对数n）/√n显示（23）。（3） 此外，如果ξ4+8/rk（logn）/n=o（1），则假设3.4（b）成立。ηn，kη的k和界的条件*n、 kare与引理C.1相同。因此，与情况1相比，α的第一阶段估计不会降低BG和CM的收敛速度。C.1.3在半/非参数第一阶段的情况2中，我们现在为假设3.3和3.4（b）提供一组有效条件，当α∈A. A是一个有限维参数，参数空间是 配备标准k·kA的（一个Banachspace）。这包括α是函数的情况，即。

α=H，其中A=H是函数空间，α由有限维和函数部分组成，即α=（θ，H），其中A=Θ×H，其中Θ Rdim（θ）。对于每个α∈ 我们将M（α）定义为算子M（α）ψ（x）=E[M（Xt，Xt+1；α）ψ（Xt+1）|Xt=x]，理解为M（α）=M。设M={M（x，x；α）- m（x，x；α）：α∈ A} 。如果存在可测的E:X，我们说M有一个包络函数E→ [1, ∞) 比如| m（x，x）|≤ E（x，x）表示每（x，x）∈ X和m∈ M、 让M*= {m/E:m∈ M} 。M中的函数*明显以±1为界。设N[]（u，M）*, k·kp）表示带有M括号的熵*关于LPK·kp规范。