非参数随机贴现因子分解

（S.14）通过引理D.3（b）、假设3.3和M:kbG的有界性-1厘米- G-1MkG=k（bGo）-1cMo- Mok=op（1）。接下来（第14节）是不平等：kbG-1厘米- G-1MkG×supz∈ΓkR（G）-1米，z）公斤<1（S.15）可容纳wpa1。根据加藤（1980）第214页的定理IV.3.18，无论何时（第15节）成立：bG-1cM内有一个精确的特征值，比如^ρ；ρ是简单的，并且；bG的剩余特征值-1cM位于Γ的外部。请注意，无论何时（S.15）保持不变，^ρ都必须是实的（因为复数IgenValue以共轭对的形式出现），因此相应的左和右特征向量^c*^c也是真实的和独特的（按比例）。引理A.4的证明。以k为例≥ K来自引理A.1，并研究了whichkbG上的事件序列-1厘米- G-1MkG×supz∈ΓkR（G）-1米，z）公斤<（S.16）保持。通过引理A.3的证明，这个不等式包含wpa1和^ρ，^c和^c*在这一系列事件中是独一无二的。第1步：第（b）部分的证明。在规范化k^ckG=1和k^c下*kG=1，无论何时（S.16）保持（它执行wpa1），我们都有k^φ- φkk=k^c- ckkG≤√8苏普茨∈ΓkR（G）-1M，z）kG×k（bG-1厘米- G-1M）戈贝特等人（2004）的ckkGby提案4.2（设定BG）-1cM=Tε，G-1M=T和Γ=B的边界（在其符号中为κ，ρ）。现在结果是（S.14）和K（bG）-1厘米- G-1M）ckkG=k（bGo）-1cMo- Mo）~ckk=Op（ηn，k）（S.17）（参见显示屏（23））。第2步：第（a）部分的证明。鉴于（第16条），（第14条）以及kG-1MkG=k∏kM | Bkk≤kMk<∞, 根据Gobet等人（2004）的推论4.3，我们得到：|^ρ- ρk|≤ O（1）×k（bG）-1厘米- G-1米）千克。结果如下（S.17）。第3步：第（c）部分的证明。与第（b）部分的证明相同的论点：k^φ*- φ*kk=k^c*- C*kkG≤√8苏普茨∈ΓkR（G）-1M，z）kG×k（bG-1厘米- G-1M）c*kkGunder标准化k^c*千克=千卡*kkG=1。现在的结果是（S.14），注意到SUPZ∈ΓkR（G）-1M，z）kG=supz∈ΓkR（G）-1米，z）公斤，而事实是：-1厘米- G-1M）c*kkG=k（（bGo）-1mo0- Mo0）~c*kk=Op（η）*n、 k）（参见。

显示器（23））。D.3附录A的证明。2本小节中的一些证明利用了定点指数的性质。我们请读者参考Krasnosel’skii等人（1972年）的第19.5节了解详细信息。引理A.5的证明。根据假设4.1和推论4.1，我们可以选择ε>0，例如N={ψ∈ L:kψ- 香港≤ ε} 只包含T的一个固定点，即h。我们验证Krasnosel’skii等人（1972）中定理19.4的条件，其中，在我们的符号中，Ohm = N、 En=Bk，Pn=∏k，T=T，Tn=∏kT | Bk（即∏kT对Bk的限制）。紧性条件由假设4.1（b）满足（回想一下，框架的紧性等于T的紧性）。根据假设4.1（c），固定点h具有非零指数；见Krasnosel’skii等人（1972年）第300页的结果（5）。最后，根据假设4.2（b），Krasnosel\'Skieet al.（1972）中的条件（19.28）成立，且其条件（19.29）基本满足。备注A.1的证明。随后是inKrasnosel\'skii等人（1972年）定理19.3中结果的证明（19.31）。备注A.2的证明。这遵循了Krasnosel’skii等人（1972年）的定理19.7。引理A.6的证明。第（c）部分之后是第310页inKrasnosel’skii等人（1972）的显示证明（19.50），其中，在我们的符号中，x=h，xn=hk，Pn=∏k，p（n）=I- πk，T=T，T（x）=Dh。请注意，假设4.2（a）意味着它们的条件kT（x）- PnT（x）k→ 0作为n→ ∞. 然后，第（b）部分从不平等性出发：香港-HKKKK≤KKKH- 香港。最后，第（a）部分来自以下事实：khk-khkk= O（τk）与x7的连续可微性→ x1-β在每个x>0。下一个引理给出了用于证明A.7和A.8的估计量的一些界。引理D.4（a）假设4.1（b）和4.3成立。然后：supv∈Rk:kvkG≤ckbG-1bTv- G-1TvkG=op（1）。（b） 此外：supv∈Rk:kvbk-香港≤εkbG-1bTv- G-1TvkG=Op（νn，k），其中，从显示器（37）中取出νn，kis。引理D.4的证明。

通过定义GO、bTo和To，我们有SUPV∈Rk:kvkG≤ckbG-1bTv- G-1TvkG=supv∈Rk:kvk≤ck（bGo）-1bTov- 托夫克。无论何时-bGok<1（假设4.3为wpa1），对于任何v∈ 我们有：（bGo）-1bTov- Tov=bTov- 托夫- （bGo）-1（bGo）- 一） 托夫- （bGo）-1（bGo）- 一） （bTov）- Tov）（S.18）第（a）部分后面是三角形不等式和假设4.3，指出supv∈Rk:kvk≤ckTovk≤supψ：kψk≤ckTψk<∞ 根据假设4.1（b）对每个c保持不变。第（b）部分的定义类似于GO、bTo、To和νn亲属显示（37）。引理A.7的证明。设ε，K和Nkbe如引理A.5所示。还定义了集合N={ψ∈ L:kψ- hk<ε}，Γ={ψ∈ L:kψ- hk=ε}，Γk={ψ∈ Bk:kψ- hk=ε}，Nk={v∈ Rk:vbk（x）∈ Nk}，和Γk={v∈ Rk:vbk（x）∈ Γk}。让我- TΓ）表示场地的旋转（I- T） ψonΓ。假设4.1意味着|γ（I- TΓ)| = 1; 见Krasnosel’skii等人（1972年）第300页的结果（5）。还要注意supψ∈ΓkTψ- πkTψk<infψ∈Γkψ- 根据假设4.2（b）（注意infψ∈Γkψ- Tψk>0，否则T将在Γ上有一个固定点，这与Lemma a.5）证明中N的定义相矛盾。Krasnosel’skii等人（1972）第299页的结果（2）则意味着无论何时（S.19）成立，我们都有|γ（I）-πkT；Γ）|=|γ（I）-TΓ）|=1。Krasnosel’skieet al.（1972）第299页的结果（3）则暗示|γ（I- πkT | Bk；Γk）|=1，每当（第19条）成立时。最后，通过同构，我们得到了|γ（I）- G-1T；Γk）|=1，每当（第19条）成立时。我们现在证明了不平等性：supv∈Γkk（背景）-10吨- G-1T）vkG<infψ∈Γkkψ- πkTψk（S.20）保持wpa1。左边是引理D.4（a）的op（1）。对于右侧，我们要求lim infk→∞infψ∈Γkkψ- πkTψk>0。假设这个说法是错误的。然后存在一个序列{ψkl:l≥ 1} 带ψkl∈ Γkl使得ψkl- πklTψkl→ 由于T是紧的，因此存在一个收敛子序列{Tψklj:j≥ 1}. 让ψ*= 林杰→∞Tψklj。

那么：kψklj- ψ*K≤ kψklj- πkljTψkljk+k∏kljTψklj- πkljψ*k+k∏kljψ*- ψ*K→ 0as j→ ∞, 其中，第一项通过定义ψkl而消失，第二项通过定义ψ而消失*, 假设4.2（b），第三个消失了。因此，ψ*∈ Γ. 此外，T的连续性和ψ的定义*:kTψ*- ψ*K≤ kTψ*- Tψkljk+kTψklj- ψ*K→ 0as j→ ∞, 因此ψ*∈ Γ是T的一个固定点。但这与h是T在N=N中唯一的固定点这一事实相矛盾∪ Γ（参见引理A.5的证明）。这证明了这一说法。Krasnosel’skii等人（1972）第299页的结果（2）则意味着无论何时（S.19）和（S.20）保持不变（它们执行wpa1），我们都有γ（I）-bG-10吨；Γk）=γ（I）- G-1T；Γk）。因此，|γ（I）-bG-10吨；Γk）|=1也持有wpa1，因此，根据克拉斯诺塞尔·斯基耶特（Krasnosel’skieet al.（1972）第299页的结果（1），bG-1bT至少有一个固定点^v∈ Nk。因此，我们证明了^h（x）=bk（x）^v是定义良好的wpa1和k^h- hk<εwpa1。^h的一致性通过使用任何正ε<ε重复前面的参数来实现。备注A.3的证明。固定任何正ε<ε，让A={ψ∈ L:ε≤ kψ- 香港≤ ε} ，Ak={ψ∈ Bk：ε≤ kψ- 香港≤ ε} 和Ak={v∈ Rk:vbk（x）∈ Ak}。显然，T在A中没有固定点。此外，与定理19中的结果证明（19.31）类似的论点。Krasnosel’skii等人（1972）中的3表示，对于所有足够大的K，Ak不包含∏kT的固定点。通过与引理A.7的证明类似的论证，我们可以推断出thatlim infk→∞infψ∈Akkψ- πkTψk=：c*> 0.那么对于任何v∈ Ak，我们有kv-bG-1bTvk≥C*- op（1），其中op（1）项在Akby引理D.4（a）上一致成立。因此，kv-bG-1bTvk≥ C*/2个代表所有v∈ Akwpa1。另一方面，任何固定点^v ofbG-1bT含bk（x）^v∈ NKV肯定有k^v-bG-1bT^vk=0。因此，Akwpa1不存在这样的固定点。引理A.8的证明。我们首先证明（c）部分。在他的∏kDh | Bk上∏kT | Bk的Fr | echet导数。

这可以用矩阵G表示在（Rk，h·，·iG）上-1Dhwhere Dh=E[bk（Xt）βG1-γt+1h（Xt）β-1bk（Xt+1）]。根据引理A.7，^v（相当于^h）是定义良好的wpa1。因此，我们有：- G-1Dh）（vk- ^v）=G-1T^v-bG-1bT^v-G-1T^v- G-1Tvk- G-1Dh（^v）- （vk）请注意，kG-1T^v-bG-1bT^vkG=引理D.4（b）的Op（νn，k）和^h的一致性- G-1Dh）（vk- ^v）kG≤ Op（νn，k）+kG-1T^v- G-1Tvk- G-1Dh（^v）- vk）千克。（S.21）通过同构，我们得到了k（I）- G-1Dh）（vk- ^v）kG=k（I）- /（kDh）（香港）-^h）k.假设4。1（c）和4.2（a）一起意味着（I）- πkDh）-1存在于所有足够大的k和形式k（I）- πkDh）-1k是一致有界的（对于所有足够大的k）。因此，k（I）- G-1Dh）（vk- ^v）kG≥ const×khk-^hk（S.22）适用于所有规模足够大的k。还要注意：kG-1T^v- G-1Tvk- G-1Dh（^v）- vk）kG=k∏kT^h- πkThk- πkDh（^h）- 香港）k≤ kT^h- Th- Dh（^h）- h）- （厚- Th- 徖生署（香港）- h） ）k≤ kT^h- Th- Dh（^h）- h） k+kThk- Th- 徖生署（香港）- h） k=o（1）×k^h- hkk+khk- hk）+o（1）×kh- hkk（S.23），其中第一个不平等是因为∏kis a（弱）土地收缩，最终的结果是假设4.1（c）。将（S.22）和（S.23）替换为（S.21）并重新排列，我们得到：（1）- o（1））×khk-^hk≤ Op（νn，k）+Op（τk）。第（a）部分和第（b）部分后面是引理a.6证明的类似论点。D.4提案B.1附录B的证明。首先请注意：√n（^L）- L）=√nlog^ρ- 对数ρ-nn-1Xt=0logm（Xt，Xt+1）+E[logm（Xt，Xt+1）]=√nn-1Xt=0（ρ-1ψρ，t- ψlm，t）+op（1），其中第二行是由display（24）和delta方法类型参数构成的。现在的结果来自命题陈述中的联合收敛。命题B.2的证明。

与命题B.1的证明类似的论点产生：√n（^L）- L）=√nnXt=1ρ-1ψρ，t+ρ-1φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）-对数mt（α）- 对数mt（α）- ψlm，t+ 作品（1）。通过与定理3.4的证明类似的论证，我们可以推断：√nn-1Xt=0ρ-1φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）-对数mt（α）- 对数mt（α）= Dα，lm√n（^α）- α） +op（1），其中dα，lm=Eφ*（Xt）φ（Xt+1）ρ-m（Xt，Xt+1，α）m（Xt，Xt+1，α）α.将^L代入展开式，并使用假设3.5（a）得出：√n（^L）- L）=√nnXt=1ρ-1ψρ，t+Dα，lmψα，t- ψlm，t+ 作品（1）。结果之后是命题陈述中假设的联合CLT。定理B.1的证明。我们首先证明第（1）部分。我们首先在Bickel和Kwon（2001）的第878-880页中描述了切线空间（他们的论点微不足道地延伸到Rd值马尔科夫过程）。让Qdenote表示（Xt，Xt+1）的平稳分布。考虑切向空间H={H（Xt，Xt+1）：E[H（Xt，Xt+1）]<∞ E[h（Xt，Xt+1）|Xt=x]=0几乎肯定}具有L（Q）范数。拿任何有界的h∈ 考虑一维参数模型，我们用转移概率{Pτ，h:|τ|≤ 1} 其中，每个跃迁概率Pτ，his由P（真跃迁概率）控制，由以下公式给出：dPτ，h（xt+1 | xt）dP（xt+1 | xt）=eτh（xt，xt+1）-A（τ，xt）式中：A（τ，xt）=logZeτh（xt，xt+1）P（dxt+1 | xt）.对于每个τ，我们定义Lby上的线性算子M（τ，h）：M（τ，h）ψ（xt）=Zm（xt，xt+1）ψ（xt+1）Pτ，h（dxt+1 | xt）。观察：（M（τ，h）- M） ψ（xt）=Zm（xt，xt+1）ψ（xt+1）eτh（xt，xt+1）-A（τ，xt）- 1.P（dxt+1 | xt）。（S.24）是L上的有界线性算子（因为kMk<∞ h是有界的）。根据泰勒定理：eτh（xt，xt+1）-A（τ，xt）- 1=τh（xt，xt+1）+O（τ）（S.25），其中O（τ）项在（xt，xt+1）中是一致的。接下来是h（τ，h）的有界性-Mk=O（τ）。

与引理A.1的证明类似的论点暗示存在 > 0和¨τ>0，使得M（τ，h）的最大特征值ρ（τ，h）简单且位于区间（ρ- , ρ + ) 对于每个τ<\'τ。取关于τ=0的ρ（τ，h）的摄动展开式（例如，见加藤（1980）第89页上的方程（3.6），该方程也适用于有限维情况，如第七节所述。加藤（1980）的1.5：ρ（τ，h）- ρ=h（M（τ，h）- M） φ，φ*i+O（τ）=τE[m（Xt，Xt+1）h（Xt，Xt+1）φ（Xt+1）φ*（Xt）]+O（τ）=τZm（Xt，Xt+1）φ（Xt+1）φ*归一化hφ，φ下的（xt）h（xt，xt+1）dQ（xt，xt+1）+O（τ）（S.26）*i=1，其中第二行为（S.24）和（S.25）。表达式（S.26）表明，ρ（τ，h）在τ=0处的导数是∧ψρ=m（xt，xt+1）φ（xt+1）φ*（xt）。由于有界函数在H中是稠密的，我们已经证明了ρ相对于H是可微的，且其导数为ρψ。ρ的有效影响函数是∧ψρ在H上的投影，即：∧ψρ（xt，xt+1）- 因为E[!ψρ（Xt，Xt+1）|Xt=Xt]=ψρ（Xt，Xt+1），所以E[!ψρ（Xt，Xt+1）|Xt=Xt]=φ*（xt）Mφ（xt）=ρφ（xt）φ*（xt）。因此，Vρ=E[ψρ（Xt，Xt+1）]是ρ的效率界。类似的论证表明，h（ρ）ψρ是h（ρ）的有效影响函数。我们现在证明第（2）部分。根据线性关系，L的有效影响函数为：ψL=ρ-1ψρ- ψlogm其中ψlogm是e[logm（Xt，Xt+1）]的有效影响函数。众所周知：ψlog m（x，x）=l（x，x）+∞Xt=0E[l（Xt+1，Xt+2）|X=X]- E[l（Xt，Xt+1）|X=X]式中，l（xt，xt+1）=对数m（xt，xt+1）（参见Greenwood and Wefelmeyer（1995））。可以使用上述总和的伸缩特性，即VL=E[ψL（X，X）]进行验证。引理B.1的证明。以k为例≥ 引理A.1中的K，并研究（S.16）保持的事件序列，因此^ρ，^c和710c*由引理A.3唯一定义。规范化^c，^c*, ck和c*k^ckG=1，kckg=1，^cG^c*= 1和ckGc*k=1。LetP=ckc*0kG和BP=^c^c*0克。

然后我们有迹（bP）=1，迹（P）=1，^ρ=迹（bPbG-1cM），ρk=迹线（PG-1米），背景-1cMbP=ρbP和G-1MP=PG-1M=ρkP。现在观察：ρ- ρk=迹线（bPbG）-1厘米）- 跟踪（PG）-1M）=跟踪（（bP）- P） bG-1cM）+微量元素（P（bG）-1厘米- G-（百万）。通过项的加减，我们得到：trace（（bP- P） bG-1cM）=^ρ- ^ρ迹线（PbP）+迹线（PbG）-1厘米（bP- 一） ）=ρ迹（P（I）-bP）+微量元素（PbG-1厘米（bP- 一） ）=（ρ- ρk）迹（P（I）-bP）+ρktrace（P（I）-bP）+微量元素（PbG-1厘米（bP- 一） ）=（ρ- ρk）迹（P（I）-bP）+微量元素（PG-1M（I）-bP）+微量元素（PbG-1厘米（bP- 一） ）=（ρ- ρk）迹（P（I）-bP）和微量元素（P（bG）-1厘米- G-英国石油公司- 一） ）（第27节）其中：| trace（P（I）-bP）|=|c*0千克（克）-bPck）|≤ kc*kkGkck-bPckkG。（S.28）通过Gobet等人（2004）命题4.2的证明（设定BP=Pε，bG）-1cM=Tε，G-1M=引理A.1的证明中的T和Γ作为B的边界（在其符号中为κ，ρ），以及引理A.4的证明中的类似参数：kck-bPckkG。k（背景）-1厘米- G-1M）ckkG=Op（ηn，k）。（第29条）此外，kc*kkG=kpckg≤ 每千克≤-12πiZΓR（G）-1M，z）ρk- zdzG（加藤，1980，表达式（6.19），第178页），通过显示（S.14）和ρk→ ρ. 通过显示（S.28）和（S.29）以及^ρ-ρk=Op（ηn，k）（通过引理A.4），我们得到：- ρk）迹（P（I）-bP））=Op（ηn，k）。（S.30）此外：|微量元素（P（bG-1厘米- G-英国石油公司- 一） ）|=|c*0千克（bG）-1厘米- G-英国石油公司- 一） ck|≤ kc*kkGkbG-1厘米- G-1MkGkck-bPckkG=Op（ηn，k，1+ηn，k，2）×Op（ηn，k）（S.31）通过引理D.3（b）和显示（S.29）。由（S.27）、（S.30）和（S.31）得出：- ρk=迹线（P（bG-1厘米- G-1M））+Op（ηn，k，1+ηn，k，2）×Op（ηn，k）+Op（ηn，k）。最后，trace（P（bG-1厘米- G-1M）=c*0千克（bG）-1厘米- G-1M）ck=~c*0k（（bGo）-1cMo- Mo）~ck=~c*0k（cMo）-bGoMo）~ck+Op（ηn，k，1×（ηn，k，1+ηn，k，2））由引理D.3（a）和k ~c*kk=kc*kkG=O（1）。结果如下，注意到c*0k（cMo）-bGoMo）~ck=c*0k（厘米）- ρkbG）ck和至少与ηn，k，1和ηn，k，2（cf。

引理D.3（a））。参考Sakian，M.，S.Gaubert和R.Nussbaum（2016）。非扩张半可微映射不动点的唯一性。美国数学学会学报368（2），1271-1320。Bickel，P.J.和J.Kwon（2001年）。半参数模型的推理：一些问题和答案（附讨论）。中国统计局11863-960。比林斯利，P.（1961年）。鞅的lindeberg-l\'evy定理。《美国数学学会会刊》12（1），788-792。Chatelin，F.（1983年）。线性算子的谱逼近。学术出版社，纽约。Chen，X.和T.M.Christensen（2015）。弱相依和弱条件下级数估计的最优一致收敛速度和渐近正态性。《经济计量学杂志》188（2），447–465。Gobet，E.，M.Ho Off mann和M.Reiss（2004年）。基于低频数据的标量差的非参数估计。《统计年鉴》3223-2253。Greenwood，P.E.和W.Wefelmeyer（1995年）。马尔可夫链经验估计的效率。《统计年鉴》32（1），132-143。汉森，B.E.（2015）。参数和非参数最小二乘的统一渐近分布理论。工作文件，威斯康星大学。加藤（1980）。线性算子的微扰理论。柏林斯普林格·维拉格。克拉斯诺塞尔斯基，M.A.，G.M.维尼科，P.P.扎布雷科，耶。B.鲁蒂茨基和V.亚。斯特森科（1972年）。算子方程的近似解。格罗宁根沃尔特斯诺德霍夫酒店。纽伊，W.K.（1997）。级数估计的收敛速度和渐近正态性。《经济计量学杂志》79（1），147-168。Newey，W.K.和D.McFadden（1994年）。第36章大样本估计与假设检验。《计量经济学手册》第4卷，2111-2245页。爱思唯尔。谢弗，H.H.（1974）。Banach格与正算子。柏林斯普林格·维拉格。舒梅克，L.L.（2007）。

样条函数：基础理论。剑桥大学出版社，剑桥。范德法特，A.W.（1998）。渐近统计。剑桥大学出版社。非参数随机贴现因子分解的在线附录Timothy M.ChristensenMay 2017年5月19日该在线附录包含支持“非参数随机贴现因子分解”论文的材料。附录E提供了额外的模拟证据。附录F提供了第2.3节中的识别和存在条件与Hansen and Scheinkman（2009）和Boroviˇcka等人（2016）中的识别和存在条件之间关系的进一步详细信息。附录G提供了补充材料附录C和本在线附录中的结果证明。E额外的蒙特卡罗证据本节介绍了在正文第5节中描述的蒙特卡罗设计中，使用尺寸K=8的三次B样条基的额外模拟结果。B样条曲线的节点均匀地放置在数据的经验分位数处。与使用埃尔米特多项式得到的结果一样，模拟结果对筛空间的尺寸相当不敏感。表4和表5给出了模拟中估计量的偏差和RMSE。图5a-5e显示了φ、φ的（逐点）置信区间*在不同样本量的模拟中计算χ。关于识别的其他结果，在本附录中，我们分别讨论了存在和识别，并将本文中的条件与Hansen和Scheinkman（2009）（以下简称HS）以及Boroviˇcka等人中的随机稳定性条件进行了比较。