非参数随机贴现因子分解

（2016年）（以下简称BHS）。电力公司递归优先权n^φ^φ*^φ^φ*10.013 0.013 0.013 0.013 0.013 0.013 0.013 0.0 0 0.0011 0.0190 0.0 0 0.0190 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0 0.0.0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0^φ*和^χ，用一个维数为k=8的三次B样条筛。电力公司递归的偏好；电力公司递归的偏好；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公用事业递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司；香港的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；递归的；电力公司；电力公司；政府当局当局；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；递归的；公众；香港的；香港的；政府当局；政府当局；电力公司；公众公众；政府当局；电力公司；电力公司；电力公司；公众；政府；0.0348800 0.0254 0.0244 0.0206 0.0155 0.0133 0.0244 0.020916000.0190 0.0182 0.0157 0.0163 0.0136 0.0208 0.01533200 0.0142 0.0135 0.0118 0.0148 0.0123 0.0165 0.0110表5：尺寸为k=8.0.51.01.52.0-0.02 0.00 0.00 0（a）φ（x）的三次B样条筛用于电力设施123-0.02 0.00φ（B）的^ρ、^y、^L和^λ的模拟结果*（x） 用于电力设施0。80.91.01.11.2-0.02 0.00 0.02（c）^φ（x）用于递归优先权01234-0.02 0.00 0.02（d）^φ*（x） 对于递归首选项0。51.01.52.0-0.02 0.00 0.02（e）^χ（x）用于递归偏好图5：k=8的三次B样条基的模拟结果。面板（a）-（d）显示φ和φ的点向90%置信区间*跨模拟（浅、中、暗分别对应于n=400、800和1600；真实φ和φ*绘制为实线）。

面板（e）显示连续值运算符F的正特征函数χ的结果。1识别假设F.1假设如下：（a）M有界（b）存在正函数φ，φ*∈ 求一个正标量ρ，使（ρ，φ）解（6）和（ρ，φ）*) 求出（7）（c）Mψ对于每个非负ψ都是正的∈ 它不是完全相同的零。注意，假设F.1中没有出现紧性或幂紧性条件。假设F.1成立。然后：函数φ和φ*分别为（L）至（6）和（7）的唯一解。现在，我们将识别结果与HS和BHS中的识别结果进行比较。在MPt引起的条件概率变化下，HS的一些条件与条件期望算子半群的生成元eE[·Xt=x]有关，即：eE[ψ（Xt+τ）|Xt=x]：=EMPt+τMPtψ（Xt+τ）Xt=x. （OA.1）在离散时间环境中，乘法泛函和半群都由非负整数表示。因此，离散时间中的“生成器”就是单周期扭曲条件期望算子ψ7→eE[ψ（Xt+1）|Xt=·]。以下是HS中假设6.1、7.1、7.2、7.3和7.4的离散时间版本。条件F.1（a）{MPt:t∈ T}是一个正乘法泛函（b）。对于所有有界可测ψ：x，存在一个概率测度^962;，使得zee[ψ（Xt+1）| Xt=x]d^962;（x）=Zψ（x）d^962;（x）→ R（c）对于任意∧∈ ^（λ）>0的X，eE“∞Xt=11l{Xt∈ Λ}X=X#>0表示所有X∈ 任意∧的X（d）∈ ^（λ）>0的X，eP∞Xt=11l{Xt∈ Λ} = ∞X=X！=1对于所有x∈ 十、 其中ep（{Xs}ts=0∈ A | X=X）=ZE[（MPt/MP）1l{Xs}ts=0∈ A} |X=X]d^962;（X）每个A∈ Ft.MPin（8）的施工满足条件F.1（a）。对于条件F.1（b），让φ和φ*与假设F.1（b）相同，并将φ归一化*使得E[φ（Xt）φ*（Xt）]=1。

在这种标准化下，我们可以通过^（a）=E[φ（Xt）φ来定义概率测度^*（Xt）1l{Xt∈ A} 【典型范例∈ 十、下面的命题F.3表明，这种概率测度正是长期近似（9）中用于定义无条件期望的测度。回想一下，Q是X的平稳分布。然后我们有：ZeE[ψ（Xt+1）|Xt=X]d^（X）=ZEρ-1m（Xt，Xt+1）φ（Xt+1）φ（Xt）ψ（Xt+1）Xt=xφ（x）φ*（x） dQ（x）=ρ-1E[φ*（Xt）（M（φψ）（Xt））]=ρ-1E[（（M）*φ*)（Xt+1））φ（Xt+1）ψ（Xt+1）]=E[φ*（Xt+1）φ（Xt+1）ψ（Xt+1）]=Zψ（x）d^（x）。因此，条件F.1（b）是满足的。在2005年的HS初稿中，报告了连续时间半群的类似推导，Q由任意测量值代替。对于条件F.1（c），请注意，在我们的^构造下，^（∧）>0意味着Q（∧）>0。因此，^（λ）>0意味着φ（x）1l{x∈ 在一组正Q测度上∧}是正的。此外，根据eE的定义，我们有：“eE”∞Xt=11l{Xt∈ Λ}X=X#=φ（X）∞Xt=1ρ-tMt（φ（·）1l{∈ ∧}（x）≥φ（x）∞Xt=1λ-tMt（φ（·）1l{∈ 任意λ的∧}）（x）≥ r（M），其中r（M）表示M的光谱半径。假设F.1（c）表示不可约，通过不可约性的定义，P∞t=1λ-tMt（φ（·）1l{∈ ∧}（x）>0（几乎在任何地方）适用于λ>r（M）。因此，假设F.1（c）意味着条件F.1（c），直至“几乎无处不在”的定性。（d）部分是一个哈里斯递推条件，它不能根据算子M清楚地转换。当与不变测度和不可约性（分别为条件F.1（b）和（c））的存在相结合时，它既确保了作为扭曲期望的不变测度的^的唯一性，也确保了φ-遍历性，即limτ→∞sup0≤ψ≤φeEψ（Xt+τ）φ（Xt+τ）Xt=x-Zψ（x）φ（x）d^（x）= 0（OA.2）（几乎所有地方），其中上确界占据所有可测ψ，因此0≤ ψ ≤ φ（Meyn和Tweedie，2009年，命题14.0.1）。

结果（OA.2）是HS中建议7.1的离散时间版本，他们用它来确定φ。假设F.1 aloneis不足以获得（OA.2）这样的收敛结果。另一方面，本文中的条件假设φ的存在*而在HS中的条件下，M的伴随项不保证正本征函数。事实上，对于非平稳环境，甚至不清楚如何适当地限制函数类以定义伴随（例如，HS似乎不限制φ属于Banach空间）。这表明哈里斯复发条件与假设F.1的性质截然不同。行李处理系统假设X在EP概率测度下是遍历的，条件F.1（b）-（d）是有效的。还请注意，行李处理系统的施工满足条件F.1（a）。HS中的识别结果和BHS中命题3.3的证明表明，函数ψ空间中建立了唯一性，其中[ψ（Xt）/φ（Xt）]是有限的，其中ee表示与（OA.1）相对应的平稳分布下的预期。在假设的情况下。1，他们的结果在函数ψ空间中建立了识别，其中[ψ（Xt）/φ（Xt）]=E[ψ（Xt）φ*（Xt）]是有限的。右边是所有ψ的定义∈ L（柯西o施瓦兹著）。因此，从这个意义上讲，HS和BHS中的识别结果适用于比我们的结果更大的功能类别。F.2存在性我们将假设F.1（b）（c）替换为假设2.1中稍强的拟紧性和正性条件，从而得到以下存在性结果。以下结果本质上是Sasser（1964）的定理6和定理7。如果M有界且存在τ，则M是拟紧的∈ T和一个有界线性算子V使得Mτ- V是紧的，r（V）<r（M）τ。

假设2.1暗示了M的拟紧性。命题F.2假设2.1（a）成立，且M是拟紧的。然后：（a）存在正函数φ，φ*∈ 求一个正标量ρ，使（ρ，φ）解（6）和（ρ，φ）*) 解决（7）。（b） 函数φ和φ*分别是唯一的解决方案（在L中）到（6）和（7）。（c） 特征值ρ是简单且孤立的，它是M的最大特征值。2005年HS的初步版本中给出了与（A）部分类似的存在结果。对于这个结果，HS假设r（M）是正的，并且（连续时间）算子半群有一个紧元素。我们在命题F.2的（c）部分中建立的ρ的进一步性质对于我们推导大样本理论至关重要。克里斯滕森（2015）在不同的条件下得出了类似的命题。HS借助遍历马尔可夫过程理论，在可能的非平稳连续时间环境中建立φ的存在性。现在给出了离散时间环境的等效条件，并与我们的识别条件进行了比较。与识别条件一样，我们在适当的情况下使用离散时间半群的生成器和分解器的类似物。条件F.2（a）存在一个函数V:X→ R带V≥ 1和一个常数大于0的有限常数，使得MV（x）≤ aV（x）适用于所有x∈ XI感谢匿名裁判提请我注意萨瑟（1964）的定理6和7。Sasser（1964）的定理6和7将命题F.2中的假设2.1（a）替换为M是拟正的条件，即对于每个非负ψ和ψ*在t不等于零的情况下，存在τ∈ 这就是hψ*, Mτψi>0。注意，拟紧性也要求r（M）>0。假设2.1（a）适用于这两种情况（即准正性和r（M）>0）。

条件r（M）>0加上M的幂紧性（假设2.1（b））对于拟紧性是有效的。（b） （X，X）上存在一个测度ν，使得J1l{·∈ 任意∧}（x）>0∈ v（λ）>0的X，其中J由Jψ（X）给出=∞Xt=0a-（t+1）Mt（Vψ）（x）V（x）对于a>a（c），算子J和K是有界的，其中K由Kψ（x）给出=∞Xt=0λ-t（（J）- s ν） tψ）（x）其中s:x→ R+是这样的：rdν>0和Jψ（x）≥ 所有ψ的s（x）Rψdν≥ 0（第（二）部分所列的性别歧视者） ν） ψ（x）：=s（x）Rψdν和λ∈ σ（J）。HS表明，在上述条件下，Ks是M的正本征函数（见theirLemma D.3）。条件F.2（b）在假设2.1下满足，当v=Q>r（M）时。要看到这一点，请看∧∈ Q（λ）>0时的X，并观察：∞Xt=1a-tMt（V（·）1l{∈ ∧}（x）≥∞Xt=1a-tMt1l{·∈ ∧}>0（几乎所有地方），其中第一个不等式为正不等式，第二个不等式为不可约不等式。因此，J1l{·∈ ∧}（x）>0（几乎所有地方）。此验证包括（b）部分，直至“几乎所有地方”的质量。另一方面，条件F.2（a）（c）似乎与命题F.2的条件截然不同。例如，假设2.1并不假定函数V的存在，而是引入了一个拟紧性条件。HS不预先限制M的函数空间，因此φ所属空间上没有有界或幂紧算子的概念。K是有界的要求（或在S中提供的有效条件）似乎没有在运营商M.F.3长期定价方面得到明确的转化。我们现在提供了一种在我们的存在和识别条件下适用的HS长期定价近似值。我们施加归一化E[φ（Xt）φ*（Xt）]=1并定义操作员（φ φ*) : L→ Lby:（φ φ*)ψ（x）=φ（x）Zφ*ψdQ。命题F.3假设2.1成立。

然后：存在c>0，使得：kρ-τMτ- (φ  φ*)k=O（e）-cτ）asτ→ ∞.命题F.3与HS中的命题7.4相似。命题F.3建立了ρ的收敛性-τMτto（φφ*), 近似误差在支付范围内以指数形式消失。2005年的一份ofHS草案中也报告了类似的主张（没有收敛速度）。在这里，HS直接假设扭曲的条件期望收敛到以φ，φ为特征的无条件期望*, 而且是一种武断的手段。命题F。3表明在平稳环境中，长期近似（9）中出现的无条件期望ee[ψ（Xt）/φ（Xt）]的特征是φ，φ*Q，即：eEψ（Xt）φ（Xt）= E[ψ（Xt）φ*（Xt）]。G附录C和FG中的结果证明。1附录C.1引理C.1的证明。Chen和Christensen（2015）的引理2.2给出了边界- Ik=Op（ξk（对数n）/√n） 。我们首先证明kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。让{Tn:n≥ 1} 是下面定义的正常数序列。设bk=G-1/2bkbe正交基函数和letΞt，n=n-1~bk（Xt）m（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）。写作：cMo- Mo=n-1Xt=0Ξtrunct，n+n-1Xt=0Ξtailt，nwhereΞtrunct，n=t，n1l{kΞt，nk≤ Tn/n}- E[kΞt，n1l{kΞt，nk≤ Tn/n}]Ξtailt，n=nΞt，n1l{kΞt，nk>Tn/n}- E[kΞt，n1l{kΞt，nk>Tn/n}。注E[Ξtrunct，n]=0和kΞtrunct，nk≤ 2n-1.通过施工。让Sk-1={u∈ Rk:kuk=1}。对于任何u，v∈ Sk-1和任何0≤ t、 s≤ N- 我们有：|uE[Ξtruncs，n（Ξtruncs，n）]v|。ξknE[|ubk（Xt）m（Xt，Xt+1）m（Xs，Xs+1）~bk（Xs）v |]≤ξknE[|m（Xt，Xt+1）|r]2/r×E[|（ubk（Xt））|q]1/q×E[|（vbk（Xs））|q]1/q。ξknE[|bk（Xt））| q]1/q1，其中第二行是由Holder不等式q选择的，即1=r+q1和第三行，因为∞. 因为对于任何u，E[（~bk（X）u）]=kuk=1∈ Sk-1，我们有：E[|（u)bk（Xt））|q]1/q≤ （ξq）-2kE[（ubk（Xt））]）1/q=ξ1-2/qkand so:kE[Ξtruncs，n（Ξtruncs，n）]k。

苏普，v∈Sk-1 | uE[Ξtruncs，n（Ξtruncs，n）]v |=O（ξ2+4/rk/n）。同样的论证给出了kE[（Ξtruncs，n）Ξtruncs，n]k=O（ξ2+4/rk/n）。根据Chen and Christensen（2015）的推论4.2：N-1Xt=0Ξtrunct，n= Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 提供的Tn（对数n）/n=o（ξ1+2/rk）/√n） 。现在考虑剩下的术语。如果m有界，我们可以设置Ξtailt，n≡ 取Tn=CξkF表示足够大的C。否则，通过三角形和Jensen不等式：N-1Xt=0Ξtailt，n≤ 2nE[kΞt，nk1l{kΞt，nk>Tn/n}]≤2nrTr-1nE[kΞt，nkr1l{kΞt，nk>Tn/n}]≤2ξ2rkTr-1nE[m（X，X）|r]。根据马尔可夫不等式：N-1Xt=0Ξtailt，n= Op（ξ2rk/Tr）-1n）。选择Tnso使ξ2rk/Tr-1n ξ1+2/rk（对数n）/√n、 我们获得：N-1Xt=0Ξtailt，n= Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。条件Tn（logn）/n=o（ξ1+2/rk）/√n） 在选择Tn时，等于条件（ξk（logn）/√n） （r）-2） /（r）-1） =o（1），这是因为ξk（logn）/√n=o（1），r>2。因此，我们证明了kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。结果（1）现在来自引理D.3（b），注意到K（bGo）-1cMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 在ξ1+2/rk（logn）条件下为op（1）/√n=o（1）。结果（2）来自结果（1）和操作员规范的定义。结果（3）直接来自kbGo-Ik=Op（ξk（对数n）/√n） 和kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。引理C.2的证明。与Gobetet al.（2004）的引理4.8和4.12的证明类似的论点给出了kbGo的边界- Ik=Op（ξkpk/n），k（bGo）- 一） ~ckk=Op（ξk）/√n） ，和Kc*0k（bGo）- 一） k=Op（ξk）/√n） 。我们首先为CMO建立类似的界限。让你，UK可能是Rk的正交基础。然后：E[kcMo- [Mok]≤kXl=1E[k（cMo- 现在，根据rho混合过程的协方差不等式：E[kcMo- [Mok]≤CnkXl=1kXj=1Eh~bkj（Xt）m（Xt，Xt+1）（~bk（Xt+1）ul）i≤CξknkXl=1Ehm（Xt，Xt+1）（~bk（Xt+1）ul）i其中常数C仅取决于rho混合系数。

根据H¨older不等式：E[m（Xt，Xt+1）（~bk（Xt+1）ul）]≤ E[|m（X，X）|r]2/r×E[（~bk（X）ul）2rr-2] r-2r≤ E[|m（X，X）|r]2/r×ξ4/rk×E[（|bk（X）ul）]r-2r。ξ4/rksince E[|m（X，X）|r]<∞ kulk=1。代入上述内容，我们得到[kcMo]- 莫言]。ξ2+4/rkk/nwhich根据马尔可夫不等式得出kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rkpk/n）。相似议论文k（cMo）- Mo）~ckk=Op（ξ1+2/rk）/√n） 还有凯克*0k（cMo）- Mo）k=Op（ξ1+2/rk）/√n） 。结果（1）现在来自引理D.3（b），注意到K（bGo）-1cMo- Mok=Op（ξ1+2/rkpk/n），在ξ1+2/rkpk/n=o（1）的条件下为Op（1）。对于结果（2），请注意- Ik≤, 我们有k（bGo）-1k≤ 2因此：k（（bGo）-1cMo- Mo）~ckk≤ k（bGo）-1（cMo- Mo）~ckk+k（（bGo）-1.- 一） mockk≤ 2k（cMo）- Mo）~ckk+2ρkk（bGo）- 一） ~ckk。~ck的结果由边界k（bGo）得出-一） ~ckk=Op（ξk）/√n） 和k（cMo）-Mo）~ckk=Op（ξ1+2/rk）/√n） 。~c的结果*kfollows类似。结果（3）直接来自kbGo- Ik=Op（ξkpk/n）和kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rkpk/n）。引理C.3的证明。如果我们证明kcMo-Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 在本案中也是如此。首先写：cMo- Mo=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；^α）- m（Xt，Xt+1；α）~bk（Xt+1）+nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；α）~bk（Xt+1）- 莫！=：B1，k+b2，KWKB2，kk=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 通过引理C.1的证明。福布1，k，条件（a）意味着α∈ N wpa1。无论何时∈ N我们可以采用平均值展开（有效bycondition（b））来获得：kb1，kk=nn-1Xt=0bk（Xt）bk（Xt+1）m（Xt，Xt+1；～α）α(^α - α)wpa1表示^α和α之间的段中的^α。

因此，我们有：kb1，kk=supu，v∈Sk-1.nn-1Xt=0（uBK（Xt））（v bk（Xt+1））m（Xt，Xt+1；～α）α(^α - α)≤ ξk×supu∈Sk-1nn-1Xt=0 | u | bk（Xt）|×m（Xt，Xt+1）！×k^α- αk≤ ξk×苏普∈Sk-1ubGou1/2×nn-1Xt=0米（Xt，Xt+1）！1/2×k^α- αk第一行是因为kAk=supu，v∈Sk-1 | uAv |和第二和第三条线由条件（b）和H¨older不等式和Cauchy-Schwarz不等式决定。最后，请注意SUPU∈Sk-1ubGou=kbGok=1+op（1）通过引理C.1和NPN的证明-根据遍历定理和条件（b），1t=0¨m（Xt，Xt+1）=Op（1）。因此kb1，kk=Op（ξk）/√n） 还有sokcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） ，视需要而定。引理C.4的证明。如果我们证明kcmo，那么这个证明后面的论点将与引理C.1中结果（1）-（3）的证明相同- Mok=Opξ1+2/rk（对数n）√n+ξ2-2秒-v2svk√k log k√N在引理C.3的证明中，它必须是束缚的：b1，k:=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；^α）- m（Xt，Xt+1；α）~bk（Xt+1）。设hα（x，x）=m（x，x；α）- m（x，x；α）和let:htruncα（x，x）=hα（x，x）1l{k＠bk（x）kk＠bk（x）kE（x，x）≤ Tn}htailα（x，x）=hα（x，x）1l{kbk（x）kkbk（x）kE（x，x）>Tn}式中{Tn:n≥ 1} 是下面定义的正常数序列。然后：kb1，kk≤ supα∈A.nn-1Xt=0bk（Xt）htruncα（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）- E[~bk（Xt）htruncα（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）]+ supα∈A.nn-1Xt=0▄bk（Xt）htailα（Xt，Xt+1）▄bk（Xt+1）+ supα∈A.E[~bk（Xt）htailα（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）]+E[~bk（Xt）h^α（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）]=:B1，k，1+b1，k，2+b1，k，3+b1，k，4。设Hn，k={（c!bk（x））（c!bk（x））htruncα（x，x）：c，c∈ Sk-1, α ∈ A} Sk在哪里-1是Rk中的单位球。然后：b1，k，1≤ N-1/2×suph∈Hn，k | Zn（h）|通过定义算子范数，其中Zn是Hn的中心经验过程，k.Doukhan等人（1995）的定理2:E[suph]∈Hn，k | Zn（h）|]=O k（σn，k）+Tnq k（σn，k）σn，k√n+√nTnβq！（OA.3）其中q∈ {1, 2, . . .}, σn，k≥ 嘘∈Hn，kkhk2，β为Doukhanet al.第400页定义的标准k·k2，β。