非参数随机贴现因子分解

我们用基函数的低维向量对广义残差进行处理，形成标准函数Ln（单变量情况下维数为6，双变量情况下维数为10）。在不同的量纲基础上也得到了类似的结果。表3给出了估计值和自举90%置信区间。我们使用静态引导法对数据进行了1000次重采样，预期数据块长度为四分之六。在左面板中，我们重新估计每个引导复制的β、γ、λ、χ、ρ、y和L。我们丢弃了（β，γ）估计量无法收敛的极小部分复制。在右侧面板中，我们计算β和γ，并重新估计每个引导复制的λ、χ、ρ、y和L。（gt，dt）政府部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门（0.980.9812（0.9812（0.9812（0.970.9712（0.970.970.970.970 0.0381）0.0215（0.0000,0.0426）0.0128（0.0090,0.0185）0.0203（0.0146,0.0295）0.0297（0.0198,0.0435）^β0.9851（0.9784,0.9926）0.9853（0.9771,0.9921）0.99 0.99 0.99^γ24.4712（0.6850,44.7570）27.4838（0.0000,50.4619）20 25 30^λ0.8999（0.8146,0.9922）0.8872（0.7927,0.9888）0.9154（0.9008,0.9324）0.8983（0.8789,0.9205）0.8834（0.8579,0.9111）表3：左面板：与β、β、γ、β、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ相对应的估计值。右面板：对应于预先指定（β，γ）和估计（λ，χ）的ρ、y和L的估计值。90%的引导置信区间在括号中。几个值得注意的方面。首先，这两个州的具体情况都会产生一个永久性的组成部分，其熵与长期债券每季度约2%的回报溢价相一致，这在经验合理估计的范围内。第二，估计的每季度1.9%左右的长期收益率太大，这可以用^β的低值来解释。

第三，SDF的估计熵，即log（nPn-1t=0m（Xt，Xt+1；^α））-nPn-1t=0log（m（Xt，Xt+1；^α））对于双变量规格为0.0191，对于单变量规格为0.0208。因此，估计的水平相关性（永久性成分的熵和SDF熵之间的差异）在每月±0.1%的范围内，巴克斯等人（2014）认为这是匹配短期和长期债券之间平均收益率差所必需的。最后，γ的估计非常不精确，与之前的研究（例如，Chen等人（2013））一致。表3左面板中ρ、y和L的置信区间相当宽，这在很大程度上反映了估计β和γ的不确定性。不同筛分尺寸的实验结果表明，γ的估算值介于20和30之间。表3的右面板给出了ρ、y和l fixingβ=0.99和γ=20、25和30的估计值（χ和λ仍然是非参数估计值）。很明显，一旦β和γ估计的不确定性被关闭，由此产生的置信区间就要小得多。现在我们来分析永久性和暂时性成分的时间序列特性。图2的上两个面板显示了双变量stateChen等人（2013）获得的时间序列图≈ 60使用总消费数据和≈ 20使用股东消费数据。此外，根据股东数据，他们估计的EIS与零没有显著差异。这表明我们对γ的估计和单位EIS的假设在经验上是合理的。SDF m（Xt，Xt+1；^α）及其永久组件的规格，构造为：^MPt+1^MPt=^ρ-1m（Xt，Xt+1；^α）^φ（Xt+1）^φ（Xt）。可以看出，SDF及其永久性组成部分随着时间的推移而密切演变，并表现出强烈的反周期性。

暂时性成分（未绘制）较小，与文献中关于界限的结论一致，即暂时性成分应比永久性成分大得多。永久性成分系列^MPt+1/^MPt与GDP增长的相关性约为-0.39，而transitorycomponent系列^MTt+1/^MTt与GDP增长的相关性约为0.05。图2下方的面板显示了SDF的时间序列图，以及使用与递归偏好规范中相同的（β，γ）在功率不足情况下获得的永久性组件。该面板显示，永久性成分与递归偏好下获得的成分类似，比SDF系列的波动性大得多。电力设施下的DF和永久性组件系列之间的巨大差异是由于非常不稳定的过渡组件，这意味着短期和长期债券之间的平均收益率存在较大的差异（Backus et al.（2014））。进一步了解ρ、φ和φ估计值的长期定价含义*,图3a-3d绘制了估算的φ和φ*在二元和一元状态规格的递归偏好下。从图3a和3b中的垂直标度可以明显看出，φ的两个估计值相对较低，这解释了通过递归偏好获得的小瞬时分量。然而，估计*在g中有明显的向下坡度。估计的φ*在二元变量中，消费增长水平也呈下降趋势。回想一下，命题2.1表明：*是Q相对于Q的RadonNikodym ofeQ导数。图3e–3f绘制了状态过程两种规格的测量估计变化。由于φ的估计值相对较低，测量值的估计变化主要以φ为特征*.

在双变量情况下，与平稳分布Q相比，分布Q将相对更多的质量分配给状态空间中股息和消费增长较低的区域，而将相对较少的质量分配给消费增长较高的区域。最后，我们研究了非线性和非高斯性在解释长期结构某些特征中的作用。图4给出了（a）长期（季度）收益率和（b）永久性和暂时性成分对数之间的相关性的非参数估计，即^mPt+1=log（^mPt+1/^mPt）和^mTt+1=log（^mTt+1/^mTt），从Xt=（gt，dt）数据中恢复，β=0.994，γ从γ=1增加到DF（EZ）PC（EZ）SDF（PU）PC（PU）1950 1960 1970 1980 1990 2000 20100.51.01.50.01.50.51.01.50.51.01.5图2：当Xt=（gt，dt）时，SDF及其永久分量（PC）的恢复时间序列。上面的面板带有Epstein和Zin（1989）的递归偏好，带有单位EIS（EZ），下面的面板带有电源实用程序（PU）。两者都使用估计的偏好参数（β，γ）=（0.985,24.471）。阴影区域表示NBER衰退期。γ = 35. 非参数估计与状态过程两个参数的估计一起给出。第一个假设Xt=（gt，dt）是高斯VAR（1），即Xt-u=A（Xt-u）+et+1，其中et+1为i.i.d.N（0，∑）。第二个是随机波动率下对数消费增长的高斯AR（1）：gt+1- u=κ（gt）- u) +√vtet+1，et+1~ i、 i.d.N（0，1），其中{vt}是一阶自回归伽马过程（Fellersquare根过程的离散时间版本；参见Gourieroux和Jasiak（2006）），因此状态向量为Xt=（gt，vt）。我们将第二种规格称为SV-AR（1）。

长期产量以及mPt+1=log（mPt+1/mPt）和mTt+1=log（mTt+1/mTt）之间的相关性是通过β、γ以及VAR（1）和SV-AR（1）参数的估计进行分析得出的。VAR（1）参数由OLS估计。SV-AR（1）参数是使用带有GARCH（1,1）误差的AR（1）作为辅助模型，通过间接推理估计的。估计的推导和进一步细节见补充材料。0.9951.0001.0051.010-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015xφ^（x）（a）Xt=gt-0.050.000.050.10-0.005 0.000 0.005 0.005 0.010 0.015gd1的^φ（x）图。001.021.041.06（b）Xt=（gt，dt）1.01.52.0-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 xφ的等高线图^*（x）（c）φ的等高线图*（x） 对于Xt=gt-0.050.000.050.10-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015gd12（d）^φ等高线图*（x） 对于Xt=（gt，dt）1.01.52.0-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015xφ^（x）φ^*（x）（e）φ（x）φ的绘图*（x） 对于Xt=gt-0.050.000.050.10-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015gd12（f）^φ（x）^φ等高线图*（x） 对于Xt=（gt，dt）图3：^φ（上面板）和^φ的曲线图*（中间面板）和测量值^φ（x）的估计变化*（x） 使用表3.0.0060.0080.0100 10 20 30γy（a）长期收益率-0.75-0.50-0.250.000 10 20 30γ相关性（b）^mPt+1和^mTt+1之间的相关性图4：实线：季度非参数估计长期运行收益率和β=0.994的递归偏好下的^mPt+1和^mTt+1之间的相关性，对于具有Xt=（gt，dt）的不同γ。还显示：从拟合高斯VAR（1）到Xt=（gt，dt）（虚线）和拟合SV-AR（1）到gt（虚线）得到的参数估计。图4a显示长期收益率的非参数估计是非单调的，而参数估计是单调递减的。

这种非单调性在使用Xt=gt的非参数估计中并不明显。同样清楚的是，对于高γ，长期产量的非参数估计比SV-AR（1）模型大得多。图4b显示了不同γ值的对数永久性和瞬态成分系列的非参数估计值^mPt+1和^mTt+1的样本相关性。这与两个参数状态工艺规范的对数永久性和瞬态成分mPt+1和mTt+1的相关性进行了比较。对于低到中等的γ值，非参数估计值的估计相关性为负，但对于较大的γ值，非参数估计值的估计相关性为正。使用低维和高维基也可以得到类似的结果。相比之下，对于低γ值，参数状态过程规范的相关性与非参数估计的相关性大致相同，但对于较大的γ值，相关性仍然为负值。近期文献强调了永久性和暂时性成分之间的正相关性在解释长期债券超额收益中的作用（Bakshi和ChabiYo，2012；Bakshi等人，2015a，b）。正相关性也体现在风险价格的期限结构向下倾斜的模型中（见Boroviˇcka和Hansen（2016）第7.2节中的示例）。然而，众所周知，在具有指数动力学的工作马模型中，通过传统偏好规范很难产生正相关性。

尽管对于较大的γ值，相关性的估计不精确，但这一发现至少表明，状态动力学中的非线性可能在解释收益率曲线长端的显著特征方面发挥了作用。7结论本文介绍了一个经验框架，用于分析Alvarez和Jermann（2005）、Hansen和Scheinkman（2009）和Hansen（2012）的长期因式分解中SDF过程的永久性成分和过渡性成分。我们展示了如何从状态变量的时间序列数据和SDF过程中非参数地估计Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius特征函数问题的解。我们的经验框架允许研究人员（i）恢复估计的永久性和过渡性成分的时间序列，并调查其性质；（ii）估计长期投资期限内表征定价的收益率和测量变化。这代表了一个有用的贡献，相对于现有的实证工作，这些工作已经建立了永久性和暂时性成分的各种矩作为资产回报函数的界限，但没有直接从数据中提取成分。该方法是非参数的，因为它不会对状态变量的动力学或状态变量与SDF过程的联合分布施加严格的参数限制。本文的主要理论贡献如下。首先，我们建立了Perron-Frobenius特征函数估计的相合性和收敛速度。其次，我们建立了相关泛函的特征值估计和估计的渐近正态性和一些有效性性质。

第三，通过将值函数递归重新解释为非线性Perron-Frobenius问题，我们在一类具有递归偏好的模型中引入了连续值函数的非参数估计，并建立了值函数估计的相合性和收敛速度。计量经济学方法可以以几种不同的方式进行扩展和应用。首先，该方法可用于研究更一般的乘法函数过程，如Hansen等人（2008）、Hansen and Scheinkman（2009）和Hansen（2012）中的估值和随机增长过程。其次，该方法可应用于具有潜在状态变量的模型。主要一致性和收敛速度结果（定理3.1和4.1）具有充分的一般性，它们同样适用于此类情况。最后，我们的分析是在结构模型的背景下进行的，其中SDF过程与偏好紧密相关。进一步的扩展是将该方法应用于SDFP流程，该流程可灵活地从资产回报数据中提取。关于估计的附加结果。1关于定理3.1的偏差和方差计算，本小节的结果在很大程度上借鉴了Gobet等人（2004）的观点。结果表明，近似解ρk，φk和φ*特征向量问题（15）中的k对于所有k个有效值都是明确的和唯一的（即达到符号和尺度归一化）。引理A.1假设3.1和3.2成立。然后：存在K∈ 好吧≥ K、 特征向量问题（15）的最大特征值ρkof是实的和简单的，因此（M，G）有唯一的右和左特征向量ckc和c*k对应于ρk引理A.2，假设3.1和3.2成立。然后：（a）|ρk- ρ|=O（δk）（b）kφk- φk=O（δk）（c）kφ*K- φ*k=O（δ）*k） 式中δ和δ*展品中的卡雷（22）。

应将速率理解为在标度归一化kφk=1，kφkk=1，kφ下保持不变*k=1，kφ*kk=1，符号规格化shφk，φi≥ 0和hφ*k、 φ*我≥ 0.以下结果表明，解^ρ、^c和^c*样本特征向量问题（16）定义明确且唯一，概率接近1（wpa1）。引理A.3假设3.1-3.3成立。然后：wpa1，广义特征向量问题（16）的最大特征值^ρ是实的和简单的，因此（cM，bG）有唯一的左、右特征向量^c和^c*对应于^ρ。引理A.4假设3.1-3.3成立。然后：（a）|ρ- ρk |=Op（ηn，k）（b）k^φ- φkk=Op（ηn，k）（c）k^φ*- φ*kk=Op（η）*n、 k）式中ηn，kη*n、 展品中的卡雷（23）。在标准化k^φk=1，kφkk=1，k^φ的情况下，应将速率理解为保持不变*k=1和kφ*kk=1和符号归一化h^φ，φki≥ 0和h^φ*, φ*基≥ 0.A.2定理4.1的偏差和方差计算以下两个引理应用了关于通过投影法求解非线性方程的文献中的已知结果（例如，参见Krasnosel’skii、Vainikko、Zabreiko、Rutitskii和Stetsenko（1972）第19章）。第一个结果表明，香港对所有k su足够大。引理A.5假设4.1和4.2（b）成立。

然后：存在ε>0和K∈ 为了所有的k≥ K投影固定点问题（33）至少有一个解hkin-ball Nk={ψ∈ Bk:kψ- hk<ε}。备注A.1尽管球可能包含投射的执行点问题（33）的多个解，但在引理A.5的条件下，我们有这个suphk∈Hkkhk-hk=o（1），其中hk表示Nk中（33）的所有解的集合。备注A.2如果假设4.1（c）得到加强，要求在r（Dh）<1的情况下，T在h时连续Fr'echetdifferentiable，则存在K∈ N和ε>0，因此对于所有k≥ K投影固定点问题（33）有一个独特的解决方案。鉴于备注A.1，在下文中，我们假设HK为Nk中（33）的任意一个解（或在h处T的连续Fr’echet微分的附加假设下的唯一解）。设χk=hk/khkk和λk=k∏kTχkk。引理A.6假设4.1和4.2成立。然后：（a）|λk- λ|=O（τk）（b）kχk- χk=O（τk）（c）khk- hk=O（τk）。我们现在证明，wpa1，样本定点问题有一个解^v，其中^h（x）=^vbk（x）属于Nk。然后，我们推导出使用^v形成的估计量的收敛速度（参见display（36））。以下两个结果是新的。引理A.7假设4.1-4.3成立。然后：wpa1，存在一个固定点^v of bG-1bT使得函数^h（x）=bk（x）^v属于Nk。此外，k^h- hk=op（1）。备注A.3尽管可能存在多个固定点^v ofbG-1bT，其中^h（x）=^vbk（x）属于Nk，在引理A的条件下，我们有这个sup^hk∈^Hkk^h- hk=op（1），其中^hk表示属于Nk的所有此类bk（x）^v的集合。鉴于备注A.3，以下引理适用于（36）中从任意固定点^v of bG形成的估值器^λ、^χ和^h-1吨，其中bk（x）^v∈ Nk。引理A.8假设4.1-4.3成立。