非参数随机贴现因子分解

最后，让我们`*（α） =kM（α）- 请注意`*(α) = 0.引理C.4设引理C.1的条件为m（x，x）=m（x，x；α），并设：（a）m具有kEk4s<∞ 对于某些s>1（b）对数N[]（u，M）*, k·k4sv2s-v）≤ C[]u-2ζ对于某些常数C[]>0，ζ∈ （0,1）和v∈ （1，2）（c）`*（α） 在α和|`*(α)-`*(α)-˙`*α[α-α] |=O（kα）-αkA），k^α- αkA=op（n-1/4）和√n˙`*α[^α - α] =Op（1）（d）ξ4-2秒-vsvk（klogk）/n=o（1），ξζ2s-v2svk=O(√k logk）和（logn）=O（ξ1/3k）。然后：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk（对数n）/√n+ξ2-2秒-显示屏（23）中的v2svkp（k log k）/n。（3） 如果，另外，[ξ4+8/rk（logn）+ξ8-4s-2vsvk（k log k）]/n=o（1），则假设3.4（b）成立。注意，条件ξζ2s-v2svk=O(√当ξk=O时，k logk）基本满足(√k） 。C.2假设4.3的充分条件以下是假设4.3假设β混合的一组充分条件。回想一下ξk=supxkG-1/2bk（x）k引理C.5让下列条件成立：（a）x是指数β混合（b）E[（G1-γt+1）2s]<∞ 对于一些s>1（c）[ξk（logn）+ξ2+2βkk]/n=o（1）和（logn）2s-1s-1k/n=o（1）。然后：（1）假设4.3成立。（2） 我们可以取νn，k=ξ1+βkpk/n+ξk（对数n）/√n显示（37）。D主文本中结果的证明符号：v∈ Rk，定义：kvkG=vGkvor相当于kvkG=kG1/2kvk。对于任何矩阵A∈ Rk×kwe定义：kAkG=sup{kAvkG:v∈ Rk，kvkG=1}。我们还定义了由Gk加权的内积，即hu，viG=uGkv。内积h·，·iG及其范数k·Kg与研究矩阵估计的收敛性密切相关，因为（Rk，h·，·iG）与（Bk，h·，·i）等距同构。符号是一个。对于两个正序列an和BN，意味着存在一个有限的正常数C≤ CBN足够大；一 BN指an。bn和bn。一D.1命题2.1第2、3和4节结果的证明。

根据假设2.1，Schaefer（1974）的定理V.6.6暗示ρ：=r（M）>0，且M具有唯一的正本征函数φ∈ l对应于ρ。将结果应用于M*代替M保证φ的存在*∈ L.这证明了（a）部分。Schaefer（1974）的定理V.6.6也暗示ρ是孤立的，M的最大特征值。Schaefer（1974）的定理V.5.2（iii）反过来暗示ρ是简单的，完成了（c）部分的证明。Schaefer（1974）的定理V.5.2（iv）暗示φ是（6）的唯一正解。同样的结果也适用于M*代替mguarantesφ的唯一性*, 证明部分（b）。（d）部分来自命题F.3。定理3.1的证明。引理A.2和A.4的直接引理。推论3.1的证明。我们首先验证假设3.2。根据Schumaker（2007）的定理12.8和（ii）-（iv），对于每一个ψ∈ l存在hk（Mψ）∈ bk等于：kMψ- hk（Mψ）k。K-p/dkMψkW p.k-因此，kMψ- πkMψk=kMψ- hk（Mψ）+∏k（hk（Mψ）- Mψ）k≤ 2kMψ- hk（Mψ）k。K-\'p/dkψkand so kM- πkMk=O（k-“p/d）=o（1）按要求。类似的参数产生δk=O（k-p/d）和δ*k=O（k-p/d）。根据引理C.2，条件（iv）-（vii）对假设3.3是有效的，我们可以取ηn，k=η*n、 k=k（r+2）/（2r）/√n、 选择k nrd2rp+（2+r）dbalances偏差项和方差项，我们得到了所述的收敛速度。备注3.1的证明。首先观察Mφ=P∞n=1unhφ，~nnign。取Mφ=ρφ两边与gn的内积，我们得到每n的unhφ，νni=ρhφ，gni∈ N.根据帕塞瓦尔的恒等式，kφk=Pn∈Nhφ，~nni≥ ρPn∈N：uN>0u-2nhφ，gni。类似地，kφ*K≥ρPn∈N：uN>0u-2nhφ*, ni。注意hφ，gni=0和hφ*, 如果un=0，则uni=0。当bkn跨越由{gn}kn=1生成的线性子空间时，我们有φk:=Pkn=1hφ，gnign∈Bk。

因此，假设uk+1>0（否则结果基本正确）：kφ- φkk=Xn≥k+1hφ，gni=uk+1Xn≥k+1hφ，gniuk+1≤ uk+1Xn≥k+1：un>0hφ，gniun≤ uk+1kφkρ。结果是：δk=kφ- πkφk=kφ- φk+πk（φk- φ） k≤ 2kφ- φkk=O（uk+1）。类似的论证给出了δ*k=O（uk+1）。在证明定理3.2之前，我们首先给出一个引理，它控制涉及φ和φ的高阶偏置项*k、 定义：ψk，ρ（x，x）=φ*k（x）m（x，x）φk（x）- ρkφ*k（x）φk（x）带φk和φ*使kφkk=1，hφk，φ*ki=1，并且：ψ、 n，k=nn-1Xt=0ψρ，k（Xt，Xt+1）- ψρ（Xt，Xt+1）其中ψρ来自显示器（25）。为了简化表示法，设φt=φ（Xt），φ*t=φ*（Xt），φk，t=φk（Xt）和φ*k、 t=φ*k（Xt）。引理D.1假设3.1和3.2成立。然后：ψ、 n，k=Op（δk+δ*k） 。引理D.1的证明。先写ψ、 n，k=nn-1Xt=0（φ*k、 t- φ*t） m（Xt，Xt+1）φk，t+1+nn-1Xt=0φ*tm（Xt，Xt+1）（φk，t+1）- φt+1）- （ρk）- ρ） nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t- ρnn-1Xt=0（φ*k、 tφk，t- φ*tφt）=:bT+bT+bT+bT。通过迭代期望：E[|（φ*k、 t- φ*t） m（Xt，Xt+1）φk，t+1 |]=h |φ*K- φ*|, M（|φk |）i≤ kφ*K- φ*kkMkkφkk=O（δ*k） 使用Cauchy-Schwarz，M的有界性（假设3.1）和引理A.2（注意正规化hφ*k、 φki=1和hφ，φ*i=1而不是kφ*kk=1和kφ*k=1不影响引理a.2）的结论。马尔可夫不等式则表示Bt=Op（δ*k） 。类似地，E[|φ*tm（Xt，Xt+1）（φk，t+1）- φt+1）|]=hφ*, M（|φk）- φ|）i≤ kφ*kkMkkφk- φk=O（δk）和sobT=Op（δk）。自ρk- ρ=O（δk）由引理A.2（A）和NPN确定-1t=0φ*k、 tφk，t=Op（1）由Lemma得出。2（b）（c），我们得到bt=Op（δk）。最后，E[|φ*k、 tφk，t- φ*tφt |]≤ kφ*K- φ*kkφkk+kφ*kkφk- φk=O（δk+δ*k） 再次由柯西-施瓦兹和引理A.2。因此，bT=Op（δk+δ*k） 。定理3.2的证明。首先请注意：√n（^ρ）- ρ) =√n（^ρ）- ρk）+√n（ρk）- ρ）=√n（^ρ）- ρk）+o（1）=√北卡罗来纳州*0k（厘米）- ρkbG）ck+op（1）（S.1），其中第二行是假设3.4（a），第三行是引理B.1和假设3.4（B）（在规范化kGckk=1和c下）*0kGck=1）。

根据标识，我们可以在显示屏右侧（S.1）写下第一个术语：√北卡罗来纳州*0k（厘米）- ρkbG）ck=√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+√n×ψ、 n，k=√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+op（1）（S.2），其中第二行是引理D.1和假设3.4（a）。结果是将（S.2）代入（S.1）并应用CLT来表示平稳和遍历鞅差（例如，Billingsley（1961）），这在假设3.4（c）中是有效的。定理3.3的证明。这是附录B中定理B.1的结果。定理3.4的证明。设mt（α）=m（Xt，Xt+1；α）。根据假设3.4（a）、引理B.1和假设3.4（B）：√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1m（Xt，Xt+1，^α）- ρkφ*k、 tφk，t+ 作品（1）=√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）+ op（1）（S.3），其中第二个等式是引理D.1。我们将（S.3）右侧的第二项分解为：√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）=√nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α(^α - α)+√nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）- mt（α）-mt（α）α(^α - α)+√nn-1Xt=0（φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）（mt（α）- mt（α））=：√nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α(^α - α） +bT+bT（S.4）表示术语bT，无论何时∈ N（它是wpa1）我们可以取一个平均值展开式，得到bT=nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α-mt（α）α×√n（^α）- α） 式中，α位于α和α之间。接下来是常规论证（如纽伊和麦克法登（1994）的引理4.3，用遍历定理代替大数定律），即：-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α-mt（α）α= op（1）（S.5）根据假设3.5（c）（d）持有。此外√n（^α）-α） =Op（1）根据假设3.5（a）（b）。因此，bT=op（1）。对于termbT，根据假设3.5（c），无论何时∈ N（它是wpa1）我们有：|mt（^α）- mt（α）|≤ \'m（Xt，Xt+1）×k^α- αkwhere max0≤T≤N-1|m（Xt，Xt+1）|=op（n1/s），因为E[|m（Xt，Xt+1）s]<∞.

因此，我们有：bT≤√n×nn-1Xt=0 |φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1 |×max0≤T≤N-1 | m（Xt，Xt+1）|×k^α- αk=nn-1Xt=0 |φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1 |×op（n1/s）=op（δk+δ*k） 通过与引理D.1的证明类似的论证，证明了x op（n1/s）。最后，观察n1/s（δk+δ*k） =o（1），根据假设3.4（a）和条件s≥ 2.因此，bT=op（1）。由于BTB和BTIN显示屏（S.4）都是op（1），我们有：√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）=nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α√n（^α）- α） +op（1）=Eφ*（Xt）φ（Xt+1）m（Xt，Xt+1；α）α√n（^α）- α） +op（1）。替换为（S.3）并使用假设3.5（a）：√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0h[2a]ψρ，tψα，t+ op（1）和假设3.5（b）得出的结果。定理3.5的证明。我们遵循类似的论点来证明定理3.4。在这里，我们可以将显示屏右侧（S.3）的第二项分解为：√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）=√n（`（α）- `（α） ）+bT+bT=√nn-1Xt=0ψ`，t+op（1）+bT+bT，其中第二行是假设3.6（b）（c），其中：=√nn-1Xt=0φ*tφt+1（mt（α）- mt（α））- (`(^α) - `(α))英国电信=√nn-1Xt=0（φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）（mt（α）- mt（α））。结果将遵循假设3.6（c）（d），前提是Bt和Bt都是op（1）。对于termbT，请注意bt=Zn（g^α），其中Zn表示以g为中心的经验过程。根据假设3.6（c），我们有K（g^α，g^α）=op（1）。适当地修改van der Vaart（1998）中引理19.24的论点（即用由k诱导的范数替换Lnorm，这是弱相依情形的适当半度量）得到Zn（g^α）→p0。对于termbT，请注意：E[|（φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）（mt（α）- mt（α））|]。E|(φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）|s/（s-1)（s）-1） /sby假设3.6（e）和霍尔德不等式。假设kφkk2s/（s），我们完成了证明-2） =O（1）和kφ*k2s/（s）-2） <∞; 假设3.6（e）中替代条件下的证明是类似的。

根据Minkowski和H¨older的不等式和假设3.6（e），我们有：|(φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）|s/（s-1)（s）-1） /s≤ E|(φ*k、 t- φ*t） φk，t+1 | s/（s）-1)（s）-1） /s+E|φ*t（φk，t+1- φt+1）|s/（s-1)（s）-1） /s≤ kφ*K- φ*kkφkk2s/（s）-2） +kφk- φkkφ*k2s/（s）-2） =O（1）×O（δ）*k+δk）。它遵循假设3.4（a）和马尔可夫不等式bt=op（1）。以下引理基于Akian、Gaubert和Nussbaum（2016）中的引理6.10。引理D.2假设命题4.1的条件成立。然后：存在有限的正常数C，C和h的一个邻域N，这样：kTnψ- 香港≤ 总工程师-对所有ψ∈ 引理D.2的证明。固定一些常数a，使r（Dh）</a<1。根据Gelfandformula，存在m∈ N使kDmhk<`am。T在h处的Fr′echet可微性与Fr′echet导数的链规则意味着：kTmψ- Tmh- Dmh（ψ）- h） k=o（kψ）- hk）作为kψ- 香港→ 0:kTmψ- 香港≤ kDmhkkψ- hk+o（kψ）- hk）<（\'am+o（1））×kψ- 香港。我们可以选择 > 0和a∈ （\'a，1）使得kTmψ-香港≤ amkψ-香港所有人ψ∈ B（h） ：={ψ∈ L:kψ- 香港}. （B）（h） 是引理陈述中的邻域。）那么对于任何ψ∈ B（h） 还有什么k∈ N我们有：kTkmψ- 香港≤ akmkψ- 香港。（S.6）通过归纳可以直接证明，G的有界性和T的β度齐性共同意味着：kTnψ- Tnψk≤ （1+kGk）1-βkψ- ψkβn（S.7）对于任意ψ，ψ∈ L.吃任何东西≥ 设k=bn/mc。由（S.6）和（S.7）我们得到：kTnψ- hk=kT（n）-km）Tkmψ- T（n）-km）香港≤ （1+kGk）1-βkTkmψ- hkβ（n）-公里）≤ （1+kGk）1-ββ（n-km）（akm）β（n）-km）对于任何ψ∈ B（h） 。结果如下：C和C的适当选择。命题4.1的证明。从引理D.2和B中取C和C（h） 从莱玛D.2的证据来看。设N={ψ∈ L:kψ- χk</注意{khkψ：ψ∈ N} =B（h） 。取任意ψ∈ {af:f∈ N、 a∈ R\\{0}。对于任何这样的ψ，我们可以写出ψ=（a/khk）f*何处*= KKF∈ B（h） 。

通过T的同质性：χn+1（ψ）=Tn（χ（ψ））kTn（χ（ψ））k=Tn（χ（f）*))kTn（χ（f）*))k=χn+1（f）*)每n≥ 1（注意G的正性确保了kTnf*每n和每f的k>0*∈ N） 。由引理D.2可知：kχn+1（ψ）- χk=kχn+1（f*) - χk=总氮（f）*)kTn（f）*)K-香港≤khkkTn（f）*) - 香港≤khkCe-根据需要。推论4.1的证明。χ的结果在文本中说明。对于h，设C，C和B（h） 就像引理D.2及其证明一样。假设他的T的a固定点属于B（h） 。Thenby引理D.2:kh- hk=kTnh- 香港≤ 总工程师-cn→ 因此h=h。定理4.1的证明。引理A.6和A.8中的直接引理。D.2附录A.1引理A.1的证明。我们首先证明存在K∈ N使得算子的最大值ρkof∏kM:L→ Lis真实而简单≥ K.在假设3.1下，ρ是M的简单孤立特征值。因此，存在 > 0使得|λ- ρ| > 2 总而言之λ∈ σ（M）。设Γ表示以ρ为中心，半径为. 设R（M，z）=（M- (子)-1在z处计算M的预解式∈ C\\σ（M），其中I是身份运算符。注意：CR:=supz∈ΓkR（M，z）k<∞ （S.8）因为R（M，z）是Γ上的全纯函数，且Γ是紧的。根据假设3.2，存在K∈ N使得：CR×k∏kM- Mk<1（S.9）适用于所有k≥ K.根据加藤（1980）第214页的定理IV.3.18，当≥ K：（i）算子∏kM有一个精确的特征值ρkinsideΓ和ρkis simple；（ii）Γ （C \\σ（πkM））；（iii）σ（φkM）\\{ρ}位于Γ的外部。请注意，ρk必须等于k≥ 因为复特征值是共轭对。

因此，如果ρkWere复值，那么它的共轭也会在Γ内部，这与ρkis是Γ内部∏kM的唯一特征值这一事实相矛盾。任何∏kM的非零特征值也是具有相同重数的（M，G）的en特征值。因此，当k时，最大特征值ρkof（M，G）为正且简单≥ K.让∏kM | Bk:Bk→ Bk表示∏kM对Bk的限制。回想一下φ*k（x）=bk（x）c*kwhere c*K在（15）中解决了左特征向量问题。给，φ*kis伴随点的本征函数（∏kM | Bk）*: Bk→ Bk对应于ρk，即h（πkM |Bk）*φ*k、 ψi=ρkhφ*k、 ψifor allψ∈ Bk.另一个伴随也与下一个证明有关，即（∏kM）*: L→ L是空间L中∏kM的结合点。引理A.1得出（∏kM）*有一个本征函数，比如φ+k对应于ρkwhenk≥ K.即h（πkM）*φ+k，ψi=ρkhφ+k，ψi表示所有ψ∈ L.注意φ+kdoE不一定属于Bk，所以我们可能有φ*k6=φ+k.引理A.2的证明。第1步：第（b）部分的证明。根据Gobet等人（2004）的命题4.2（取T=M，Tε=∏kM，Γ=B（κ，ρ）的边界，它们的内在质量为kφ- φkk≤ 常数×k（平方公里）- M） φkholds对于所有k足够大，其中常数仅取决于CR。结果如下，注意到k（φkM- M） φk=ρ×k∏kφ- φk=O（δk）。（S.10）第2步：第（a）部分的证明。根据Gobet等人（2004）的推论4.3，不等式：|ρ- ρk|≤ 常数×k（平方公里）- M） φkholds对于所有k足够大，其中常数仅取决于CRand kMk。结果如下（第10节）。第三步：证明kφ+k-φ*k=O（δ）*k） 在正规化kφ下*k=1和kφ+kk=1。放松*kdenote在∏kM特征空间上的谱投影*对应于ρk，由Gobet等人的命题4.2所证明。

（2004）（取T=M）*, Tε=（平方公里）*和Γ=B（κ，ρ）在其符号中的边界，并注意到kR（M*, z） k=kR（M，`z）k代表所有z∈ Γ），不等式：kφ*- P*kφ*K≤ 常数×k（∏kM）*- M*)φ*k对于所有k足够大，其中常数仅取决于CR。此外，k（∏kM）*- M*)φ*k=k（M）*πk- M*)φ*k=公里*（φ∏k）*- φ*)K≤ kMkk∏kφ*- φ*k=O（δ）*k） 通过δ的定义*k（参见display（22））和M的有界性。因此，kφ*- P*kφ*k=O（δ）*k） 。（S.11）定义（φ+k） φk）ψ（x）=hφk，ψi×φ+k（x）对于任何ψ∈ L.我们使用以下事实：P*k=hφk，φ+ki（φ+k φk）在标准化kφkk=1和kφ+kk=1下（Chatelin，1983，第113页）。然后，在符号hφ下*, φ+ki≥ 0，我们有：φ*- φ+k≤ 2kφ*- （φ+k） φ+k）φ*k（见Gobet等人（2004）命题4.2的证明）。此外，kφ*- （φ+k） φ+k）φ*K≤φ*-φ+kφkhφk，φ+kiφ*≡ kφ*- P*kφ*kIt后面是（S.11）kφ*- φ+kk=O（δ*k） 。第4步：证明kφ*K- φ*k=O（δ）*k） 。与φ+ktoφ相关*k、 通过定义（∏kM）观察*和∏kM | Bk）*对于所有ψ，我们必须有：E[φ+k（X）∏kMψ（X）]=ρkE[φ+k（X）ψ（X）]∈ LE[φ*k（X）∏kMψk（X）]=ρkE[φ*k（X）ψk（X）]∈ Bk.从上述显示的第一行取ψ=ψkin得出∏kφ+k=φ*k、 现在通过三角形不等式和∏kis是弱收缩的事实，我们得到了：kφ*- φ*kk=kφ*- πkφ+kk≤ kφ*- πkφ*k+k∏kφ*- πkφ+kk≤ kφ*- πkφ*k+kφ*- φ+kk=O（δ*k） +O（δ）*k） 其中，最终等式由δ定义*k（参见显示屏（22））和步骤3。下面的引理收集了一些关于正交估计的有用界。引理D.3（a）如果bg是可逆的，那么：（bGo）-1cMo- Mo=cMo-bGoMo+（bGo）-1.（bGo）- 一） Mo+（I）-bGo（cMo）- （莫言）.（b） 特别是如果kbGo- Ik≤我们获得：k（bGo）-1cMo- 莫≤ kcMo- Mok+2kbGo- Ik×（kMok+kcMo）- 莫）。引理D.3的证明。

如果bg是可逆的，我们有：（bGo）-1cMo- Mo=（I）- （bGo）-1（bGo）- 一） ）cMo- Mo=cMo- 钼- （bGo）-1（bGo）- 一） 莫- （bGo）-1（bGo）- 一） （cMo）- Mo）。第（b）部分后面是三角形不等式，指出k（bGo）-1k≤ 2.kbGo-Ik≤.替换（bGo）-1=（I）- （bGo）-1（bGo）- 一） ）转换到前面的显示中：（bGo）-1cMo- Mo=cMo- 钼- （一）- （bGo）-1（bGo）- 一） ）（bGo- 一） 莫- （bGo）-1（bGo）- 一） （cMo）- Mo）=cMo-bGoMo+（bGo）-1（bGo）- 一） 莫- （bGo）-1（bGo）- 一） （cMo）- Mo）。按要求。引理A.3的证明。第一步：我们证明：kR（kM | Bk，z）k≤ kR（平方公里，z）霍尔德∈ C \\（σ（平方公里）∪ σ（φkM | Bk））。修正任意ψk的z∈ Bkwe-haveR（φkM | Bk，z）ψk=ζk，其中ζk=ζk（ψk）∈ bk由ψk=（πkM）给出-zI）ζk.对于任何ψ∈ 我们有R（φkM，z）ψ=ζ，其中ζ=ζ（ψ）∈ Lis由ψ=（πkM）给出- zI）ζ。特别是，取ψk∈ Bkwe必须有ζk（ψk）=ζ（ψk）。因此，对于所有ψk，R（φkM | Bk，z）ψk=R（φkM，z）ψkholds∈ 我们现在有：kR（kM | Bk，z）k=sup{kR（kM | Bk，z）ψkk:ψk∈ Bk，kψkk=1}=sup{kR（πkM，z）ψkk:ψk∈ Bk，kψkk=1}≤ sup{kR（πkM，z）ψk:ψ∈ 五十、 第二步：我们证明（cM，bG）在Γwpa1内有唯一的特征值^ρ，其中Γ来自引理a.1的顶部。作为∏kM、∏kM | Bk和G的非零特征值-1M是相同的，引理A.1的结果表明，对于所有k≥ K曲线Γ精确地包围了g的一个特征值-1M，即ρk，ρkis是G的简单特征值-100万。回想一下G-1M与∏kM | Bkon（Rk，h·，·iG）同构。设R（G）-1M，z）表示G的溶剂-1米（Rk，h·，iG）。到了第一步，我们就有了：supz∈ΓkR（G）-1M，z）kG=supz∈ΓkR∏kM | Bk，z）k≤ 苏普兹∈ΓkR（πkM，z）k.（S.12）第二个预解式恒等式给出R（πkM，z）=R（M，z）+R（πkM，z）（M）-πkM）R（M，z）。因此，无论何时（S.9）保持不变（对所有k≥ K） ：supz∈ΓkR（πkM，z）k≤CR1- CRk∏kM- 根据假设3.2，Mk=CR（1+o（1））（S.13）。结合（S.12）和（S.13），我们得到：supz∈ΓkR（G）-1M，z）kG=O（1）。