非参数随机贴现因子分解

然而，对于消费增长和股息增长等状态变量的常见选择，有限支持似乎并不合适。线性算子Dh:L→ 例如：kT（h+ψ）- Th- Dhψk=o（kψk）作为kψk→ 0.如果存在，则dht的Fr′echet导数由以下公式给出：Dhψ（x）=EhβG1-γt+1h（Xt）β-1ψ（Xt+1）Xt=xi。设r（Dh）表示Dh的光谱半径。命题4.1设G为正且有界，设T在h处可微，R（Dh）<1。然后：存在有限的正常数C，C和χ的邻域N，例如：kχN+1（ψ）- χk≤ 总工程师-锥{aN:a中任意初始点ψ的Cn∈ R、 a 6=0}。如果存在χ的一个邻域N，使得χ是属于N的T的唯一本征函数，我们说χ是局部识别的∩这里是L中的单位球（recallwe将T的本征函数归一化为单位范数）。类似地，如果h是属于某个邻域Nof h的T的唯一固定点，我们说h是局部识别的。为了解释为什么局部识别遵循命题4.1，假设“χ”是属于N的T的正特征函数∩ S.命题4.1意味着kχn+1（¨χ）- χk=k′χ- χk≤ 总工程师-Cn表示每个n，因此¨χ=χ。h的本地标识如下所示。推论4.1 h和χ在命题4.1的条件下是局部识别的。事实上，χ的局部识别和T的正同质性意味着h是T在锥{a（N）中的唯一固定点∩ S） ：a∈ R、 a 6=0}。之前已经研究过递归偏好模型中值函数的存在性和（全局）识别（见Marinacci和Montrucchio（2010）、Hansen和Scheinkman（2012）以及其中的参考文献）。与我们的工作关系最密切的是Hansenand Scheinkman（2012），他研究了L空间中马尔科夫环境的值函数的存在性和唯一性（其非负函数的锥也具有空中介）。

Hansen和Scheinkman（2012）提供了当EIS等于统一但不确定其唯一性时可能存在固定点的条件。它们的存在条件部分基于算子G的正特征函数的存在。推论4.1和关于非线性非参数经济模型局部识别的文献之间也存在联系。我们可以把Th=h写成条件时刻限制：EhG1-γt+1h（Xt+1）β- h（Xt）Xti=0（几乎可以肯定）。命题4.1的条件确保上述力矩限制在h时可与导数Dh区分- I.条件r（Dh）<1意味着- I在L上是可逆的。因此，命题4.1中的条件类似于Chen等人（2014）用于研究非线性条件矩约束模型中局部识别的微分和秩条件。4.3估计我们再次使用筛选方法将有限维问题简化为低维（非线性）特征向量问题。考虑投影定点问题：（kT）hk=hk（33），其中∏k:L→ BK是第3节中定义的筛子空间的正交投影。附录中的引理A.5保证了在所有k足够大的情况下，在h的邻域上存在解hkto（33）。作为香港∈ 对于向量vk，我们有hk=Bk（x）vk∈ 它解决了：G-1kTkvk=vk（34），其中Tkv=E[bk（Xt）G1-γt+1 | bk（Xt+1）v |β]。为了简化符号，我们在下文中不再依赖gk和Tkon k。对于估计，我们求解（34）的样本模拟，即：bG-1bT^v=^v（35），其中BG在显示屏（17）和BT:Rk中定义→ Rk由以下公式得出：bTv=nn-1Xt=0bk（Xt）G1-γt+1 | bk（Xt+1）v |β。在下面的正则条件下，VK的一个邻域上必然存在一个解^v（见附录中的引理a.7）。h、χ和λ的估计量为：^h（x）=bk（x）^v^χ（x）=bk（x）^v（^vbG^v）1/2^λ=（^vbG^v）1-β.

（36）然后可以将估计器^χ和^λ插入显示器（32），以获得与偏好参数（β、γ）和观察到的状态运动规律一致的theSDF估计值。假设4.1假设如下：（a）T有一个唯一的正固定点h∈ L（b）G是正的，紧致的（c）T在r（Dh）<1时在h是可区分的。假设4.2假设如下：（a）k∏kDh- Dhk=o（1）（b）supψ∈五十： kψk≤ck∏kTψ- Tψk=o（1）对于每个c>0。如假设3.3所示。设Tov=G-1/2T（克）-1/2v）和Btov=G-1/2吨（克）-1/2v）。请注意，bGOA和b是一个验证装置，在实践中不需要计算。假设4.3kbgo- Ik=op（1）和supv∈Rk:kvk≤克布托夫- Tovk=op（1）表示每个c>0。假设讨论：假设4.1（a）是一个全局识别假设，（b）和（c）部分对T施加了一些温和的结构，确保T的固定点在扰动下是连续的。假设4.2（a）（b）与假设3.2类似。假设4.3与假设3.3相似，并限制了筛分尺寸kcan随n增长的速率；有效条件见附录C.2。设τk=k∏kh- hk表示通过筛空间的一个元素近似h的偏差。假设4.2（b）意味着τk=o（1）。要控制采样误差，请乘以任何小ε>0。根据假设4.3，我们可以选择一个正常数序列νn，kw，其中νn，k=o（1），这样：∈Rk:kvbk-香港≤εk（bGo）-1bTov- Tovk=Op（νn，k）。（37）附录C.2给出了νn，k的界限。定理4.1假设假设4.1–4.3成立。然后：（a）|^λ- λ|=Op（τk+νn，k）（b）k^χ- χk=Op（τk+νn，k）（c）k^h- hk=Op（τk+νn，k）。定理4.1中得到的收敛速度再次显示出偏差-方差权衡。偏差项τkar在k中减小，而方差项νn，kis通常在kb中增大，而在n中减小。

选择k来平衡这些项将导致最佳的收敛速度。为了实现，我们基于命题4.1提出以下迭代方案。Setz=bG-1（nPn）-1t=0bk（Xt）），然后计算：ak=zk（zkbGzk）1/2zk+1=bG-1btakk≥ 1.如果序列{（ak，zk）：k≥ 1} 收敛到（^a，^z）（假设），然后我们设置：^h（x）=^λ1-βbk（x）^a^χ（x）=bk（x）^a^λ=（^zbG^z）1/2。在模拟和经验应用中，这种迭代方案被证明是解决样本定点问题（35）的一种计算高效的方法。5模拟证据下面的蒙特卡罗实验说明了在具有幂效用和递归偏好的基于消耗的模型中估计器的性能。状态变量为对数消耗增长，即Xt=gt，其演变为高斯AR（1）过程：gt+1- u=κ（gt）- u）+σet+1，et~ i、 身份识别号（0,1）。模拟的参数为u=0.005、κ=0.6和σ=0.01。这些数据在一定程度上代表了美国非耐用品和服务的实际人均消费的季度增长（其中κ≈ 0.3和σ≈ 0.005). 然而，我们将消费增长过程的持续性提高一倍，以产生更多的非线性特征函数，并将波动性提高一倍，以产生更具挑战性的估计问题。我们考虑一个电力设施设计，其中m（Xt，Xt+1）=βG-γt+1和一种带有单位EIS的递归偏好设计，其SDF显示在显示屏（32）中。对于这两种设计，我们设定β=0.994和γ=15。参数化β=0.994和γ=10通常用于长期风险模型的校准；这里我们取γ=15，因此本征函数和连续值函数更非线性。对于每种设计，我们生成50000个长度分别为400、800、1600和3200的样本。本节报告的结果使用了尺寸为k=8的埃尔米特多项式。

对其他筛子尺寸的进一步试验表明，结果对筛子空间的尺寸相当不敏感。使用B样条获得了类似的结果（参见在线附录中的附录E）。我们估计φ，φ*, ρ、 y和L表示两种设计，χ和λ表示递归优先设计。我们使用（17）中的估计器bg计算两种偏好规格。对于电力利用率，我们使用（18）中的估算器CM。对于递归偏好，我们首先使用上一节中描述的方法估计（λ，χ），然后使用：m（Xt，Xt+1；^λ，^χ）=β^λG构建如显示屏（19）中所示的估计器cm-γt+1^χ（Xt+1）β^χ（Xt）基于（λ，χ）的第一阶段估计量（λ，χ）。我们实施了规模标准化SNPN-1t=0^φ（Xt）=1，nPn-1t=0^φ（Xt）^φ*（Xt）=1，和npn-1t=0^χ（Xt）=1。估计值的偏差和RMSE如表1和表2所示。表1显示了φ，φ*可使用小偏差和合理低维筛子的RMSE估算χ。表2给出了^ρ、^y、^L和^λ的类似结果。递归偏好下的^φ和^ρ的RMSE通常小于powerutility下的^φ和^ρ的RMSE，即使递归偏好下的连续值必须首先非参数估计。相比之下，针对^φ的RMSE*在递归偏好下更大，这可能是因为φ*这种设计的曲线要弯曲得多（从比较垂直比例尺图1b和1d可以明显看出）。表1中的结果还表明，在中等样本中，χ可以用相当小的偏差和RMSE进行估计。图1a-1e还显示了φ、φ的（逐点）置信区间*并对不同样本量进行χ计算。对于每个图，真函数大致位于逐点置信区间的中心，并且随着样本量n的增加，区间的宽度显著缩小。

使用B样条基绘制相应的图，以计算^φ、^φ的RMSE*, ^χ，对于每一次复制，我们计算估计值与其对应的总体之间的距离，然后取MC复制的平均值。为了计算偏差，我们在整个模拟过程中取估计值的平均值，得出“φ（x），”φ*（x） ，和¨χ（x）（假设），然后计算¨φ，¨φ之间的距离*和‘χ和真φ，φ*还有χ。这里使用的“偏差”不应与收敛速度计算中的偏差项混淆：这里，估计器的“偏差”指的是参数与其在整个模拟中的平均估计值之间的距离。

^ρ、^y、^L和^λ的偏差是整个模拟的估计值减去真实参数值的平均值。电力公司递归优先权n^φ^φ*^φ^φ*10.0115 0.0129 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0187 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0 0.4058 0 0 0 0.4058 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.58 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.710μφ*和^χ，具有维数k=8的厄米多项式。电力公用事业的递归偏好；电力公司的递归偏好；电力公司的递归偏好；电力公司的电力公司的递归偏好；电力公司的电力公司的递归偏好；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的公共事业的递归；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；\\\\\\\\\\\\\\710710的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；以及；；以及以及；香港的；香港400。400；香港的；香港的；香港的。400。400；；0.1005800.0264 0.0251 0.0214 0.0217 0.0172 0.0299 0.031816000.0204 0.0192 0.0168 0.0190 0.0151 0.0227 0.01793200 0.0159 0.0149 0.0133 0.0192 0.0155 0.0204 0.0123表2：具有尺寸k=8的厄米特多项式的^ρ、^y、^L和^λ的模拟结果。如在线附录所示，与图1a-1e非常相似。6实证应用在本节中，我们研究了一种类似于Hansen等人（2008）的经济。我们假设Epstein和Zin（1989）是具有单位EIS的递归偏好的代表性代理，并指定消费和收入增长的二维状态过程。我们的分析可以总结如下。首先，根据资产收益数据估计贴现和风险规避参数（β）≈ 0.985和^γ≈ 24.5），我们表明，这种双变量规范能够产生一个永久性的组成部分，这意味着每个季度的长期股权溢价（即相对于长期贴现债券的资产回报率）约为2%。

其次，我们记录了永久性和临时性组件的商业周期属性。0.51.01.52.0-0.02 0.00 0.02（a）^φ（x）用于电力设施123-0.02 0.00 0.02（b）^φ*（x） 用于电力设施0。80.91.01.11.2-0.02 0.00 0.02（c）^φ（x）用于递归优先权01234-0.02 0.00 0.02（d）^φ*（x） 对于递归首选项0。51.01.52.0-0.02 0.00 0.02（e）^χ（x）递归偏好图1:k=8的Hermite多项式基的模拟结果。面板（a）-（d）显示φ和φ的点向90%置信区间*交叉模拟（光、中、暗分别对应于n=400、800和1600；真实φ和φ*绘制为实线）。面板（e）显示连续值运算符的正本征函数χ的结果。第三，我们描述了将国家分配倾斜到与长期定价相关的分配所需的楔子。最后，我们表明，与线性高斯情况不同，允许对状态过程进行灵活处理可能会导致长期收益率的不同行为，以及不同参考参数的永久性和暂时性成分之间的不同相关性。这表明，动力学中的非线性对于解释收益率曲线的长端很重要。所有数据均为季度数据，时间跨度为1947:Q1至2016:Q1（277次观察）。有关消费、股息、通货膨胀和人口的数据来源于国民收入和产品账户（NIPA）表。实际人均消费和股息增长序列是通过将经季节性调整的非耐用品和服务消费（表2.3.5，第8行加13行）和股息（表1.12，第16行）减去个人消费物价指数（表2.3.4，第1行），然后使用人口数据转换为人均增长率（表2.1，第40行）形成的。

由此产生的状态变量为Xt=（gt，dt），其中gt和dt分别是第t季度的实际人均消费和股息增长。与汉森等人（2008年）的研究结果类似，用公司收益的实际人均增长（使用表1.12第15行的税后利润）和股息的四分之一几何移动平均数的实际人均增长代替DTA。我们还使用了七种资产回报率的数据，即按规模和账面市值排序的六种价值加权投资组合的回报率（来源于Kenneth French的网站）和90天国库券利率。使用个人消费支出的隐含价格偏差，将所有资产收益序列转换为实际收益。我们使用XT数据和七项资产收益的时间序列估计偏好参数（β，γ）和偏好对（λ，χ）。这属于α=（β，γ，λ，χ）的“情况2”设置。我们使用一系列条件矩估计程序（Ai和Chen，2003）估计参数（β，γ）。Chen等人（2013年）最近在类似的背景下使用了这种方法。对于每个（β，γ），我们使用第4节介绍的程序估计非线性本征函数问题的解，即（λ（β，γ），χ（β，γ））。这里，我们明确说明（λ，χ）对β和γ的依赖性，因为不同的偏好参数将对应我们的估计值与Chen等人（2013）的估计值之间的差异如下。首先，我们关注EIS=1的情况，而Chen等人（2013）将EIS视为自由参数。其次，我们利用连续值递归的IGENFUNCE表示。第三，我们通过分别求解（λ，χ）和估计偏好参数来“证明”连续值函数估计。因此，我们的标准函数只依赖于（β，γ）。相比之下，陈等人。

（2013）联合估计偏好参数和连续值函数。第四，在我们的分析中，持续值是马尔科夫状态的函数，而Chen等人（2013）中的持续值函数取决于同期消费增长和滞后的持续值。不同的连续值函数。然后我们形成：m（Xt，Xt+1；（β，γ，^λ（β，γ），^χ（β，γ））=β^λ（β，γ）G-γt+1^χ（β，γ）（Xt+1）βχ（β，γ）（Xt）。让Rt+1指定从时间t到t+1的（总）资产收益向量，1和0表示1和0的一致向量。作为欧拉方程E[m（Xt，Xt+1）Rt+1-1 | Xt]=0有条件地，我们对广义残差进行仪器化，即：m（Xt，Xt+1；（β，γ，λ（β，γ），χ（β，γ）））Rt+1- 1.利用XT的基函数形成一个准则函数，利用欧拉方程的条件性质。这导致了标准函数：Ln（β，γ）=nn-1Xt=0kln（Xt，β，γ）kwhereln（x，β，γ）=nn-1Xt=0MXt，Xt+1；(β, γ,^λ(β,γ), ^χ(β,γ))Rt+1- 1.bk（Xt）！bG-bk（x）。我们最小化Ln（β，γ）得到（β，γ），并设置α=（β，γ，λ（β，γ），χ（β，γ））。然后我们估计ρ，φ，φ*以及使用显示屏（19）中的估算器Cm来选择^α的相关量。为了实现这个过程，我们使用相同的基函数来估计（ρ，φ，φ）*)和（λ，χ）。我们为GT和DTS系列形成五阶单变量Hermite多项式基。然后，我们从一元基构造张量积基，丢弃总次数为六阶或更高的张量积多项式。由此产生的稀疏基维数为15，而张量积基维数为25。我们有时会与单变量状态过程Xt=GT进行比较，我们使用八阶埃尔米特多项式基。