非参数随机贴现因子分解

让{Ft:t∈ T} F是由X的历史记录生成的过滤。假设XT总结了t日资产定价的所有相关信息。当我们考虑仅取决于该州未来价值的支付，并允许在中间日期进行交易时，我们可能会假设SDF过程是X的正乘法函数。也就是说，MTI适用于Ft，对于每个t，Mt>0∈ T（几乎可以肯定）和：Mt+τMt=Mτ（θT）和θT：Ohm → Ohm 对于每个τ，t，Xτ（θt（ω））=Xt+τ（ω）给出的时移算子∈ T（见HS第2节）。因此，Mτ是X的函数，Xτ和Mτ（θt）是相同的函数，适用于Xt，Xt+τ。特别是，对于一些正函数m，我们有：Mt+1Mt=m（Xt，Xt+1）（3）。为了方便起见，我们偶尔将m称为SDF。鉴于X的马尔可夫性，我们可以定义一个单期定价算子M，该算子在t+1日将SDATE-t价格分配给国家相关支付。也就是说，如果ψ（Xt+1）是在datet+1时的支付，那么它的date-t价格由以下公式给出：Mψ（x）=Ehm（Xt，Xt+1）ψ（Xt+1）Xt=xi。（4） 定价运营商可根据支付期限τ进行类似定义≥ 1.将日期-t价格分配给日期-（t+τ）支付函数sψ（Xt+τ）的运算符Mτ由以下公式给出：Mτψ（x）=EhMt+τMtψ（Xt+τ）Xt=xi。（5） 根据状态的马尔可夫性和SDF过程的乘法函数性质，每个τ的Mτ=Mτ（即M应用τ次）≥ 1.因此，有必要研究单周期算子M.HS引入并研究Perron-Frobenius本征函数问题：Mφ（x）=ρφ（x）（6），其中本征值ρ为正标量，本征函数φ为正。经典的有限维Perron-Frobenius理论认为，正矩阵的右、左特征向量与其谱半径对应。Krein和Rutman（1950）定理及其著名的扩展将有限维Perron-Frobenius定理推广到有限维Banach空间。

为了正式引入与ρ对应的mc的左特征函数，我们使用了Perron-Frobenius问题（6）的时间反转版本。回想一下，时间倒转时的一阶马尔科夫过程也是一阶马尔科夫过程（Rosenblatt，1971，第4页）。定义时间反转操作*ψ（x）=E[m（Xt，Xt+1）ψ（Xt）|Xt+1=x]。在下面的内容中，我们将假设M是Hilbert空间l={ψ：X上的有界线性算子→ R使得RψdQ<∞} 在这种情况下，我*正式定义为M的伴随。时间倒转的Perron-Frobenius问题是：M*φ*（x） =ρφ*（x） （7）式中ρ是（6）中的本征值和本征函数φ*这是积极的。如果一个函数几乎处处都是正（非负）Q，我们就说它是正（非负）函数。例如，见霍恩和约翰逊（2013）的定理8.2.2。给定解决Perron-Frobenius问题（6）的ρ和φ，HS定义为：MPt+τMPt=ρ-τMt+τMtφ（Xt+τ）φ（Xt）MTt+τMTt=ρτφ（Xt）φ（Xt+τ）。（8） 由（6）可知，对于每个τ，t，E[MPt+τ/MPt | Ft]=1（几乎可以肯定）∈ THS表明，虽然Perron-Frobenius问题可能存在多种解决方案，但只有一种解决方案会导致过程MPA和MTT，而这些过程可以正确地解释为永久性和暂时性组件。这样一个解有一个鞅项，该鞅项引起测度的变化，在这个变化下X是随机稳定的；有关效率条件，请参见行李处理系统中的条件4.1。不严格地说，随机稳定性要求扭曲概率测度下的条件期望（随着视界的增加）收敛到无条件期望[·]。期望值ee[·]通常不同于与X的平稳分布相关的期望值E[·]。在随机稳定性下，单因子表示：limτ→∞ρ-τMτψ（x）=eEψ（Xt）φ（Xt）φ（x）（9）适用于每一个ψ，其中[ψ（Xt）/φ（Xt）]是有限的（例如，参见HS中的命题7.1）。

当（9）这样的长期近似成立时，我们可以将（8）中的MPt+τ/MPt和MTt+τ/MTt解释为SDF过程的永久性和暂时性成分。此外，标量-对数ρ可解释为长期产量。长期近似值（9）也表明φ反映了长期资产价格的状态依赖性。函数φ*它本身很有趣，因为它将在刻画期望值ee[·]方面发挥作用，并且还将出现在ρ估计量的渐近方差中。HS的理论框架可用于通过求解Perron-Frobenius特征函数问题来解析表征永久性和瞬态成分的特性。下面，我们描述一个经验框架来估计特征值ρ和特征函数φ和φ*来自X上的时间序列数据和SDF进程。2.2分析范围自始至终，马尔可夫状态向量XT被认为是计量经济学家可以观察到的。然而，我们不限制X的转移定律为任何参数形式。这种方法类似于Gagliardini等人（2011年）所采取的方法，他们还假设存在一个平稳的、时间齐次的马尔可夫状态过程，该过程对经济计量学家是可观察的，但不限制其过渡定律为任何参数形式。我们假设SDF函数m在某个参数下是可观测的或已知的，该参数是根据X上的数据（可能还有资产回报）首次估计的。案例1：SDF在这里是可见的，m的函数形式是事先已知的。例如，考虑研究人员指定的时间折扣参数β和风险规避参数γ的CCAPM。

这里我们简单地取m（Xt，Xt+1）=βG-对于某些已知函数G，γt+1提供的消费增长Gt+1的形式为Gt+1=G（Xt，Xt+1）。其他结构示例包括具有外部习惯的模型和具有预先指定偏好参数的耐用模型。案例2：SDF估计在这种情况下，我们假设m（Xt，Xt+1；α），其中m的函数形式已知为一个参数α，可以有几种形式：o结构模型中偏好参数的有限维向量（例如Hansenand Singleton（1982）和Hansen，Heaton，和Yaron（1996））或简化模型中的风险溢价参数（例如Gagliardini等人（2011））。o参数θ和函数h的向量，soα=（θ，h）。一个例子是具有Epstein和Zin（1989）递归偏好的模型，其中，当马尔可夫状态的过渡规律以非参数方式建模时，连续值函数未知（参见Chen等人（2013）和第6节中的应用）。对于这类模型，θ将由折扣、风险规避和跨期替代参数组成，而h将是连续值函数。另一个例子是Chen和Ludvigson（2009），其中θ由时间折扣和同质性参数以及非参数的内部或外部习惯形成成分组成我们也可以将α取为m本身，在这种情况下，^α将是SDF的非参数估计。著名的例子包括Bansal和Viswanathan（1993年）、Ait-Sahaliaan和Lo（1998年）以及Rosenberg和Engle（2002年）。在案例2中，我们考虑SDF分解的两步方法。在第一步中，α是根据状态的时间序列数据估计的，可能还有资产回报。

在第二步中，我们将第一阶段估计器^α插入非参数过程，以恢复ρ，φ，φ*, 以及相关数量。2.3识别在本节中，我们提供了一些有效条件，以确保对Perron-Frobenius问题（6）和（7）有唯一的解决方案。这些条件还确保形式（9）的长近似成立。因此，如（8）中所示，由ρ和φ构成的MPand Mt可以正确地解释为永久性和暂时性分量。对于估算，我们所需要的只是下面命题2.1的结论。因此，以下条件可由其他有效条件替代。HS和BHS利用马尔可夫过程理论建立了非常普遍的识别、存在和长期近似结果。我们使用的算子理论条件比HS和BHS中的条件更具限制性，但它们便于推导随后的大样本理论。特别地，这些条件保证了ρ、φ和φ的某些连续性*关于算子M的扰动，我们的结果是针对与估计相关的特定参数（函数）空间得出的，而HS和BHS的结果适用于更大的函数类。我们的条件与HS和BHS中的条件之间的联系在在线附录中进行了详细讨论，该附录还分别讨论了识别、存在和长期近似的问题。我们把Las中所有正函数的锥取为φ的参数空间。让k·k和h·I注意形式和内积。

如果kMk:=sup{kMψk:ψ，我们说M是有界的∈ 五十、 kψk=1}<∞ 如果M将有界集映射为相对紧集，则为紧集。最后，让我们看看Q Q表示X上的乘积测度。假设2.1让操作符M在display（4）中显示Mτ在display（5）中满足以下条件：（a）M是形式为：Mψ（xt）=ZKm（xt，xt+1）ψ（xt+1）dQ（xt+1）的有界线性操作符，对于某些Km:X→ R是正的（Q Q-几乎无处不在）（b）对于某些τ，Mτ是紧的≥ 1.假设讨论：第（a）部分是温和有界性和正性条件。如果X的无条件密度f（xt）和跃迁密度f（xt+1 | xt）存在，则Km的形式为：Km（xt，xt+1）=m（xt，xt+1）f（xt+1 | xt）f（xt+1）。（b）部分比要求M紧凑更弱。M的紧性的一个有效条件是希尔伯特-施密特条件rrkm（xt，xt+1）dQ（xt）dQ（xt+1）<∞.为了介绍识别结果，让σ（M） C表示M的谱。我们说ρ是简单的，如果它有唯一的本征函数（高达标度），并且如果ρ存在一个大的N，那么σ（M）∩ N={ρ}。Asφ和φ*我们认为φ和φ*如果它们在规模上是唯一的，那么它们就是唯一的。正火φ和φ*所以e[φ（Xt）φ*（Xt）]=1，我们可以通过改变度量来定义一个相对于Q绝对连续的概率度量：deQdQ=φφ*. （10） 最后，lete[·]表示eq下的期望，即对于任何指标函数χwe haveeE[χ（Xt）]=e[χ（Xt）φ（Xt）φ*（Xt）]（11）如果右边的预期是在平稳分布Q下进行的。假设2.1成立。

然后：（a）存在正函数φ，φ*∈ 求一个正标量ρ，使（ρ，φ）解（6）和（ρ，φ）*) 解决（7）。（b） 函数φ和φ*是唯一的正解（在L中）到（6）和（7）。（c） 特征值ρ是简单且孤立的，它是M.（d）的最大特征值。表示式（9）适用于所有ψ∈ LwitheE[·]在（11）中定义。第（a）和（b）部分分别是存在和识别结果。这是经典Krein-Rutman定理（Schaefer，1974，定理V.5.2和V.6.6）的一个众所周知的推论。最近，类似的算子理论结果已被应用于研究识别内隐/非参数欧拉方程模型（见Escanciano和Hoderlein（2012）、Lewbel等人（2011）、Chen、Chernozhukov、Lee和Newey（2014）和Escanciano等人（2015））。Christensen（2015）研究了稍弱但相关条件下的识别。第（c）部分保证ρ是孤立且简单的，这在大样本理论的推导中被广泛使用。第（d）部分说，ρ和φ是构造永久性和暂时性组件的相关特征值-特征函数对，并将期望ee与φ联系起来*. 特别要注意的是，E[ψ（Xt）/φ（Xt）]=E[ψ（Xt）φ*（Xt）]。φ和φ的估计*直接允许我们估算Q的Radon Nikodym导数ofeQ。参见邓福德和施瓦茨（1958）第七章。3.定义。3估计本节介绍了Perron-Frobenius特征值ρ和特征函数φ和φ的估计量*并给出了估计量的大样本性质。3.1筛估计我们遵循Chen et al.（2000）和Gobet et al.（2004）使用筛方法，其中有限维特征函数问题由低维矩阵变换器问题近似。让bk1，bkk∈ 线性无关基本函数的字典（例如。

多项式、样条曲线、小波或傅里叶基）和let Bk 注意bk1所跨越的线性子空间，bkk。筛网尺寸k<∞ 是一个由计量经济学家选择的平滑参数，应该随着样本量的增加而增加。为了描述近似，让∏k:L→ Bk表示在Bk上的正交投影。考虑投影本征函数问题：（φkM）φk=ρkφk（12），其中ρkis是∏kM和φk:X的最大实本征值→ R是它的本征函数。在正则条件下，问题（12）对于所有足够大的k都有唯一的解（见引理a.1）。当函数φk指向空间Bk时，我们得到φk（x）=Bk（x）ckfora向量ck∈ Rk，其中bk（x）=（bk1（x），bkk（x））。本征函数问题（12）可以用矩阵形式写成：-1kMkck=ρkckw其中k×k矩阵Gk和Mk由以下公式给出：Gk=E[bk（Xt）bk（Xt）]（13）Mk=E[bk（Xt）m（Xt，Xt+1）bk（Xt+1）]（14），其中ρkis是G的最大实特征值-1kmk和ck是它的特征向量（我们假设gk是非奇异的）。我们称φk（x）=bk（x）ck为φ的近似解。φ的近似解*是φ*k（x）=bk（x）c*kwhere c*基斯是G的特征向量-1kmk对应于ρk.在一起，（ρk，ck，c*k） 求解广义特征向量问题：Mkck=ρkgkc*0kMk=ρkc*0kGk（15），其中ρkis为该对（Mk，Gk）的最大实广义特征值。下面我们抑制mk和gk对k的依赖，以简化符号。估算ρ、φ和φ*, 我们求解（15）的样本模拟，即：cM^c=ρbG^c^c*0cM=^ρ^c*0bG（16），其中cM和bG定义如下，其中^ρ是矩阵对（cM，bG）的最大实广义特征值。估计量^ρ、^c和^c*例如，可以使用Matlab中的eig例程同时计算。

φ和φ的估计量*它们是：φ（x）=bk（x）cφ*（x） =bk（x）^c*.在下面的正则条件下，特征值ρ及其右、左特征向量^c和^c*将是唯一的，概率接近1（见引理A.3）。给定数据{X，X，…，Xn}的时间序列，G的自然估计量为：bG=nn-1Xt=0bk（Xt）bk（Xt）。（17） 我们考虑两种估计M的可能性。情况1：SDF是可观测的。首先，考虑研究人员指定的函数M（Xt，Xt+1）的情况。在本例中：cM=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1）bk（Xt+1）。（18） 案例2：现在估计SDF假设SDF的形式为m（Xt，Xt+1；α），其中m的函数形式已知，直至参数α，该参数将根据X上的数据以及可能的资产回报进行估计。让^α表示这个第一阶段估计量。在本例中：cM=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；^α）bk（Xt+1）。（19） 3.1.1其他功能回顾长期收益率为y≡ -对数ρ。我们可以使用：^y=-对数ρ。（20） 另一个有趣的函数是永久分量的熵，即L≡日志E[MPt+1/MPt]- E[log（MPt+1/MPt）]，其下限为任何交易资产相对于（渐进）长期贴现债券的预期超额回报（Alvarez和Jermann，2005年，命题2）。之前的实证研究通过长期贴现债券的股权收益和持有期收益代理数据估计了这一界限（参见Alvarez和Jermann（2005）以及Bakshi和Chabi-Yo（2012））。在这里，我们采用一种互补的方法，假设SDF过程是可识别的，并直接估计其永久分量的熵。在马尔可夫环境中，熵的简单形式为L=logρ-E[log m（Xt，Xt+1）]（参见Hansen（2012）和Backus等人（2014））。

给定^ρ，L的自然估计为：^L=log^ρ-nn-在第一种情况下，1Xt=0logm（Xt，Xt+1）（21）；在情况2中，我们用（21）中的m（Xt，Xt+1；^α）替换m（Xt，Xt+1）。永久性分量的大小也可以通过其他类型的统计差异来测量，除了自转性（例如克雷西读数偏差），这可以通过使用ρ和φ经验恢复的永久性分量的时间序列来计算。我们将注意力集中在熵上，因为理论文献通常使用熵来测量不同视界上的DF及其永久性成分的大小（参见Hansen（2012）和Backus等人（2014））并与经验文献进行界限比较。3.2相合性和收敛速度我们建立了估计量的相合性，并在温和的正则性条件下导出了齐次函数估计量的收敛速度。假设3.1 M有界，命题2.1的结论（a）-（d）成立。假设3.2k∏kM- Mk=o（1）。让G-1/2取G的正有限平方根的逆，让我表示k×k单位矩阵。定义“正交化”矩阵Mo=G-1/2MG-1/2，bGo=G-1/2BG-1/2，且Cmo=G-1/2毫克-1/2. 当应用于向量时，k·k还表示欧氏范数，当应用于矩阵时，k·k还表示算子范数（最大奇异值）。请注意，BGOA和C是一个验证装置，在实践中不需要计算。假设3.3kbgo- Ik=op（1）和kcMo- Mok=op（1）。假设讨论：假设3.2要求选择空间BK，使其非常接近M（作为k）的范围→ ∞). 这一假设也隐含地要求M是紧的，正如之前在关于IGENFUNCES的筛估计的文献中所假设的那样（例如，参见Gobet等人（2004））。假设3.3确保抽样误差在估计G-1M渐近消失。