关于某些偏序下两个分布相等的注记

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英文标题：
《Remarks on equality of two distributions under some partial orders》
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作者：
Chuancun Yin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this note we establish some appropriate conditions for stochastic equality of two random variables/vectors which are ordered with respect to convex ordering or with respect to supermodular ordering. Multivariate extensions of this result are also considered.
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中文摘要：
在本文中，我们建立了关于凸序或超模序的两个随机变量/向量的随机等式的一些适当条件。还考虑了这个结果的多元扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Applications Differential distribution Multivariate Quantitative

关于某些偏序下两个d分布相等的评论曲阜师范大学统计学院山东273 165，中国电子邮件：ccyin@mail.qfnu.edu.cnOctober18，2018摘要在这篇文章中，我们建立了两个随机变量/向量的随机等式的一些适当条件，这两个随机变量/向量是关于凸序或关于超模序排序的。还考虑了这个结果的多元扩展。关键词：共单调性；凸序；失真风险度量；畸变函数；预期效用；Sto p-损失订单；设X和Y分别是分布函数为fx和fy的两个随机变量。Letfx和Fy表示相关的生存函数。在止损顺序意义上，X被称为在Y之前，符号X≤slY，当且仅当E[（X- d） +]≤ E[（Y- d） +]，-∞ <d<∞; 在凸序意义上，X被称为在Y之前，符号X≤cxY，当且仅当X≤slY和另外的E[X]=E[Y]。等价地，X≤cxY当且仅当ifEf（X）≤ 对于每一个凸函数f，假设期望Ef（X）和Ef（Y）存在。止损顺序可以用有序TVaR来描述（参见E.g.Dhaene等人（2006））：X≤狡猾的<=> T V aRp[X]≤ T V aRp[Y]表示所有p∈ （0,1），其中t V aRp[X]=1-pRpF-1X（q）dq是p级风险的尾部值，F-1X（q）=inf{x∈R | FX（x）≥ q} 用inf = +∞, 按照惯例。具有边际分布FYi，i=1，2，···，n的随机向量Y=（Y，··，Yn）被称为公共IFID=（F）-1Y（U），F-1Y（U），·F-1Yn（U）），其中d=代表“分布相等”，U是在单位间隔（0，1）上均匀分布的随机变量。考虑一个随机向量（Y，··，Yn）及其同调对应向量（Yc，··，Ycn）。分量之和分别用S和scs表示。Kaas等人的一个很好的结果。

（2002）说≤cxSc，以及Cheung（2010）中定理4有效的逆定理；见毛和胡（2011）的新证据。关于共单调性、随机顺序及其应用的更多细节，我们请读者参考Joe（1997）、Shaked和Shan-nthikumar（2007）以及Denuit等人（2005）。Cheung（2010）证明了以下定理，当已知两个随机变量为随机序时，它们给出了随机相等的充分条件。定理1.1。（C heung（20-10），定理6）设Yand Ybe为两个可积随机变量，u为任意实值严格凸函数或严格凹函数，其连续可二次微分。西尼≤cxYand E[u（Y）]=E[u（Y）]=> Yd=Y。尤其是E[u（S）]=E[u（Sc）]<=> Sd=Sc.定理1.2。（C heung（20 10），定理7）设Yan和Yb是两个被积随机变量，g是一个严格凹的连续可差失真函数，g′（0）<∞. 西尼≤cxYandρg[Y]=ρg[Y]=> Yd=Y。尤其是ρg[S]=ρg[Sc]<=> Sd=Sc.Cheung等人（2015，定理7）在u上的以下较弱条件下获得了与定理1.1相同的结果：u是一个具有绝对连续导数u′的严格凹（或严格凸）函数。Cheung等人（2015，定理8）在关于畸变函数g的以下更一般的条件下获得了与定理1.2相同的结果：g连续可微且严格凹（或严格凸）。Weremark指出，在对定理7和定理8的证明中，有一个很小的差距。(2015). 本文的目的是填补这一空白，并获得两个随机变量/向量随机相等的更一般有效条件，这两个随机变量/向量相对于部分排序。这篇论文的结构如下。我们在第2节回顾了一些基本定义和符号，如凸函数和凹函数。

在第3节中，我们通过失真风险度量刻画了生态单调性，在第4节中，我们通过预期效用刻画了共单调性。最后，在第5节中考虑了多元扩展。2.关于凸函数和凹函数的一些结果在本文中，我们将使用无离子I来表示实线的非退化区间。在本节中，我们将介绍几个概念和结果，这些概念和结果将贯穿本文。定义2.1函数f:I→ R称为凸iff（（1）- λ） x+λy）≤ (1 - λ） f（x）+λf（y）（2.1）对于I和所有λ中的所有点x和y∈ [0, 1]. 当x和y是不同的点和λ时，如果不等式（2.1）严格成立，则称为严格凸∈ [0, 1]. 如果-f是凸的（分别是严格凸的），那么我们说f是凹的（分别是严格凹的）。这里有几个单变量凸函数的基本例子：o整轴凸函数：x2r，r为正整数；etx，t6=0；（十）-a） ，a∈ R.o非负R上的凸函数ay:xr，R≥ 1.-xr，0≤ R≤ 1.x ln x.o正光线上的凸函数：x-r、 r>0；- 下面的引理是关于凸函数光滑性的结果，可以在Niculescu和Persson（2006，第21页）中找到。引理2.1。让f:我→ R是凸函数。f在I的内部（I）上是连续的，在int（I）的每个点上都有有限的左导数和右导数。Moreov e r，x<yin int（I）impliesf′-（十）≤ f′+（x）≤ f′-（y）≤ f′+（y）尤其是-f′+在int（I）上是不变的。定义在某个开区间I上的凸函数在I上是连续的，在任何闭子区间上是Lipschitz连续的。f允许左导数和右导数，它们是单调非递减的。因此，f是可以区分的，但在大多数情况下是可以区分的。

如果I是闭合的，那么f可能在I的端点处不连续。例如，域[0,1]由f（0）=f（1）=1定义的函数f是凸的，对于0<x<1，f（x）=0；它在开放区间（0，1）上是连续的，但在0和1上不是连续的。引理2.2。（第二个衍生测试）假设f:I→ R是一个二次微分函数。然后：（i）f是凸的当且仅当f′≥ 0;（ii）f是严格凸的当且仅当f′≥ 而f′消失的点集不包括正长度的区间s。这一结果的证明可以在Niculescu和Persson（2006）中找到。备注2.1。A.D.Ale xandrov的一个重要结果是，所有的协凸函数几乎都是两次可微的。见定理3.11.2。在Niculescu andPersson（2006）中。Riesz Nagy给出了[0，1]上实值函数φ的一个例子，例如φ（0）=0，φ（1）=1，φ是连续且严格递增的，φ′=0几乎无处不在。见休伊特和斯特罗姆·伯格（1965年，例18.8，第278页）。因此，函数u（x）=Rxφ（t）dt是严格凸的，尽管u′几乎处处=0；参见Niculesc u和Persson（2006年，第37页）。3凸序、预期效用和共单调定义2.1在同一空间上定义两个测度P和Q。Q是关于P的绝对连续的，写为Q<< P，如果Q（A）=0，当ERP（A）=0对于任何可测集合A。如果Q<< P和P<< Q.定理3.1。让Yand Yb是区间I上的两个可积随机变量s，andu:I→ R可以是任何凸函数。假设λ<< γ、 其中λ是R的勒贝格测量值，γ是由γ（x，y]=u′+（y）定义的正氡测量值- u′+（x）对于任何x<y，其中u′+是u的右导数≤cxYand E[u（Y）]=E[u（Y）]=> Yd=Y。尤其是E[u（S）]=E[u（Sc）]<=> Sd=Sc。通过从u切换到-u、 结果就是推论3.1。

让Yan和Yb是区间I上的两个可积随机变量，andu:I→ R可以是任意的连续函数。假设λ<< γ、 式中，λ是R的Lebesg ue测量值，γ是由γ（x，y]=u′+（x）定义的正氡测量值- u′+（y）对于任何x<y，其中u′+是u的右导数≤cxYand E[u（Y）]=E[u（Y）]=> Yd=Y。尤其是E[u（S）]=E[u（Sc）]<=> Sd=Sc.备注3.1。如果u是凸的且u′几乎等于0，或者如果u是凹的且u′几乎处处小于0，或者更一般地说，u是任意实值严格凸或严格凹函数，那么γ等价于λ。因此，定理3.1和推论3.1是定理1的一般化。1.备注3.2。我们注意到，如果对u没有进一步的限制（例如，u′在I上>0a.e.），则Cheung等人（2015）中定理7的证明具有agap。事实上，注释2.1中的函数u是严格凸函数的一个例子，但几乎所有地方的u′=0。定理3.1的证明需要以下引理，可以在F¨ollmerand Schied（20 04）中找到，另见Cheung（2010）。引理3.1。假设u是一个右导数为eu′+的增凸函数。Rs上有一个正的氡测量γ，比如γ（x，y]=u′+（y）- u′+（x）对于任何x<y，且u（x）=u（0）+u′（0）x+Z（0，∞)（十）- t） +γ（dt）+Z(-∞,0]（t）- x） +γ（dt），x∈ R.定理3.1的证明。我们仅在u为递增凸函数的情况下证明了该定理，其余情况的处理方式与Cheung（2010）对Orem 6的证明类似。而不是凸序关系Y≤cxy表示E[Y]=E[Y]。正如Cheung（2010）中定理6证明的第一步，条件E[u（Y）]=E[u（Y）]意味着z（0，∞){E（Y）- （t）+- E（Y）- t） +}γ（dt）+Z(-∞,0]{E（t）- Y）+- E（t）- Y） +}γ（dt）=0。自从≤cxY，我们有E（Y）-（t）+-E（Y）-（t）+≥ 0和E（t）-Y）+-E（t）-Y）+≥ 0代表全部。

由此得出E（Y）-t） +=E（Y）-t） +对于γ-几乎所有的t>0和E（t-Y） +=E（t）-Y） +对于γ-几乎所有t≤ 0，因此E（Y- t） +=E（Y）- t） +对于λ-几乎所有t>0和（t- Y） +=E（t）- Y） +对于λ-几乎所有t≤ 自λ起0<< γ. 作为函数E（Yi）- t） +和E（t）- 如果是t的连续函数，我们可以得出结论，Yand和y具有相同的分布。4凸阶、畸变期望s和共单调畸变f函数是一个非递减函数g:[0，1]→ [0，1]使得g（0）=0和g（1）=1。与畸变函数g相关的随机变量X的畸变期望，符号ρg[X]定义为ρg[X]=Z+∞g（\'FX（x））dx+Z-∞[g（\'FX（x））- 1] dx，前提是上述to积分中至少有一个是有限的。如果X是一个非负的随机变量，那么ρg减少到ρg[X]=Z+∞g（`FX（x））dx。根据Dhaene等人（2012，定理4和定理6），我们知道，当畸变函数g在[0,1]上是右连续的，那么ρg[X]可以重写为ρg[X]=Z[0,1]V aR+1-q[X]dg（q），其中V aR+p[X]=sup{X | FX（X）≤ p} ，并且当失真函数g在（0,1）上保持连续时，则ρg[X]可以被重写为ρg[X]=Z[0,1]var1-q[X]dg（q）=Z[0,1]varq[X]d`g（q），其中V aRp[X]=inf{X|FX（X）≥ p} 和g（q）：=1- g（1）- q） 是g的双重扭曲。显然，\'g=g，g是左连续的当且仅当\'g是右连续的；g是凹的且仅当g是凸的。定理4.1。设Yan和Yb是两个可积随机变量，g是一个凹形畸变函数。假设λ<< ν、 式中，λ是R上的勒贝格测量值，而ν是由ν（[0，q]）=g′+（1）定义的氡测量值- q） 。那我们就有了≤cxYandρg[Y]=ρg[Y]=> Yd=Y。尤其是ρg[S]=ρg[Sc]<=> Sd=Sc。证明凹形失真函数g的失真度可以用加权TVaR表示。事实上，注意φ（q）=g′+（1- q） 是单调递增的，所以ν（[0，q]）=φ（q）是正测度。

我们有ρg[X]=-ZV-aRw[X]dg（1）- w） =ZV-aRw[X]g′+（1）- w） dw=ZV aRw[X]φ（w）dw=ν（[0,1]）EX+ZT V aRw[X]（1）- w） dν（w）=ν（[0,1]）EX+ZT V aRw[X]du（w），（4.1），其中du（w）=（1- w） dν（w）。可以证明u是一个概率度量。实际上，Zdu（w）=Zν（[0，w]）dw=Zφ（w）dw=Zg′+（w）dw=1。凸序Y≤cxy包括that EY=EY和t V aRp[Y]≤ T V aRp[Y]，对于所有p∈ ( 0, 1). 正如Cheung等人（2015）所说，我们有0=ρg[Y]- ρg[Y]=ZT V aRw[Y]（1）- w） dν（w）-ZT V aRw[Y]（1）- w） dν（w）。我们得出结论，对于ν-几乎所有的p，T V aRp[Y]=T V aRp[Y]∈ （0,1），并且对于λ-几乎所有的p∈ （0，1）自λ<< ν. 此外，作为函数T V aRp[Y]- T V aRp[Y]是p的连续函数，我们有T V aRp[Y]=T V aRp[Y]，对于所有的p∈ （0，1），与E（Y）等价- t） +=E（Y）- t） +全部∈ R.因此Yd=Y.推论4.1。设Yan和Yb是两个可积随机变量，g是一个s trictlyconve x d存储函数。假设λ<< ν、 式中λ是Randνi上的勒贝格测量值，是由ν（[0，q]）定义的氡测量值=-g′+（1）- q） 。那我们就有那个了≤cxYandρg[Y]=ρg[Y]=> Yd=Y。尤其是ρg[S]=ρg[Sc]<=> Sd=Sc.备注4.1。如果g是任意实值严格凸函数或严格凹函数，则ν等价于λ。因此，定理4.1是定理1.2的推广。备注4.2。Cheung et al.（2015）中的第8个eorem在g是具有绝对连续导数g′的严格凸（或严格凸）存储函数的条件下获得了上述结果。我们注意到，在备注3.2中，如果对g没有进一步的限制（例如，在[0,1]上，g′′大于0 a.e.），则et a l.（2015）中定理8的证明有一个较小的差距。事实上，函数g（x）=Rxφ（t）dtRφ（t）dtR严格地增加了失真函数，但大多数情况下u′′=0 al，其中函数φ在备注2.1中定义。备注4.3。

正如雷·阿金在张（2010）中所说的那样，情况很糟糕≤cxYin定理4.1可以稍微放宽到Y≤狡猾的事实上，正如我所知≤斯莱伊暗示了这一点≤ 嗯。此外，Y≤狡猾的<=> T V aRp[Y]≤ T V aRp[Y]表示所有p∈ （0，1）（参见，例如Dhaene等人（2 0 06），定理3.2）。通过使用（4.1），我们得到了0=ρg[Y]- ρg[Y]=ν（[0,1]）（EY- EY）+Z（T V aRw[Y]- T V aRw[Y]）du（w），这意味着EY=EYandR（T V aRw[Y]- T V aRw[Y]）du（w）=0。因此，Yd=Y.5在Cheung等人（2015）中，我们使用概念X和Y分别表示n个向量（X，X，··，Xn）和（Y，Y，··，Yn）。它们的分量之和分别用SX和SY表示：SX=X+···+Xn和SY=Y+··+Yn。定义5.1函数f:Rn→ 如果对于任何X，Y，R被称为超模∈ Rnit满意度f（X）+f（Y）≤ f（X）∧ Y）+f（X∨ Y），操作员在哪里∨ 和∧ 分别表示坐标最小值和最大值。Xis说，在Y，符号X的超模顺序中，t要更小≤SMY，如果Ef（X）≤Ef（Y）适用于所有超模函数f:Rn→ R的预期存在。与Cheung等人（2015）中的定理13和14平行，我们在较弱的条件下得到了关于u和g的两个定理。定理5.1。考虑n向量X和Y及其各自的和Sx和Sy，它们被认为具有有限的期望值。此外，将区间i与P（SY）联系起来∈一） =1，而u:I→ R可以是任何凹函数。假设λ<< γ、 式中，λ是R上的lebsgue测度，γ是由γ（x，y]=u′+（x）定义的正Radon测度- u′+（y）对于任何x<y，其中u′+是u的右导数。最后，假设eitherE[max（SY，0）]n-1< ∞ 或者E[- min（SY，0）]n-1< ∞.然后我们有了thatX≤SMY和E[u（SX）]=E[u（SY）]=> Xd=Y.定理5.2。考虑n-向量X和Y及其各自的和Sx和Sy，它们被认为具有有限的期望值。

此外，设g为凹形畸变函数。假设λ<< ν、 当reλ是R上的勒贝格测度，而ν是由ν（[0，q]）=g′（1）定义的Rad- q） 。最后，假设eitherE[max（SY，0）]n-1< ∞ 或者E[- min（SY，0）]n-1< ∞.然后我们有了thatX≤SMY和ρg[SX]=ρg[SY]=> Xd=Y。备注5.1。通过从u切换到-在定理5.1和5.2中，我们可以得到凸函数u和g的形式。本研究得到了国家自然科学基金（1117117-9）、中国高等教育博士点研究基金（20133705110002）和山东省高校科研创新团队项目的资助。参考文献[1]张，K。C.（2010年）。用其分量之和的分布来刻画一个共单调随机向量。保险：数学与经济学47（2），130-136。[2] 张克强，J.达恩，A.库库什，林德斯，D.（2015年）。有序随机向量和分布相等。斯堪的纳维亚精算杂志，2015（3），221-244。[3] Denuit，M.，Dhaene，J.，Goovaerts，M.J.，Kaas，R.（2005年）。独立风险的精算理论：度量、顺序和模型。约翰·威利父子公司[4]J.达恩，M.德努特，M.古瓦茨，M.卡斯，R.温克，D.（2002年）。精算学和金融学中的共单调性概念：理论。保险：数学和经济学31（1），3-33。[5] 达恩，J.，库库什，A.，林德斯，D.，唐，Q.（2012）。关于分位数和失真风险度量的备注。《欧洲精算杂志》2319-328。[6] 达恩，J.，范杜夫埃尔，S.，古韦茨，M.J.，卡斯，R.，唐，Q.，温克，D.（2006年）。风险度量和共名性：综述。随机模型22573-606。[7] F–olmer，H.，Schied，A.（2004）。随机金融。Walter de Gruyter&Co.，柏林。[8] 休伊特，E.，K.斯特隆伯格（1965）。真实和抽象的分析。