不完全市场下具有内生违约的最优税收

ThusV（γ）（h，h，1）≤ 五、*（g，B（γ）（h，1），u（γ）（h））和V（γ）（h，h，0）≤ 五、*（g，B（^γ）（h，1））。因此，让h（g）=（1，B（^γ）（h，1），（g，1）），V*（g，δB，u）≤u（n（γ）（g）- g、 一,- n（γ）（g））+βZGmax{V*（g，B（γ）（h，1），u（γ）（h（g）），V*（g，B（^γ）（h，1））}πg（dg | g）。通过引理D.2，（n（^γ）（g），B（^γ）（h，1），u（^γ）（h（·）））使得uc（n（^γ）（g）-g、 一,-n（γ）（g））=μ和z（1，n（γ）（g），g）μ+P*（g，B（^γ）（h，1），u（^γ）（h（·））B（^γ）（h，1）≥ Bu。因此，V*（g，B，u）≤ 最大值（n，B，u（·））∈Γ（g，B，u）u（n）- g、 一,- n） +βZGmax{V*（g，B，u（g）），V*（g，B）}πg（dg | g）。现在，我们证明了反向不等式成立：V*（g，B，u）=u（n（^γ）（g）- g、 一,- n（γ）（g））+βZGmax{V（γ）（h，1，B（γ）（h，1），（g，1），1），V（γ）（h，1，B（γ）（h，1），（g，1），0）}πg（dg | g）≥u（n（γ）（g）- g、 一,- n（γ）（g））+βZGmax{V（γ）（h，1，B（γ）（h，1）、（g，1），1），V（γ）（h，1，B（γ）（h，1）、（g，1），0）}πg（dg | g）（D.44），其中h=（1，B，g，1），第二行适用于任何可容许的γ。为此，我们构造了以下策略γ：（1）由表达式4.12-4.11确定的γDare；（2） 对于任意φ和h，γF（h，φ）=B（～γ）（h，φ）和u（～γ）（h）是z（1，n（～γ）（g），g）u+φ{P*（g，B（～γ）（h，1），u（～γ）（h，o))B（～γ）（h，1）- Bu}≥ 0，（D.45）在哪里o 表示（1，B（～γ）（h，φ），（·φ）），如果φ=0，则表示B（～γ）（h，φ）=B和u（～γ）（h）=mA（g）；（3） 策略的剩余部分^γFagree与^γF一致，即^γF | h，φ=^γF | h，φ代表所有历史h∈ 手φ∈ {0, 1}.我们现在验证γ是可容许的，这归结为证明γ∈ S（h，1）。

注意，通过我们的构造（n（～γ）（g），B（～γ）（h，1））在t=0时满足可实现性约束（方程式D.45），价格由P给出*（g，B（～γ）（h，1），u（～γ）（h，o)) 并且它满足了B（～γ）（h，0）=B。另外，引理D.2中的^γ| h，φ∈ S（h，φ），这两个结果意味着∈ S（h，1）。也适用于任何h∈ 手φ∈ {0，1}其中h=（1，B（)γ）（h，1），g，1），因为^γ| h，φ∈ S（h，φ），由此得出V（^γ）（h，1）=V*（g，B（γ）（h，1），u（γ）（h））和V（γ）（h，0）=V*（g，B（∧γ）（h，1）），否则将有一个可接受的策略，其V（·）（h，φ）的值将高于^γ。因此，在γ处评估显示D.44，其结果为V*（g，B，u）≥u（n（～γ）（g）- g、 一,- n（∧γ）（g））+βZGmax{V*（g，B（～γ）（h，1），u（～γ）（h，h（g）），V*（g，B（∧γ）（h，1））}πg（dg | g），其中h（g）代表（1，B（∧γ）（h，1），（g，1））。由于（n（～γ）（h），B（～γ）（h，1），u（～γ）（h））是任意的（除了它们属于Γ（g，B，u））这一事实之外），因此*（g，B，u）≥ 最大值（n，B，u（·）∈Γ（g，δB，u）u（n- g、 一,- n） +βZGmax{V*（g，B，u（g）），V*（g，B）}πg（dg | g）。D.1补充引理的证明D.1引理的证明。（1） 根据假设3.1，n 7→ u（κn- g、 一,- n） =uc（κn）- g）-ul（1）- n） =1- (1 - τ） κ和自κ<1和τ∈ [0,1]这意味着u（κn- g、 一,- n） >0。还有，N7→ u（κn- g、 一,- n） 是连续的。此外，{n:z（κ，n，g）=0}={n:κ（uc（n- g、 一,- n）- ul（n）- g、 一,-n） ）n- 加州大学（北）- g、 一,- n） g=0}。在假设3.1下，UC和ulare是连续的，因此这个集合是封闭的（有界的）。因此它很紧凑。根据最大arg maxn定理∈[0,1]{u（κn）-g、 一,-n） ：z（κ，n，g）=0}存在。唯一性源于N7→ u（κn- g、 一,- n） 越来越多。（2） 首先观察n7→ z（1，n，g）=（1）- H（1- n） ）n- g（uc=1）是连续的，且所有g都存在u＠n（g）∈ G（G）对于所有的G∈ G、 马克斯∈[0,1]z（1，n，g）≥ g） 。

注意7→ z（1，n，g）=（1）- H（1- n） ）+H（1- n） n和n7→ z（1，n，g）=2H（1- n）- H（1- n） n.根据假设5.1，z（1，n，g）<0，因此是严格凹的。现在我们证明z在减小。如果n（g）=1，那么这个语句是空的，那么考虑n（g）<1。因为n（g）是“argmax”，所以z（1，\'n（g），g）≤ 0.因为z是严格凹的，z是递减的，因此z（1，n，g）<z（1，n（g），g）≤ 0表示所有n>\'n（g），结果如下。引理D.2的证明。如果γ∈ S（h，φ）因此，对于任何公共历史，htht=（φt-1，Bt，ωt=（gt，δt）），其中Bt=Bt（γ）（ht-1，φ）和任意φ∈ {0,1}，z（κφ，nt（γ）（ht），gt）uc（ωt）+φ{pt（ωt）uc（ωt）Bt+1（γ）（ht，φ）- δtuc（ωt）Bt}≥ 0和Bt+1（γ）（ht，0）=Bt，pt（ωt）uc（ωt）=βZGdt+1（γ）（ht，ht+1（g））ut+1（γ）（ht，ht+1（g））πg（dg | gt）+βZG（1）- dt+1（γ）（ht，ht+1（g）））mA（g）qt+1（ωt，′δ，g）πg（dg|gt）（D.46），其中ht+1（g）≡ （1，Bt+1（γ）（ht，1），g，1）和ut+1（γ）（ht，ht+1（g））=uc（nt+1（γ）（ht，ht+1（g））- g、 一,- nt+1（γ）（ht，ht+1（g）），qt是时间t时的“二级市场”价格，即qt+1（ωt+1，δ，g）≡βλZGZat+1（γ）（ht，ht+1（g，δ））ut+1（γ）（ht，ht+1（g，δ））Δπ（dδ）πG（dg | G）（d.47）+βZG1.- λ+λZ(1 - at+1（γ）（ht，ht+1（g，δ））π（dδ）mA（g）qt+2（ωt+1，δ，g）πg（dg | g），其中ht+1（g，δ）=（0，δBt+1（γ）（ht，1），g，δ）。从方程D.46可以得出，pt（ωt）uc（ωt）=P（gt，Bt+1（γ）（ht，1），ut+1（γ）（ht，ht+1（·）），从方程D.47 qt+1（ωt，δ，g）=P（g，Bt+1（γ）（ht，1））。此外，从这些方程和FirstDisplay可以清楚地看出∈ S（h，φ），然后是γ| ht，φ∈ S（φt）-1，Bt，ωt，φ）。为了展示命题5.1，我们需要下列引理（其证明被归入本节末尾）。在本节中，我们假设假设5.1适用。在这一节中，让Γφ（g，B）={（n，B）：z（κφ，n，g）+φ（P*φ（g，B）B- B）≥ 如果φ=0}和κφ≡ φ + κ(1 - φ).引理E.1。

存在一个常数∞ > C>0，这样| V*φ（g，B）|≤ C表示所有（φ，g，B），使得Γφ（g，B）6={}.引理E.2。B 7→ 五、*（g，B）对所有g而言均不增加∈ 引理E.3。存在一个C>0，这样maxg∈GmaxB，B∈B | V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤ λβC1-β.前面的引理暗示，对于任何 > 0，存在一个λ() > 对于任何λ∈ [0, λ()]马克斯∈GmaxB，B∈B | V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤ . （E.48）引理E.4。存在¨λ>0，因此对于所有λ∈ [0，\'λ]，以下公式成立：对于所有（g，B），B>0和d*（g，B）=1，P*（g，B）B≤ B全部B∈ B.我们观察到每个B∈ B、 P*是以下映射的固定点Q 7→T*B[q]（·）=λβZG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg |·）+βZG(1 - λ） +λZ(1 - A.*（g，δ，B））π（dδ）q（g）πg（dg |·）=λβZG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg |·）+βZG1.- λZA.*（g，δ，B）π（dδ）任意B的q（g）πg（dg |·）∈ B、 q∈ {f:G→ R一致有界}。我们利用这一观点来推导P的性质*.这个结果清楚地表明δ7→ 五、*（g，δB）对于所有g都是非递减的∈ G和B>0。引理E.5。假设假设假设5.1成立。然后：1。每个B∈ B、 T*收缩。2.对于任何（g，B）∈ G×B，P*（g，B）∈h0，λβ1-βEπ[δ] i.3。如果g是iid（根据πg（·）分布），那么P*（g，B）在g中是常数，由p给出*（g，B）=λβRG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg）1- β+βλRG×A.*（g，δ，B）π（dδ）πG（dg）在这种情况下| P*（g，B）|≤βλ1-β+βλ< 1.命题5.1的证明。第（1）部分。引理E.2，δ7→ 五、*（g，δB）不增加，前提是B>0（但这是唯一重要的情况，因为政府永远不会拖欠储蓄B<0）。另一方面*（g，B）相对于δ是常数。因此，对于某些δ∈ , A.*（g，δ，B）=1，那么对于所有δ≤ δ必须保持不变。因此，存在aδ：G×B→ [0,1]这样*（g，δ，B）=1{δ：δ≤δ（g，B）}（δ）。（E.49）我们现在证明B7→^δ（g，B）对于所有g都是非递增的∈ G

有必要证明，对于任何δ，δ>^δ（g，B），那么对于任何B<B，δ>^δ（g，B）。既然δ>^δ（g，B），那么V*（g，δB）<V*（g，B）。允许（g，B，δ）≡ 五、*（g，B）- 五、*（g，δB）。很容易看出这一点（g，B，δ）>0表示任何（g，B，δ），使得δ>^δ（g，B）。此外，由于g，Bandδ属于离散集，因此存在一个 > 0以至于 ≤ （g，B，δ）表示所有（g，B，δ），使得δ>^δ（g，B）。从B7开始→ 五、*（g，B）对于任何g都是非递增的（见引理E.2）∈ G、 因此V*（g，δB）≤五、*（g，δB）表示所有（g，δ）∈ G× （注意δ始终大于0）。因此，V*（g，δB）- 五、*（g，B）≤五、*（g，δB）- 五、*（g，B）≤ 五、*（g，δB）- 五、*（g，B）+{V*（g，B）- 五、*（g，B）}，对于所有（g，B，B，δ），使得δ>δ（g，B）。因此，如果| V*（g，B）-五、*（g，B）| 对于任何（g，B，B），前面的显示意味着V*（g，δB）-五、*（g，B）<0，期望结果如下。我们现在展示| V*（g，B）- 五、*（g，B）| 对于任何（g，B，B）。根据引理E.3，存在一个C>0的| V*（g，B）- 五、*（g，B）|<λβC1-β, （B，B，g）。因此，对于任何ε>0，都存在一个λ（ε），使得|V*（g，B）- 五、*（g，B）|<ε表示所有λ∈ [0, λ(ε)]. 通过设置ε= 和¨λ=λ(), 预期结果如下。第（2）部分。在阿雷亚诺[2008]之后，我们分两步展示了结果。在整个过程中*φ和B*是劳动力和债务的最佳政策函数。第一步。我们证明了对于任何B<B，S（B） 其中S（B）={g:d*（g，B）=1}。如果S（B）={} 证明是微不足道的，所以我们继续处理这个不成立的情况，让‘g∈ S（B）。如果B不可行，在这个意义上，不存在任何B-P*（g；B）B-马克斯∈[0,1]z（1，n，\'g）≤ 0，然后S（B）=G。结果基本成立，因此我们继续讨论bis可行的情况，给定G。它如下（因为我们假设在不同情况下，政府选择不违约）*（\'g，B）<V*（\'g，B）。

从B7开始→ 五、*（\'g，B）是非递增的（见引理E.2），它跟在v后面*（\'g，B）≤ 五、*（\'g，B），对于所有的B<B。因此，V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）≤五、*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）≤ 五、*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）+{V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）}。允许（\'g，B）≡ -{V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）}，注意（\'g，B）>0表示任何（B，\'g）∈ 图{S}。因此，如果V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）<（\'g，B），然后是V*（\'g，B）<V*（\'g，B）和预期结果如下。观察| B×图|∞, 所以存在 > 0以至于 ≤ （\'g，B）用于任何\'g和BinGraph。根据引理E.3和我们在第（1）部分中的推导，存在λ() > 0以至于| V*（g，B）- 五、*（g，B）|, λ ∈ [0, λ()] 和（g，B，B）∈ G×B。因此，V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）<0，因此意味着\'g∈ S（B）。第二步。我们证明了，对于任何B∈ B和任何g<g，如果d*（g，B）=1，然后d*（g，B）=1。也就是说，我们想展示V*（g，B）<V*（g，B）。因为g发生了违约，所以必须显示V*（g，B）- 五、*（g，B）<V*（g，B）- 五、*（g，B）（E.50）或相当于V*（g，B）- 五、*（g，B）<V*（g，B）- 五、*（g，B）。注意*（g，B）- 五、*（g，B）=r（n）*（g） )- r（n）*（g） )- （g）- g） （E.51）其中N7→ r（n）=n+H（1）- n） 。现在取z（1，n，g）=B- P*（B）*（g，B）B*（g，B）；i、 e.~n是这样的（~n，B*（g，B））是给定状态（g，B）和回忆z（1，n，g）的可行选择≡(1 - H（1- n） ）n- g和（g，B）7→ B*（g，B）是政府进入金融市场时债务的最佳政策功能。注意，如果不存在这样的选择，那么，由于z（1，~n，g）≥ z（1，~n，g），平凡的*（g，B）=1。还有，P*由于i.i.d.假设，不依赖于g。鉴于这种结构，V*（g，B）- 五、*（g，B）≤r（n*（g，B））- g+βZGV*（g，B）*（g，B））πg（dg）-r（~n）- g+βZGV*（g，B）*（g，B））πg（dg）=r（n）*（g，B））- r（~n）- （g）- g） 其中（g，B）7→ 五、*（g，B）≡ 最大值{V*（g，B），V*（g，B）}。考虑到这一点和E.51，必须证明R（n*（g，B））- r（~n）≤ r（n）*（g） )- r（n）*（g） ）。

（E.52）我们现在展示这种不平等。通过构造z（1，~n，g）=z（1，n*（g，B），g）（E.53）其中（g，B）7→ N*（g，B）是ZF进入金融市场时劳动力的最佳政策功能。从N7开始→ z（1，n，g）在相关域中不增加（通过相关域，我们指的是处于“拉弗曲线正确一侧”的n的间隔；参见引理D.1（2））和g<g，~n≥ N*（g，B）。通过类似的论证，n*（g） >n*（g） 。另外，注意z（1，~n，g）- z（1，n）*（g） ，g）=P*（B）*（g，B）B*（g，B）=z（1，n）*（g，B），g）- z（1，n）*（g） ，g），（E.54）或等效值，含N7→ ρ（n）=（1）- H（1- n） ）nρ（~n）- ρ（n）*（g） ）=ρ（n*（g，B））- ρ（n）*（g） ）。（E.55）从N7开始→ z（1，n，g）（因此ρ）是凹的且不增加的（见引理D.1（2）），它紧随着n>（<）n*（g） 我*（g，B）>（<）n*（g） 。把所有这些观察结果放在一起，我们有以下可能的顺序（I）：n*（g）≥ ~n≥ N*（g）≥ N*（g，B）（II）：n*（g）≥ N*（g）≥ ~n≥ N*（g，B）（III）：~n≥ N*（g）≥ N*（g，B）≥ N*（g） （IV）：~n≥ N*（g，B）≥ N*（g）≥ N*（g） 。此外，由于在（g，B）中，ZF违约，因此引理E.4证明B-P*（B） B≥ 0表示任何B∈ B、 特别是对于B=B*（g，B）。因此，z（1，~n，g）>z（1，n）*（g） ，g），因此≤ N*（g） ，因此n*（g，B）≤ N*（g） 。因此，排除了第（III）和（IV）种情况。我们现在研究案例（I）和（II）。从N7开始→ z（1，n，g）是严格凹的且不增加的（见引理D.1），方程E.55和（I）和（II）内隐式*（g）- ~n≤ N*（g）- N*（g，B）。

（E.56）从N7开始→ r（n）≡ n+H（1）- n） 在我们的假设下，前面的不等式意味着R（n*（g） )- r（n）*（g） )≤ r（~n）- r（n）*（g，B））（E.57）适用于（I）和（II）两种情况，或同等情况下（n*（g，B））- r（~n）≤ r（n）*（g） )- （n）*（g） ），这正是方程式E.52。因此，步骤2确定d*是阈值类型，因为它表明，对于任何B，如果d*（g，B）=1，对任何g>g都是如此，即{g:d*（g，B）=1}的形式为{g:g≥ \'g（B）}。第一步说明g应该是非递增的。命题5.2的证明。我们首先确定i=0的结果。从引理E.5（3）中，观察这一点*（B） =βλRGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）1- β+βλRGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）RGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）δπ（dδ）πG（dg）RGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）。请注意，RHS中的第一项是一个递增函数（即x 7→x1-βλRGR的β+x）{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）。从B7开始→δ（g，B）是非递增的（命题5.1），因此b7→R{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）也不增加，这反过来意味着RHS中的第一项也不增加，作为B的函数。根据我们的假设π（·）=1δ（·），RHS中的第二项由byRGR给出{δ≤^δ（g，B）}（δ）δπ（dδ）πG（dg）RGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）=δRG{δ≤^δ（g，B）}（δ）πg（dg）RG{δ≤^δ（g，B）}（δ）πg（dg）=δ，因此是常数。因此，B 7→ P*（B） 是非增长的。对于i=1，观察任何B≤ B、 P*（B） =βZG{g≤\'g（B）}（g）πg（dg）+βZG{g>\'g（B）}（g）πg（dg）P*（B）≥βZG{g≤\'g（B）}（g）πg（dg）+βZG{g>\'g（B）}（g）πg（dg）P*（B）≥βZG{g≤\'g（B）}（g）πg（dg）+βZG{g>\'g（B）}（g）πg（dg）P*（B） =P*（B） 其中第一个不平等性来自B7→ “\'g（B）是非递增的（命题5.1）和P*（B） <1表示任何B∈ B（见引理E.5（3））；第二个不等式来自P*是非递增的。E.1补充引理的证明E.1引理的证明。

对于任何φ-, g、 δ，B）∈ {0,1}×G× ×B，以及任意函数（φ-, g、 δ，B）7→F（φ）-, g、 δ，B）我们定义了以下运算符[F]（φ-, g、 δ，B）=最大值（a，d）∈D（φ-,δ） T[F]（φ-(1 - d） +a（1）- φ-), g、 δ，ν（B，δ，a，d））（E.58）和d（0，δ）={0，1}×{1}如果δ6=\'\'δ和d（0，δ）={0}×{1}，也就是d（1，δ）={1}×{0，1}；ν（B，δ，a，1）=δBa+（1）- a） B和φ（B，δ，0，d）=B；andT[F]（φ，g，δ，B）=最大值（n，B）∈Γφ（g，B）κφn- g+H（1）- n） +βZGZ“F（φ，g，δ，B）π‘（dδ|φ）πG（dg）,（E.59）其中π‘（·|φ）=1{1}（·）如果φ=1和π‘(·|φ) = (1 - λ)1{δ}(·) + λπ（·）如果φ=0。T算子的固定点由V给出*(φ-, g、 δ，B）=最大值（a，d）∈D（φ-,δ） 五*φ-(1-d） +a（1）-φ-)（g，~n（B，δ，a，d））（E.60）和任何φ∈ {0,1}V*φ（g，B）=最大值（n，B）∈Γφ（g，B）κφn- g+H（1）- n） +βZGZ“五、*（φ，g，δ，B）π‘（dδ|φ）πG（dg）. （E.61）为了验证方程E.61，通过对Γ、κ=κ和z\'施加的限制，确定φ=0，B=B五、*（0，g，δ，B）π‘（dδ| 0）=λZ五、*（0，g，δ，B）π‘（dδ）+（1）- λ） 五*（0，g，¨δ，B）=λZ马克萨∈{0,1}V*a（g，B（δa+）（1- a） ）π‘（dδ）+（1）- λ） 五*（0，g，¨δ，B）=λZ最大值{V*（g，Bδ），V*（g，B）}π‘（dδ）+（1）- λ） 五*（g，B）式中，最后一行来自于D（0，\'-δ）={0}×{1}这一事实。如果φ=1，那么z‘五、*（1，g，δ，B）π‘（dδ| 1）=V*（1，g，1，B）=maxd∈{0,1}V*(1-d） （g，~n（B，1，1，d））=max{V*（g，ν（B，1，0，0）），V*（g，~n（B，1，0，1））}=max{V*（g，B），V*（g，B）}。注意，从这个固定点，我们可以导出函数V*通过使用方程E.61。现在我们证明了算子T将有界函数映射到有界函数上。取| F（φ-, g、 δ，B）|≤ C代表所有人（φ-, g、 δ，B），对于某些有限常数C>0。

然后| T[F]（φ-, g、 δ，B）|=| max（a，d）∈D（φ-,δ） T[F]（φ-(1 - d） +a（1）- φ-), g、 δ，|（B，δ，a，d））|。如果（g，δ，B）是Γ（g，δB）={}, 然后按照惯例-(1 - d） +a（1）- φ-) = 0（即存在违约/无还款），因此最大（a，d）∈D（φ-,δ） T[F]（φ-(1 - d） +a（1）- φ-), g、 δ，Γ（B，δ，a，d））=F（0，g，δ，Γ（B，δ，0，1））=F（0，g，δ，B），因为根据我们对g的假设，Γ（g，B）6={} 对于任何（g，B），都存在一个有限的c>0，使得| maxn∈Γ（g，B）κn- g+H（1）- n） |≤ c、 这意味着在这种情况下| T[F]（φ）-, g、 δ，B）|≤ c+βc.类似地，如果（g，δ，B）是Γ（g，δB）6={} 然后| maxn∈Γ（g，δB）n- g+H（1）- n） |≤ 因此| T[F]（φ-, g、 δ，B）|≤ c+βc。因此，让c=c1-β我们证明了T将有界函数映射到有界函数上。Fix point V*我继承了这个财产，。e、 ，|V*(φ-, g、 δ，B）|≤ C代表所有人（φ-, g、 δ，B）。这个结果| maxn∈Γ（g，B）κn- g+H（1）- n） |≤ C方程E.61意味着存在一个常数C>0，因此| V*（g，B）|≤ C.一个类似的结果适用于V*（g，B）前提是（g，B）是Γ（g，B）6={}.引理E.2的证明。很容易看出Γ（g，B） Γ（g，B）对于任何B≥ 这个乐队马上就意味着*（g，B）=最大值（n，B）∈Γ（g，B）{n- g+H（1）- n） +βZGmax{V*（g，B），V*（g，B）}πg（dg）≤ 麦克斯（n，B）∈Γ（g，B）{n- g+H（1）- n） +βZGmax{V*（g，B），V*（g，B）}πg（dg）=V*（g，B），V的结果如下*.引理E.3的证明。注意，对于任何（g，B，B）∈ G×B，| V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤λβZGZA.*（g，δ，B）|V*（g，δB）- 五、*（g，δB）|π（dδ）πG（dg | G）+βZG{（1）- λ） +λZ(1 - A.*（g，δ，B））π（dδ）}V*（g，B）- 五、*|g，g | g≤λβZGZA.*（g，δ，B）|V*（g，δB）- 五、*（g，δB）|π（dδ）πG（dg | G）+βmaxg∈G | V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤λβC+βmaxg∈G | V*（g，B）- 五、*（g，B）|其中最后一行来自引理E.1，且if（g，δ，B）是这样的事实Γ（g，δB）={}然后*（g，δ，B）=0。