随机波动模型中期权定价的高阶ADI格式

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英文标题：
《High-order ADI scheme for option pricing in stochastic volatility models》
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作者：
Bertram D\\\"uring, James Miles
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a new high-order alternating direction implicit (ADI) finite difference scheme for the solution of initial-boundary value problems of convection-diffusion type with mixed derivatives and non-constant coefficients, as they arise from stochastic volatility models in option pricing. Our approach combines different high-order spatial discretisations with Hundsdorfer and Verwer\'s ADI time-stepping method, to obtain an efficient method which is fourth-order accurate in space and second-order accurate in time. Numerical experiments for the European put option pricing problem using Heston\'s stochastic volatility model confirm the high-order convergence.
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中文摘要：
我们提出了一种新的高阶交替方向隐式（ADI）有限差分格式，用于求解具有混合导数和非常数系数的对流扩散型初边值问题，因为它们来自期权定价中的随机波动率模型。我们的方法将不同的高阶空间离散化与Hundsdorfer和Verwer的ADI时间步进法相结合，得到了一种空间四阶精度、时间二阶精度的有效方法。利用Heston的随机波动率模型对欧洲看跌期权定价问题进行了数值实验，证实了高阶收敛性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> High-order_ADI_scheme_for_option_pricing_in_stochastic_volatility_models.pdf (1.13 MB)

2022-5-9 15:16:58 上传

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关键词：期权定价 波动模型 ADI Quantitative Applications

随机波动模型下期权定价的高阶ADI方案，*, 詹姆斯·米莱萨数学系，苏塞克斯大学，佩文西二世，布莱顿，BN1 9QH，英国。摘要我们提出了一种新的高阶交替方向隐式（ADI）有限差分格式，用于解决由期权定价中的随机波动率模型产生的具有混合导数和非常数系数的对流扩散型初边值问题。我们的方法将不同的高阶空间离散与Hundsdorfer和Verwer的时间步进法相结合，以获得一种有效的方法，该方法在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。利用Heston的随机波动率模型对欧式看跌期权定价问题进行的数值实验证实了高阶收敛性。关键词：期权定价，随机波动率模型，混合衍生品，高h阶ADI模式2000 MSC:65M06，91 B281。简介在金融期权定价中，随机波动率模型（如Heston模型[20]）已成为标准方法之一。与经典的Black&Scholes模型[3]不同，期权基础资产的波动性（或标准差）不被假定为常数，而是被建模为第二个相关的随机扩散过程。这是随机性的另一个来源，使tomodel Option price能够更准确地获得资产回报分布的更高时刻。利用伊藤引理和标准套利参数，导出了具有混合二阶导数的对流扩散型偏微分方程。对于一些随机波动率模型，在附加约束条件下，可以通过傅里叶方法（例如[20,15]）获得闭式解。另一种方法是推导近似解析表达式，参见。

[2] 以及其中引用的文字。然而，一般来说，即使在Heston模型[20]中，当其中的参数是非常数时，随机波动率模型中的偏微分方程也必须通过数值求解。此外，许多（所谓的美国）选项都有额外的早期练习权。然后求解一个由偏微分方程和期权价格的提前行使约束组成的自由边界问题。同样对于这个问题，人们通常不得不求助于数值近似。在数学文献中，有许多关于期权定价的数值方法的论文，主要是针对单一风险因素和二阶标准的一维情况*相应的authorEmail地址：b。during@sussex.ac.uk（伯特伦·迪宁），詹姆斯。miles@sussex.ac.uk（James M iles）有限差分方法（例如，参见[34]和其中的参考文献）。最近，高阶微分方案（空间中的四阶）被提出[17,32,33]，而不是使用比较模板（空间中的三个点）。在期权定价方面，请参见示例[11,12,27]。在随机波动模型（即二维空间模型）中，考虑期权定价数值方法的工作较少。重复使用的有限差分方法通常是标准的二阶方法，例如[26]中提出了解决赫斯顿模型美式期权定价问题的不同有效方法。

其他方法包括有限元-有限元法[36]、多重网格法[5]、稀疏小波法[25]或谱方法[35]。由Peaceman和Rachford[31]、Douglas[6,7]、Fairweather和Mitchell[30]引入的经典交替方向隐式（ADI）方法是一种非常强大的方法，特别适用于求解矩形区域上的抛物方程（无混合导数项）。然而，Beam和Warning[1]已经表明，在混合导数的存在下，仅涉及时间水平n和n+1的离散解的简单ADI格式在时间上不可能是二阶精度的。为了克服这一限制，并在时间上构造一个非连续稳定的二阶ADI格式，Hundsdorfer和Verwer[24,23]给出了许多结果，最近in\'t Hout和Welfert[22]给出了一些结果。这些模式在时间和空间上都是二阶精度的。在[21]中，这种类型的不同二阶ADI方案适用于赫斯顿模型。在[13]中，这种方法与空间中的不同高阶离散相结合，使用高阶比较方案，对具有混合导数和常数系数的二维对流扩散问题进行了求解。在[19]中，这种方法与稀疏网格相结合，并应用于多维Black-Scholes方程，同样具有常数系数。本文提出了一类随机波动率模型中期权定价的高阶ADI方法，推广了[13]中的方法。这涉及到具有混合导数项和空间相关系数的二维对流扩散方程，这在方案的推导过程中带来了极大的代数复杂性。新方案在时间上具有二阶精度，在空间上具有四阶精度。本文的组织结构如下。

在下一节中，我们将讨论期权定价的随机波动率模型和相关的定价部分微分方程。在第三节中，我们回顾了亨多弗·韦尔阿迪在时间上的分裂。对于空间离散化，我们在第4节介绍了隐式步骤，在第5节介绍了ex-plic it步骤。第6节和第7节讨论了结果格式的解决方案和数值边界条件。我们在第8节预先发送了数值收敛性和稳定性结果。第9节结束。2.随机波动率模型我们考虑以下一类随机波动率模型：a假设资产现货价格为0≤S（t）<∞ 方差为0≤ σ（t）<∞ 对于t，遵循两个随机扩散过程∈ [0，T]，dS（T）=uS（T）dt+pσ（T）S（T）dW（1）（T），（1a）dσ（T）=eκ（σ（T））α（eθ- σ（t）dt+v（σ（t））βdW（2）（t），（1b）以两个布朗运动dW（1）（t）和dW（2）（t）为特征，具有常数相关参数dW（1）（t）dW（2）（t）=ρdt。随机资产收益率的漂移系数由资产的平均收益率给出，其中¨∈ R和扩散系数由pσ（t）S（t）给出。资产方差的漂移系数由eκ（σ（t））α（eθ）给出- σ（t）），其中常数eκ≥ 0andeθ≥ 0分别是σ（t）a和σ（t）的长期平均值。扩散系数由v（σ（t））β给出，其中常数v≥ 0是波动性的波动性。恒定无风险利率由r表示≥ 0

常数α、β决定了所使用的随机波动率模型。这类随机波动率模型（1）包括许多已知的随机波动率模型：最著名的随机波动率模型Heston模型[20]（也称为平方根（SQR）模型）规定了方差bydσ（t）=eκeθ- σ（t）dt+vpσ（t）dW（2）（t）。其他已知的随机波动率模型包括GARCH（或VAR模型）模型，见[8]，其中随机方差由Dσ（t）=eκ建模eθ- σ（t）dt+vσ（t）dW（2）（t），以及方差遵循过程dσ（t）=eκ的3/2模型[29]eθ- σ（t）dt+vσ（t）dW（2）（t）。上述三种随机波动率模型均对方差v（t）的随机过程使用线性均值回复漂移，但也有一些模型中，漂移是以非n-线性方式均值回复的。在[4]之后，我们用n个额外的“n”来表示这些模型：在SQRN模型中，随机方差跟随dv=eκσ（t）eθ- σ（t）在VARN模型中，dt+vpσ（t）dW（2）（t）dv=eκσ（t）eθ- σ（t）dt+vσ（t）dW（2）（t），在3/2-N模型中dV=eκσ（t）eθ- σ（t）dt+vσ（t）dW（2）（t），见[4]。将s标准套利参数和伊藤引理应用于一类随机波动模型（1），我们可以推导出以下任意金融导数V（s，σ，t）的二阶偏微分方程，以0<s<∞, 0 < σ < ∞, T∈ [0，T）：Vt+SσVSS+ρvσβ+SVSσ+vσ2βvσ+rSVs+[eκσα（eθ）- σ) - λ（S，σ，t）]Vσ- rV=0。（2） 这里，λ（S，σ，t）是波动性风险的市场价格，通常假设与方差成正比：λ（S，σ，t）=λσ（t），其中λ∈ R.边界条件和最终条件由我们求解的金融导数V（S，σ，t）的类型决定。

例如，在欧洲看跌期权的情况下：V（S，σ，T）=max（E- S、 0），0<S<∞, 0 < σ < ∞,林斯→∞V（S，σ，t）=0，0<σ<∞, 0<t<t，V（0，σ，t）=E exp(-r（T）- t） ），0<σ<∞, 0<t<t，limσ→∞Vσ（S，σ，t）=0，0<S<∞, 0<t<t，σ=0处的剩余边界条件可通过查看形式极限σ获得→ 0in（2），即Vt+rSVS+κ*θ*Vσ- rV=0，T>T≥ 0，S>0，作为σ→ 0.（3）该边界条件经常使用，例如在[26,36]中。或者，可以使用齐次纽曼条件[5]，即Vσ（S，0，t）=0，0<S<∞, 0<t<t。（4）通过变量的变化：x=lnSE，y=σv，τ=t- t、 u=exp（rτ）VE，κ=eκ+λ，θ=eκeθeκ+λ，我们将偏微分方程转化为具有混合导数项的二维对流扩散方程。转换后的偏微分方程和边界/初始条件现在由u（x，y，τ）满足，而e x∈ R、 y>0，τ∈ （0，T）：uτ=vyuxx+（vy）2βuyy+ρ（vy）β+uxy+R-vyux+κ（vy）αθ- vyvuy，（5）u（x，y，0）=最大值（1）- exp（x），0），-∞ <x<∞, 0<y<∞, （6a）边缘→∞u（x，y，τ）=0，0<y<∞, 0≤ τ<T，（6b）limx→-∞u（x，y，τ）=1，0<y<∞, 0≤ τ<T，（6c）石灰→∞uy（x，y，τ）=0，-∞ <x<∞, 0 < τ ≤ T、 （6d）酸橙→0uy（x，y，τ）=0，-∞ <x<∞, 0 < τ ≤ T.（6e）为了离散问题并进行数值求解，我们将空间边界截断为有限值。拿我来说≤ 十、≤ K、 其中L<K，L≤ Y≤ K、 式中，0<L<K，因此空间do main在Rof M×N点中形成一个闭合矩形，且均匀间距为x方向和y方向上的yin:xi=L+（i- 1 )x、 i=1，2，M、 yj=L+（j- 1)y、 j=1，2，N.下y边界被截断为L>0，以确保y的所有值的部分微分方程的非简并性。我们还对τ进行均匀划分∈ [0，T]转化为P点，比如Tτk=（k- 1)τ、 其中k=1，2，P

我们表示u（（i）的离散近似- 1)x、 （j）-1)y、 （k）- 1)τ） 由uki，jand Un=（uni，j）i，j.3。Hundsdorfer-Verwer ADI分裂模式我们考虑Hundsdorfer和Verwer[24,23]提出的交替方向隐式（ADI）时间步数值方法。我们的偏微分方程（5）的形式为uτ=F（u）。我们使用分裂F（u）=F（u）+F（u）+F（u），其中单向和混合导数微分算子由：F（u）=ρ（vy）β+uxy，F（u）=vyuxx定义+R-vyux，F（u）=（vy）2βuyy+κ（vy）αθ- 维维。（7） 我们考虑（5）和分裂（7），并寻找一个SEMI离散近似≈ u（τn）时τ. 给出一个近似值-1我们可以计算Unat时间n的近似值τ使用m（7）的微分算子：Y=Un-1+ tF（联合国）-1） ，（8a）Y=Y+φt（F（Y）- F（联合国）-1） ），（8b）Y=Y+φt（F（Y）- F（联合国）-1） ），（8c）eY=Y+ψt（F（Y）- F（联合国）-1） ），（8d）eY=eY+φt（F（eY）- F（Y）），（8e）eY=eY+φt（F（eY）- F（Y）），（8f）Un=eY。（8g）参数ψ取ψ=1/2，以确保时间上的二阶精度。φ的选择在[24]中进行了讨论。通常固定为φ=1/2。值越大，隐式项的阻尼越强，而值越低，返回的精度越好。（8）中的第一步和第四步可以显式求解，而其余步骤则可以显式求解。我们的目标是推导微分算子的高阶空间离散化。[13]之后，我们将隐式步骤的高阶紧致有限差分方法与显式步骤的（经典、非紧致）高阶模板相结合。4.隐式步长F（u）的高阶紧致格式，考虑F（u）=vyuxx+R-vyux=g（9），任意y右端为g。我们希望导出（9）的四阶空间近似，可用于求解（8）中的隐式第二步和第五步。

利用标准的二阶中心差分算子和泰勒展开，我们得到：ux（xi，yj）=δx0ui，j-xuxxx（xi，yj）+O(x） （10）uxx（xi，yj）=δxui，j-xuxxxx（xi，yj）+O(x） （11）式中δx0ui，j=ui+1，j- 用户界面-1，j2x和δxui，j=ui+1，j- 2ui，j+ui-1，jx、 如果我们能在紧凑型模具上仅使用信息找到Uxxx和Uxxx的二阶精确表达式，则可以在紧凑型模具上以四阶精度近似Uxxx和Uxxx。通过分别对x进行一次和两次微分（9），可以表示u和g对x的一阶和二阶导数的uxxx和uxxxin项：uxxx=vygx+1.-2rvyuxx，（12）uxxx=vygxx+1.-2rvyhvygx+1.-2rvyuxxi。（13） 通过将标准的二阶中心微分算子代入（12）和（13），我们得到了uxxx和uxxx的二阶精确空间近似：uxxx（xi，yj）=vyjδx0（gi，j）x+1.-2rvyjδxui，j+O(x） ，（14）uxxx（xi，yj）=vyjδxgi，j+1.-2rvyjhvyjδx0gi，j+1.-2rvyjδxui，ji+O(x） 。（15） 分别将（14）和（15）代入（10）和（11），得到：ux（xi，yj）=δx0ui，j-xhvyjδx0（gi，j）x+1.-2rvyjδxui，ji+O(x） ，（16）uxx（xi，yj）=δxui，j-x“vyjδxgi，j+1.-2rvyjhvyjδx0gi，j+1.-2rvyjδxui，ji#+O(x） 。（17） 将这四阶近似值替换为Ux和uxxinto（9），并重新排列方程，使得u关于x的所有导数位于左侧，而Gw关于x的所有导数位于右侧，我们得到了（9）的四阶紧致格式：vyj--vyjx+4rvyj十、- 4rx24vyjδxui，j+R-vyjδx0ui，j=gi，j+-2vyjx+4rx24vyjδx0gi，j+xδxgi，j。

（18） 最后，用这些表达式代替差分算子rδx0，δxinto（18），并将这些项在空间中三个水平相邻的节点处分离为u和g的值，我们得到：vyj十、- 4rvyj十、- 6vyjx+4rx+12rvyjx+12vyj24vyjxui+1，j-vyj十、- 4rvyjx+4rx+12vyj12vyj徐，j+vyj十、- 4rvyjx+6vyjδx+4r十、- 12rvyjx+12vyj24vyj徐-1，j=-vyjx+2rx+2vyj24vyjgi+1，j+gi，j--vyjx+2r十、- 2vyj24vyjgi-1，j（19）方程（19）定义了（19）的四阶紧致近似。换句话说，我们有一个方程系统，它定义了（19）在空间域内网格上任何点的四阶精确近似值（空间域的所有点，除了位于X和y边界上的点）。为了沿着空间域内网格的x边界在点处近似（19），我们需要空间域x边界处的狄里克莱值的贡献。我们在向量d中分别收集这些数据。第7节给出了边界条件的详细信息。要求解的线性系统可以写成矩阵形式：Axu=Bxg+d，其中u=（u2,2，u2,3，…，uN）-1米-1） ，g=（g2,2,g2,3，…，gN）-1米-1). 系数矩阵Ax和Bx是块对角矩阵，结构如下：=A1,1x0 0 0 A2,2x0 0 0 0。。。0 0 0安-2，N-2x, Bx=B1,1x0 0 0 B2,2x0 0 0 0。。。0亿-2，N-2x,其中，每个Aj，jx=diag[Aj，j-1，aj，j，aj，j]和Bj，jx=diag[Bj，j]-1，bj，j，bj，j]是三对角矩阵。现在让我们考虑F:F（u）=（vy）2βuyy+κ（vy）αθ的情况- vyvuy=g.（20）由于F（u）的系数中出现了y项，在空间中推导四阶精确格式的代数复杂性要大得多。通过泰勒展开，我们得到：uy（xi，yj）=δyui，j-yuyy（xi，yj）+O(y） ，（21）uyy（xi，yj）=δyui，j-yuyy（xi，yj）+O(y） 。