中期权定价的高阶紧致差分格式

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英文标题：
《High-order compact finite difference scheme for option pricing in
  stochastic volatility with contemporaneous jump models》
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作者：
Bertram D\\\"uring, Alexander Pitkin
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We extend the scheme developed in B. D\\\"uring, A. Pitkin, \"High-order compact finite difference scheme for option pricing in stochastic volatility jump models\", 2019, to the so-called stochastic volatility with contemporaneous jumps (SVCJ) model, derived by Duffie, Pan and Singleton. The performance of the scheme is assessed through a number of numerical experiments, using comparisons against a standard second-order central difference scheme. We observe that the new high-order compact scheme achieves fourth order convergence and discuss the effects on efficiency and computation time.
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中文摘要：
我们将B.D \\“uring，A.Pitkin，“随机波动率跳跃模型中期权定价的高阶紧致有限差分格式”（2019）中开发的方案扩展到所谓的随机波动率同步跳跃（SVCJ）模型，由Duffie、Pan和Singleton推导。通过与标准二阶中心差分格式的比较，通过大量的数值实验评估了该格式的性能。我们观察到新的高阶紧致格式实现了四阶收敛，并讨论了它对效率和计算时间的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> High-order_compact_finite_difference_scheme_for_option_pricing_in_stochastic_vol.pdf (97.46 KB)

2022-6-11 02:11:37 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Applications Computation comparisons

随机波动率期权定价的高阶紧致有限差分格式与同期跳跃模型Bertram D¨uring和Alexander Pitkin摘要我们扩展了B.D¨uring，A.Pitkin，“随机波动率跳跃模型期权定价的高阶紧致有限差分格式”，2019，由Duf fie、Pan和Singleton导出的所谓随机波动率同步跳跃（SVCJ）模型。使用标准二阶中心差分格式的比较iso NSAGAIN，通过大量数值实验评估了该格式的性能。我们观察到新的高阶紧致格式实现了四阶收敛，并讨论了其对效率和计算时间的影响。1简介随机波动率与同期跳跃模型（SVCJ）模型[3]可以看作是贝茨模型[1]的扩展，它结合了随机波动率和跳跃扩散模型的积极特征。在两种模式ls中，期权价格以偏积分微分方程（PIDE）的解给出，参见示例[2]。在[5]中，我们提出了一种新的高阶紧有限差分格式，用于贝茨模型中的期权定价。Implicit显式方案基于方法inD¨ring和Four ni'e[4]a和Salmi等人[6]。该方案在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。在目前的工作中，我们将该模式扩展到Duf fie、Pan和Sin-gleton推导的SVCJ模型[3]。本文组织如下。在下一节中，我们回顾了期权定价的SVCJ模型，讨论了隐式-显式方案的实现，并注意到对先前导出的贝茨模型下期权定价方案的改编。

第三节是数值实验，我们评估了新方案的性能。伯特伦·杜林（Bertram D¨uring）和亚历山大·皮特金（Alexander PitkinDepartment of Mathematics），苏塞克斯大学（University of Sussex），佩文西二世（Pevensey II），布莱顿，BN1 9QH，英国联合王国（United K ingdom），电子邮件：bd80@sussex.ac.uk，a.h。pitkin@sussex.ac.uk2Bertram D¨uring和Alexander Pitkin2 SVCJ模型SVCJ模型l[3]是一种随机波动率模型，允许波动率和收益率跳跃。在该模型中，资产价值S及其方差σ的行为由耦合随机微分方程描述，dS（t）=uSS（t）dt+pσ（t）S（t）dW（t）+S（t）dJS，dσ（t）=κ（θ-σ（t））+vpσ（t）dW（t）+dJσ，对于0 6 t 6 t和S（0），σ（0）>0。此处，uS=r-λξ是漂移率，其中r>0是无风险利率。二维跳跃过程（JS，Jσ）是一个强度λ>0的复合泊松过程。假设跳跃大小方差的分布与平均值ν呈指数关系。关于方差过程中的跳跃大小zσ，J+1具有对数正态分布p（zS，zσ），平均inlogzs为γ+ρJzσ，即概率密度函数由p（zS，zσ）给出=√πzSΔДe-zσν-（logzS-γ-ρJzσ）δ。参数ξ由ξs=eγ+δ（1）定义-ДρJ）-1.-1，其中ρJde定义了收益和方差中跳跃s之间的相关性，γ是跳跃大小的对数平均值，δ是跳跃大小的对数方差。方差具有平均水平θ，κ是回归到σ平均水平的速率，v是方差σ的波动率。Twowiener过程和Whave常数相关ρ。2.1偏积分微分方程通过SVCJ模型的标准衍生品定价参数，获得PIDE五、t+Sσ五、S+ρvσS五、Sσ+vσ五、σ+（r-λξs）s五、S+κ（θ-σ)五、σ-（r+λ）V+λZ+∞Z+∞V（S.zS，σ+zσ，t）p（zS，zσ）dzσdzS，必须为S求解，σ>0，0≤t<t，并受制于一个合适的最终条件，例如。

V（S，σ，T）=最大值（K-S、 0），如果是欧式看跌期权，Kdenoting为履约价格。通过变量sx=log，τ=T的以下转换-t、 y=σ/v和u=exp（r+λ）vw我们得到了SVCJ模型3uτ=vy中期权定价的特殊有限差分格式ux个+uy+ρvyux个y-vy公司-r+λξsux+κ（θ-vy）vuy+λZ+∞-∞Z+∞~u（x+zx，y+zy，τ）~p（zx，zy）dzydzx=LD+LI，（1）现在位于R×R+×（0，T）上，其中▄u（x，y，τ）=u（ex，vy，τ）和▄p（zx，zy）=v ezxp（ezx，zy）。该问题通过适当的初始和边界条件来完成。在欧洲pu t选项的情况下，我们有初始条件u（x，y，0）=最大值（1-exp（x），0），x∈ R、 y>0.2.2隐-显高阶er紧模式对于离散化，我们将R替换为[-R、 R]和R+乘以R，R>L>0的[L，R]。我们考虑一个统一的网格Z={xi∈[-R、 R）]：xi=ih，i=-NN} ×{yj∈ [L，R]：yj=L+jh，j=0，。。。，M} 由（2N+1）×（M+1）个网格点组成，其中R=Nh，R=L+mh，空间步长h：=h=手时间步长k。让uni，jdenote得到（1）in（xi，yj）在tn=nk时的近似解，让un=（uni，j）。对于PID E的数值解，我们使用了文献[5]中提出的隐-显高阶紧致（HOC）格式。时间上的隐-显离散化是通过对Crank-Nicholson方法的修改来实现的，我们将为二维积分算子LI定义一种显式处理方法。关于微分算子Ld的有限差分模式的推导以及初始和边界条件的实现，我们参考文献[5]。

为了形成SVCJ模型，调整系数，用常数ξ代替ξB.2.3积分算子。在变量的初始变换后，我们有如下形式的积分算子，LI=λZ+∞-∞Z+∞~u（x+zx，y+zy，τ）~p（zx，zy）dzydzx，我们对变量ζ=x+zx和η=y+zy进行最终更改，目的是研究点（xi，yj），I=Z处的积分值+∞-∞Z+∞u（ζ，η，τ）~p（ζ-xi，η-yj）dηdζ（2）4 Bertram d¨uring和Alexander PitkinWe在数值上近似于（2）在该角上的值(-R、 R）×（L，R），通过实验选择这些值。Ii，j=Z+∞-∞Z+∞u（ζ，η，τ）~p（ζ-xi，η-yj）dηdζ≈锆-RZRL▄u（ζ，η，τ）▄p（ζ-xi，η-yj）dηdζ（3）为了估计积分，我们需要一种高阶数值积分方法来匹配我们的有限差分格式。我们选择使用二维复合辛普森规则。用f表示（3）中的积分，我们得到了误差界为h（R-五十） （2R）最大ζ∈[-R、 R]，η∈[L，R]| f（4）（ζ，η）|。我们使用二维Simpsons规则计算（3）中的积分在x，y中的等距网格上，并使用spacin gx个=y和mxgrid-p点输入(-R、 R），（L，R），其中每个间隔的长度为m e sh大小h/2。我们选择R，Land R，使得边界上的项的值可以忽略不计。

因此，Ii，j≈h“mx∑l=1mx公司∑k=1u（x2k-1，y2l-1，τ）~p（x2k-1.-xi，y2l-1.-yj）+ 4倍-1.∑l=1mx公司-1.∑k=1▄u（x2k，y2l，τ）▄p（x2k-xi，y2l-yj）+ 8毫米-1.∑l=1mx公司∑k=1u（x2k-1，y2l，τ）~p（x2k-1.-xi，y2l-yj）+ 8毫米∑l=1mx公司-1.∑k=1u（x2k，y2l-1，τ）~p（x2k-xi，y2l-1.-yj）#.为了避免构造稠密矩阵，我们在每个时间步计算该积分，作为和的乘积。如果没有另外提及，我们在数值实验中使用以下默认参数：κ=2，θ=0.01，v=0.25，ρ=-0.5，ν=0.2，r=0。05,λ= 0.2,γ= -0.5，ρJ=-0.5,δ= 0.16.SVCJ模型中期权定价的特殊有限差分格式53个数值实验我们进行了数值研究，以评估该格式的收敛速度和计算效率。为了进行比较，我们将二阶中心有限差分格式的结果包括在内，使用适当的二维梯形规则来完成数值积分，并将Rannacher式启动包括在内，以解决稳定性问题。3.1数值收敛为了进行收敛性研究，我们同时考虑了l误差ε和l∞-误差ε∞关于细网格上的数值参考溶液，href=0.025。当抛物线网格比k/h固定为常数值时，对于一些代表常数的m和C，我们预计这些误差会收敛为ε=chm。由此，我们生成了一个双对数曲线ε与h的关系图，该曲线应渐近于斜率为m的直线，从而给出了一种通过实验确定sche-me顺序的方法。数值收敛结果如图1所示。我们观察到，数值收敛或偏差反映了格式的理论阶数，新的高阶紧致格式实现了接近于五阶的收敛速度-1h-4-2HOC（3.7阶）ndorder（2.1阶）-1h-4-2HOC（3.6阶）ndorder（2阶）图。

1： 土地l∞网格尺寸h=0.4,0.2,0.1,0.05.3.2计算效率比较我们比较两种方案的计算时间，查看获得给定精度的时间，考虑矩阵设置、因子分解和边界条件评估。时间安排很大程度上取决于计算机的技术细节以及实施的具体情况，因此要小心避免结果中不必要的偏差。所有结果均在同一台笔记本电脑上计算（2015 MacBook Air 11“）。6 Bertram D¨uring和Alexander Pitkin结果如图2所示。此比较使用的网格尺寸为h=0.4、0.2、0.1和0.05，使用的参考网格尺寸为href=0.025。HOC-sch-e-me在所有网格尺寸下都能获得更高的精度，但这是以计算时间为代价的。我们将这一增长归因于与梯形规则相比，辛普森规则产生的额外计算成本。我们将之前看到的贝茨模型的结果包括在内，以表明两个模型之间计算时间的增加。通过使用循环矩阵和傅立叶变换来完成数值积分，有可能减少内存分配的增加。然而，目前尚不清楚如何在辛普森规则指定的不同权重下实现这一点。图2网格尺寸h=0.4,0.2,0.1,0.05时的计算效率比较-3-2-1lerror-1HOC SVCJndSVCJHOC BATESNDBATESACKNOWLEdges BD承认Leverhulme信托研究项目“高阶非线性偏微分方程的新离散化”（RPG-2015-69）的部分支持。AP得到了EPSRC博士培训合作计划（DTP）下的学生奖学金（grantnumber EP/M506667/1）的支持。参考文献1。D、 贝茨。

跳跃和随机波动：汇率过程隐含的德意志马克期权，修订版。财务部。螺柱。9, 637-654, 1996.2. R、 Cont和P.Tankov。带跳跃过程的金融建模，查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2004.3。D、 D uf fie、J.Pan和K.Singleton，《金融跳跃扩散的转换分析和资产定价》，计量经济学，681343-13762000.4。B、 D¨uring和M.Fourni'e.随机波动率模型中期权定价的高阶紧有限差分格式，J.Comp。应用程序。数学236, 4462-4473, 2012.5. B、 迪宁和A.皮特金。随机波动率跳跃模型中期权定价的高阶紧有限差分格式，J.Comp。应用程序。数学355, 201-217, 2019.6. S、 Salmi、J.Toivanne和L.von Sydow。带跳跃的随机波动率模型下期权定价的IMEX方案，SIAM J.Sci。公司。，36（5），B817-B8342014。