将市场动态观点纳入期权套期保值

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英文标题：
《Incorporating Views on Market Dynamics in Options Hedging》
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作者：
Antoine E. Zambelli
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We examine the possibility of incorporating information or views of market movements during the holding period of a portfolio, in the hedging of European options with respect to the underlying. Given a fixed holding period interval, we explore whether it is possible to adjust the number of shares needed to effectively hedge our position to account for views on market dynamics from present until the end of our interval, to account for the time-dependence of the options\' sensitivity to the underlying. We derive an analytical expression for the number of shares needed by adjusting the standard Black-Scholes-Merton $\\Delta$ quantity, in the case of an arbitrary process for implied volatility, and we present numerical results.
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中文摘要：
我们研究了在投资组合持有期间，将市场波动信息或观点纳入与标的资产相关的欧洲期权套期保值的可能性。给定一个固定的持有期间隔，我们探讨是否有可能调整有效对冲我们头寸所需的股份数量，以考虑从现在到间隔结束期间的市场动态观点，并考虑期权对标的资产的敏感性的时间依赖性。在隐含波动率的任意过程中，我们推导了通过调整标准Black-Scholes-Merton$\\Delta$数量所需股票数量的解析表达式，并给出了数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Incorporating_Views_on_Market_Dynamics_in_Options_Hedging.pdf (341.49 KB)

2022-5-7 03:43:15 上传

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关键词：套期保值 Mathematical Quantitative mathematica information

将市场动态观点纳入期权Hedginganotoine E.Zambelli摘要：我们研究了将投资组合持有期间的市场动态信息或观点纳入与标的资产相关的欧洲期权套期保值的可能性。给定一个固定的持有期间隔，我们探索是否有可能调整所需的股份数量，以有效对冲我们的头寸，从而考虑从现在到间隔结束的市场动态观点，以考虑期权对基础资产的敏感性的时间依赖性。我们推导了通过调整标准Black-Scholes-Merton所需的共享数的解析表达式对于隐含波动率的任意过程，我们给出了数值结果。索引项选项，-对冲，布莱克-斯科尔斯-默顿，市场动态，信息。I.简介我们寻求将任何观点或信息（可互换地称为）纳入期权对冲中。也就是说，在我们的投资组合持有期间，对股票增长率和隐含波动率的看法。为了在现实世界的市场条件下提高套期保值的效率，已经在优化再套期保值频率方面做了大量工作（见[6]）。然而，我们的大部分工作都是基于[4]，它考察了调整的效果-套期保值具有短期到期期权的魅力。我们将从整合信息的角度对这种方法进行调整和扩展。假设我们有一个市场中立的期权策略。我们在t进入了欧洲看涨期权的多头仓位。在这里，我们为这个谜题引入了一个新的部分。假设我们从经验（或约束）中知道，我们将坚守阵地，直到至少一段时间t=t+t、 因此我们可以随时离开这个位置。

传统上，我们会在t进行套期保值，根据需要在区间[t，t]内重新平衡。由于市场随着时间的推移不断变化，如果不重新平衡，我们在t的套期保值将不再完美。因此，我们需要回答的问题是：鉴于我们知道我们的持有期间隔，我们能否先发制人地调整我们在t的套期保值？或者至少更好？如果我们对区间[t，t]的市场动态有看法呢？我们假设我们对其他市场动态的看法仅存在于[t，t]上。从从业者的角度来看，这个假设类似于这样一个概念，即如果我们的持有期确实有一个下限TF，那么我们就可以在过去的时间间隔内对市场动态进行准确的条件统计。这是预印本。这项工作的初步版本在SIAM FM14和IECSMA\'15上展示。二、初步调查-由欧洲看涨期权中的多头头寸组成的对冲投资组合，在t∏（t）=V（t）对冲- N（t）S（t）=V（t）- 我们希望∏S（t）=VS（t）- VS（t）=0（2）在[1]的标准Black-Scholes-Merton框架中，我们需要做空的股票数量N（t）就是VS（t）。不幸的是，这不太可能是准确的，因为VS很可能会随着市场条件的变化而变化。既然我们知道VSt是时变的，我们可以尝试通过设置n（t）=VS（t）+VSt（t）来校正它的时间衰减分量t（3）然而，这假设VS随时间线性变化。我们可以包括一个非线性校正参数λ和definen（t）=VS（t）+λVSt（t）t（4）尽管我们仍然必须确定λ。A.文献虽然λ可以通过数值近似，但[4]通过分析确定（到O(t） ）。他从短期到期期权的一阶套期保值效应的角度来处理这个问题，但这是我们试图解决的同一个问题（数学上）。

作者定义了对冲误差H=Π -πrt（5）并试图将其最小化。也就是说，他得出了一个涉及标的资产增长率u的公式，并得出结论，如果u=r，我们将回到BSM对冲，但如果u6=r，则可以通过定义λM=（u）来调整股票数量N，从而最小化均方对冲误差（MSHE）- r） SVSSVSt（6）和nm=VS+（u- r） SVSSt（7）然而，如[5]所示，最小化最小套期保值误差可能不是最佳选择，相反，选择主要与平均绝对套期保值误差（MAHE）有关。B.隐含挥发性的扩展从合并观点的角度来看，我们现在有了一个合理的解决方案，可以合并关于两个量的信息：潜在u的增长率，以及我们可以清算的时间（即，t） 。这项工作的自然延伸将是解释关于隐含波动性的任何观点σ. 请注意，我们没有对我们认为的基本^σ的波动性做任何改变，我们保持标准BSM假设，即它将是常数。总而言之，问题如下：对于形式为∏（t）=V（t）的投资组合- N（t）S（t）（8）我们是否可以调整对冲（关于标的）多头看涨期权头寸所需的股票数量，以同时考虑VStand和σ成分？我们在以下假设下工作：底层遵循标准几何布朗运动过程s（t）=Se（u）-^σ）t+^σW（9），我们考虑了任意随机过程，用于形式dσt=f（σt）dt+g（σt）dW（10）的隐含可用性，其中f，g是定义良好的确定性函数。

为了便于记法，我们写ft，gtf（σt），g（σt）。我们还假设V满足BSM方程VT+σSVSS+RSV- rV=0（11）请注意，这在技术上是不正确的，因为我们很快将定义隐含波动率的定义过程，并且该理论没有考虑隐含波动率和标的资产波动率的任何差异。事实上，BSM框架中没有两个量，只有一个波动率。尽管如此，这使得我们需要对方程进行大量简化，我们将不使用方程（11）来表示alater版本（很像在考虑波动性后使用BSM期权价格公式）。方程（7）的自然延伸是setN=VS+λVStt+λVSσσ（12）然而，σ是随机的。这就是我们关于信息间隔固定的假设发挥作用的地方。如果我们有时间间隔的端点，那么在实践中，我们可以模拟过程的路径，并获取期望值，在确定性框架中重新描述问题（第四节探讨）。更严格地说，我们取=VS+λVStt+λVSσE[σ] （13）我们假设W，Ware不相关。再次注意，在给定一个随机区间[t，~t]的情况下，该公式的定义不尽相同。三、 Mshet的推导本节介绍了我们的主要贡献，并推导了套期保值误差的表达式（到(t） ）并使方程（13）中关于λ，λ的误差最小化。这一推导深受[4]的启发。第IV.A节介绍了结果和数值模拟的概述。

推导sσ和VWe从方程（9）的一系列展开式开始，以获得一阶、二阶和三阶项：S=Se（u）-^σ)t+^σ√tZ（14）为了清楚起见，我们省略了O(t） 从方程中，尽管它们始终存在。(S） =S^σZ√t+u -^σt+^σZt（15）+^σZ+^σu -^σZt3/2(S） =S^σZt（16）+2^σu -^σ+^σZZt3/2(S） =S^σZt3/2（17）适用于σ、 根据方程式（10），我们得到(σ） =ft+g√tZ（18）(σ） =2fgt3/2Z+gtZ（19）(σ） =gt3/2Z（20）我们现在需要为V，我们通过三维泰勒展开式找到它V=Vtt+VSS+Vσσ+VStst（21）+VSσsσ+Vσtσt+VSS(S） +Vσ(σ） +VSSS(S） +VSSσ(（S）(σ） +VSσ(（S）(σ） +Vσσ(σ） B.来源现在我们推导出方程式（5）的表达式。H=Π -πrt（22）=五、-Ns- （五）- N-S）rt（23）=五、-V rT- NS+rSNt（24）为了简化表达式，我们使用了Vsaties方程（11）的性质。还要注意sσ=E[σ] S+g√tZS、 回想一下，我们忽略了O的术语(t） 或者更高。现在，为了(S） 项，取等式（16），写出^σZt项为^σ（Z）-1 + 1)t、 然后分离出结果S^σt术语。

因此，它如下H=（1）-λ） VStst+（1）-λ） VSσE[σ] S（25）+VSσg√tZS+Vσσ+Vσtσt+VSSΓ+Vσ(σ） +VSSS(S） +VSSσ(（S）(σ） +VSσ(（S）(σ） +Vσσ(σ） 其中Γ=Sσ（Z）- 1)t（26）+2^σu -^σ+^σZZt3/2现在我们第二次使用等式（11）来进一步简化结果，注意VSS=-2^σS^σS+rSVSS+VSt（27）将其应用于等式（25）并插入等式（15）至（20）中，得到H=（1）-λ） VSt^σSZt3/2-VSt^σSZt3/2（28）+Vσg√tZ+Vσft+VSSΓ-（σS+rS）VSSσSZt3/2+Vσtgt3/2Z+（1）- λ） VSσ^σSZft3/2+VSσgS^σtZZ+VSσS^σgt3/2ZZ+VSσSgu -^σt3/2Z+VσgtZ+Vσ2fgt3/2Z+VSSσS^σZgZt3/2+VSσ∑gZS^σZt3/2+Vσσgt3/2ZNow收集等式（28）中的项，得到Z，Z因子的表达式，给出H=γZ- 1.+ βZ+δZ(29)+ φ(1 - λ） Z-Z+ (1 - λ） ηZ+ωZ+τZZ+ιZ+χZZ+ξZZ+εZ+Vσft其中γ=VSS^σStβ=u -^σ^σ√tδ=^σ- 2r3^σ√tφ=VSt^σSt3/2η=VSσ^σSft3/2ε=Vσσgt3/2ξ=VSσgS^σt3/2ω=Vσg√t+Vσ2fgt3/2+VSσSgu -^σt3/2+gt3/2τ=VSσgS^σtι=Vσgtχ=VSSσS^σgt3/2+VSσS^σgt3/2（30）进一步简化，我们得到H=γZ- 1.+ θZ+ψZ+ωZ+τZZ（31）+ιZ+χZZ+ξZZ+εZ+Vσf这里θ=γβ+（1- λ)φ + (1 - λ)η (32)ψ = γδ -φ（33）C.最小化MSHE，获得了合适的H、 我们现在试图找到λ，λ，使MSHE最小化。我们首先回顾Z的矩的一个性质~ N（0，1），N∈ N、 我们有Z2n=nYi=1（2i）- 1） 和E（Z2n）-1） =0（34）定理1。

如果V满足BSM方程，则H（λ，λ）=Π(λ, λ) - π（λ，λ）rt∏（λ，λ）=V-N（λ，λ）SN（λ，λ）=VS+λVStt+λVSσE[σ] 然后 λ*| 瓦尔(H（λ，λ*)) = 最小λ，λ{V ar(H（λ，λ））}式中λ*=VSσf+VSσg+VSS（u- r） S- λVStVSσf（35）和n*= VS+VSS（u）-r） St+VSσft+VSσgt（36）证明：将等式（34）应用于等式（31），我们得到(H） =呃(H） 我- （E）[H] ）（37）=E“γZ- 1.+ θZ+ψZ+ωZ（38）+τZZ+ιZ+χZZ+ξZZ+εZ+VσfT#- ι- 2ι（Vσf）（t）- （V）σft） 为了让读者省去接下来的代数，我们得到了(H） =θ+15ψ+6θψ+2γ+2ξθ+2ι（39）+3ξ+6ξψ+3χ+2χω+ω+τ+15ε+6εχ+6εω(H） ，a=1- λ、 b=1- λ. （39）扩展方程（39）关于a，b，我们获得了F=a+我们获得F=a+a+a+b+b+b+b+b+b+b+b+b+我们获得（39）关于a，b，我们获得（39）关于a，b，我们获得（39）关于a，b，b，b，我们获得了F=a，我们获得F=a+a+a+a+a+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+2+2+b+2+b+2+2+b+2+2+b+2+2+b+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+（41）和（42），不依赖于-ι- 2ι（Vσf）（t）- （V）σft） 项，它不是a或b的有效项。因此，最小化V ar(H） 还将最小化MSHE（其本身包含该术语）。此外，等式（40）对a，b有线性依赖关系，所以我们可以最小化这些变量。将方程（42）设为0，我们得到b=-γβ - φa- 3ψ - ξη（43）代入方程（30），我们得到b=-VSS（u）- r） St+（1）- a） VStT-VSσgtVSσft（44），这给了我们λ*=VSσf+VSσg+VSS（u- r） S- λVStVSσf（45）取方程（45）并将其插入方程（13）给出*= VS+VSS（u）-r） St+VSσft+VSσgt（46）在f=g=0的情况下，我们的表达式简化为方程（7），这是一个令人欣慰的结果。此外，在f=g=0和u=r的情况下，或在T→ 0，我们的结果减少到标准BSM对冲。然而，我们不依赖于λ，方程（41）和（42）是依赖的。因此，我们可以进一步简化框架。D

情况：λ=λ鉴于上述相关性，在等式（13）中设置λ=λ=λ。请注意，以下内容可以独立推导，但根据定理3.2的结果进行计算会大大减少所涉及的工作量。定理2。如果V满足BSM方程，则H（λ）=Π(λ) -π（λ）rt∏（λ）=V-N（λ）SN（λ）=VS+λ（VStt+VSσE[σ] ）那么! λ*| 瓦尔(H（λ）*)) = 最小λ{V ar(H（λ））}式中λ*=VSσf+VSσg+VSS（u- r） SVSσf+VSt（47）和n*= VS+VSS（u）-r） St+VSσft+VSσgt（48）证明：根据定理1，我们有λ*=VSσf+VSSS（u-r）- λVSt+VSσgVSσf（49）Letλ*= λ= λ*, 然后λ*1+VStVSσf=VSσf+VSσg+VSS（u- r） SVSσf（50）λ*VSσf+VStVSσf=VSσf+VSσg+VSS（u- r） SVSσf（51）给出λ*=VSσf+VSσg+VSS（u- r） SVSσf+VSt（52）将等式（52）插入到我们的N表达式中得到usN*= VS+VSS（u）-r） St+VSσft+VSσgt（53）虽然我们对问题有一个封闭形式的解决方案，但我们用一些简化的假设来证明。尽管如此，我们还是可以通过一些数值模拟来确定我们是否过度简化了。四、 总结和结果使用上述方法，我们已经证明，对于基础证券的GBM过程和下面定义的随机隐含波动率模型（W，Wareun相关Weiner过程），dSt=Studt+St^σdW（54）dσt=ftdt+gtdW（55），那么通过用byN给出的股票数量抵消期权头寸，投资组合的MSHE将最小化*= VS+VSS（u）- r） St+VSσft+VSσg这为我们解答了本文导言中提出的问题。我们确实可以先发制人地调整我们在t的套期保值，这样我们在t的套期保值就更好了。正如我们所见，如果市场在这段时间内保持稳定，那么我们得出结论，标准BSM套期保值是预期的最好的。同样，对于瞬时对冲（其中T→ 0).我们给出了几个可能的混合波动率模型的一些结果。

随机模型可以用通常的方法在tin处进行校准，这些参数可以用在N的公式中*.A.线性漂移假设一个消失的GT函数和一个常数增长率|σ，我们有一个只有漂移项的确定性模型，给定比亚迪σt=|σdt（56）。虽然简单，但这可以通过重新计算模拟路径的预期值的结果来获得（可能是在一个更复杂、难以处理的模型的情况下）。在这种情况下，我们得到*= VS+VSS（u）- r） St+VSσt（57）B.Ornstein-Uhlenbeck Ornstein-Uhlenbeck模型（也称为Vasicek）允许均值回归，由dσt=κ给出θ - σtdt+αdW（58），其中‘θ是过程恢复到的长期平均值，κ是过程恢复到平均值的速率，α是过程的挥发度。在这种情况下，我们没有*= VS+VSS（u）- r） St（59）+VSσκθ - σt+VSσσαtC。Cox-Ingersoll-Ross在[2]的开创性工作中提出的CIR模型由Dσt=κ给出θ - σtdt+α√σtdW（60），其中数量定义为Ornstein-Uhlenbeck模型。如果满足Offeller条件，即：2κ′θ>α，则CIR模型可以保证正波动率。在这里，我们得到*= VS+VSS（u）- r） St（61）+VSσκθ - σt+VSσσασtD。数值结果为了我们的数值目的，我们对隐含波动率采用了一个简单的线性漂移模型，f=σ，g=0。注意，在这个表单中，N*由等式（57）给出。以下结果是使用固定参数的欧洲看涨期权的100000千兆比特计算得出的：S=K=100，T=0.1，r=0.05，^σ=σ=0.2，T=0，T=0.02。然后我们改变两个参数u，继续[-0.5,0.5]并设置σ（t）=σ+σT