隐马尔可夫切换模型中的红利最大化

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英文标题：
《Dividend maximization in a hidden Markov switching model》
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作者：
Michaela Sz\\\"olgyenyi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we study the valuation problem of an insurance company by maximizing the expected discounted future dividend payments in a model with partial information that allows for a changing economic environment. The surplus process is modeled as a Brownian motion with drift. This drift depends on an underlying Markov chain the current state of which is assumed to be unobservable. The different states of the Markov chain thereby represent different phases of the economy. We apply results from filtering theory to overcome uncertainty and then we give an analytic characterization of the optimal value function. Finally, we present a numerical study covering various scenarios to get a clear picture of how dividends should be paid out.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了一个保险公司的估值问题，在考虑经济环境变化的部分信息模型中，通过最大化预期贴现未来股息支付。剩余过程被建模为带漂移的布朗运动。这种漂移取决于一个潜在的马尔可夫链，其当前状态被认为是不可观测的。因此，马尔可夫链的不同状态代表了经济的不同阶段。我们应用滤波理论的结果来克服不确定性，然后给出最优值函数的解析特征。最后，我们提出了一个涵盖各种场景的数值研究，以清楚地了解应该如何支付股息。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Dividend_maximization_in_a_hidden_Markov_switching_model.pdf (438.73 KB)

2022-5-10 18:50:48 上传

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关键词：马尔可夫 最大化 Mathematical Quantitative Unobservable

隐马尔可夫转换模型中的股息最大化Michaela Sz"olgyenyip Reprint，2016年2月摘要本文研究了一个保险公司的估值问题，在一个考虑了经济环境变化的部分信息的模型中，通过最大化预期贴现未来股息支付。剩余过程被建模为带漂移的布朗运动。这种漂移取决于一个潜在的马尔科夫链，其当前状态被认为是不可观测的。马尔可夫链的不同状态代表着经济的不同阶段。我们应用过滤理论的结果来克服不确定性，然后给出最优值函数的解析特征。最后，我们提出了一个涵盖各种场景的数值研究，以清楚地了解应该如何支付股息。关键词：股息最大化、隐马尔可夫模型、过滤理论、随机最优控制、粘性解数学学科分类（2010）：91B30、91B70、93E20M。维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，澳大利亚维也纳1020。szoelgyenyi@wu.ac.at1引言保险公司的经典风险度量是破产概率。自1903年Lundberg[32]提出保险公司盈余模型以来，人们对这个数量进行了深入研究。然而，在许多模型中，轨迹只能导致毁灭或趋于完整。因此，de Finetti[12]引入了预期贴现未来股息支付，作为同质保险组合的估值原则，该原则构建了一个替代风险度量。这一概念最初来自企业融资，企业价值通常由未来累计股息支付决定。我们的目标是用这些术语解决保险公司的估值问题。

自引入以来，股息最大化问题已在各种设置中得到解决，例如Shreve等人[39]、Jeanblanc Piqué和Shiryaev[21]、Radner和Shepp[34]以及扩散模型中的Asmussen和Taksar[4]。Albrecher等人[3]研究了随机干预时间的类似问题。概述可在Albrecher和Thonhauser[1]或Avanzi[5]中找到。关于保险业中的优化问题，我们通常参考Schmidli[38]和Azcue and Mular[6]。然而，所有这些贡献都假定经济环境不变。股利最大化问题是在一个潜在的长时间范围内考虑的，这使得假设经济不会发生强劲的变化。由于不断变化的经济环境在结构上影响了保险市场，我们希望将这些变化纳入我们的模型中。在允许经济环境发生变化的环境中，蒋和皮斯托留斯[22]、索托马约尔和卡德尼拉斯[40]、朱和陈[44]、阿尔布雷谢和通豪斯[2]以及阿兹库和穆勒[7]研究了分割最大化问题。Jiang和Pistorius[22]、Sotomayor和Cadenilas[40]以及Zhu和Chen[44]考虑了盈余的扩散模型，其参数由潜在的马尔可夫链驱动。这种设置被称为政权转换模型。在CramérLundberg型模型中，Albrecher和Thonhauser[2]允许经济在破产前恶化一次，andAzcue和Muler[7]允许经济发生一定数量的变化。在所有这些模型中，驱动马尔科夫链都假定是可观测的。这意味着他们假设了全部信息，因此他们的模型与本文研究的模型不同。我们使用股息最大化方法来解决hiddenMarkov模型中保险公司的估值问题。

更准确地说，我们将保险公司的盈余过程建模为带漂移的布朗运动。假设漂移由一个潜在的马尔可夫链驱动，在可用信息下，马尔可夫链的当前状态是不可观测的。与Leobacher等人[28]和Sz"olgyenyi[41]相比，我们考虑了制度变迁，他们的设置是贝叶斯的，即不允许底层马尔可夫链改变其状态。这给了模型不同的解释。在这里，马尔可夫链的不同状态代表了经济的不同阶段。一方面，考虑到经济环境的变化具有一定的意义，另一方面，现实的情况是，目前的经济状况不是即时准确地知道的，而只是随着时间的推移，而且随着时间的推移，扩散的漂移无法令人满意地估计，见[36，第4.2章]——如果允许变化，情况会更糟。因此，考虑到不确定性[40]可以延伸到更实际相关的方向。在数学金融文献中，隐马尔可夫模型已经被广泛用于研究投资问题，例如在卡拉扎斯和赵[23]，萨斯和豪斯曼[37]，里德和贝耶[35]，奥弗雷等[16,17]中。此外，股息问题在数学金融文献中也得到了解决，参见Hubalek和Schachermayer[20]以及Grandits等人[19]，他们分别寻求最大化股息的预期累积效用和累积股息的预期效用。然而，在保险领域，与隐马尔可夫模型相关的结果很少。我们以Gerber[18]为例，他将单一保单的价值建模为布朗运动，带有不可观察的漂移，描述了arisk质量的不确定性。

另一个最近的例子是Liang和Bayraktar[29]的论文，他们研究了不可观测索赔规模和强度下的最优再保险和投资。在Décamps和Villeneuve[13]中，从公司融资的角度，在一个相当具体的模型中研究了一个类似于股息最大化问题的估值问题。本文的组织结构如下。在第2节中，我们定义了我们的模型，并展示了如何通过应用随机过滤理论的结果来克服不确定性，从而将设置转换为完整信息下的设置。第3节介绍了正在研究的随机优化问题。为了求解随机优化问题，我们推导了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，并将最优值函数刻画为该HJB方程的粘性解。我们还证明了粘性解的唯一性，即使没有边界条件。在第4节中，我们用数值方法来处理这个问题。首先，我们研究了过滤动力学。然后，对HJB方程进行数值求解。为此，我们需要引入一个修正项来保证格式的正确性，但我们可以证明近似解是收敛的。我们给出了大量的数值例子。此外，我们还证明了候选最优策略的可容许性，这意味着具有不连续漂移和退化扩散的随机微分方程组有解。第五部分总结全文。本文的主要贡献是对隐马尔可夫切换模型中红利最大化问题解的分析表征，包括对相关Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程广义解的非标准唯一性证明，以及对该模型结果的广泛数值研究。

这项研究的目的是让人们更好地理解该模型以及如何最佳地支付股息。假设只有部分信息，则模型更自然、更真实。2设置和过滤假设以下介绍的所有随机变量定义在过滤概率空间（E，F，{Ft}t）上≥0，P）。剩余过程由xt=x+Ztusds+σBt给出- Lt，（1）初始资本x>0，其中u=（ut）t≥0是不可观测的漂移过程，σ是常数和已知的有效性，B=（Bt）t≥0是标准的布朗运动。累积红利过程L由dlt=utdt（2）给出，L=0，密度为ut∈ [0，K]对于所有t≥ 0作为优化问题中的控制变量。请注意，盈余过程X始终与股息策略相关联，然而，出于符号化原因，我们不会明确说明这一点。此外，设ut:=u（Yt），其中Y=（Yt）t≥0是一个M状态马尔可夫链，其生成矩阵xq=（qij）Mi，j=1。让我来∈ {u，…，uM}，其中ut=ui，如果Yt=ei，ei是M维单位向量，其第i个分量为1。在不丧失普遍性的情况下，让u>·>uM。我们假设马尔科夫链的当前状态在观察过滤下是不可观察的，但我们知道它的初始分布P（Y=ei）=pi，对于所有i∈ {1，…，M}和pmi=1pi=1。请注意，假设波动率不受马尔可夫链驱动是至关重要的，因为这样就可以根据二次变化估计当前状态。非受控盈余过程Z=（Zt）t≥0由Zt=x+Ztusds+σBt给出。

（3） 由于股息支付必须适应非受控过程，观察过滤由{FZt}t给出≥0 {Ft}t≥0，这是由Z生成的过滤的增强。随机过滤无法测量，我们处于部分信息的情况下。为了克服这种不确定性，我们应用了随机滤波理论的结果。这意味着我们用估计器替换不可观测的参数utb，该估计器可能会使用FZt生成的所有信息，但不会更多。我们请感兴趣的读者参考Elliott等人[14]了解有关隐马尔可夫模型及其过滤的更多信息，以及Bain和Crisan[8]关于一般的快速过滤。Rieder和B"auelle[35]建议在不可观测变量由马尔可夫链驱动的情况下使用Wonham过滤器（见[31,43]）。从Liptser和Shiryaev[31，定理9.1]我们知道以下命题。提议2.1。表示马尔可夫链在时间t处处于状态i（因此ut=ui）的条件概率为πi（t）=P（ut=ui | FZt），对于i=1，M，漂移的估计器为νt=E（ut | FZt）=MXi=1uiπi（t）。（4） 然后（π，…πM）求解以下随机微分方程组πi（t）=pi+ZtMXj=1qjiπj（s）ds+Ztπi（s）ui- νsσdWs，（5）πi（0）=pi，（6）对于i=1，M，创新过程wt=Ztus- νsσds+Bt.（7）此外，W=（Wt）t≥0是一个{FZt}t≥0-布朗运动。特别地，我们得到了估计量ν=（νt）t≥0适用于观察过滤。请注意πM（t）=1-颗粒物-对于所有t，1i=1πi（t）≥ 0，这意味着过滤器的正确状态空间是单纯形：={（π，…，πM）∈ [0,1]M:PMi=1πi=1}，其内部用S:={（π，…，πM）表示∈ （0,1）M:PMi=1πi=1}。为了以后使用，我们定义了∏：=（t）t≥0=（π（t），πM-1（t））t≥0和p:=π=（p。

，下午-1).从现在开始，我们考虑以下SDEs的M维系统：Xt=x+Zt（νs- us）ds+σWt，（8）πi（t）=pi+ZtqMi+M-1Xj=1（qji- qMi）πj（s）ds+Ztπi（s）ui- νsσdWsi=1，M- 1，（9）式中，νt=uM+M-1Xj=1（uj- uM）πj（t）。（10） 由于在系统（8）、（9）中，只有一个不确定性来源适合于观测过滤，我们现在处于一个信息完整的情况下，但代价是- 1其他尺寸。3随机优化在本节中，我们首先定义所研究的随机优化问题。然后我们推导出相关的HJB方程。最后，我们给出了本节的主要结果，即将优化问题的解描述为HJB方程的唯一粘性解。我们想找到最优值函数V，它是破产前所有已贴现股息支付的股息政策的上确界τ：=inf{t≥ 0XT≤ 0}，V（x，p）=supu∈AJ（u）（x，p）=supu∈AEx，pZτe-δtudt,其中δ>0表示贴现率，A表示容许控制集，Ex，p（·）表示X=X和∏=p条件下的期望。容许控制为{FZt}t≥0-逐步可测量，[0，K]值，且完整≡ 0表示t>τ。请注意，随机过程的基本系统（8）、（9）描述了[15，第IV.5节]意义上的自治状态动力学。此外，我们将考虑一个有限的时间范围。因此，最优控制将是马尔可夫的。引理3.1。最优值函数V是连续的。我们有0个≤ 五、≤Kδ，V在x和limx中增加→∞V（x，p）=Kδ在p.证明中是一致的。从[24，第3章，定理5]我们知道最优值函数V是连续的。V相对于x的单调性由[38]第2.5.1章，p。

97].显然，最优值函数的边界是0≤ V（x，p）≤R∞柯-δsds=Kδ，很容易检查它在极限下收敛于toKδ，参见[38，第2.5.1章，第97页]。汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程推导HJB方程我们需要一个版本的动态规划原理，或贝尔曼原理，见[24，第3章，定理6]。提案3.2（行李员原则）。对于每个有界停止时间η，我们有v（x，p）=supu∈AEx，pZτ∧ηe-δtutdt+e-δ(τ∧η） V（Xτ）∧η, Πτ∧η).现在假设V∈ C、 我们可以从贝尔曼原理推导出相关的HJB方程：- δ） V+supu∈[0，K]（u（1）- Vx=0，（11），其中Lv=uMVx+M-1Xi=1（i）- uM）piVx+qMi+M-1Xj=1（qji- qMi）pjVpi+pi（ui- ν） Vxpi+M-1Xk=1piui- νσpkuk- νσVpipk!+σVxx和ν由（10）给出。HJB方程是一个二阶退化椭圆型偏微分方程，因为只有一个布朗运动驱动M维过程（Xt，πt）t≥（11）中的上确界为atu=（K，Vx）≤ 10，Vx>1。作为x=0和x的边界条件→ ∞V（0，p）=0，（12）V（x，p）→p中的Kδ为x→ ∞. （13） 对于pi∈ {0,1}，i=1，M- 1.我们没有可用的边界条件。然而，由于过滤器p不会触及边界，因此不需要这些特定方向上的边界条件来定义解。这是因为我们在内部和边界的相关部分仍然具有独特性，见推论3.6。这里应该提到的是，具有完整信息的问题的解决方案，即对于可观察性，不作为边界条件。

这是因为，即使我们知道我们是在某个状态下开始的，那么一段时间之后，我们将再次无法观察到该状态，而在[40]提出的模型中，我们仍然能够观察到它。解析特征现在我们来讨论最优值函数的解析特征。在马尔可夫切换设置中，马尔可夫链的当前状态是可观察的（见[40]），HJB方程可以显式求解，且解是平滑的。在我们的例子中，HJB方程（11）是一个退化的椭圆偏微分方程，这使得一个零解的存在性受到质疑。因此，我们处理一个较弱的解概念，即粘性解。唯一需要的平滑度是连续性，然而，这个概念仍然足够强大，足以证明其唯一性。此外，它也适用于数值处理，见Barles和Souganidis[9]，或Fleming和Soner[15，第九章]。这是粘度解决方案概念的两个重要优点，对于我们这样的问题非常有益。因此，我们将最优值函数V描述为（11）的唯一粘性解。用T表示：={（p，…，pM）-1) ∈ （0,1）米-下午1:00-1i=1pi<1}第一个M的状态空间- 1带闭合的过滤器的尺寸T:={（p，…，pM）-1) ∈ [0,1]米-下午1:00-1i=1pi≤ 1} 和边界“T。进一步表示Ohm := (0, ∞) ×T，\'Ohm = [0, ∞) ××T和letOhm 是它的边界。此外，让我们-:= (0, ∞) ×\'T Ohm. 然后Γ+：=Ohm\\Γ-表示所谓的边界相关部分。定义3.3。（粘度溶液）1。函数w:“”Ohm → R是（11）的粘度亚溶液，如果（L- δ） φ（\'x，\'p）+supu∈[0，K]（u（1）- φx（\'x，\'p）））≥ 0表示所有（\'x，\'p）∈ Ohm 无论如何∈ C(Ohm) 以至于-φ在w（\'x，\'p）=φ（\'x，\'p）时在（\'x，\'p）达到最大值。2。