降价最优地协调搜索

CDF为0.9999或更高。然而，在某些情况下，这给解决拍卖问题带来了工具上的困难，因此我们的截短率有所降低。该工具也有一些难以加载更大或更重的尾部分布，因此我们通常在将所有值分布输入AuctionSolver之前，将其缩小一个常数。幸运的是，对数正态分布可以通过从每个分布的u参数中减去固定数量来实现。在AuctionSolver中求解均衡后，我们使用它打印出每种投标人k的离散投标函数FK。AuctionSolver的输出形式为离散值列表和每个值对应的投标。我们通过线性插值这些点来构造FK；例如，如果平衡输出表示值10.0对应于出价5.0，值10.2对应于出价5.1，那么我们将值10.1对应于出价5.05。高于截断上限的任何值都将映射到上限的出价。在这一点上，如果我们缩小值分布，我们现在会按相同的因子放大AuctionSolver的输出。例如，假设我们从每种投标人的u参数中减去1，然后运行AuctionSolver。这意味着，在AuctionSolver结果中，每个投标者r的值都是一个较小的因子e，因此这些投标也是一个较小的因子e。为了构造fk，我们只需将所有值和出价乘以e，然后线性插值。我们几乎普遍使用默认设置，除了试图增加网格大小以获得更高的精度；我们的代码详细描述了我们在使用AuctionSolver时所采取的确切步骤。在使用AuctionSolver时，我们引入了两个潜在的数值误差源。首先，AuctionSolver d对均衡出价函数进行分解，以求解均衡价格。

我们试图使用较大的网格大小来避免出现错误，但这似乎不太可能显著影响结果。其次，iTuper限制了值分布。人们可能会担心，因为这需要求解与真实值分布略有不同的平衡点，而真实值分布是无界的。我们试图使用较大的上限来限制这个问题。人们可能还担心，这一上限可能会略微扰乱福利结果，尽管在同一次拍卖中，两个出价人超过上限的可能性非常小。我们还通过打破投标中的任何联系来防范这种情况，从而使较低报价的投标者赢得了平局，因此我们只能低估福利。同时，上行对收入的影响应该只是减少它。3.我们模拟了大量拍卖，通常是100万或1000万次。对于每一个，我们计算了每个参与者的最终出价，并将其应用于他们的认购价值（如本文所示），并计算福利和收入。平均福利可计算为获胜者的平均受保通话价值。然后我们对这些试验的结果进行了估计。通过计算这些试验的样本方差，我们还能够计算标准误差，这明显小于我们报告结果的精度。从这个意义上说，这里的数值误差非常小。但同样，如果原始的固定分布与真实的覆盖通话分布不匹配，则可能会出现错误。如果是这样的话，我们将模拟那些实际上并不均衡的策略。

再次，我们试图通过目视检查对数正态fit.G多阶段检查的优点来缓解这种担忧。在本节中，我们提供了多阶段检查结果的完整证明，最终得到引理13，它将我们的主要“摊销引理”（1）推广到多阶段检查的设置。G.1更正式的模式本小节以更正式的形式介绍了正文第6.1节中介绍的多阶段检查模式。事实上，我们在这里提出的模型也从正文第6.1节中考虑的单一物品拍卖推广到任何数量物品的拍卖。我们将装备我们的概率空间(Ohm, F、 u）过滤{Fk，τi，j}。下标i和j分别适用于投标人和项目。在本节剩余部分中，我们将重点讨论单个投标人在决定何时推进单个项目的检验阶段以及何时获取该项目时所面临的停止问题。因此，我们在本节剩余部分将i和j视为固定值。因此，我们将省略双下标i，j，并用Fk，τ表示σ场。上标Tsk和τ分别表示检查阶段和时间。我们想到了K∈ N∪ {∞} 当投标人决定提前进入下一阶段的检查时，该计数器会增加；特殊值k=∞ 表示完成所有检查阶段，这是获取项目的先决条件。我们想到τ∈ R+代表“时钟时间”，它是外来的；随着τ的增加，投标人可能会收到与决策相关的信息。例如，投标人可能会被告知竞争对手已经购买了一件物品。在正文第6.1节的说明中，Fk，τi，jdenotes由信号生成的σ场。

，ski，以及在时间间隔[0，τ]内到达的任何外部信号。σ-场Fk，τi，j满足关系Fk，τi，j Fk′，τ′i，jk<k′，τ<τ′。我们假设F∞,τ是由k生成的σ场∈NFk，τ，我们将使用类似符号Fk，∞表示由τ生成的σ场∈R+Fk，τ。随着时间的推移，投标人通过检查物品价值所获得的信息有条件地独立于通过等待所获得的信息；正式地说，对anyk来说∈ N、 τ∈ R+和任何事件E∈ Fk，∞, 我们有∞,τ] =公共关系ek-Fk，τ. （32）投标人对该项目的估价由F∞,0-可测函数v.检验成本由一个随机过程（ck）表示，并适用于过滤{Fk，0}∞k=0，在样本空间的每个点上，序列0=c，c，c。是非递减且收敛到一个有限极限c∞. Ks的价值应解释为投标人必须支付的达到K检验阶段的综合成本。我们假设v是F∞,0-可测量和ckisFk，0-可测量意味着当投标人进入更高的检验阶段时，其对项目价值和未来检验成本的不确定性可能会降低，但不会随着时间的推移而减弱。我们假设E[v+]∞ 和E[c∞] < ∞.检验政策是一种规则，用于根据过去和现在学到的信息，改变项目的检验阶段，并决定何时获取项目。更正式地说，它是一个有序对（s，As），其中s：Ohm ×R+→N∩ {∞} 表示改变检查阶段的规则，如下所示：Ohm ×R+→ {0，1}是策略决定在t时间τ或更早时间获取ITEEM的（F-可测量）事件的指标。在略带滥用符号的情况下，我们将这种检验政策简单地称为s，而不是（s，as）。

检验政策必须满足以下特性。1.对于每个ω∈ Ohm, s（ω，τ）和As（ω，τ）是τ的非减函数。对于llτ∈ R+，k∈ N、 我们有{ω∈ Ohm | s（ω，τ）>k}∈ Fk，τ3。对于ll（ω，τ）∈ Ohm ×R+，如果As（ω，τ）=1，那么s（ω，τ）=∞.第二个属性意味着，如果检查策略已决定在时间τ或更早的时候超过阶段k，则该决定必须基于在前k个检查阶段和时钟时间的第一τ单位期间获得的信息。第三个属性意味着，如果检查策略决定获取项目，它必须完成所有检查阶段。我们通常会忽略s中的参数ω，将任何固定τ的s（τ）解释为定义在s上的随机变量(Ohm, F） 取N的值∪ {∞}. 由于s（τ）是τ的非递减函数，因此极限limτ→∞s（τ）是一个定义良好的（N∪ {∞})-有值随机变量，用s表示(∞); 它代表了s.Similyllimτ达到的最终检查阶段→∞As（τ）是一个定义良好的{0，1}值随机变量，我们将用As表示它；它是保单获取项目的事件的指示随机变量。随机变量cs=cs(∞)报告执行策略s的成本。我们可以通过形成其逐点最小值q来组合两个检查策略q和r∧ r、 或者它们的点态最大值q∨ r、 正式定义为（q∨ r） （ω，τ）=q（ω，τ）∨ r（ω，τ）和Aq∨r（ω，τ）=Aq（ω，τ）∨ Ar（ω，τ）（q）∧ r） （ω，τ）=q（ω，τ）∧ r（ω，τ）和Aq∧r（ω，τ）=Aq（ω，τ）∧ Ar（ω，τ）。验证q∨ r和q∧ r满足读者对检验政策的定义。G.2广义罢工价格本小节将罢工价格的概念概括为多阶段检查的设置。对于每个检查阶段k<∞ 我们将定义一个履约价格σK，它将是一个Fk，0-可测量的随机变量。

非正式地说，σk是指一个外部期权的价值，使得已经降低了到达阶段k的成本的投标人在立即停止并接受σk的回报与继续应用在最后一个检查阶段所采取的最佳策略之间是无关紧要的，假设该策略可以在未来任何时间停止，并获得σk的外部期权p分期付款。证明Fk的存在性和唯一性，实现这种无差别性质的0-可测函数σk变得有点微妙。我们从以下定义开始。定义9。F-可测函数σ不鼓励在k阶段进行检查，如果每个检查策略都满足s(∞) > k p点，关系Asv- csk Fk，∞≤ E作为σ- ckk Fk，∞几乎每一个地方都有点。所有F的集合∞,0——在k阶段阻止检查的可测量函数用DIk表示。函数集σ∈ 满足σ的命令≤ v+点态用DIk表示。非正式地说，随机变量σ不鼓励在阶段k进行检验，意味着拥有价值σ的外部选项且目前处于检验阶段k的投标人必须微弱地倾向于立即停止并要求支付σ的政策，而不是可能执行额外检验阶段的政策。DIkwill的以下属性将在续集中有用。引理3。对于任何有限子集{σ，…，σn} DIkthe pointwise minimumσ（ω）=min1≤我≤n{σi（ω）}也属于DIk。证据设Ui={ω∈ Ohm | σi（ω）=σ（ω）}注意集合U，Unare Fk，∞可测量且覆盖Ohm. 关系Asv- csk Fk，∞≤ E作为σj- ckk Fk，∞= E作为σ- ckk Fk，∞在Uj上保持点式a.e。

引理随后将这些关系拼凑在一起，因为集合已经结束Ohm.由于执行价格非正式地定义为妨碍在k阶段进行检查的超出部分的最小值，因此尝试在函数σ的范围内逐点定义σ是很自然的∈ 迪克。不幸的是，除了在概率度量u的点质量的采样点之外，这个点态数量将等于-∞ 因为我们可以修改任意σ的值∈ DIkon anymeasure零集，不改变其在DIk中的成员身份。因此，我们必须使用以下引理间接定义σkmore。引理4。存在一个Fk，∞-可测函数σk，取R中的值∪ {-∞}, 这对你来说∈ Fk，∞,^Uσkdu=inf^Uσduσ ∈ 迪克= inf^Uσduσ ∈ 迪克. （33）函数σkis几乎肯定是唯一的，这意味着任何两个这样的函数在一组测度0上是等价的。证据首先要注意的是，集合DIkis是非空的，因为，例如，函数v+属于DIk：如果投标人的外部选择是免费获得报酬v+，那么他总是（至少是微弱地）倾向于选择支付额外检查阶段的费用，然后获得最多等于v+的奖励。为了证明σkwe的存在性，我们将考虑集合函数νk（U）=inf^Uσduσ ∈ 迪克= inf^Uσduσ ∈ 迪克.请注意，无论σ范围是否超过完整集DIkor或其子集DIk，内定义νk（U）都是相同的；这是因为∈ 定点最小σ′=σ∧ v+属于DIkand satis\'Uσ′du≤\'Uσdu。我们将证明νk（U）是Fk上的一个可数可加测度，∞这是令人满意的νk（U）<∞对于所有的U。从νkit的定义可以清楚地看出，每当u（U）=0时，νk（U）=0。然后，应用Radon-Nikodym定理就意味着引理陈述中所包含的函数σk的存在性。我们现在认为，νkis是可数可加的。

假设你，你。是Fk中的间断句，∞让你代表他们的结合。自从v+∈ DIkwe看到了吗≤\'Uiv+du表示所有i。因此，集合{νk（Ui）|i=1，2，…}中的非负元素之和是有限的，以'为界Ohmv+du。因此，污水坑∞i=1νk（Ui）在R中有一个明确的值∪ {-∞} 与总和的顺序无关：{νk（Ui）|i=1，2，…}中负元素的总和是有限的，在这种情况下∞i=1νk（Ui）绝对收敛于一个有限值，否则{νk（Ui）|i=1，2，…}中负元素的总和是-∞, 在这种情况下，部分sumsPni=1νk（Ui）收敛到-∞ 作为n→ ∞, 不管总和的顺序如何。我们必须承认这一点∞i=1νk（Ui）=νk（U）。对于任何ε>0，我们可以选择σ∈ DIksuch\'Uσdu<νk（U）+ε。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设σ≤ v+点态，因为引理3只是用点态最小σ替换σ∧ v+如果必要。在上一段中，我们可以得出这样的结论：∞i=1’Uiσdu定义良好，与求和的顺序无关，它等于Uσdu。因此∞Xi=1νk（Ui）≤∞Xi=1^Uiσdu=^Uσdu<νk（U）+ε。由于ε>0是任意小的，我们可以得出以下结论：piνk（Ui）≤ νk（U）。为了证明逆不等式，对于i=1，2。选择σi∈ DIksuch\'Uiσidu<νk（Ui）+2-我是ε。对于n=1，2。设σ（n）为σ，σ，…，的逐点最小值，σn，v+。使用νk，νk（U）的定义≤^Uσ（n）du≤nXi=1^Uiσidu+∞Xi=n+1^Uiv+du<nXi=1νk（Ui）+（1- 2.-n） ε+∞Xi=n+1^Uiv+du。我们可以选择足够大的∞i=n+1\'Uiv+du<ε和p∞i=n+1νk（Ui）<ε。然后νk（U）<nXi=1νk（Ui）+2ε<∞Xi=1νk（Ui）+3ε。由于ε>0是任意小的，我们得出结论：νk（U）≤P∞i=1νk（Ui）。已经证明了逆不等式，我们可以得出结论：νkis是一个可数可加测度。

根据R adon Nikodym定理，存在一个Fk，∞-R中的可测函数σk取值s∪ {-∞} 这令人满意（33）。最后，引理中的唯一性陈述如下所示，因为如果σkand^σkboth满足（33），那么U（σk- ^σk）du=0，适用于所有U∈ Fk，∞, 这意味着{ω：σk6=^σk}的测度为零。引理5。如果φ是Fk，∞-在有界非负区间[0，M]内取值的可测函数，然后Eφσk= infE[φσ]|σ∈ 迪克= infE[φσ]|σ∈ 迪克.证据与引理4一样，无论σ范围是过大还是过小，内界都是相同的。从今往后，我们将只与σ一起工作∈ 迪克。首先假设φ是一个简单函数。对于不相交的可测集Vi，n我们可以表示为φ=Pni=1wivit∈ Fk，∞和重量∈ [0，M]。在这种情况下引理4 yieldsEwiViσk= infE[wiViσ]|σ∈ 迪克对于i=1，n、 我们可以得出这样的结论φσk=nXi=1infE[wiViσ]|σ∈ 迪克≤ infE[φσ]|σ∈ 迪克.为了证明逆不等式，对于任意ε>0，选择σ，σn∈ DIksuch，fori=1，n、 E[wiViσ]>E[wiViσi]-εn.函数σ=min{σ，…，σn}属于DIkand满足Eφσk> E[φσ]- ε.当ε>0任意小时，我们得出结论Eφσk≥ infE[φσ]|σ∈ 迪克这就完成了简单函数特例引理的证明。对于一般情况，我们可以使用方程E[φσ]=Eφv+- Eφ（v）+- σ)来证明引理e与断言e等价φ（v）+- σk）= 啜饮Eφ（v）+- σ)| σ ∈ 迪克. （34）使用这种形式的引理会更方便，因为函数v+- σ对于σ是非负的∈ 迪克。

特别是，集合函数ν（U）=U（v+- σk）du是一个非负的测量值(Ohm, F） 因此φ（v）+- σ)=^Uφdν=sup^Uφ′dν0≤ φ′≤ φ、 φ′一个简单函数.设S表示满足0的简单函数集φ′≤ φ′≤ φ、 我们现在发现（34）对于简单的函数是成立的φ（v）+- σk）= 啜饮Eφ′（v）+- σk）φ′∈ s= 啜饮Eφ′（v）+- σ)φ′∈ S、 σ∈ 迪克= 啜饮Eφ（v）+- σ)σ ∈ 迪克,这就完成了（34）的证明。作为引理5的首次应用，我们将证明σkis-Fk，0-可测；这加强了mm A4，它只断言σkis Fk，∞-可测量的σkis Fk，0-可测量这一事实可以非正式地总结为，k阶段履约价格的价值仅取决于在第一个k阶段检查期间获得的信息，而不取决于在“时钟时间”期间获得的信息。这一特性是直观的，因为在时钟时间内获得的信息有条件地独立于投标人的价值和检查成本。在分析降价拍卖的均衡性时，它也是σK的一个重要性质。引理6。函数σkis-Fk，0-可测。证据设^σk=Eσkk-Fk，0. 通过构造，^σkis-Fk，0-可测量。让我们证明它对每一位美国学生都是满意的∈ Fk，∞. 我们将重复使用以下恒等式：如果f是Fk，0-可测，g是f-可测，那么ne[fg]=EEfg k Fk，0= Ef Eg k Fk，0. （35）考虑到美国∈ Fk，∞, 设φ=E英国Fk，0.