降价最优地协调搜索

样本{（Vi，Ci，Vi，Ci）}Ni=1重复计算相应的coveredcall值，并将此信息输入到上述计算的均衡中，以获得每个机制的平均福利，因为我们将作为第一最佳（即最高的coveredcall值）。然后，我们对所有这些样本进行平均，以构建我们感兴趣的三个对象的总体蒙特卡罗估计，虽然抽样迭代的次数很小，因为每次迭代都需要一个完整的均衡解，因此在实践中，我们考虑的是每一组参数值的{（Vi，Ci）}Ni=1的平均值，而不是平均福利的精确估计。这使得我们只能得到一个重要数字的精度，因此我们报告的估计值四舍五入到这个精度。我们在附录F中提供了数值方法的更多细节。解决BKR S机构的平衡是相当复杂的，可能是Roberts和Sweeting认为设置比我们在之前的校准中更简单的原因。幸运的是，Roberts和Sweeting报告了同步二价拍卖和BKRS机制的福利，这意味着我们只需要计算第一和下降拍卖的福利。此外，由于只有两种类型的投标人，我们的上述数值方法的外循环是不必要的。因此，我们只需使用AuctionSolverand构建备兑赎回价值的分布和相应的首价拍卖均衡，然后从备兑赎回价值分布中取样，以构建荷兰拍卖下的首价福利和福利。D分机。1许多反对意见我们的论点使用了计算机制设计中关于平滑度的文献中的方法（Lucier and Borodin，2010；Roughgarden，2012；Syrgkanis，2012；Syrgkanis a and Tardos，2013；Chawla and Hartline，2013）。

这取决于显示基于每个投标人相对于均衡发挥可能产生的特定简单偏差的不平等。对于p层i，偏差策略b′i:1。采样一个随机数r∈ [e]-2，1]密度f（r）=2r。对于执行价为σ且值为v的对象，将其默认的执行价和阴影值定义为（1）- r） σ和（1）- r） 分别为v。2.当时钟值t严格大于未检查对象的最高剩余着色执行价和被检查对象的最高剩余着色执行价时，不采取任何行动。3.当t变得弱于这两个值中的任何一个时，争议解决机构将对任何已检查且具有t阴影值的对象进行索赔，如果不存在此类对象，争议解决机构将随机检查任何具有t阴影值的对象，如果其阴影值弱于t，争议解决机构将对该对象进行索赔，并以其他方式继续检查，直到所有具有t阴影值的对象均已检查。引理3。发展战略总是在金钱中发挥作用。它以价格（1）获得物品j- r） κij如果该项目仍然可用，具有非负值，且bi dder i尚未获得另一个ite m；否则，它不会获得第j项证明。通过建造，任何被检查且价值高于其罢工价格的物品都会立即被索赔，即b’总是在金钱上行使权利。通过构造，一件物品的索赔价格等于其阴影线价格和阴影值中的较小者，即（1）-r） κij。唯一阻止我以这个价格索赔j的情况是，我已经索赔了另一件物品，或者j已经卖给了另一个投标人。为了说明支持我们分析衰落时钟拍卖均衡的关键引理，我们引入以下符号。

如果b是策略文件，pi（b）表示投标人i在降序时钟拍卖中支付的价格，pj（b）表示为物品j支付的价格。最后，κi（b）表示我在降序时钟拍卖中收到的物品的覆盖价值，如果没有此类物品，则κi（b）=0；换句话说，κi（b）=Pj∈MAij（b）κij。所有这些数量都应被解释为样本空间中的随机变量，由成本、类型和价值的随机实现定义。引理4。对于任何i，j，任何战略文件b，以及所有类型和价值的任何实现，Eκi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）|{（θj，vj）}nj=1+pi（b）+pj（b）≥1.- E-2.κij。（le ft侧的条件表达式与s tr策略b′i中r的随机选择相结合）证明。偏离策略b′i的结构表明κi（b-i、 b′i）-π（b）-i、 b′i）=rκi（b-i、 b′i）逐点。当我没有收到一个项目，这是因为双方都等于零；当我收到一件物品时，因为策略b’表明我总是支付1- r乘以它所获得的项目的覆盖调用值。相应地，引理断言的不等式与r[rκi（b）等价-i、 b′i）]+pi（b）+pj（b）≥1.- E-2.κij，（4）这里我们引入了符号Er[·]作为E[·|{（θj，vj）}nj=1]的缩写。索赔5。设p（b）=max{pi（b），pj（b）}。如果在偏差策略的第一步中采样的随机数r小于1- p（b）/κi和κi（b）-i、 b′i）≥ κij。证据证据是矛盾的：如果κi（b-i、 b′i）<κi当时钟值为（1）时，我没有要求参数j- r） κij，这只能意味着当时我已经有另一个投标人申请了j项。

然而，ineq ua li tyr<1- p（b）/κ（1）- r） κij>p（b）≥ pi（b），意味着投标人i在战略文件（b）中的行为-i、 在平衡曲线b中，b′i）与她的行为无法区分，直到时钟值下降到（1）以下- r） κij。因此，以高于或等于（1）的价格索赔项目j的投标人i′6=i- r） κij当策略文件为（b-i、 当战略文件为b时，b′i）也必须这样做。这意味着pj（b）≥ (1 - r） κij，与我们的假设相反，p（b）<（1- r） κij。设ρ=p（b）/κij。5.纠正了不平等[rκi（b-i、 b′i）]≥^1-ρe-2（rκij）f（r）dr+=^1-ρe-2κijdr+=1.- E-2.- ρ+κij。（5） 如果ρ<1- E-2第1条- E-2.- ρ为正，因此我们得到[rκi（b-i、 b′i）]≥1.- E-2.κij-ρκij=1.- E-2.κij-p（b）。（6） 鉴于p（b）=max{pi（b），pj（b）}≤ pi（b）+pj（b），我们得出结论，不等式（4）在这种情况下成立。另一方面，如果ρ≥ 1.- E-2，然后p（b）≥(1 - E-2） κij，所以不等式（4）的le ft边的最后两项中至少有一项大于或等于右边。因为左边的三个术语都不是负的，所以我们看到（4）在这个例子中也成立。证据3。Cbij表示投标人i为策略文件b中的项目j支付的检验费用。ui（b）=Pj[Aij（b）vij- cbij- pij（b）]表示投标人i在战略方案b的结果中的效用。然后，在任何均衡b中，E[福利]=E“秀i（b）+pi（b）#≥ E“秀伊（b）-i、 b′i）+pi（b）#（7），因为每个i都喜欢均衡策略，而不是偏差b′i。

现在，偏离策略b’总是在货币中练习，即soE[ui（b-i、 b′i）]=E“XjAij（b-i、 b′i）vij- c（b）-i、 b′i）ij- pij（b）-i、 b′i）#= E“XjAij（b-i、 b′i）κij- pij（b）-i、 b′i）#=E[κi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）]。将其代入（7），我们得到[福利]≥ E“Xi（κi（b-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）+Xipi（b）#。投标人支付的价格之和等于物品的价格p aid之和，因此我们可以重新定义PIPI（b）a sPipi（b）+Pjpj（b），yieldin gE[福利]≥ E“Xi（κi（b-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i））+Xipi（b）+Xjpj（b）#。（8） 此时，我们定义了随机变量αi=Eκi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）|{（θj，vj）}nj=1+pi（b）βj=pj（b）并重写（8）asE[福利]≥ E“Xiαi+Xjβj#（9）4确保对于所有投标人i和项目j，不等式αi+βj≥1.- E-2.κij（10）在点方向上保持不变。对于第一个最佳政策，请定义*我和我*IJA将分别作为投标人收到项目j和我检查项目j的事件的指示人。我们从引理1中知道[First best]=XijEA.*ijvij- C*ij≤协捷A*ijκij。（11） 使用（10）和“第一最佳策略”将最多一个项目分配给每个投标人，并将最多一个投标人分配给每个项目这一事实，我们已经1.- E-2.协捷A*ijκij≤ E“XijA*ij（αi+βj）#=E“XiαiXjA*ij！#+E“XjβjXiA*ij#≤ E“Xiαi+Xjβj#（12）通过将（9）与（12）结合起来，该定理立即成立。直观地说，有两个原因导致我们获得最优福利的近似值（在相关文献中常被称为“无政府状态的代价”）在一般情况下比在单一项目情况下更差（推论2的第2点）首先，降序拍卖近似坐标的格律分配算法不是最优的，只是近似最优。

第二，对于多个项目，需要考虑更多的案例来“覆盖”偏差的潜在福利影响，因为偏差不仅可能会改变个人是否被分配对象，还可能会改变她被分配的对象。当一个人将这两种效率来源结合起来时，就会导致我们的无ZF状态代价从1降低到1-E≈ 0.63与Lucier和Borodin的平滑性证明中出现的两种情况不同（要么投标人i在设计时实现了高预期效用，要么一些投标人在均衡时支付了高价格），现在需要考虑三种情况：要么投标人i在偏离时实现了高预期效用，要么一些投标人在均衡时为项目j支付了高价格，或者我为其他均衡的物品支付高价。在单项情况下，为（1- E-2) ≈ 0.43，一般情况下，出售多个项目。然而，请注意，在多个项目的情况下，贪婪程序只能保证获得至少一半的第一最佳福利，因此，均匀下降程序的每一个平衡都至少达到了43%的第一最佳福利，这一事实可以被解释为表明，因策略行为导致的效率损失相当轻微。D.2近似回答命题5。我们给出了单项目案例的证明，并指出了如何修改证明以适用于多项目案例。让我*= arg maxiκi.对于策略文件b，让p（b）为支付的价格，letui（b）=Ai（b）[vi]-p（b）]-Ii（b）cibe i的效用。如果b是一个α-最佳响应的函数，那么≥ Ehp（b）+Xuii（b）i≥ Ehp（b）+α秀伊（b）-i、 b′i）i（13）对于任何偏差策略，{b′i}。特别是，考虑对随机变量r进行采样的混合策略b′∈ [e]-α、 1]密度f（r）=αr（与θi无关），并以价格（1）索赔- r） κii如果可以的话。

这是通过在时钟值为（1）时进行检查来实现的- r） σi在（1）提出索赔- r） vi，或者如果vi≥ σi.我们有ui（b′i）=Ai（b-i、 b′i）（κi）- p（b））=Ai（b）-i、 b′i）（rκi）≥ 0，（14）其中，第一个等式成立，因为b’总是在金钱上行使，而第二个等式成立，因为策略b’设计为总是付出代价（1）- r） κIupon赢得该项目。把（13）和（14）结合起来，让我*表示认购价值最高的投标人的身份，我们有福利≥ Ehp（b）+αui*（b）-我*, b\'i*)i=Ehp（b）+αAi*（b）-我*, b\'i*)（rκi）*)i、 （15）我们认为以下不等式适用于所有类型的概率θ和策略概率b:Ehp（b）+αAi*（b）-我*, b\'i*)（rκi）*)θ、 毕≥ (1 - E-α） κi*. （16） 由于我们同时对θ和b进行调节，剩下的唯一随机性是通过策略b′i对r进行随机抽样*, 这反过来可能会影响物品的分配和支付的价格。让p表示除我之外的投标人的价格*当我离开时，我会认领这件物品*e被排除在拍卖之外，其他投标人的策略文件为b-我*. 如果p>（1）-E-α） κi*那哎*（b）-我*, b\'i*) = 0和p（b）=p，所以不等式（16）的有效性是显而易见的。否则，设置κ=κi*为了方便起见，请注意投标人i*当且仅当（1）时赢得物品- r） κ>p，即r<1- p/κ。因此，我们有αAi*（b）-我*, b\'i*)（rκi）*)θ、 bi=α^1-p/κe-αrκf（r）dr=^1-p/κe-ακdr=κ1.- p/κ- E-α=1.- E-ακ - p、 注意到p（b）≥ 从点的角度来看，我们可以把E[p（b）|θ，b]加到左边，把p加到右边，得到不等式（16）。最后，结合不平等（15）和（16），我们发现，任何α-最佳反应的结果都能满足福利要求≥1.- E-αE[κi*].

（17） 根据引理1，它说E[κi*] 这就是命题的证明。p近似因子（1）的证明- E-2α）在多项情况下是定理3证明的一个证明。一个关键的区别是，我们只是假设b是一个α-最佳响应的函数，所以不确定性（7）必须是放松的Toe[welfality]=E“suii（b）+pi（b）#≥ E“α（b-i、 b′i）+pi（b）#。（18） 为了分析右边的数量，我们考虑每个球员的偏离策略b′ithat:1。采样一个随机数r∈ [e]-2α，1]密度f（r）=2αr。对于具有执行价格σ和值v的对象，将其类似价格和阴影值定义为（1）- r） σ和（1）- r） 分别为v。2.当时钟值t严格大于未检查对象的最高剩余着色执行价和被检查对象的最高剩余着色执行价时，不采取任何行动。3.当t变得弱于这两个值中的任何一个时，争议解决机构将对任何已检查且具有t阴影值的对象进行索赔，如果不存在此类对象，争议解决机构将随机检查任何具有t阴影值的对象，如果其阴影值弱于t，争议解决机构将对该对象进行索赔，并以其他方式继续检查，直到所有具有t阴影值的对象均已检查。在均衡战略方案b中，支撑福利分析的关键不平等是αEκi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）|{（θj，vj）}nj=1+pi（b）+pj（b）≥1.- E-2ακij。（19） 这个不等式的证明与引理4的证明完全平行，由于r的密度现在是f（r）=2αr而不是2R，因此进行了适当的修改。与定理3的证明相比，我们在（18）的右侧有一个α的附加因子，它与（19）左侧的α的附加因子相匹配。

这使我们能够将这两个不等式结合起来，得到所谓的近似保证，其方式与不等式（7）与引理4结合起来，得到定理M3中的近似保证的方式完全相同。D.3提案6的共同价值。让我成为成本最低的投标人。请注意，当投标人i检查commonvalue v，并在且仅在v的情况下获得物品时，才能获得最佳福利≥ 0.这意味着第一名福利等于E[v+]- ci。用w表示这个量。现在，让b是策略的任何平衡函数，让b′ibe是i的混合策略，它对随机r进行采样∈ [e，1]，密度f（r）=1/r，并在数据发送时钟位于（1）时检查项目的值v- r） w，除非物品已经被认领。检查项目并发现v≥ 0，策略b’i立即以（1）的当前价格索赔该商品- r） w.如果v<0，则b′不超过该项。所有竞买人在均衡状态下都有非负效用，竞买人i的效用不均衡至少与她在玩b′i游戏时的效用一样大，soE[福利]=E“p（b）+Xjuj（b）#≥ E[p（b）+ui（b）-i、 b′i）]。（20） 条件是投标人成本的比例c，因此唯一剩余的随机变量是项目的价值v，以及混合策略b’i中r的随机选择。我们声称E[p（b）+ui（b-i、 b′i）| c]≥1.-Ew（21）让p表示当我被排除在拍卖之外，且其他投标人的策略文件为b时，除我之外的投标人将索赔物品的价格-i、 Ifp>1.-E那么，投标人i d没有检查物品的价值，另一个投标人以p的价格赢得物品。因此，我们有p（b）+ui（b）-i、 b′i）=p>1.-Ew whichestablishes（21）。否则，我们有p≤1.-Ew和投标人i检查项目当且仅当r<1时- p/w。

请注意，以r的值为条件，并在投标人i检查项目时，她的实用程序isE[v+]- 词- ( 1 - r） w·Pr（v）≥ 0）=w- (1 - r） w·Pr（v）≥ 0) ≥ rw。通过对r的随机选择进行积分，我们得到[ui（b）]-i、 b′i）|c]=^1-p/w1/erw f（r）d r=1.-嗯-Ew=1.-EW- p、 （22）自p（b）以来≥ 我们可以把E[p（b）|c]加到（22）的左边，把p加到右边，最后得到（21），结合不等式（20）和（21）我们得到E[福利]≥1.-Ew、 如前所述。D.4可选检查命题7的证明。对于投标人i，让‘vi=E[vi|θi]表示获得给定i类型项目的预期价值，θi。对于任何程序，让我们将其网络设施表示为两项之和：wi，被检查的福利，是检查其价值的投标人的净贡献，而wu，未检查的福利，是未检查其价值的投标人的净贡献。更准确地说，wi=XiIi·[Aivi- ci]wu=Xi（1）- Ii）·vi.以实现类型的属性{θi}为条件，最大化[wi]的过程是魏茨曼的最优搜索过程，它实现了E[wi]=E[maxiκi]。使[wu]最大化的过程只是将项目分配给投标人i和最大值vi。因此*土地w*ude注意wi和wu的值对于第一最佳程序，我们有E[第一最佳]=E[w*i+w*u]≤ E[maxiκi]+E[maxi\'vi]。（23）我们声称荷兰拍卖的任何均衡都能实现[福利]≥1.-EE[maxiκi]（24）E[福利]≥1.-EE[maxi\'vi]（25）命题之后将把这两个不等式求和并与（23）结合。不等式（24）和（25）的证明使用了一个“光滑性”参数，与证明定理3和命题5和6时使用的参数非常相似。