降价最优地协调搜索

假设bbe是一个y平衡策略，并将偏差策略b′i和b′i定义为以下混合策略：∈ [e，1]密度f（r）=1/r。在偏差b′i中，投标人i在下降时钟位于（1）时检查项目- r） σi立即提出索赔（如果vi≥ σi）或当下行时钟达到（1-r） vi.在偏差b′i中，当下行时钟达到（1）时，投标人i在未经检查的情况下获得该项目- r） “vi.注意，对于任何类型的文件{θj}，对于任何类型的文件（θ，…，θn），i′表示具有最大覆盖调用值的投标人，i′表示具有最大条件期望值的投标人。均衡福利满意度[福利]=E“p（b）+Xuii（b）#≥ E“p（b）+Xuii（b）-i、 b′i）#≥ E[p（b）+ui′（b）-（26）E[福利]=E“p（b）+suii（b）#≥ E“p（b）+Xuii（b）-i、 b′i）#≥ E[p（b）+ui′（b）-i′，b′i′）（27）其中每条直线上的第二个不等式如下所示，因为使用偏差b′i，b′i′中的任何一个的桥i的预期效用都是非负的。正如在命题6的证明中，在任何类型{θi}的证明的条件下，每一个ine性质都是[p（b）+ui′（b-i′，b′i′）{θi}]≥1.-Eκi（28）E[p（b）+ui′（b）-i、 b′\'i′）|{θi}]≥1.-E“vi（29）在点上保持不变。这两个不平等的公正性概括了命题6证明中不平等性的公正性（21），但为解释所考虑偏差的细微差异而进行的符号变化除外。把（26）和（27）与（28）和（29）结合起来，我们得到（24）和（25），由此命题。D.5公布了推论3的定价。当报价π时，每个投标人的最佳响应是检查iffπ≤ σi，并随后对物品iffπ提出索赔≤ 六、换句话说，当且仅当π时，我接受标价≤ κi。

这些策略在货币中起作用，因此顺序定价过程的福利等于赢家的预期覆盖看涨期权价值，而最优福利的上限是预期最大覆盖看涨期权价值。让Xibe得到bidder i的覆盖调用值，并注意到这些随机变量{Xi}是独立的，定理m4暗示了结果。E收入保证我们表明，在一些常见的假设下，perbidder的荷兰拍卖会在单品设置和检验成本的情况下保留了近似最优的收入。我们将依靠正文第4节的材料。我们将证明，具有每标r储备的荷兰产品仍然不受搜索成本的影响，即“功能等同于”无需检查成本的拍卖。然后，我们可以在适当的假设下，将已知结果应用于带储备的首价拍卖。定义7。荷兰拍卖的每位竞拍者的底价p{ri}Ni=1是一种销售程序，时钟从∞ 并不断减少。任何出价人可在任何时间停止时钟，结束拍卖，支付当前时钟值，并获得物品。回顾定义3：对于给定类型θi∈ Θi，它的覆盖对应物θo根据κi的分布，检验成本和价值为零。κi是θi的覆盖买入价。在我们的模型中，给定投标人的先验P，Po是覆盖副本的对应优先级。回顾定义5：如果同一投标人以相同的价格获得物品，且检验成本相同，则两个拍卖结果被称为功能等同。这被扩展到策略的功能对等和平衡。定理1。

在我们的模型中，类型根据P共同分布的荷兰式拍卖与每个投标人储备的均衡，以及每个投标人储备的德国式拍卖与覆盖的对应方分布的均衡o投标人不经检查就知道其r值。这种映射保持了投标人的预期效用和拍卖商的预期收益，并诱导了对函数等价类均衡的双射。证据确定一个投标人和其他投标人的任何策略。我们将构建（A）在荷兰拍卖中i的最佳响应与（B）在荷兰拍卖中i的最佳响应与（B）在每个投标人的储备与检查之间的映射。这将是be st Response函数等价类的一个双射，p保留投标人公用事业和开发商收入，证明定理。首先，我们将在上面设置a和（a\'）无保留和检查的Dutchuation之间构建一个双射，在这里，除我之外的投标人继续在拍卖中使用保留发挥他们的策略，我们添加了一个“保留投标人”，他总是出价。我们声称这是投标人i在a和a′之间的最佳响应的双射，原因如下。A’中的每一个试图检查或声称低风险的策略都被什么都不做所主导，因为备用投标人总是出价低风险。A\'中的所有其他策略在A中也可用，A中的所有策略在A中也可用。

此外，在这两种情况下，每种策略对i都有相同的效用，因此，将A中的策略映射到A\'中的相同策略会导致功能上等价的最佳响应之间的双射；它还保留了所有投标人的公用事业和拍卖收入。现在，考虑设置B\'，从B获得的方式与A\'从A获得的方式相同：删除保留价格并添加一个始终出价的“保留投标人”。因为这两种情况都涉及无保留的荷兰拍卖，而B\'是a\'的检查较少覆盖的对应物\'，权利要求4主张a\'中投标人i和B\'中投标人i的覆盖对应物的最佳响应函数等价类之间的双射；这种双射保留了所有投标人的公用事业和一笔额外收入。最后，我们在“B”和“B”中，在“i”的覆盖对应方的最佳响应之间构造一个双射。同样，计划在低于“B”的时间检查或索赔的“i”的任何策略都是占主导地位的，因为备用投标人总是在此时索赔该项目；allother策略与B中的策略相同，并保留所有投标人公用事业和拍卖商收入。通过组合这些双射，我们得到了A和B之间所需的双射。E.1荷兰人的收入担保人现在为荷兰人拍卖制定了一些收入担保，在标准的独立私人价值设定下，每个投标人都知道自己的价值，而不进行检查。这些将表明，在价值分配的某些假设下，拍卖获得的预期收入至少是拍卖产生的总福利的某个固定部分。这意味着预期收入至少与最佳可获得收入的比例相同。我们证明的这个独立的私有值设置的界限将立即通过定理m 1转移到具有检查成本的情况。预备赛。

与密度为f的分布相关的虚值函数是φf（x）=v-1.- F（x）F（x）。对于bidd er i，让Fide注意到她覆盖的调用值的分布，以及一个关联的虚值函数。（回想一下，覆盖买入价是κi=min{vi，σi}，是价值和履约价格的最小值。）证明近似收益最大化的一个常见假设是，每个投标人的价值分布是规则的，这意味着其相应的虚拟价值函数具有非负导数。在这里，我们假设一个关于覆盖呼叫分布的更强的参数化条件，ρ-凹。定义8。对于ρ，F是ρ-凹的≥ -1 ifdφdx≥ 1 + ρ.规律性相当于-1-凹性，而常见的单调h-azardrate假设是0-凹性。我们假设有一个ρ>-1使得每个用户的覆盖呼叫分布fi是ρ-凹的，从而获得由ρ参数化的边界。后果下面的引理在这里不是一个原创的想法，但代表了ρ-凹分布的一个常见用例，尤其是在Anderson和Renualt（2003）中。引理1。让值分布F，对于ρ>-1.设R为任何拍卖的最优预期收益，其私人价值独立于这些分布，W为最优预期福利。然后≥e+4ρ+1ρ+2W。理想情况下，通过与最优拍卖的收益进行比较，可以获得一个更好的界限。不幸的是，考虑到检查成本，我们没有更好的最优收入上限和总福利。证据请注意，Myerson拍卖的最佳可实现收入是预期的最大虚拟价值i。e、 R=e maxφi（κi）+。同时，福利是预期的最大值：E maxiκi。选择一个投标人i并fixκ的任何实现-i、 设s=φ-1i（maxj6=iφj（κj）+）。

直观地说，s是在迈尔森的拍卖中，由对手的出价引起的投标人面临的“底价”。最优拍卖的收益为eEvenue=Eκ-iRi（κ-i） （30）其中Ri（κ-i） =^∞k=sfi（k）φi（k）dk。我们现在应用Anderson和Renualt（2003）的两个界。首先，在这种单一投标人环境下，消费者剩余的上限是收入除以ρ+1。在我们的符号中，让i产生的福利为Wi（κ）-i） =\'∞k=sfi（k）kdk。ThenRi（κ-（一）≥ （ρ+1）（Wi（κ-（一）- Ri（κ-i） ）（安德森和雷努阿尔特，2003年）==> Ri（κ-（一）≥ρ+1ρ+2Wi（κ-i） 。第二，福利最优机制和收入最优机制（即“净重损失”）之间由i产生的福利差异是有界的。LettingW*i（κ）-i） =\'∞k=maxj6=iκjfi（k）kdk是第一项：W*i（κ）-（一）- Wi（κ）-（一）≤(1 + ρ)1/ρ+ρ + 2ρ + 1Ri（κ-i） （安德森和雷努阿出版社，2003年）==> W*我≤(1 + ρ)1/ρ+ 2ρ + 2ρ + 1Ri（κ-（一）≤e+4ρ+2ρ+1Ri（κ-i） 。（31）这里，如果ρ=0，那么（1+ρ）1/ρ：=e；我们使用（1+ρ）1/ρ≤eρ+2ρ+1。现在，结果是将质量从31提高到（30），从而获得收入≥e+4ρ+1ρ+2Eκ-iW*i（κ）-i） =e+4ρ+1ρ+2福利。引理2（Hartline等人（2014））。当投标者的值分布是正则分布时（包括ρ的任何ρ-凹分布）≥ -1） 第一次价格拍卖，每个投标人保留至少一部分预期收入-最佳（迈尔森的）预期收入的12倍。储量设置为每个投标人的虚拟值的倒数为零。定理2。在第一次价格拍卖的均衡中，每个投标人的储备为{φ-1i（0）}Ni=1且所有值分布在ρ>-1.预期收入至少是一部分。总福利的09ρ+1ρ+2。证据我们预期会有收入≥E- 12预期收入引理2≥E- 12ee+4ρ+1ρ+2福利引理1=e- 1e（e+4）ρ+1ρ+2福利≥ 0.09ρ+1ρ+2福利。推论4。

在检查成本的设置中，假设投标人覆盖的调用值分布为ρ-凹，表示ρ>-1并具有虚拟值函数{p hii}Ni=1。荷兰拍卖的预期收入，每位竞拍者的储备金为{φ-1i（0）}Ni=1至少是0。09ρ+1ρ+2最优预期收益的比例。证据根据定理1，收入和福利等于第一价格拍卖的收入和福利，其价值分配为覆盖的看涨期权价值。根据定理2，第一价格拍卖的收入超过了总福利的给定部分，因此荷兰拍卖的情况就是这样，其准备金和检验成本相同。最后，总体福利至少是最佳预期收入。在校准中，我们倾向于发现，当检查成本较高时，即在启动收购校准中，与同步密封投标拍卖相比，降价机制的收入有显著改善。详见下文F.4小节。对于木材销售而言，检验成本要低得多，相比第二价格或BKR S程序的改进更为温和。F校准——在本附录中，我们详细讨论了同时进行二次价格和荷兰进口的近似平衡求解方法，并提供了额外的数值结果。除非特别说明，否则下文中的所有讨论都是根据正文第2.1节的一般模式，而不是第5节中的特定公式重新制定的。首先，我们在这里描述我们的过程是一个相对较高的水平，只强调了一般经济理论家可能感兴趣的因素。然后我们描述了我们校准的一些额外结果。

最后，我们将详细介绍我们的方法，这些方法可用于从头开始复制我们的方法。F.1同步第二优先级我们在这里的讨论对应于我们在附录C中描述的伪算法的第4步。我们关注的是均衡，在任何决策点，当代理人拥有绝对主导的真实策略时，他们采用这种策略，因为Bergemann和V"alim"aki（2002）表明，这会在同步设置中导致最佳可能结果。特别是，任何检查其价值的投标人都会选择对该价值进行投标，而任何选择不检查其价值的投标人都会对其预期从被授予标的物vi中获得的价值进行投标≡ Eθi[vi]- ci。接下来要注意的是，a）由于检验下成本增加的概率严格高于非检验，因此当ci=0检验的更高固定θi，b）弱优势检验和c）forci=∞ 不检查占微弱优势。因此，对于θi的任何值，都有一个唯一的临界值ci（θi），因此≤ ci（θi）将检查，而ci>ci（θi）的将不检查。一个给定的策略会导致i的出价分布，i的累积分布函数我们称之为Gi。在确定我的最佳响应时，一个充分的统计数据是最高竞价的分布，称之为bmax-imade由投标人分配，由{Gj}Nj=1确定。让G-ibe这个变量的累积分布函数，让g-ibe的密度（我们现在假设存在）。

检查的回报是^∞vi=0^vibmax-i=0（vi）- B-i） f（vi）g-i（b）-i） 分贝-idvi- cIAN不检查的回报是^vibmax-i=0（~vi）- B-i） g-i（b）-i） 分贝-i、 我们可以通过简单地找到cit的值来求解forci，该值等于θi的任何给定值的这两个表达式。鉴于这些事实，我们迭代地采取以下步骤，从biddribution{Gi}Ni=1开始，其中每个投标人真实地出价。我们在θi的可能值网格上计算保持成本sci（θi）的最佳响应集。然后在可能出价s的网格上计算诱导的最佳响应分布gbi。我们通过Gi（x）=（1）更新出价分布- λ） Gi（x）+λGbri（x），其中λ∈ （0,1）是一个平滑参数。然后，我们对投标人i+1重复上述步骤，以N为界。一旦达到a p近似固定点，我们停止并返回近似平衡策略{ci}Ni=1。F.2荷兰拍卖我们在这里的讨论对应于附录C中描述的伪算法的第5步。拍卖解算器将多个投标人和每个投标人的d值分布函数作为输入，这些函数可以用许多常见的数学函数来描述，并返回一组近似平衡投标函数，每个投标人一个。因此，为了利用他的代码，我们必须使用可以用AuctionSolver允许的数学函数表达的函数来近似覆盖调用值的分布。对数正态分布似乎在我们的规范中提供了非常接近的结果，除了非常低的值，这是不相关的，因为所有平衡量都是一阶和二阶统计量的函数。

因此，我们使用最小二乘非线性拟合函数，将对数正态累积分布函数拟合为每个投标人的（θi，ci）分布中的大量样本所产生的覆盖调用值的经验累积分布函数。然后，我们将这些对数正态分布输入AuctionSolver（允许使用必要的数学函数），并为每个投标人返回相应的投标函数。F.3评估福利我们在这里的讨论对应于附录C中描述的伪算法的第6步。有了这些平衡，我们绘制了大量{（θi，ci）}Ni=1的样本。对于每个样本：1。为了计算同时二次价格拍卖的福利，我们直接通过第F小节中计算的均衡运行样本。在上面1中，计算所有检验费用和最高投标人的价值，并在两者之间取净，称之为该样本中的福利。2.为了计算荷兰拍卖的福利，我们从（θi，ci）计算每个投标人的覆盖赎回价值，方法是使用定义1求解履约价格，使用均衡函数，确定最高投标人，然后在该样本中计算其覆盖赎回价值。3.为了计算第一最佳福利，我们遵循与Dutchuation相同的程序，但只是使用最高的覆盖通话价值，而不是确定赢家。在木材校准中，我们使用他们的代码确定同步二次价格导入和BKRS机制的福利。F.4额外结果收入。在校准方面，我们倾向于在启动收购校准中发现荷兰拍卖的收入有显著提高。对此的一种解释来自这样一个事实：正如我们很快讨论的那样，在拍卖会上，在投标之前会进行更多的检查。