降价最优地协调搜索

当执行价格严格高于检验路径上遇到的最低执行价格时，如果检验政策在某一阶段从未停止检验，则检验政策是不公开的；如果检验政策完成了所有检验阶段，则其从未未能获得价值V>κ的项目。更正式地说，s是不暴露的if1。公共关系s(∞) < ∞ σs(∞)> κs(∞)= 02.公共关系（s）(∞) = ∞ 和（1）- As）（v）- κ) > 0) = 0.对于非暴露政策，我们有以下加强引理9。引理12。假设r，q是满足r的任意两个检验策略(∞ ) ≤ q(∞) 安达尔≤ 就点而言。如果r是非暴露的，那么我们有[Aqv]- [cq]≤ E[Arv- cr]+E[（Aq）- Ar）κ]。（64）证据。首先请注意，E[Aqv- cq]=E[Arv- cr]+E[（Aq）- Ar）v- （cq）- cr）]，更一般地说，在检查阶段最多为b的环境中，则σb=σb+1=···=v。因此（64）相当于toE[（Aq- Ar）v- （cq）- cr）]≤ E[（Aq）- Ar）κ]。（65）第一个观察结果是方程（Aq- Ar）v- （cq）- cr）=（Aq- Ar）κ（66）在q(∞) = r(∞). 当q(∞) = r(∞) < ∞ 这是因为两边的s都等于0。当q(∞) = r(∞) = ∞ 我们有cq- cr=0，是Aq- 如果Aq=1，Ar=0，则Ar6=0，但在这种情况下，v=κ，因为r是不暴露的。（回想一下v≥ κ的定义，并且当r(∞) = ∞ andAr=0。）样本点的集合V，其中q(∞) > r(∞) 可以p划分为setsVm∈ Fm，∞q在哪里(∞) > r(∞) = m、 对于m=0，1，2。让Em表示运算符em[f]=^Vmf du，并注意^Vf du=P∞m=0Em[f]当双方都不明确时，例如当“Vf+du<∞. 我们已经论证过，（65）的左右两边的被积函数在V的补上相等，所以（65）等于∞Xm=0Em[（Aq- Ar）v- （cq）- cr）]≤∞Xm=0Em[（Aq- Ar）κ]。我们将通过逐项比较总数来证明。

由于Ar=0和cr=Cm在Vm上，p屋顶减少到显示EM[Aqv- [cq]≤ Em[Aqκ- 厘米]。（68）对于n≥ 0，通过将sn（ω，τ）设置为最小k>nsuchσk，确定检验策略sn≤ 如果有这样的k；否则sn（ω，τ）=∞ Asn（ω）=Aq（ω）。还可以通过指定所有ω、τ和thatAq′的q′（ω，τ）=q（ω，τ）来定义检验政策q′=Aqif v≥ κ∞如果v<k，则为0∞.考虑由逐点最小值q′定义的检验政策qn∧ sn。我们为0索赔≤ M≤ n、 Em[Aqnv- [cqn]≤ Em[Aqnκn- 厘米]。（69）对于每一个固定的m，证明是通过对n的归纳得出的。在基本情况下，n=m，注意在Vm上κm=σmpointwise，因为(∞) = m和r是不暴露的。因此，当n=m时，不等式（69）等于Em[Aqnv]- [cqn]≤ Em[Aqnσm- cm]，这是有效的，因为σmdi对t阶段m和Vm进行检查∈ Fm，∞. 对于归纳步骤，让U表示采样点集，其中qn(∞) 6=qn+1(∞).请注意∈ Fn+1，∞, U上的关系σn+1=κn+1，qn(∞) = n+1和Aqn=0在点上保持不变，而在U的补码上，关系κn+1=κ和Aqn+1=Aqnhold在点上保持不变。这些观察结果表明：Aqn+1v=Aqnv+1AQN+1v（70）cqn+1=cqn+1U（cqn+1- cn+1）（71）Aqn+1κn+1=Aqnκn+1 Aqn+1σn+1。（72）因此我们拥有[Aqn+1v- cqn+1]=Em[Aqnv- cqn]+EmUAqn+1v- cqn+1+cn+1≤ Em[Aqnκn- cm]+EmUAqn+1σn+1= 相对长度单位Aqn+1κn+1- 厘米,其中，第二行来自于归纳假设和σn+1在阶段n+1中揭示检验的事实。这就完成了（69）的归纳证明。现在，我们找到一个应用引理9，emhaq′v- cq′i≤ Em[Aqnv- cqn]+EmhAq′- Aqnσqni≤ Em[Aqnκn- cm]+EmhAq′- Aqnκni=EmhAq′κn- cmi。

（73）其中第二行来自（69）和qn的定义：关系σqn=σsn≤ κn在q′上时发生变化(∞) > qn(∞).m单调收敛定理意味着limn→∞相对长度单位Aq′κn= 相对长度单位Aq′κ∞,因此，不等式emhaq′v- cq′i≤ EmhAq′κ∞- cmi（74）从（73）开始，在极限值中为n→ ∞. 现在，回顾q′的定义，我们看到每当κ6=κ时，Aq′=0∞那Aq呢- 当κ6=v时，Aq′=0。此外，q(∞) = q′(∞) 因此cq=cq′。因此，Em[Aqv- cq]=EmhAq- Aq′vi+EmhAq′v- cq′i≤ 嗯Aq- Aq′vi+EmhAq′κ∞- cq′i=EmhAq- Aq′κi+EmhAq′κ- cmi=Em[Aqκ- 它建立（68）并完成引理的证明。下面的引理将引理1从正文第2.2小节推广到多阶段检验的设置。引理13。对于任何检验政策，我们有[Asv]- [政务司司长]≤ E[Asκ]，（75）在s未暴露时相等。引理的正式证明如下。通过将正文第2.2小节中介绍的期权理论概念相结合，可以总结出期权背后的直觉。假设第三方（“保险人”）同意将投标人的所有检查费用记入e Exchange，以获得执行价格为σ的赎回权，以及规定投标人检查政策的权利。σkis的定义属性是，如果投标人处于检查阶段，且保险人持有履约价格σk的期权，则在要求投标人立即停止或参与包含至少一个以上检查阶段的保单之间，保险人是无关紧要的。由于行使期权的价值是其执行价格的递增函数，这意味着以下两个观察结果：1。如果σk<σ，保险人必须要求投标人停止检查。2.

如果σk>σ，保险人必须要求投标人继续检查。现在考虑一个具有可重新协商的执行价格的期权，其演变如下。最初，履约价格设定为σ=σ，但当投标人达到检验阶段k，使得σk<σ时，履约价格降低为σk。现在只有两种状态：σ=σk的状态（可能是因为σ刚刚降低为σk）和σ<σk的状态，保险公司对要求投标人继续检查或立即停止检查漠不关心；在后一种情况下，她严格希望投标人继续检查。换言之，保险人对所有非风险保单漠不关心，严格地说，与风险保单相比，保险人更喜欢非风险保单。由于非敞口保单的一个例子是在第0阶段立即停止并为保险人产生零净收益的普通保单，因此必须是这样的情况：每个非敞口保单为保险人产生零预期净收益，而所有其他保单为保险人产生负预期净收益。鉴于我们对期权可再协商执行价格的动态进行了定义，通常情况下，如果投标人完成了所有检查阶段并获得了该项目，她将支付v- κ给保险公司。因此，保险公司的净收益为（v- κ) - 反恐精英。我们认为，这个量的预期值永远不是正的，当s不暴露时，它等于零，正如引理中所断言的那样。在提出了这种直觉之后，我们现在给出了形式证明。引理13的证明。不等式（75）是引理12的特例，其中q=s，r是r（ω，τ）=0对所有（ω，τ）给出的平凡检验策略。所以，我们只需要证明E[Asv]- 当s未暴露时，cs]=E[Asκ]。

为此，对于任何给定的k，首先构造将是有用的∈ N、 非公开的prom p检查策略q(∞ ) > k点方向，安第斯[Aqv]- [cq]≥ E[Aqκ]。（76）施工将在k进行归纳。对于k=0，请注意《mma 11》中定义的保单是非公开且及时的。设置q=q并应用引理11我们得到[Aqv]- [cq]≥ EAqσ- C≥ E[Aqκ]自σ≥ κ和c=0。这就完成了归纳法的基本情况。对于k>0，假设我们已经有一个非公开的即时检查策略q′，这样q′就(∞) > K- 1点方向，andEhAq′v- cq′i≥ EhAq′κi.（77）设V是所有样本点的集合，其中q′(∞) = 注意，V∈ Fk，∞.回顾引理11中定义的政策qkde，我们定义q等于qkon Vand to q′onOhm \\ 五、通过构造，q是即时的，q是(∞) > k点方向。无论如何l > 我们有(∞) > l <==> （q′）(∞) = k和qk(∞) > l) 还是q′(∞) > l,这表明事件q(∞) > l 属于Fl,0，确认q是有效的检查策略。我们关于q′是非暴露的归纳假设意味着V，q的补码中的所有样本点满足定义非暴露政策的属性。在属于V的样本点上，q′是非暴露的，并且q′是(∞) = k加在一起意味着σk=κk。这意味着q（与政策qkon V相似）在第一个点停止l > k使得σl≤ 如果是这样的话l存在，否则它完成所有检验阶段，当且仅当v>σk时获取项目。回顾σk=κk，我们看到前一种情况意味着qstop在某个阶段l < ∞ 这样∑l= κl, 后一种情况意味着q(∞) = ∞Aq=1当且仅当v>σk=κ。这就完成了q不暴露的验证。应用引理11，我们发现[1V（Aqv- cq）]=E五、Aqσk- ck= E五、Aqκ- ck, （78）其中，第二个等式使用的事实是，在V中的每个样本点，Q=1，关系σk=κ成立。

求（77）和（78）的和，并重新排列术语，我们得到Aq′+1VAq五、- cq′- 1Vcq+1Vcki≥ 嗯Aq′+1VAqκi.（79）回想一下，在集合V上，我们有q′(∞) = k、 因此，cq′=CK和Aq′=0的关系在V上逐点保持。se观测，以及q=q′的事实Ohm \\ V，暗示关系aq=1Ohm\\VAq′+1VAq=Aq′+1VAqcq=1Ohm\\Vcq′+1Vcq=cq′- 1Vck+1VCQ因此（79）简化为E[Aqv- [cq]≥ E[Aqκ]，根据需要。这就完成了归纳步骤，并确定了所声称的检验策略q forevery k的存在性∈ N.单调收敛定理意味着C∞- ck→ 0作为k→ ∞,所以对于任何给定的ε>0，我们可以选择足够大的k，使EC∞- ck< ε. 然后，我们可以选择一个非公开的即时检验政策q，这样q(∞) > kpointwise和E[Aqv- [cq]≥ E[Aqκ]。对于按点最大q定义的检验政策∨ s、 我们有∨sv- cq∨s] =E[Aqv- cq]+E[（Aq）∨s- Aq）v]- E[cq∨s- cq]>E[Aqκ]+E[（Aq∨s- Aq）κ]- ε. （80）在推导最后一行时，我们利用了（76）和k<q这一事实(∞) ≤（q）∨ （s）(∞) ≤ ∞, 所以E[cq∨s- [cq]≤ EC∞- ck< ε.现在，将引理12应用于检验策略s和q∨ s、 我们得到了- [政务司司长]≥ E[Aq∨sv- cq∨s]- E[（Aq）∨s- As）κ]>E[Aq∨sκ]- ε - E[（Aq）∨s- As）κ]=E[Asκ]- ε.由于ε>0是任意小的，我们得出结论E[Asv- [政务司司长]≥ E[Asκ]。在本证明的第一段中已经确定了质量，因此证明是完整的。在本节结束时，我们用一个关于广义覆盖买入价值的技术引理来总结，这将在续集中有用，当我们分析First Best程序和荷兰拍卖的均衡时。引理14。在v>κ的每个采样点≥ 0，e可能是一个测量值，存在一些k<∞ 使得κ=σk<infl>k{σl}.证据

对于任何k<∞ ε>0 le t Uk，ε表示样本点集，其中e[v+k Fk，∞] > σk+ε≥ ε和E[c∞k Fk，∞] < ck+ε。我们声称英国ε有measurezero。实际上，让我们来表示检查策略，它总是完成检查的所有阶段，然后如果v≥ 严格的不平等+- C∞k Fk，∞] > σk- ck（81）在英国，ε点位上保持稳定。因为As=1当且仅当v≥ 0时，方程Asv=v+在点方向上成立。自σk≥ 在Uk的每一点上0，ε，不等式为σk≤ σkholdspointwise在英国，ε。将这些关系与（81）结合起来，我们发现：- csk Fk，∞] > 作为σk- ck（82）适用于英国的每一个点，ε。另一方面，由于σK是检验，相反的不等式E[Asv- csk Fk，∞] ≤ 作为σk- 几乎在任何地方都可以点式控制。调和这两种说法的唯一方法是得出结论，英国ε的测量值为零。设V表示所有样本点的集合，在该集合处，关系[V+k Fk，∞] > 五+- ε和E[c∞k Fk，∞] < k的许多值都违反了ck+ε（83）。根据鞅收敛定理，我们得到了limk→∞E[v+k Fk，∞] = v+和limk→∞E[c]∞k Fk，∞] = C∞= 林克→∞这意味着Vε的测度为1。现在考虑setWε=Vε\\∞[k=0Uk，ε！，它也有度量值1。在Wε的任何点上都有一些k<∞ 这样的话≥ k、 这两种关系（83）都成立。然而，由于这一点不属于Ukε，因此必须是E[v+k Fk，∞] > σk+ε≥ ε不成立。换句话说，σk<0或E[v+k Fk，∞] ≤ σk+ε。如果有任何k使得σk<0，那么κ<0。否则，不管怎么说≥ k、 E[v+k Fk，∞] ≤ σk+ε。把它和（83）结合起来，我们得到了Wε的任意点，其中κ≥ 0,K≥ kv+<E[v+k Fk，∞] + ε ≤ σk+2ε（84）及因此+<林因夫→∞σk+ 2ε. （85）由于集合Wε的每一个都有ε=1的测度1。

，它们的交点W=T∞n=1W1/nhas测量值1，关系式v+≤ 林因夫→∞σkholds在W的每个点上，其中κ≥ 0.回想一下κ=min{v，κ∞} 那κ呢∞= 林克→∞κk=infk∈Nσk，我们可以得出结论，在W的任意点上，v>κ≥ 0，我们必须通知→∞σk≥ v+=v>κ=infk∈Nσk，（86），从中我们可以得出结论，（86）右侧的最大值是在一个有限的k上实现的，如果k是满足κ=σk时κ<inf的最大整数l>k{σl}.G.4第一最佳程序Reweitzman的最佳搜索程序在多阶段检查的设置中概括为以下下降优先程序。在描述该过程时，我们假设该过程的步骤是按（可能是无限的，但最多是可数的）序数进行编号的，因此提及一个或多个投标人已经完成所有（可数）检验阶段的步骤是有意义的。当我们专门针对这样一种环境，即保证投标人在执行一定数量的检查阶段后了解有关其价值的所有信息时，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设他们的检查阶段前进到k=∞ 一旦他们了解了关于右值的所有信息，然后我们就可以假设程序的步骤是由自然数而不是反式序数索引的。降序优先权程序根据每个投标人当前的检查阶段k（i）为其分配一个优先权，如下所示：如果k（i）<∞ 然后将优先级设置为广义执行价格σk（i）i；如果k（i）=∞ 然后将优先级设置为vi。在程序的每个步骤中，选择具有最高优先级的投标者ri，任意选择。如果该优先级为ne gative，我们将在不分配项目的情况下终止该过程。

如果k（i）<∞ 然后，我们对投标人i执行下一个检查阶段，增量k（i），并使用更新后的k（i）值重新计算投标人i的优先级。如果k（i）=∞ 然后我们将项目分配给投标人i并终止。为了分析授予优先权的程序，有必要为每个投标人i定义一个状态变量κi。在该程序的任何步骤中κiis设置为等于κk（i）iif k（i）<∞ , 否则|κi=κi。换句话说，在过去和现在的程序步骤中，|κi等于分配给投标人i的优先级值的上限；因此，我们将其称为她的最小优先级。下行优先级程序的以下特性将有助于其分析。引理15。在优先级递减过程的任何步骤中，除非投标人是具有最大优先级的唯一投标人，否则任何投标人的优先级和最小优先级都是相等的；在后一种情况下，她的最低优先权大于或等于所有其他投标人的最低优先权。证据通过（反式）归纳法对程序步骤进行证明。首先，当每个投标人的k（I）=0时，每个投标人的优先级等于其最小优先级。每个投标人i的优先级等于σi，而σi又等于κi。如果程序的当前步骤是后续顺序，则i表示在前一步骤结束时进行了一个阶段检查的投标人。任何投标人i′6=i不可能是唯一的最高优先级投标人（否则程序会选择i′，而不是i来执行检查阶段），因此根据归纳假设，i′的优先级和最小优先级在前一步中是相等的。由于k（i′）保持不变，y在当前步长中保持相等。至于bidde r i，在前面的步骤中，她拥有最大的优先权；根据诱导假说，这意味着她也拥有最大的优先权。

在当前步骤中有两种情况：如果她的新优先级等于hermin优先级，那么引理的结论显然是令人满意的。如果她的新优先级严格大于她的最小优先级，那么她的最小优先级必须具有前一步的保留值；这大于或等于所有其他投标人的最小优先权，因为他们也保留了后退步骤的最小优先权。如果当前步骤是限制或限制，则有两种类型的投标人需要考虑：休眠投标人，其检查计数器k（i）在程序的严格早期步骤达到其当前值，以及活跃投标人，其MK（i）=∞ 在当前步骤中，但k（i）<∞ 在所有严格的早期步骤。对于任何休眠投标人i，归纳假设保证优先级和最小优先级为等式ua l：考虑k（i）达到其当前值的最早步骤。我们知道，在这一步中，我不可能是唯一一个拥有最大优先权的投标人，否则她将被选中执行额外的检查阶段。因此，在之前的步骤中，ofi的优先级和最小优先级是相等的，并且它们随后都没有更新。另一方面，对于活跃投标人i，因为k（i）=∞ , 她的优先级等于vi，而她的最小优先级等于κi。如果vi=κi，则引理的结论适用于投标者i，因此假设vi>κi。降序优先程序从不选择具有负优先级的投标者进行检查阶段，因此κi≥ 0.现在应用引理14，我们发现有一些k<∞使得κi=σki<infl>k{σli} 。t表示优先顺序递减过程的步骤，在此过程中，投标人i被选中从检验阶段k tok+1前进。