降价最优地协调搜索

如果多个投标人同时选择退出t，没有留下任何剩余，则该项目将被分配给在t退出的投标人中的一个，该投标人统一随机选择，并支付价格t。一旦投标人检查，他们将立即退出，如果当前价格超过其实现价值，否则当价格达到其实现价值时，他们将下跌。（这是通过颤抖的手或主导的策略来实现的。）所有投标人都是对称的，并且具有以下值分布：v=概率为0.50的概率。所有投标人的成本c等于E v- L=PM-L.履约价格可由p（M）计算- σ） =c，因此σ=L2p。（注意，只要σ>L，该计算就正确，这是正确的，因为p<0.5。）特别是，设置M=pand L=p和取p将满足我们的目的→ 然而，各种参数范围也会给出结果。证据分两部分进行。首先，我们证明，在e平衡中，没有投标人要等到时间L之后才能进行检查。直觉上，这将随之而来，因为无论哪一个投标人最后检查，都会得到负的预期值（价格e超过他们的预期收益），从而导致一个解。其次，我们证明，如果所有投标人在时间L之前检查a和/或下降，福利就不会很高。直觉上，这与同时发生的第二个价格案例几乎相同，因为投标人没有关于谁发现或未能找到黑天鹅的信息。对于证明的第一部分，假设我们处于一个均衡状态，并且有一个博弈的实现，在这个博弈中，价格达到了某个t>lw（k）≥ 1.尚未进行检查的投标人。我们通过归纳剩余投标者的数量来证明，所有投标者对这个结果都有负的预期效用，给出了矛盾。

我们将使用的一个关键声明（稍后将予以证明）是：(*) 给anyk≥ 1.如果最后k个投标人同时检查，则他们都具有负预期性。特别是，如果我是唯一剩下的投标人；然后她的预期效用是v- C- t<ev- C- L≤ 0，所以是负数。现在假设有k≥ 2个剩余投标人，且存在一些投标人j正在检查的非零可能性。我们声称，等待到任何更晚的时间t′>tOact对所有其他i6=j都是严格控制的。如果j在t′之前下降，那么就有k- 1剩余投标人和归纳假设均具有负预期性。如果没有投标人在t′之前下降，则在t′下降的效用不会高于在t′，在t′检查的效用也不会高于在t。因此，所有投标人响应最好的唯一可能情况是，他们总是在t时刻同时检查；在这种情况下，索赔（*) 都有负的预期效用。因此，在eq-uilibrium中，任何时间t>L都不会进行检查：因此，以等于L的时间为条件，严格控制在决定检查或放弃之前等待更长的时间。我们现在证明索赔（*), 这取决于我们对M、L和p的选择（尽管有很多选择就足够了）。上面讨论了k=1的情况，所以让k≥ 2.ny-one投标人i的预期效用上限如下所示。投标人i始终支付检验成本c。如果任何其他投标人j 6=i发现一只黑天鹅（vj=M），则i的净收益为零。否则，如果我找到了黑天鹅，我就会- t（其中t是当前时间，因此是赢家将支付的价格）。否则（所以没有人，包括我在内，找到一只黑天鹅），我有1/k的机会最后退出，因此我将付出代价t并获得她的价值。我们将下限t除以L，因为这只会降低她获胜时我付出的代价，因此只会增加她的效用。

这允许我们放弃我以值vi=L获胜的情况，因为该值以支付的价格取消。综合这些观察结果，效用<（1- p） k-1.p（M）- 五十） +k- P(-L）- c=（1）- p） k-1.p（M）- L）-Lk- P- pM+L。请注意，严格的不一致性是由t<L得出的。特别是，如果在t>L时中标的单个投标人尚未被检查，那么插入k=1的效用是严格负的。下一步，利用效用界对k的导数，我们得到=（1）- p） k-1ln（1- p）p（M）- L）-Lk- P+ (1 - p） k-1Lk- P= (1 - p） k-1.L- Pk+kln1- P- p（M）- 五十） ln1- P≤ L- P1+ln1- P- p（M）- 五十） ln1- pusing发现这个表达在k和k中减少≥ 1.我们现在可以使用一些粗略的界限，尤其是p<和ln1-P≥ p、 可以说，效用界的导数最多是≤ L- p（M）- L）≤ 0例如，如果我们取M=pand L=p。这确保了界的导数总是负的，因此界在k中减少。但是k=1的界效用已经是0，因此所有k的效用都是负的。这完整地证明了索赔(*).对于证明的第二部分，我们现在知道，在平衡状态下，所有检查都发生在时间L或之前。我们可以使用与第二个pricecase类似的策略。设x为均衡检查的预期投标人数量。因为每个检查的投标人都有+p机会vi6=0，所以vi6=0的投标人的预期数量正好是x+ P. 我们声称，条件是我检查并发现vi6=0，此时处于平衡状态≤ 五十、 vi=M的概率等于p/+ P独立于其他一切。这是因为在时间L之前，情况vi=M和vi=L都是不可识别的（我总是呆在家里）。因此，考虑到k个投标人检查并发现vi6=0，他们中没有一个拥有Vi=M的概率是准确的1.-p+pK

因此，在一个游戏的实现中，e^x投标者检查其中的一个，k他们发现vi6=0，预期福利是最大的-1.-p+pk！+L- ^x·c.现在，使用1- Y≥ E-y/（1）-y） 对于y<1，让y=p+p（这里，y/（1））- y） =2p。）≤ M1.- E-2个+ L- ^x·c.现在，我们用x来表示预期的检查次数，因此x=E^x。同时，使用1- E-xis是凸函数和ek=x的约束+ P, 我们得到的预期福利是在莫斯特M1.- E-2个+L-x·c≤ M1.- E-2p E k+L-x·c=M1.- E-x（p+2p）+L-把这个界限写得更粗略些，可以简化这个证明的说明1.- E-xp- x·c+o（σ）。这不会改变结论，因为最优福利接近σ。这种简化之所以成立，首先是因为→ 在我们的例子中，0和2项的影响可以忽略不计；第二，最优福利是σ，L=2pσ=o（σ），所以加法L不会改变福利率。在同时的第二个价格案例中，我们可以最大化这个表达式的总x。回想一下c=p（M- σ); 最大值出现在σ=M（1）时- E-px），orx=pln1-σM.索厄尔法雷≤ σ - （M）- σ） ln1-σM+o（σ），而随着投标人数量的不同，最优福利接近sσ。为了看到这一点，请注意，最佳福利是最大覆盖呼叫值κi=min{vi，σ}；有足够多的投标人，几乎可以肯定有些投标人有κi=σ。比例接近最优≤ 1.-Mσ- 1.ln1-σM+o（1）=1-Mσln1-σM+o（1）→ 0 asMσ→ ∞.回想一下，我们特别选择了M=pand L=p，它给出了σ=。这满足了我们对Lσ的要求→ 0和σM→ 0作为p→ 0.命题3的证明。最佳策略是，群体中的R类型依次尝试寻找黑天鹅，并且只有在R类型的所有选项值耗尽或发现黑天鹅后，才允许S类型接受该对象。

当n增长到足以使nπpRis变大时，这项政策实现了约为yvr的福利，因为在发现价值损失之前，成本必须大致支付3倍。另一方面，在R类型调查之前，a类型调查的任何政策不能实现超过（1）的福利- pS）+pSvR≈ be cause vS>vR，因此一旦成功调查了一个安全选项，该调查的成本已经降低，因此不值得调查风险选项。然而，很容易看出，在BKRS程序的任何顺序平衡中，这正是概率1的情况- π. 尤其是，卖方无法区分R和S类型，因此将首先以概率1绘制S类型-π. 这种类型将获得盈余（1- pS）-从调查她的价值和出价r成为现任，假设这导致她以概率1获胜。但它会这样做，因为任何未来的买家都会知道，如果在淘汰赛拍卖中，sheenters的出价将继续进行，至少会达到vS>vR，，抹去R型或S型在下一轮调查其价值时可能获得的任何收益。因此，BKRS程序的社会福利可以任意调整为最佳社会福利的零头。B等价理论本节展示了第4节中提供的2的证明草图。将有助于在2n名投标人的样本空间中展示证据，投标人的类型和价值共同分布如下。投标人1，n的类型{θi}ni=1根据P分布，i=n+1，2n具有覆盖的对应类型θo我-n、 值v，V2n被耦合，因此vi+n=κifor i=1，n（这种耦合是可能的，因为θi+n=θoi） 而对{（vi，vi+n）}ni=1是相互独立的。权利要求1。

针对投标人的任何策略文件k+1，k+n- 1.投标人k+n的任何最佳响应在功能上等同于标准化策略。证据由于投标人k+n可以免费检查其价值，因此其战略的每一部分在功能上等同于其在尽可能早的时间检查其价值的一部分。因此，在功能等效的前提下，投标人k+n的策略完全由一个函数b（vk+n，θk+n）描述，该函数表示她将索赔该项目的价格，因为r值为vk+n，她的类型为θk+n，并且没有其他投标人索赔该项目。此外，如果v<v′但b（v，θk+n）>b（v′，θk+n），那么b不能是对投标人k+1的策略文件的最佳响应，k+n- 1.除非两个投标书b（v，θk+n），否则b（v′，θk+n）在该策略文件中获胜的概率为零。在这种情况下，b在功能上等价于一种策略，当获胜概率为零时，该策略的出价总是为零，而后一种策略由单调非递减的出价函数表示。在下一个索赔和下一个索赔中，如果投标人k检查其价值，发现vk>σk但未索赔该项目的概率为零，我们说投标人k的策略“几乎肯定在金钱中行使”。索赔2。修正任何策略文件b-kfor投标人k+1，k+n- 1、如果bk是投标人k的任何策略，几乎肯定会在资金中使用，那么bk和λ（u（bk））在功能上是等效的。如果bk+n是投标人k+n的标准化策略，那么bk+nandu（λ（bk+n））在功能上是等效的。证据

从λ和u的定义可以清楚地看出，如果投标人k在使用策略bk时以价格t获得物品，那么k+n在使用u（bk）模拟bk时也以价格t获得物品，并且k在使用λ（u（bk））模拟u（bk）时以价格t获得物品。为了证明bk和λ（u（bk））产生功能等效的结果，我们必须证明投标人k检查策略bkif下的项目，并且只有在她检查策略λ（u（bk））下的项目时。让binspk（θk）表示投标人k在使用策略bk时检查项目的时钟值；根据我们的假设，bk几乎肯定会在货币中行使，我们知道，如果vk>σk，它总是以价格binspk（θk）索赔物品。因此，当bidde r k+n使用策略b=u（bk）模拟bk时，如果vk>σk，她必须始终以价格binspk（θk）索赔物品，回想一下，映射λ是根据函数b（v）定义的，函数b（v）规定了投标人k+n在vk+n=v时对该物品的索赔价格。当n vk>σkwe有vk+n=σk时，根据前一段中的原因，必须是b（σk）=binspk（θk）。然后，通过定义λ，可以得出当时钟值为binspk（θk）时，策略λ（b）=λ（u（bk））与bk完全相同地检查项目。这就证明了bk和λ（u（bk））在功能上是等价的。由于投标人k+n的检验成本为零，这立即意味着bk+nandu（λ（bk+n））在功能上是等效的。索赔3。修正任何策略文件b-kfor投标人k+1，k+n- 1.让bk为投标人k的任何策略，让bk+nbe为投标人k+n的任何规范化策略。由uk表示，uk+n投标人k和k+n的预期效用，我们有uk（λ（bk+n），b-k） =uk+n（bk+n，b-k） （2）英国-（k）≤ 英国+n（u（bk），b-k） 。（3） 此外，等式（3）中的等式是相等的，当且仅当BK几乎肯定在金钱中行使。

投标人k对b的最佳响应-kalmost肯定会在金钱上锻炼。证据因为我∈ {k，k+n}让Ai和Ii表示事件的指标随机变量，投标人i在荷兰拍卖会上对投标人k+1……检查其价值，k+n-1播放策略文件b-k、 让我把我付的钱记下来。我们有UK=Akvk- 艾克- tkuk+n=Ak+nvk+n- Ik+nck+n- tk+n=Akκk- TKw在这里，我们使用了Ak+n=Ak和tk+n=tk，以及vk+n=κk（通过我们对耦合的构造）和ck+n=0（通过定义所涵盖的对应物）。1现在意味着索赔中所述的所有结论，但投标人k对b的最佳响应除外-kalmost肯定会在金钱上锻炼。为了证明这一说法，我们推论如下。让你*坎杜*k+n注意投标人k和k+n在与策略文件b竞价时分别能达到的最大预期效用a-k、 等式（2）表示u*K≥ U*k+n，而等式（3）表示u*K≤ U*k+n，因此两者必须相等。此外，投标人k的任何策略，如果在金钱上几乎肯定不起作用，就无法实现等式（3）中的平等，因此肯定不能成为最佳反应。相反，投标人k的每一个最佳回应几乎肯定都会体现在金钱上。索赔4。函数λ和u在k和k+n的最佳响应函数等价类上诱导相互逆双射。首先，我们必须证明λ和u是函数等价关系的前提。

如果bk+nand b′k+nare在功能上等同于bidderk+n的标准化策略，那么λ（bk+n）和λ（b′k+n）在功能上是等效的，因为这种转换使其他投标人的行为保持不变，并且投标人k在相同的锁定值下进行检查，无论她使用的是λ（bk+n）还是λ（b′k+n）；事实上，该时钟值等于投标人k+n声称其值为σ且使用bk+或b′k+n的项目的值。如果bk和b′k在功能上等同于投标人k的策略，则u（bk）和u（b′k）在功能上等同，因为转换使其他投标人的行为保持不变。在确定了λ和u是函数等价类之间的定义良好的映射之后，我们从2中知道组成λo u等于他们在功能等价类策略集上的身份，这些策略几乎肯定会在金钱上发挥作用，并且uo λ等于正规化策略的函数等价类集合上的恒等式。这两组分别包含投标人k和k+n的最佳响应集，应用1（投标人k+n）和3（投标人k）。从4中总结出2的证据，我们知道对于任何固定的策略，b-k+1，k+n-1、k和k+n的最佳响应函数等价类之间存在双射；尤其是当-krepre对投标人k+1……使用的策略进行了说明，k+n-1在荷兰拍卖的均衡中，投标人集合{k，k+1，…，k+n-1} 或者{k+1，k+2，…，k+n}。因此，在双射对应中，这两个投标集的dutchuaction的平衡点的函数e等价类是存在的。此外，这种通信保留了拍卖师的收入和每个投标人的效用，但可能的投标人k和k+n除外。

3确保这些投标人的预期效用也被保留。将k=1的平衡对应关系组合在一起，n、 我们最终获得了与投标人1，n（其类型根据P共同分布）到荷兰拍卖的均衡点，投标人n+1，2n（其类型根据P共同分布）o) 在定理陈述中断言的。C数值方法我们对我们的数值方法进行了高层次的概述，更多细节见附录F。在第5.1小节的启动校准中，我们必须在我们研究的每个场景中解决三种机制的预期问题：第一最佳、第二次价格拍卖和同步第二次价格拍卖。为此，对于每一个参数设置，我们都会重复：1。画一个{（Vi，Ci）}Ni=1.2的值。根据这些信息，为每个投标人构建一个涵盖的认购价值分布。3.使用Richard Katzwer的“AuctionSolver”软件包（Katzwer，2009）求解荷兰拍卖的均衡，以发现对称首价拍卖的均衡，投标人的价值根据预测的买入价分布。到2时，我们知道这种环境下的均衡福利等于我们环境下荷兰拍卖的均衡福利。4.使用平滑的最佳响应迭代和一些分析技巧，通过我们编写的程序求解第二次价格拍卖的均衡，我们在附录F.5中描述了该程序。