动态风险度量与动态风险度量的时间一致性研究

，T，（2.6），其中M（P）是关于P绝对连续的所有概率测度集，αmini是最小惩罚函数。Scandolo[Sca03]研究了用最小惩罚函数的性质来描述（强）时间一致性的自然问题。在[Sca03]中，作者还讨论了称为局部性的特殊属性在动态设置中的重要性。应该提到的是，地方性房地产是动态风险度量理论早期发展的一部分。例如，它在[Rie04]中被称为动态关联公理，在[Pen04]中被称为零一定律。与之前的研究类似，[Sca03]发现了时间一致性、动态风险度量的递归构造和超主动性之间的关系。Detlefsen和Scandolo[DS05]进一步研究了这些结果。在这些工作中，还证明了动态熵风险测度是一个强时间一致的凸风险测度。韦伯[Web06]继续研究离散时间环境下随机变量的动态凸风险度量，并引入了时间一致性接受和拒绝时间一致性的较弱概念。主要研究了法律不变的风险度量，并根据（X）=ρt（X）的可接受指标刻画了时间一致性≤根据形式为Nt={X |ρt（X）的接受集≤ 0}. 按照同样的思路，F¨ollmer和Penner[FP06]研究了动态凸风险度量，即强时间一致性作为递归性质的表示，并将其与贝尔曼最优性原理联系起来。他们还证明了罚函数的超鞅性质对应于弱一致性或接受/拒绝时间一致性。

此外，作者还研究了允许稳健表示的动态凸风险度量的罚函数的共循环性质（见定义A.1）。Artzner等人[ADE+07]继续研究动态风险度量的强时间一致性，它与测试概率的稳定性以及最优性原则的等价性。值得一提的是，Bion Nadal[BN04]研究了连续时间环境下的动态货币风险度量及其在模型不确定性背景下的时间一致性属性。当概率度量的类别未指定时。受风险标准优化的激励，Ruszczynski和Shapiro[RS06a]将概念从[RS06b]提升到了动态环境，主要目的是建立附录A下的条件。1.2最小惩罚函数的定义，直至符号，以及相应的机器人表示。6 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera，动态规划原理。Cheridito和Kupper[CK11]引入了动态凸风险测度的聚合器和生成器的概念，并对离散时间系统中随机变量和随机过程的时间一致凸风险测度的组成进行了深入的讨论。他们将时间一致性与一步动态惩罚函数联系起来。在本文中，我们还参考了[CDK06，CK09]。Jobert和Rogers[JR08]将估值概念作为起点，而不是接受集的动态，估值函数是风险度量的负数。引用作者的话（strong）“时间一致性是问题的核心。”Kloeppel和Schweizer[KS07]在不完全市场中使用动态凸风险度量进行估值，其中时间一致性起着关键作用。

Cherny[Che07]使用动态一致性风险度量对欧洲期权进行定价和对冲；另见[CM06]。Roorda和Schu macher[RS07]研究了动态对流风险度量的时间一致性的弱形式。Bion Nadal[BN06]继续研究动态风险度量的各种属性，包括不明确的和连续时间的，主要关注上述成分属性，从而研究强时间一致性。组合属性的特征是概率集的稳定性。作者定义了罚函数的共循环条件，并证明了其等价于强时间一致性。在随后的论文[BN08]中，作者继续研究了时间一致性在最小惩罚函数的共循环条件下的表征。有关连续时间框架的进一步相关发展，请参见[BN09b]。观察风险价值(V@R)Boda和Filar[BF06]以及Cheridito和Stadje[CS09]构建了一个时间一致性很强的替代方案V@R通过使用递归合成过程。Tutsch[Tut08]通过引入更新规则，对凸风险度量的时间一致性给出了不同的观点，并通过测试集概括了时间一致性的强形式和弱形式。动态风险度量理论的应用范围超出了监管资本要求。

例如，C herny[Che10]将动态一致性风险度量应用于风险回报优化问题，并在[Che09]中应用于资本配置；Bion Nadal[BN09a]使用dynamicrisk度量来进行时间一致性定价；Barrieu和El Karoui[BEK04，BEK05，BEK07]研究了动态风险度量下的最优衍生品设计；Geman和Ohana[GO08]探讨了通过动态风险度量管理商品组合的时间一致性；Zariphopoulouan和Zitkovic[Zv10]研究了依赖动态凸风险度量的成熟度。在Delbaen等人[DPRG10]中，作者利用g-期望及其与强时间一致性的关系建立了动态凸风险度量罚函数的表示。关于满足法律不变性的一类特殊风险度量，已有大量文献。Kupper和Schachermayer[KS09]证明了唯一相关的、定律不变的、强时间一致性的风险度量是熵风险度量。对于动态凸风险度量及其时间一致性的一般研究，我们参考[BNK12]和[BNK10]。Acciaio等人[AFP12]对离散时间系统中动态凸风险测度的各种形式的时间一致性进行了综合研究。这包括强时间一致性和弱时间一致性，用接受集表示时间一致性，以及惩罚函数的超鞅性质。我们想指出的是，在本手稿中，我们也使用了“更新规则”这个名称，尽管这里使用的概念与[Tut08]中介绍的不同。风险和绩效指标的时间一致性：关于时间动态凸风险指标的调查7Acciaio和Penner[AP11]。

这项工作涉及（本质上有界的）r和dom变量，并从鲁棒表示框架的角度检查了上述大多数论文。虽然BSDE和连续时间环境下的动态凸风险度量之间的联系已经建立了一段时间，但似乎Stadje[Sta10]是第一位通过倒向随机微分方程（BS）建立离散时间动态风险度量理论框架的作者)。由于BS的落后性 此外，风险度量的强时间一致性在将动态对流风险度量描述为BS的解时起到了关键作用锿。在一系列论文中，科恩和埃利奥特进一步研究了动态风险度量和风险度量之间的联系Es[CE10，CE11，ESC15]。F¨ollmer和Penner[FP11]发展了奈特不确定性下的动态货币风险度量理论，其中相应的概率度量不一定与参考度量绝对连续。另请参见Nutz和Soner[NS12]，了解波动性不确定性下的动态风险度量及其与G预期的关系。从稍微不同的角度来看，Ruszczynski[Rus10]在风险规避偏好的框架内研究马尔可夫风险度量，该度量在时间一致性上具有str；另见[Sha09、Sha11、Sha12、FR14]。

将动态风险度量理论中的一些概念应用于马尔可夫决策过程的动态规划研究。在最近的论文中，Mastrogiacomo和R osazza Gianin[MRG15]为次加法动态风险度量及其双重表示提供了几种形式的时间一致性。最后，我们想指出的是，在过去十年中，在发展集值风险度量的一般理论[HR08，HHR11，FR13，HRY13，FR15]方面取得了重大进展，包括它们的动态版本，其中主要考虑了强时间一致性的对应形式。我们记得，在金融应用中使用风险度量的主要目的是将金融头寸的风险水平映射到以r货币单位表示的监管货币金额。因此，任何风险度量的关键属性都是现金可加性ρ（X）-m） =ρ（X）+m。显然，我们可以将风险度量视为V@R.从某种意义上说，与风险度量概念互补的一个概念是绩效度量，它可以被认为是众所周知的夏普比率的推广。与风险度量理论不同，绩效度量理论的发展遵循公理化的方法。这是由Cherny和Madan[CM09]提出的，作者在dex中引入了一致可接受性的（静态）概念，即L上的一个函数∞R+中的值是单调的、准凹的和尺度不变的。事实上，标度变异是可接受性指数的关键属性，它将可接受性指数与风险度量区分开来，而且，通常情况下，骰子的可接受性不是现金加成的。Bielecki等人【BCZ14】针对随机过程、不确定概率和离散时间的情况，引入了一致可接受性指数的动态版本。

从现在起，我们将把性能度量、性能度量和可接受性指数作为同义词。事实证明，绩效评估的时间一致性是一个微妙的问题。所有为动态风险度量而创造的时间一致性形式都不适用于动态绩效度量。在[BCZ14]中，作者介绍了一种新的时间一致性形式，适用于动态一致性可接受性指数。设αt，t=0，1，T是一个作用于L的动态一致可接受性指数∞（即贴现终端现金流）。如果下面的含义成立，我们说αistime是一致的：αt+1（X）≥ mt=> αt（X）≥ mt，αt+1（X）≤ 新界=> αt（X）≤ 新界，（2.7）8 T.R.比莱基，I.夏兰科，M.皮特拉X∈ L∞, mt和NTA是可测量的随机变量。Biagini和Bion Nadal[BBN14]在一个相当普遍的体系中研究动态性能指标，该体系概括了[BCZ14]的结果。后来，Bieleckiet al.[BCIR13]利用[BCZ14]中发展的动态一致可接受性指数理论，提出了一个定价框架，称为动态二次曲线融资，用于离散时间的股息支付证券。时间一致性是建立动态二次曲线金融和经典套利定价理论之间联系的核心。[CM10]中引入了静态二次曲线融资，作为[BCIR13]的动机。最后，在最近的论文[BCC15，RGS13]中，作者将动态一致可接受性指标的概念提升到了亚尺度不变性能度量的情况。为此，BSDE被定义为[RGS13]和BS[BCC15]中使用了Es。关于拟凹映射的robus t表示的一般理论，包括动态Crisk测度和动态可接受性指数，请参见[FM11，BCDK16，FM14，BN16]。

在[BCDK16]中，作者还通过确定性等价的概念研究了拟凹映射的强时间一致性；另见[FM10]。据我们所知，[BCP14]是一篇将动态风险度量和动态绩效度量的时间一致性结合到一个统一框架中的论文。它使用更新规则的概念，作为在不同时间连接偏好的工具。

我们将更新规则视为调查现有时间一致性形式的主要工具。我们通过列举作品来总结这篇文献综述，我们认为这些作品与这项调查最为相关（尽管并非所有的作品都在上面提到）。动态一致性风险度量o随机变量，强时间一致性：[ADE+02b]，[ADE+02a]，[RSE05]。o随机过程，强时间一致性：[Rie04]，[ADE+07]。动态凸风险度量，随机变量，时间一致性：（离散时间）[Sca03]、[DS05]、[BF06]、[FS06]、[RS06a]、[FP06]、[CS09]、[BN06]、[GO08]、[BN08]、[CK09]、[KS09]、[AP11]、[Sta10]、[AFP12]、[CE10]、[CE11]、[ESC15][FS12]、[BCDK16]、[BCP14]、[IPS15]、[MRG15]、[RS15]；（连续时间）[RG02]、[RG06]、[FRG04]、[BEK04]、[DPRG10]、[KS07]、[BN06]、[BEK07]、[BN08]、[Jia08]、[Del12]、[BN09b]、[BNK12]、[SS15]、[NS12]、[PR14]。o一个dom变量，超级启动时间一致性：[Sca03]，[DS05]。odom变量、接受/拒绝时间一致性：[Web06]、[FP06]、[AFP12]、[RS07]、[Tut08]、[AFP12]、[BCP14]、[RS15]。o随机过程，强时间一致性：（离散时间）[Sca03]，[BCP14]，（连续时间）[JR08]动态货币风险度量，强时间一致性：（离散时间）[CK11]，[CDK06]；（连续时间）[BN04]，[FP11]。动态可接受性指数：[BCZ14]，[BBN14]，[BCIR13]，[RGS13]，[BCDK16]，[FM14]，[BCP14]，[BCC15]。3个数学预备小测验(Ohm, F、 F={Ft}t∈T、 P）为过滤概率空间，F={Ohm, }, T={0，1，…，T}，其中T∈ N是一个固定且有限的时间范围。我们还将使用符号T′={0，1，…，T- 1}.对于G 我们用L表示(Ohm, G、 P）和(Ohm, G、 P）所有G-可测随机变量的集合，其值为(-∞, ∞) d[- ∞ , ∞], 分别地

此外，我们还使用了风险和绩效指标的时间一致性：调查9Lp（G）：=Lp(Ohm, G、 P），Lpt:=Lp（Ft）和Lp:=Lpt，对于P∈ {0, 1, ∞}; 类似地，我们定义了Lt。我们还使用符号Vp:={（Vt）t∈T:Vt∈ Lpt}，对于p∈ {0, 1, ∞}.此外，我们使用M（P）来表示所有概率测度的集合(Ohm, F） 这绝对是关于toP的连续体，我们设置Mt（P）：={Q∈ M（P）：Q | Ft=P |Ft}。在本文中，X与随机变量空间Lp或适应过程空间Vp有关。如果X=Lp，则元素X∈ X被解释为贴现终端流量。在另一个h和d上，如果X=Vp，那么X的元素被解释为不可分解的可分解过程。为X=VP开发的所有概念都可以很容易地适用于累计贴现值p过程的情况。随机变量的情况可以被视为随机过程的一个特例，通过只考虑最终支付的现金流，即v=（0，…，0，VT）的随机过程。然而，为了透明起见，我们单独处理了这个案例。在这两种情况下，我们考虑标准的逐点顺序，几乎可以肯定地理解。在下文中，我们还使用了乘法运算符den，定义为：m·tV:=（V，…，Vt）-1，mVt，mVt+1，…），m·tX:=mX（3.1）表示V∈（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报, 十、∈ 五十、 m∈ L∞t、 和t∈ T.为了简化记法，如果出现noconfusion，我们从上面的乘积中删除·T，然后我们只写mV和mX，而不是m·tV和m·tX。无论如何∈ T我们设置{T}：=（0，0，…，0 |{z}t，1，0，0，…，0），如果X=Vp，如果X=Lp，则为1。对任何人来说∈Lt，值m1{t}对应于时间t时收到的大小为m的现金流。对于随机变量，我们使用此符号来表示更统一的定义（见附录a.1）。备注3.1。