动态风险度量与动态风险度量的时间一致性研究

动态盈亏比（dGLR）是另一种常用的性能指标，它从本质上改善了Sharpe rawb rawb Racks的一些性能（例如正回报的Aspenalization），它由预期回报与预期损失的比率给出。正式地说，对于X=V，dGLR定义为φt（V）：=（E[PTi=tVi | Ft]E[（PTi=tVi）-|Ft]，如果E[PTi=tVi |Ft]>0,0，则为。（7.10）有关dGLR的各种属性和双重表示，请参见[BCZ14，BCDK16]。在[BCZ14]中，假设Ohm 最后，作者证明了dGLR是半弱接受和半弱拒绝时间一致的。为了完整性起见，我们将在这里展示dGLR issemi弱接受时间一致性。假设t∈ T′，和V∈ 十、鉴于第6.7条的定义，有必要证明φt（V）≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））+{Vt<0}(-∞). （7.11）在集合{Vt<0}上，不等式（7.11）是微不足道的。由于非负性和局部性，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设其输入（Βt+1（V））>0。自，аt+1（V）≥ 根据信息，我们有[TXi=t+1Vi | Ft+1]≥ ess inft（νt+1（V））·E[（TXi=t+1Vi）-|Ft+1]。（7.12）使用（7.12）我们得到{Vt≥0}E[TXi=tVi|Ft]≥{Vt≥0}E[E[TXi=t+1Vi | Ft+1]| Ft]≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））·E[{Vt≥0}E[（TXi=t+1Vi）-|英尺+1]|英尺]≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））·E[（TXi=tVi）-|[Ft]。（7.13）注意，ess inft（Фt+1（V））>0意味着Фt+1（V）>0，因此E[PTi=t+1Vi | Ft+1]>0。因此，在集合{Vt≥ 0}，我们有[TXi=tVi|Ft]≥ E[E[TXi=t+1Vi | Ft+1]| Ft]>0。我们将最后一个不等式与（7.13）结合起来，得出结论。示例7.6（动态熵风险度量）。熵风险测度是一种经典的凸风险测度。其动态版本（直至负号）定义如下：=γlne[exp（γX）| Ft]如果γ6=0，E[X | Ft]如果γ=0，（7.14）其中X∈ X=L∞, T∈ T.参数θ=-γ通常被称为风险规避参数。

可以证明，对于γ≤ 0，map是一个动态凹效用度量，风险和绩效度量的时间一致性：调查31和任何γ∈ R、 该映射具有很强的时间一致性（参见[KS09]）。由于它也是一种可加性，所以强时间一致性意味着弱拒绝和弱接受时间一致性。此外（详见[KS09，BCP15]），{~nγt}t∈当且仅当γ时，时间一致≥ 0，且次鞅时间一致当且仅当γ≤ 0.示例7.7（具有非常数风险规避的动态熵风险度量）。在e上，通过采用依赖时间的风险规避参数，可以推广动态熵风险度量（7.14）。设γtt（X）=γtln E[exp（γtX）| Ft]如果γt6=0，E[X | Ft]如果γt=0，（7.15），其中{γt}t∈γt∈ L∞t、 t∈ T.在[AP11]中已经表明，{~nγtt}T∈强时间一致当且仅当{γt}t∈这是一个常数过程，它是中间接受时间一致的当且仅当{γt}t∈这是一个非递增过程，并且它是中间排斥时间一致的当且仅当{γt}t∈这是非递减的。例7.8（动态确定性等效）。动态确定性等价物形成了一大类动态风险度量，其中动态熵风险度量是一个特例。在这个例子中，在[KS09]之后，我们考虑一个有限的时间范围，取T=N和X=L∞. 欢迎你→R是R上的一个严格递增连续函数，即严格递增R上的一个D连续函数，U（±∞) = 画→±∞U（n）。设φ={φt}t∈定义单位：t（X）=U-1（E[U（X）| Ft]），X∈ X，t∈ T.（7.16）可以很容易地检查出ψ是一种时间一致性很强的动态LM测量。它属于所谓的动态确定性等式[KS09]。

在[KS09]中，作者证明了everydynamic LM测度，它是有限的、规范化的、严格单调的、连续的、定律不变的，承认了Fatou性质，并且具有强时间一致性，对于某些情况，它可以表示为（7.16）。我们还参考[BBN14]了解动态确定性等价物的更一般方法（例如，使用随机效用函数U），并参考[BCDK16]了解过程确定性等价物的定义。例7.9（动态风险敏感标准）。在[BCP15]中，作者引入了动态极限增长指数（dLGI）的概念，该指数旨在衡量金融投资组合在离散时间内的长期表现。风险敏感标准的动态模拟（参见[Whi90，BP03，DL14]及其参考文献）是dLGI的一个特例。我们考虑一个有限的时间范围设置，T=N，以及以下适合我们需要的空间PLN:={（Wt）T∈T:Wt>0，ln-Wt∈ Lpt}。为了与[BCP15]保持一致，我们将X元素视为某些金融证券投资组合的累积价值过程，其可积增长表示为累积对数回报（请注意，在本文的其他地方，股票过程代表股息流）。设φγ={φγt}t∈Tbe由t（W）定义=lim infT→∞Tγlne[WγT | Ft]，如果γ6=0，则lim infT→∞TE[ln WT | Ft]，如果γ=0，（7.17），其中γ是固定实数。在[BCP15]中证明，Дγ是性能的动态度量，u-验收时间与ut（m）=E[m | Ft]，t一致∈ T、 当且仅当γ>0，且u-拒绝时间一致，特别是当且仅当γ<0.32 T.r.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera7。1.示例分类下表旨在帮助读者浏览上述与本文研究的各种时间一致性相关的示例。

为了时间一致性，我们将使用以下缩写：WA-弱接受度；WR——弱排斥；sWA——半软验收；sWR——半弱排斥；MA——中等接受度；MR-中间拒绝；STR强；亚-亚马尔代夫；超级马丁纳歌。如果一个单元格标有复选标记，则表示时间一致性的相应属性已满足；否则，该房产总体上不令人满意。我们注意到例子7。由于示例的不同性质，表中未显示9。dGLI评估一个过程V，但它是通过一个限制程序来进行的，这实际上是在评估过程T=∞.” 我们请读者参考[BCP15]来详细讨论该度量的各种属性。X WA WR sWA sWR MA MR STR子示例7.1 LpX X X XExample 7.2 LpX X XExample 7.3 VpXExample 7.4 VpXExample 7.5 VpX XExample 7.6γ≥ 0LpXγ≤ 0 X X示例7.7γt↓LpX*γt↑ X X X X**示例7.8 LpX*如果γt≥ 0,**如果γt≤ 0A附录这里我们简要阐述了本文中使用的三个基本概念：动态度量、条件本质上/下和LM扩展。A.1动态LM测量设X表示第3节所述的随机变量或适应随机过程的空间。我们首先列出动态LM度量可能享有的附加属性。设ψ为动态LM测量值。

如果φt（X+Y），我们说φ是超加性的≥ t（X）+t（Y）；o如果φt（0）=0，则标准化现金加法，如果φ（X+m1{t}）=φt（X）+m如果φt（λ·tX+（1）是准凹的- λ） ·泰）≥ ~nt（X）∧ t（Y）；o如果φt（λ·tX+（1）为凹形- λ） ·泰）≥ λ~nt（X）+（1）- λ） t（Y）；o当φt（β·tX）=φt（X）时的标度不变量如果φt（β·tX）=βφt（X），则为正齐次；风险和绩效指标的时间一致性：调查33o关于拓扑η的下半连续性，如果{Z∈\'Lt||t（X）≤ Z} η是封闭的关于拓扑η的上半连续，如果{Z∈\'Lt||t（X）≥ Z} 对于任意X，Y，η是闭的吗∈ X，t，s∈ T、 使得s>T，和m，λ，β∈ Lpt，因此0≤ λ ≤ 1、β>0和kβk∞< ∞. 此外，如果X=Vp，那么我们说如果φt（X）=φt（X），则φ与过去无关- 0.tX）；o如果φt（X+m1{t}）=φt（X+m1{s}），平移不变量。最后两个p属性会自动满足f或X=Lp。上述大多数房产都有自然的财务解释。例如，准连续性、凹性或超加性对应于投资组合多元化的积极影响。参见[FS10，CM09]了解更多详细信息以及上述其他房地产的财务解释。接下来，我们回顾Fatou性质，Lebesgue性质，以及法律不变性性质。为了简单起见，我们在随机变量的情况下给出了它们。

我们认为，动态LMmeasure~n允许oFatou属性，如果~nt（X）≥ 林尚→∞t（Xn）；oLebesgue性质，如果φt（X）=limn→∞~n（Xn）；o当定律（X）=Law（Y）时，定律不变性质；无论如何∈ T、 X，Y∈ X和任意支配序列{Xn}n∈确认Xn∈ Lpand Xna。s--→ X.A.1.1动态LM度量的类别我们说，动态LM度量是o动态货币效用度量，或者简称为动态效用度量，如果是平移不变的、独立于过去的、标准化的、单调的和现金相加的动态凹面实用性测量，如果φ是动态实用性测量，且为凹面动态一致效用测度，如果是动态效用测度，则为正齐次，且为超加性动态性能度量，如果φ是自适应的、平移不变的、依赖于过去的、单调递增的和尺度不变的动态可接受性指数，如果ψ是一个动态性能度量，并且它是准凹的。需要强调的是，在文献中，通常使用动态（货币、凹形或相干）效用测度的负值，并将其称为动态（货币、凸形或相干）风险测度。关于拓扑η是闭合的；如果η从上下文中是清晰的，我们将简单地写出f是lowersemi连续的。如果X=Lp，则我们使用由k·kpnorm（详见[FS04，附录A.7]）诱导的拓扑结构。这意味着存在着∈ 为所有人祈祷∈ N我们有| Xn |≤ |Y | 34 T.R.Bielecki，I.Cialanco，M.PiteraA。1.2动态货币效用测度的稳健表示研究了一般动态货币效用测度的稳健表示，而不仅仅是动态货币效用测度。

然而，在本文中，我们只使用r和dom变量的动态货币效用度量的鲁棒表示，这就是为什么我们在这里的讨论仅限于这种情况。因此，我们取X=lp表示固定的p∈ {0, 1, ∞}.让~n成为一个动态的货币效用度量。我们与以下对象系列有关：o接受集和拒绝集，用A={At}t表示∈Tand R={Rt}t∈T、 分别，其中：={X∈ Lp:~nt（X）≥ 0}，Rt:={X∈ Lp:~nt（X）≤ 0}.o 用{At，s:t，s表示的条件接受集和条件拒绝集∈ T、 s>T}和{Rt，s:T，s∈ T、 s>T}，其中T，s:={X∈ Lp∩\'Ls:~nt（X）≥ 0}，Rt，s:={X∈ Lp∩\'Ls:~nt（X）≤ 0}.o 由αmin={αmint}t表示的最小惩罚函数∈T、 式中：M（P）→\'R由αmint（Q）给出：- ess infX∈AtEQ[X |英尺]。o由{αmint，s:t，s表示的条件最小惩罚函数d∈ T、 s>T}，其中αmint，s:M（P）→\'LTI由αmint给出，s（Q）：=- ess infX∈在，sEQ[X | Ft]。本文经常使用以下重要定义。定义A.1。让~n成为一个动态的货币效用指标。如果νt（X）=ess infQ，我们称之为Д可表示∈M（P）等式[X | Ft]+α薄荷（Q）, （A.1）对于任何X∈ 十、这种类型的表示称为稳健表示或数值表示。此外，这种表示具有动态凹效用度量的特征，该度量承认了法头属性。A.2条件期望和条件本质上确界/内确界我们在这里介绍了广义条件期望和条件本质上确界和内确界的一些相关性质，在“L.命题A.2”的背景下。

对于任何X，Y∈土地s，t∈ T、 s>T，它认为1）E[λX | Ft]≤ λ的λE[X | Ft]∈ 对于λ，Lt和E[λX | Ft]=λE[X | Ft]∈ Lt，λ≥ 0;2） E[X |英尺]≤ E[E[X | Fs]| Ft]和E[X | Ft]=E[E[X | Fs]| Ft]表示X≥ 0;3） E[X |英尺]+E[Y |英尺]≤ E[X+Y | Ft]和E[X | Ft]+E[Y | Ft]=E[X+Y | Ft]，如果X，Y≥ 0.风险和绩效衡量的时间一致性：调查35有关证据，请参见[BCP14，命题a.1]。备注A.3。命题A中的所有不等式。2可以很严格。假设t=0，k，s∈ T、 k>s>0，设ξ∈ Lkbe使得ξ=±1，ξ独立于Fs，且P（ξ=1）=P（ξ=-1) = 1/2. 我们考虑Z∈ 是这样的≥ 0和E[Z]=∞. 取λ=-1，X=ξZ=-十、 我们在1）、2）和3）中得到了严格的不等式。我们继续介绍与第3节（见a.2）中所述定义相同的条件必要条件的定义。我们首先回顾了有界随机变量的条件本质界的定义。为了X∈ L∞和t∈ T、 wedenote由ess inftX生成唯一的（最多一组测量零）Ft可测量的随机变量，这样对于任何∈ Ft，以下等式成立infω∈AX=ess infω∈A（ess inftX）。（A.2）我们将该随机变量称为X的Ft条件必要变量。因此，我们需要支持（X）：=- ess inft(-十） ，X的Ft条件本质上确界∈ L∞. 读者参考[BCJ03]以证明条件本质上限/下限的存在和不唯一性。因此，对于任何t∈ T和X∈L，我们在FIM byess inftX中定义了Ft条件基本要素：=limn→∞hess inft（X）+∧ n） 我- 画→∞赫斯主管（X）-∧ n） i.（A.3）分别，我们将ess supt（X）：=- ess inft(-十） 。提议A.4。

对于任何X，Y∈\'L，s，t∈ T、 s≥ t、 还有∈ F下列性质成立，1）ess infω∈AX=ess infω∈A（ess inftX）；2） 如果∈AX=ess infω∈为了一些你∈\'Lt，然后U=ess inftX；3） X≥ ess inftX；4） 如果Z∈\'Lt，是这样的≥ Z、 然后ess inftX≥ Z5） 如果X≥ 是的，然后按inftX≥ ess inftY；6） Aess inftX=Aess inft（AX）；7） ess infsX≥ ess inftX；类似的结果适用于{ess supt}t∈T.案例X，Y的证据∈ L∞可在[BCJ03]中找到。因为任何∈ N和X，Y∈“L，我们得到了X+∧ N∈ L∞, 十、-∧ N∈ L∞, 还有X+∧ 十、-= 0，将证明扩展到案例x，Y∈“这很简单。值得一提的是，属性3）和4）来自命题A。4意味着条件感知最小信息（X）可以定义为最大的Ft可测量随机变量，其小于X（参见[BCJ03]）。接下来，我们定义了一个（可能不可数）随机变量族的ess inf和ess sup的广义版本。为{Xi}i∈一、 Xi在哪里∈“L，我们是内奸。”∈IXi:=limn→∞赫斯·英菲∈I（X+I）∧ n） 我- 画→∞赫斯苏比∈I（X）-我∧ n） i.（A.4）36 T.R.Bielecki，i.Cialanco，M.PiteraNote指出，鉴于[KS98，附录A]，ess infi∈伊克西∧ n和ess supi∈伊克西∧ n定义明确，因此ess infi∈IXII定义明确。需要注意的是，（A.4）右侧的操作保持了可测量性。特别是如果Xi∈ 尽管我∈ 一、 然后是英菲∈伊克西∈ Ft.此外，如果有i，j∈ 一、 这里有k∈ 一、 这样Xk≤ xi∧ Xj，那么在∈ 一、 n∈ N、 这样{Xin}N∈Nis非递增和ess infi∈IXi=infn∈NXin=limn→∞欣。类似的结果适用于ess supi∈伊克西。A.3 LM扩展在附录的这一部分中，我们介绍了随机变量动态LM测量的LM扩展的概念。定义A.5。设φ为Lp上的动态LM测量值。

我们称一个族为b~n={b~nt}t∈Tof mapsb~nt:\'L→如果f或任何t∈ T、 b|T|X≡ ηt和bt是局部单调的。我们将在下面展示这种扩展的存在，我们将使用以下辅助集：Y+A（X）：={Y∈ 是的≥AX}，Y-A（X）：={Y∈ 是的≤AX}，为任何X定义∈“着陆”∈ F.定义A.6。设ψ为动态LM测量值。函数的集合φ+={φ+t}t∈T、 式中：φ+T:\'L→\'\'LTI定义为+t（X）：=ess infA∈FthAess infY∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac(+∞)i、 （A.5）被称为а的上LM延伸。分别是函数的集合-= {Д-t} t∈T、 在哪里-t:\'L→\'Lt，和-t（X）：=ess supA∈是苏比吗∈Y-A（X）~nt（Y）+Ac(-∞)i、 （A.6）被称为下LM的延伸。n ext resu lt显示，Β±是两个“极端”延伸，任何其他延伸都夹在它们之间。提议A.7。设ψ为动态LM测量值。然后呢-和~n+是~n的LM扩展。此外，设bа是а的LM扩展。那么，对于任何X∈土地∈ T、 ~n-t（X）≤ b~nt（X）≤ ~n+t（X）。（A.7）显然，总体而言，地图（A.5）和（A.6）不相等，因此anLM度量的扩展不是唯一的。备注A.8。让我们∈ T和B“\'Lbe以至于，对于任何∈ 英国航空公司 B、 andAB+AcB B.作为命题a的推广。7，可以证明，对于任何Ft-lo-cal和单调映射f:B→Lt，与（A.5）和（A.6）类似定义的映射f±1是f到L的扩展，保持局部性和单调性。也就是说，它满足了“L”的单调性和局部性，如命题A中的5）和6）所示。4.我们将使用惯例ess sup = -∞ 和ess inf = ∞.也就是说，B.风险和绩效指标的时间一致性：a.9.一项调查。对于一大类LM测度，如前所述，存在一个“鲁棒表示”类型定理，本质上是一个表示，通过凸对偶，作为条件透视的函数。