动态风险度量与动态风险度量的时间一致性研究

，0，VT）。最后，我们注意到，更新规则允许所谓的嵌套组合属性（cf[RS06b，Rus10]），ut，s（m，V）=ut，t+1（ut+1，t+2（…us）-2.s-1（微秒）-1，s（m，V，V）。V），V），（6.3）我们认为u-接受（分别u-拒绝）时间一致性相当于一步u-接受（分别u-拒绝）时间一致性。这就是为什么我们只考虑随机过程的一步规则的另一个原因。6.1弱时间一致性我们从以下定义开始。定义6.3。VP上的动态LM测量值是弱接受（或弱拒绝）时间一致的，如果φt（V）≥ ess inftаt+1（V）+Vt（分别аt（V）≤ 对于任何V∈ Vpt和Vpt∈ T、 使T<T。下一个结果是命题5的对应结果。2和命题5.3。提议6.4。设φ为Vp上的动态LM测量值。以下属性是等价的：我们记得VP的t元素被解释为折扣dividend进程。风险和绩效指标的时间一致性：一项调查231）~n的时间一致性较弱。2） u是u-接受时间一致的，其中u是s-不变更新规则，由ut（m，V）=ess inftm+Vt.3）为任何V∈ Vp和t<tаt（V）≥ ess infQ∈Mt（P）等式[~nt+1（V）| Ft]+Vt.（6.4）4）适用于任何V∈ Vp、t<t和mt∈\'Lt，аt+1（V）≥ mt=> ~nt（V）≥ mt+Vt。此外，如果φ是一个动态的货币风险度量，则上述属性与任何V的5）等价∈ Vp和t<t，νt+1（V）≥ 0=> ~nt（V）≥ 对于弱的拒绝时间一致性，类似的等价物是正确的。命题的证明。4类似于命题5.2和命题5.3的证明，我们省略了它。如前所述，更新规则，以及随机过程的时间一致性，也取决于时间t的过程值（支付的股息）。

在weaktime一致性的情况下，这个特性被解释为：如果明天，在时间t+1，我们接受V∈ Vp在高于mt+1的级别∈ Ft+1，那么今天在时间t，我们将接受V至少为level-less-inftmtmt+1（即与信息Ft相适应的最差mt+1水平）加上今天收到的股息。最后，我们给出了命题5的对应部分。4对于随机过程的情况。提案6.5。设φ为随机变量的投影更新规则，随机过程的更新规则u由ut，t+1（m，V）=φt（m）+Vt，m给出∈\'Lt+1，V∈ 副总裁。（6.5）如果ν是Vp上的动态一步LM测量，它是u-接受（或u-拒绝）时间一致的，那么Ф是弱接受（或弱拒绝）时间一致的。命题6.5的证明方式与命题5.4的证明方式类似。备注6.6。命题陈述。如果我们将（6.5）替换为ut，t+1（m，V）=φt（m+Vt），m，则5仍然为真∈\'Lt+1，V∈ 副总裁。事实上，值得注意的是，对于任何V∈ Vp和t<t，νt（V）≥ ut，t+1（ut+1（V），V）=φt（ut+1（V）+Vt）≥ φt（ess-inft[~nt+1（V）+Vt]）=ess-inft[~nt+1（V）+Vt]≥ 信息+1（V）+Vt.24 t.R.比莱斯基，I.恰伦科，M.皮特拉6。2半弱时间一致性在本节中，我们介绍了随机过程的半弱时间一致性的概念。我们没有讨论随机变量情况下的半弱时间一致性，因为在这种情况下，半弱时间一致性与弱时间一致性重合。正如[BCZ14]所示，在撰写该论文时，文献中存在的时间一致性形式都不适用于比例不变的地图，如可接受性指数。事实上，在尺度不变映射的情况下，即使随机过程（如本文所定义）的弱接受和弱拒绝时间一致性也太强。

这就是为什么我们引入了一个较弱的时间一致性概念，我们将其称为assemi弱接受和半弱拒绝时间一致性。接下来介绍的随机过程的半弱时间一致性概念非常适合于尺度不变映射；我们请读者参阅[BCZ14]，详细讨论此类地图及其双向表示的时间一致性。定义6.7。设φ为Vp上的动态LM测量值。那么，如果φt（V），则φ是半弱一致的≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））+1{Vt<0}(-∞), f或全部V∈ 副总裁，t∈ T、 T<T，如果φT（V）为半弱排斥时间一致≤{Vt≤0}ess supt（νt+1（V））+1{Vt>0}(+∞), f或全部V∈ 副总裁，t∈ T、 T<T。显然，随机过程的弱接受/拒绝时间一致性意味着半弱接受/拒绝时间一致性。接下来，我们将证明s emi弱时间一致性的定义实际上等同于[BCZ14]中引入的时间一致性。提案6.8。设φ为Vp上的动态LM测量值。以下属性与1）а的时间一致。2） ν是一步u-接受时间一致，其中（广义）更新规则由ut，t+1（m，V）=1{Vt给出≥0}ess inftm+1{Vt<0}(-∞).3） 对所有人来说∈ 副总裁，t∈ T、 T<T和mt∈\'Lt，这样Vt≥ 0ut+1（V）≥ mt==> ~nt（V）≥ mt。对于半弱拒绝时间一致性，类似的结果也是如此。有关证明，请参见[BCP14，命题4.8]。命题6中的属性3）。8，这是[BCZ14]中对（承兑）时间一致性的定义，最能说明半弱承兑时间一致性的财务意义：如果明天我们接受股息流V∈ 在MTA级别，如果我们今天在t时间获得正股息，那么今天我们至少在MTA级别接受现金流V。

对于半弱拒绝时间一致性，相似解释是有效的。接下来的两个结果很重要。特别是，他们概括了[BCZ14]中关于现金附加风险度量和可接受性指数之间的对偶性的研究。在[BCZ14]中，作者将半弱接受和拒绝时间一致性结合到一个单一定义中，称之为时间一致性。风险和绩效指标的时间一致性：调查256.9。设{~nx}x∈R+是Vp上动态LM度量的递减家族。假设每x∈ R+，νxis弱接受（或弱拒绝）时间一致。然后是{αt}t家族∈Tof映射αt:Vp→由αt（V）定义：=ess supx∈R+{x{~nxt（V）≥0}，（6.6）是半弱接受（或半弱拒绝）时间一致的动态LM度量。有关证明，请参见[BCP14，命题4.9]。值得注意的是，（6.6）中定义的αt（V）也可以写成αt（V）=sup{x∈ R+| |xt（V）≥ 0}. （6.7）提案6.10。设{αt}t∈Tbe是一个动态LM度量，它独立于过去和平移不变量。假设{αt}t∈它是半弱接受（或半弱拒绝）时间一致的。那么，对于任何x∈ R+，族аx={аxt}t∈Tof映射аxt:Vp→“”“ltdefined by~nxt（V）：=ess infc∈R{c{αt（V）-c1{t}）≤x} （6.8）是一个弱接受（或弱拒绝）时间一致的动态LM度量。有关证明，请参见[BCP14，命题4.10]。在下面的内容中，我们将使用（6.8）中定义的аxt（V）也可以写成аxt（V）=inf{c的事实∈ R |αt（V）- c{t}）≤ x} 。（6.9）这种双重表征，即（6.6）和（6.8），或等效的（6.7）和（6.9），出现在[CM09]中，作者研究了静态（一段时间）案例。随后，在[BCZ14]中，作者将这些结果推广到具有特殊相位的随机过程的情况。

与[BCZ14]的结果相反，命题6.9和6.10考虑的是任意概率空间，而不仅仅是有限概率空间。6.3强时间一致性让我们从强时间一致性的定义开始。定义6.11。设φ为Vp上的动态LM测量值。那么，如果vt=V′和φt+1（V）=φt+1（V′，则称φ是强时间一致的==> νt（V）=νt（V′，对于任何V，V′）∈ Vpt和Vpt∈ T、 使T<T。现在，让我们介绍命题5的对应部分。8.提案6.12。设φ为Vp上的动态LM度量，它独立于过去。以下特性是等效的：1）ψ具有很强的时间一致性。一个以x为索引的族∈ R+，映射{~nxt}t的∈T、 如果φxt（X），则称为递减≤ 所有X的φyt（X）∈ X，t∈ T和x，y∈ R+，比如x处的th≥ y、 见附录A。1.详细信息。26 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera2）存在一个更新规则u，以便：∈ T′，m∈\'左，右，右\'∈ 满足vt=V′t，我们有ut，t+1（m，V）=ut，t+1（m，V′）；该系列同时具有一步u-接受和一步u-拒绝时间一致性。3） 存在一个更新规则u，使得对于任何t<t和V∈ Vp~nt（V）=ut，t+1（ηt+1（V），1{t}Vt）。与随机变量的情况一样，V上的动态货币风险度量通常考虑强时间一致性∞. 在这种情况下，可以建立其他等效属性。为了简洁起见，我们跳过了细节，只展示了一系列等价属性的一般概念。这一想法植根于一个强时间一致性动态LMmeasures的特定构造。推论6.13。设u为随机变量的更新规则。

设e k为动态LM测量值∞由以下公式给出：△T（V）=VT△T（V）=uT，T+1（△T+1（V））+VT，那么，△是一个在V上的强时间一致性动态LM度量∞.关于这一观点和其他同等性质的更详细解释，请参见[CK11]或[RS06b]。6.4其他类型的时间一致性其他类型的随机过程时间一致性可通过第5节中的类似定义来定义。4 f表示随机变量的情况。为了简洁起见，我们在这里只讨论从动态LM度量导出的更新规则。首先，给定Vp上的动态LM度量，我们用eа表示映射族eаt:Lpt+1→\'-ltt（X）：=int（1{t+1}X），用于t∈ T′。（6.10）由于φ在Vp上是单调的和局部的，因此显然，eφ在Lpt+1上是局部的，而m在otone上是局部的。下一步，对于任何t∈ T′，我们扩展了etto′Lt+1，保留了局部性和单调性（参见RemarkA.8），这个扩展产生了一个一步更新rule。例如，通过将给出的更新规则u取为ut，t+1（m，V）=eu来获得中间接受时间一致性-t（m+Vt），t∈ T′，其中e-t:\'Lt+1→“LTI定义如（A.6）所示，集合Y-A（X）被y取代-t、 A（X）：={Y∈ Lpt+1 | AY≤AX}，X∈\'Lt+1.6.5结果分类在流程图2中，我们总结了第6节中调查的结果。我们将流程图中的每个箭头（含义或等效性）标记为正方形数字，并将标签与相关结果联系起来。

此外，我们会在适当的时候对converse imp应用提供评论。命题6。4,5）风险和绩效度量的时间一致性：调查27图2：随机过程验收时间一致性的结果总结≥ 0=> ~nt（V）≥ Vtif洎是另外一种货币效用度量洎t+1（V）≥ mt=> ~nt（V）≥ mt+VT动态LM测量值为弱接受一致性（V）≥ ess inftаt+1（V）+VT动态LM测量аisSemi弱接受一致性аt（V）≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））+{Vt<0}(-∞)是一步u-接受组成和ut，t+1（m，V）=φt（m）+Vt（φi s投射）是一步u-接受和u-拒绝一致性ut，t+1（m，V）=ut，t+1（m，1{t}Vt）动态LM测量=> νt（V）=νt（V′，对于V，V′）∈ X，使得Vt=V′tifut，t+1（m，V）=φt（m）+Vt，φ是投影命题6。命题。命题。5职位6。5.另请参见。命题6。12.备注6.14。流程图2中的含义和相反一般不成立；可以使用与r和dom变量相同的反例。关于一个反例，显示了事物的逆命题通常不成立，见例7。3.7示例在本节中，我们提供的示例说明了动态风险度量和动态绩效度量的不同类型的时间一致性，以及它们之间的关系。我们认为，根据本文采用的约定，代表风险度量的动态LM度量是经典度量的否定。基于这种理解，在下面代表风险度量的示例标题中，我们将跳过“负面”一词。示例7.1（风险价值(V@R)). 设X=Landα∈ (0, 1). 我们用φαt（X）和Xαt（X）的条件α分位数表示：=ess sup{Y∈ Lt | P[X≤ Y |英尺]≤ α}. （7.1）28 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M。

根据我们的惯例，有条件的V@R定义为V@Rαt（X）：=-αt（X）。映射族{~nαt}t∈这是一个动态的货币效用指标。它在{~nαt}t是众所周知的∈时间一致性不强；详见[CS09]。然而，它是弱接受和弱拒绝时间一致的。的确，如果αs（X）≥ 0，对于某些s>t和X∈ 五十、 对于任意<0，我们得到P[X]≤ | Fs]=E[{X≤}| Fs]≤ α、 安第斯山脉≤}Ft]=E[E[{X≤}| Fs]| Ft]≤ α.由于<0是任意选择的，因此我们得到αt（X）≥ 因此，根据命题5。3，{~nαt}t∈时间是一致的。现在，我们假设αs（X）≤ 然后，由于条件期望的局部性，我们得到了E[{X≤}| Fs]>α，对于任何>0。事实上，如果P[E[{X≤}| Fs]>α]<1，则存在一个Fs可测集，其上有正测度[{X]≤}| Fs]≤ α.拿任何一个Y\'∈ 使得E[{X≤Y′}|Fs]≤ α、 我们知道对于Fs可测随机变量z:=A+AcY′我们得到e[{X≤Z} |Fs]=AE[{X≤Z} |Fs]+AcE[{X≤Z} |Fs]=AE[{X≤}Fs]+AcE[{X≤Y′}|Fs]≤ α.因此，0≥ ess sup{Y∈ Ls | P[X≤ Y | Fs]≤ α} ≥ Z、 这导致了矛盾。因此，对于任何∈ Ltand>0，我们得到[{X≤Y}|英尺]≥ E[{X≤<Y}|Ft]=E[{X≤{Y>}| Ft]={Y>E[E[{X]≤}|Fs]| Ft]，因此，E[{X≤在Ft可测的s{Y>Ft}上Y}Ft]>α。因此，αt（X）=ess sup{Y∈ Lt | E[{X≤Y}|英尺]≤ α} ≤ ess su p{Y∈ 是的≤ } = .由于>0是任意选择的，我们得出结论：αt（X）≤ 0，因此{~nαt}t∈时间是一致的。示例7.2（条件加权风险值）。对于固定α，设X=L∈ （0，1），我们考虑集合{Dαt}t的族∈Tde定义的比亚迪αt:={Z∈ L:0≤ Z≤ α-1，E[Z | Ft]=1}，（7.2），我们设置αt（X）：=ess infZ∈DαtE[ZX | Ft]，t∈ T、 X∈ L.（7.3）MAP s{~nαt}t族∈这是一种动态一致的效用度量（详情参见[Che06]f）。此外，它是次鞅时间一致的。

的确，让我们∈ T、 显然，Dαs Dαt，因此αt（X）=ess infZ∈DαtE[ZX | Ft]≤ ess infZ∈DαsE[ZX | Ft]=ess infZ∈DαsE[E[ZX | Fs]| Ft]。（7.4）现在，使用Dαsis L-闭合的事实（参见[Che06]f了解详细信息），对于任何X∈ 五十、 存在*十、∈ Dα表示αs（X）=E[Z*XX | Fs]。这意味着∈DαsE[E[ZX | Fs]| Ft]≤ E[E[Z*XX | Fs]| Ft]=E[ess infZ∈DαsE[ZX | Fs]| Ft]=E[~nαs（X）| Ft]。（7.5）风险和绩效指标的时间一致性：结合（7.4）和（7.5）的调查，我们得出结论，α是次可分时间一致的。尤其值得注意的是。14，α也是弱排斥时间一致的。另一方面，如[ADE+07]所示，α既不是中间拒绝时间一致性，也不是弱接受时间一致性。示例7.3（过程的动态TV@R可接受性指数）。[CM09]中引入了风险可接受性尾值指数，作为随机变量情况下静态尺度不变性能测量的一个示例。在这里，按照[BCZ14]的思路，我们将这个概念扩展到动态设置，并将其应用到随机过程的情况。设X=V，对于固定的α∈ （0，1），我们考虑集合{Dαt}t∈Tde定义在（7.2）中。我们考虑畸变函数g（x）=1+x，x∈ R+，我们定义ρx={ρxt}t∈T、 x∈ R+，如下ρxt（V）=ess infZ∈Dg（x）tE[ZTXi=tVi | Ft]，V∈ 十、 t∈ T（7.6）那么，ρxis是过程的动态一致效用测度的递增族（相对于x），映射α={αt}t∈t由αt（V）=sup{x驱动∈ R+|ρxt（V）≤ 0}，（7.7）是过程的动态可接受性指数（见[CM09]和[BCZ14]）。此外，ρxt（V）=inf{c∈ R |αt（V+c{t}）≥ x} 。

（7.8）显然，（7.7）和（7.8）分别是（6.7）和（6.9）的对应项。考虑到上述情况，那么，类似于Examp le7。2，可以证明ρxis弱拒绝时间一致，但对于任何固定x，它不是弱接受时间一致∈ R+，因此，根据命题6.9和命题6.10，α是半弱R射血时间一致的，但不是半弱接受时间一致的。示例7.4（动态RAROC）。风险调整后的资本回报率（RAROC）是一种常见的业绩衡量指标；s ee[CM09]表示静态RAROC，而[BCZ14]表示其对动态s设置的扩展。我们考虑空间X=V，对于固定的α∈ （0,1）动态曲线定义如下：ηt（V）：=（E[PTi=tVi | Ft]-ραt（V）如果E[PTi=tVi | Ft]>0,0，否则，（7.9）当ραt（V）<0时，其中ραt（V）=ess infZ∈DαtE[ZPTi=tVi | Ft]和{Dαt}t∈Tgiven in（7.2）和~nt（V）=+∞, 如果ρt（V）≥ 0.[BCZ14]中显示出，ψ是过程的动态可接受性指数。此外，对于任何固定的∈ T、 我们有（cf[BCP15]）~nT（V）=sup{x∈ R+：φxt（V）≥ 0}，其中φxt（V）=fZ中的ess∈BxtE[Z（PTi=tVi）|Ft]，其中Bxt={Z∈ L:Z=1+x+x1+xZ，对于某些Z∈Dαt}。很容易检查族{Дxt}t∈这是一个动态一致的过程效用度量，并通过与示例7类似的参数进行度量。2.对于任何固定的x，我们都能得到∈ R+，νXT弱拒绝时间一致，但不弱接受时间一致。从1∈ Dαt，它在{φxt}t处跟随th∈它在x中增加∈ R+，并使用与示例7类似的参数。3.我们得出结论，issemi弱拒绝时间一致，但不是半弱接受时间一致。30 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera示例7.5（动态增益损耗比）。