动态风险度量与动态风险度量的时间一致性研究

我们请读者参考[BCDK16]及其参考文献，其中作者给出了动态拟凹上半连续LM测度的一般鲁棒表示。因此，可以通过LM测度的稳健表示，通过考虑扩展的实数线上定义的条件期望等，获得扩展的另一种构造。B命题的证明5。8.证据。1) => 2). 让t，s∈ T应为s>T，并考虑以下集合X~ns={X∈对于某些Y，L | X=φs（Y）∈ X}，其中X=Lp。从1），对于任何X，Y∈ X，s如果是s（X）=s（Y），我们得到t（X）=t（Y）。接下来，我们定义图φt，s:X~ns→\'如下所示：对于任何X\'\'∈ Xаsφt，s（X′）=аt（X），X∈ X，（B.1）其中X∈ X是这样的，X′=~ns（X）。鉴于Xа的定义和а的强时间一致性，图φt定义良好。既然有Z∈ X，使得φs（Z）=0（见属性（3.3）），使用φ的局部性，我们得到任何X的值∈ X~ns，A∈ 英尺，存在于∈ X，因此ax=A~ns（Y）=A~ns（AY）+Ac~ns（AcZ）=~ns（AY+AcZ）。因此，AX∈ 对于任何A∈ 英尺，X∈ 因此，从1）开始，对于anyX，Y∈ X~ns，A∈ Ft，我们得到（A）X≥ Y=> φt，s（X）≥ φt，s（Y）；（B） Aφt，s（X）=Aφt，s（AX）。换言之，φt，sis local和m在X~ns上的otone上“是的。由RemarkA。8） 存在φt，s，saybφt，s:\'Ls的扩展→“Lt，它是局部的，在”Ls上是单调的。最后，我们取ut，s:\'Ls→定义为ut，s（m）：=bφt，s（m），m∈“是的。显然，家族u={ut，s:t，s∈ T、 s>T}是一个更新规则，使用（B.1），我们可以得到φ是u-接受和u-拒绝时间一致的。2) => 3). 让我们，t∈ T和X，Y∈ X应为s>t和φs（X）≥ ~ns（Y）。从2），（4.2）中，通过u的单调性，我们得到了ut（X）=ut，s（us（X））≥ ut，s（us（Y））=ut（Y）。3）=> 1), 4) <=> 2） ，及4）=> 5） 这是显而易见的。5) => 4).

让一个族▽u={ut，s:t，s∈ T、 映射的T<s}uT，s:\'Ls→如果s=t+1，则可以用（＠ut，s（·）：=ut，t+1（·）表示，＠ut，s（·）：=ut，t+1o . . . o us-1，s（·）如果s>t+1，其中u是来自5）的更新规则。很容易就可以检查出|u是一个更新规则，并且|是|u-接受和d|u-拒绝时间一致的，这证明4）是成立的。证据是完整的。38 T.R.Bielecki，I.Cialanco，M.Pitera命题证明5。11.证据。让我们考虑一下{φt}t∈（5.5）中给出的Tas。1）单调性和局部性的证明与命题A.4中的条件必要数和上确界的证明类似。最后，无论如何∈ T、 Z∈ Dt和m∈因为E[Z|Ft]=1，我们马上得到E[Zm|Ft]=1{m≥0}mE[Z|Ft]+1{m<0}(-m） E[-Z |Ft]=m，因此，对于任意m，φt（m）=m∈因此，{φt}t∈这是投射性的。2） 设φ为φ-拒绝时间一致的动态LM度量，g:`R→R是一个递增的凹函数。那么，对于任何X∈ X，我们得到g（φt（X））≥ g（φt（φs（X））=g（ess infZ∈DtE[Z|s（X）| Ft]）=ess infZ∈Dtg（E[Z|s（X）| Ft]。（B.2）回想一下，任何∈ dt是一个Radon-Nikodym，与P有关的一些度量Q的导数，我们有E[ZX | Ft]=EQ[X | Ft]。因此，通过詹森不等式，我们推导出infZ∈Dtg（E[Z|t（X）| Ft]）≥ ess infZ∈DtE[Zg（|t（X））|Ft]=φt（g（|s（X）））。（B.3）结合（B.2）和（B.3），φ-接受时间一致性{go ~nt}t∈下面。命题5.17的证明。证据第一部分紧跟着电影扩展的定义。显然，bа的投影意味着аt（X）=X，对于X∈ 十、∩\'-Lt.为了证明相反的含义，只需证明-是投射的。假设φt（X）=X，对于t∈ T和X∈ Lp∩“中尉，让我来∈\'Lt.任何n∈ N、 我们得到{N≥十、≥-n} ν+t（X）={n≥十、≥-n} ~n+t（{n≥十、≥-n} X）={n≥十、≥-n} ~nt（{n≥十、≥-n} X）={n≥十、≥-n} X.因此，在setSn上∈N{-N≤ 十、≤ n} ={-∞ < X<∞}, 对于X，我们有φ+t（X）=X∈\'Lt。

（B.4）接下来，对于任何A∈ 英国《金融时报》，以至于 {X=∞}, 我们得到Y+A（X）=, 这意味着{X=∞}~n+（X）=∞. 最后，对于任何n∈ R、 使用ψ+的局部性，并考虑以下事实：∈ 十、∩\'Lt，我们得到{X=-∞}~n+t（X）≤{X=-∞}~n+t（{X=-∞}n） ={X=-∞}νt（n）={X=-∞}n、 这意味着{X=-∞}~n+（X）=-∞. 因此，（B.4）适用于整个空间。证据-是一个阿洛古斯。命题6.12的证明。证据设ψ为动态LM度量，与过去无关。1) => 2). 让我们∈ T′并考虑以下集合X k T+1={X∈对于某些V，L | X=k t+1（V）∈ Vp}。风险和绩效指标的时间一致性：针对任何V，V′的调查∈ X，这样就得到了φt（X）=φt+1（V′）和Vt=V′t。因此，利用а过去的独立性，存在一个映射φt，t+1:Xаt+1×Lpt→例如φt，t+1（φt+1（X），Yt）=φt（X- 1{t}（Xt- Yt），X∈ 十、其次，既然存在Z∈ X，假设φt+1（Z）=0，使用φ的局部性，我们得到anyX的结果∈ X k t+1，A∈ 英国《金融时报》报道说，这是一个有争议的问题∈ X，因此ax=Aаt+1（Y）=Aаt+1（A·t+1Y）+Acаt+1（Ac·t+1Z）=аt+1（A·t+1Y+Ac·t+1Z）。因此，AX∈ 对于任何A∈ 英尺，X∈ X k t+1。因此，从2）开始，以及对于anyX，X′的位置∈ X k t+1，Yt∈ L和A∈ Ft，我们得到（A）X≥ X′=> φt，t+1（X，Yt）≥ φt，t+1（X′，Yt）；（B） Aφt，t+1（X，Yt）=Aφt，t+1（AX，Yt）。换句话说，对于任何固定的Yt∈ Lpt，φt，t+1（·，Yt）是局部的，且在X~nt+1上是单调的\'Lt+1。查看RemarkA。8，对于任何固定的Yt∈ lpt存在φt，t+1（·，Yt），s aybφt，t+1（·，Yt）的一个扩展（到‘Lt+1），它在‘Lt+1’上是局部单调的。最后，我们取ut，t+1:\'Lt+1×X→由ut，t+1（m，X）定义的LTD:=bφt，t+1（m，Xt），X∈ X，m∈\'Lt+1。显然，ut，t+1族是一个（一步）更新规则。此外，对于m，我们得到ut，t+1（m，X）=ut，t+1（m，X′）∈\'Lt+1和X，X\'∈ X，使得Xt=X′t。最后，φ是u-接受和u-拒绝时间一致的，因为φt（X）=φt（X- 1{t}（Xt- Xt）=φt，t+1（φt+1（X），Xt）=ut，t+1（φt+1（X），X）=> 1).

假设u是一个更新规则，ful filling 2），这样，u是u-接受和u-拒绝时间一致的。然后，我们得到任意t的φt（X）=ut，t+1（φt+1（X），Y）∈ T′，X∈ X，安迪∈ X，使得Xt=Yt。让我们∈ T′和X，Y∈ X应确保Xt=yt和аt+1（X）≥ ~nt+1（Y）。根据上面的公式，通过u的单调性，我们得到了ut（X）=ut，t+1（ut+1（X），X）=ut，t+1（ut+1（X，Y）≥ ut，t+1（ut+1（Y），Y）=ut（Y）。2）和3）之间等价性的证明很简单，因此在此省略。命题A.7的证明。证据我们仅展示了对+的证明；+的证明是类似的。考虑一个固定的t∈ T.（自适应）很容易注意到，对于任何X∈“L和A”∈ 英国《金融时报》，我们得到消息了∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac(∞)我∈Lt.（B.5）的确，f或任何X∈Ft-可测随机变量集的L，ess-inf{νt（Y）}Y∈Y+A（X）是可测量的（见[KS98]，附录A），这意味着（B.5）适用于任何A∈ 因此，φ+t（X）∈\'Lt.40 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera（单调性）如果X≥ 那么对于任何A∈ 我们得到Y+A（X） Y+A（X′），因此，对于anyA∈ 英国《金融时报》∈Y+A（X）~nt（Y）≥Aess infY∈Y+A（X′）~nt（Y），这意味着а+t（X）≥ ν+t（X′）。（地点）让B∈ Ftand X∈L.考虑一个∈ Ft，使得Y+A（X）6=, 另一方面，我们得到φ+t（X）≡ ∞. 对于任何这样的∈ 我们找到了∩贝丝·英菲∈Y+A（X）~nt（Y）=A∩贝丝·英菲∈Y+A∩B（X）~nt（Y）。（B.6）实际上，让我们假设Y+A（X）6=. 作为Y+A（X） Y+A∩B（X），我们有一个∩贝丝·英菲∈Y+A（X）~nt（Y）≥A.∩贝丝·英菲∈Y+A∩B（X）~nt（Y）。另一方面，对于任何人来说∈ Y+A∩B（X）和任何固定的Z∈ Y+A（X）（注意Y+A（X）6=), wegetBY+BcZ∈ Y+A（X）。因此，利用φt的局部性，我们推导出∩贝丝·英菲∈Y+A∩B（X）~nt（Y）=A∩贝丝·英菲∈Y+A∩B（X）Bаt（BY+BcZ）≥A.∩贝丝·英菲∈Y+A（X）~nt（Y），这证明了（B.6）。很容易看出Y+A∩B（X）=Y+A∩B（BX）和thusAess infY∈Y+A∩B（X）~nt（Y）=Aess infY∈Y+A∩B（BX）~nt（Y）。

（B.7）组合（B.6），（B.7），以及Y+A（X）6= 意味着Y+A（BX）6=, 我们继续bü+t（X）=Bess infA∈FthAess infY∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac(∞)i=Bess infA∈FthA∩贝丝·英菲∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac∩B(∞)i=Bess infA∈FthA∩贝丝·英菲∈Y+A∩B（X）~nt（Y）+Ac∩B(∞)i=Bess infA∈FthA∩贝丝·英菲∈Y+A∩B（BX）~nt（Y）+Ac∩B(∞)i=Bess infA∈FthAess infY∈Y+A（BX）~nt（Y）+Ac(∞)i=B~n+t（BX）。（扩展）如果X∈ X，那么对于任何A∈ 我们得到了X∈ Y+A（X）。因此，ψ+t（X）=ess infA∈FthAess infY∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac(∞)i=ess infA∈FthA~nt（X）+Ac(∞)i=k t（X）。因为上述结果适用于任何t∈ T、 因此，我们已经证明了ν+是ν的延伸。现在，让我们展示一下（A.7）中的ν+。风险和绩效衡量指标的时间一致性：调查41b~n是~n的延伸，X∈土地∈ T.由于b~nT的单调性和局部性，对于任何A∈ Ftand Y∈ Y+A（X），我们得到ab~nt（X）≤Ab~nt（Y）。因此，回顾 = ∞ ,我们有b~nt（X）≤Aess infY∈Y+A（X）bаt（Y）+Ac(∞) =Aess infY∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac(∞). （B.8）因为（B.8）适用于任何A∈ Ft，我们得出的结论是b~nt（X）≤ 女婴∈FthAess infY∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac(∞)i=~n+t（X）。第二个不等式的证明是类似的。感谢Tomasz R.Bielecki和Igor Cialenco感谢NSF拨款DMS-1211256的支持。部分研究是在Igor Cialenco访问国家科学基金会支持的纯数学和应用数学研究所（IPAM）时进行的。MarcinPitera感谢波兰科学知识产权基金会（Foundation for Polish Science IP Programme）“物理模型中的几何和拓扑”项目的支持，该项目由欧盟欧洲区域发展基金（EU European Regional Development Fund，2007-2013年创新经济运营计划）共同资助。作者们要感谢马雷克·鲁特科夫斯基，感谢他激发了讨论并发表了有益的评论。

我们还要感谢匿名推荐人、副主编和编辑提供的有用意见和建议，这些意见和建议极大地改进了最终手稿。参考文献[ADE+02a]P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku。相干多周期isk测量。预印本，2002年。[ADE+02b]P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku。多期风险和一致性多期风险度量。瑞士埃斯·兹鲁里奇，米米欧，20 02。[ADE+07]P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku。相干多周期风险调整值和贝尔曼原理。安。奥普。Res.，152:5–22，2007年。[ADEH99]P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。ris k.数学的连贯性度量。《金融》，9（3）：203–228，1999年。[AFP12]B。阿齐亚奥、霍尔默和佩纳。不确定现金流的风险评估：模型模糊性、贴现模糊性和泡沫的作用。《金融与随机》，16:669-7092012。[AP11]B.阿克西奥和I.佩纳。动态风险度量。G.Di Nunno和B.Oksendal（编辑），《金融的高级数学方法》，斯普林格出版社，2011年第1-34页。[BBN14]S.Biagini和J.Bion Nadal。动态准凹性能度量。《数理经济学杂志》，第55:143–153页，2014年12月。[BCC15]T.R.B.耶莱基、I.夏兰科和T.陈。通过倒向随机差分方程进行动态二次曲线融资。暹罗·J·费南。数学6(1):1068–1122, 20 15.[BCDK16]T.R.比莱基、I.夏兰科、S.德雷沃和M.卡里切克。动态评估指标。《随机学：概率与随机过程国际期刊》，88（1）：1-442016.42 T.R.比莱斯基，I.夏兰科，M.皮特拉[BCIR13]T.R.比莱斯基，I.夏兰科，I.艾伊·伊贡勒和R.罗德里格斯。动态圆锥曲线金融：通过具有交易成本的动态一致可接受性指数进行定价和套期保值。

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