动态风险度量与动态风险度量的时间一致性研究

我们注意到，被赋予乘法·t的空间Vp并不定义一个适当的L-模[FKV09，Vog09]（例如，通常为0·tV 6=0）。然而，在接下来的内容中，我们将采用L-模理论中的一些概念，这自然适合我们的研究。我们请读者参考[BCDK16，BCP15]对此事进行详细讨论。我们使用惯例∞ - ∞ = -∞ + ∞ = -∞ 和0·±∞ = 0.请注意，distributivelaw通常不适用：(-1)(∞ - ∞) = ∞ 6= - ∞ + ∞ = -∞. 对于t∈ T和X∈定义X byE[X|Ft]：=E[X+|Ft]的（广义）Ft条件期望- E[X-|Ft]，其中X+=（X∨ 0）和X-= (-十、∨ 0). 见附录A。2.关于广义期望的一些相关性质。为了X∈土地∈ T、 我们将用ess inftX表示唯一的（最多一组概率为零）Ft可测随机变量，例如ess infω∈AX=ess infω∈A（ess inftX），（3.2）适用于任何A∈ Ft.我们将此随机变量称为X的Ft条件必要变量。同样，我们定义了supt（X）：=- ess inft(-十） ，我们称之为X的Ft条件本质上确界。同样，s ee附录A。2了解更多细节和条件本质上确界和上确界的一些基本性质。下一个定义介绍了这项工作的主要目标。除非另有规定，否则本文其余部分将理解为：∈ {0, 1, ∞}.10 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.PiteraDe定义3.2。一个族φ={φt}t∈Tof图аt:X→“LTI是一个动态LM——如果满足度1（局部性）aаt（X）=aаt（a·tX），则测量；2） （单调性）X≤ Y=> ~nt（X）≤ ηt（Y）；无论如何∈ T、 X，Y∈ X和A∈ Ft.众所周知，局部性和单调性是必须由任何合理的绩效动态度量和/或风险度量来满足的两个属性，事实上，文献中研究的大多数（如果不是全部的话）此类度量都具有这两个属性。

对于X元素之间的阶的任何数值表示，单调性都是自然的。局部性属性（也称为正则性、零一定律或相关性）本质上意味着THLM的值仅限于一个集合a∈ F对于同一集合A的argumentsoutside的值保持不变∈ F特别是，未来不会发生的事件不会影响该措施在今天的价值。备注3.3。虽然在大多数文献中，局部性公理并没有直接表述，但它常常被其他假设所暗示。例如，如果X=L∞, 然后是单调性和现金可加性（参见[Pit14，位置2.2.4]）。类似地，任何凸（或凹）MAP也是局部的（参见[DS05]）。还值得一提的是，地点与时间一致性有关。事实上，在一些论文中，局部性被认为是下面讨论的时间一致性属性的一部分（参见[KS09]）。在本文中，我们只考虑动态的LM度量，即0∈ νt[X]，（3.3）对于任何t∈ T.我们采用这一（技术）假设，以确保我们认为的映射不会退化，即它们不会为所有X取有限值∈ 在一些setAt上的X∈ 正概率的FTF，对于任何t∈ T在文献中，有时这样的地图被认为是正确的[KR09]。如果是这种情况，那么就存在一个{Yt}t族∈T、 Yt在哪里∈ X，使得φt（Yt）∈ LTT∈ T、 所以我们可以考虑由~n~nT（·）：=~nT（·）给出的映射-~nt（Yt），满足消费（3.3），并保持与地图一样的顺序。通常情况下，在风险度量值测量工作中，我们假设φt（0）=0，这意味着（3.3）。

然而，在这里我们不能假设φt（0）=0，因为我们还将使用动态性能度量，其中φt（0）=∞.最后，让我们注意到，在文献中，传统的动态风险度量是单调递增的。另一方面，绩效指标是单调递增的。鉴于定义中的条件2）。2.每当我们的LM度量与动态风险度量相对应时，需要将其理解为该风险度量的否定。在这种情况下，为了避免混淆，我们将各自的LM度量称为动态（货币）效用度量，而不是动态（货币）风险度量。见附录A。1.详细信息。4偏好时间一致性评估方法在本节中，我们简要介绍了文献中研究的偏好时间一致性评估方法，简称时间一致性评估方法。正如导言中所讨论的，时间一致性是通过偏好的数值表示来研究的。下文将对各种数字代表进行调查，并结合动态LM测量进行讨论。风险和绩效衡量的时间一致性：为了简化陈述，我们将注意力集中在随机变量的情况下，即isX=Lp，对于p∈ {0, 1, ∞}.通常，风险度量和性能度量是在小于L的空间中研究的，例如Lp、p∈ [1, ∞]. 这样做的目的是为了获得此类度量的所谓“半身像”表示（见附录A.1），因为这需要某种拓扑结构（参见RemarkA.9）。

另一方面，时间一致性仅指测量值在时间上的一致性，不需要特定的拓扑结构，因此这里得到的大多数结果对p=0是正确的。在第4节。1.我们概述了两种时间一致性偏好评估的通用方法：基于更新规则的方法和基于基准族的方法。这两种方法是通用的，因为几乎所有类型的时间一致性都可以用这两种方法来表示。相反，第4节概述的方法。2是特定的。也就是说，这些方法仅适用于特定类型的时间一致性、动态薄膜度量的特定类别、特定空间等。4.1通用方法在本节中，我们概述了两个定义时间一致性偏好评估通用方法的概念：更新规则和基准族。可以看出，不同类型的时间一致性可以用这些概念来描述。4.1.1更新规则使用更新规则实现时间一致性的方法在[BCP14]中开发。更新规则是一种应用于偏好水平的工具，用于在不同时间使用动态LM度量来关联偏好评估。定义4.1。A族u={ut，s:t，s∈ T、 图的T<s}uT，s:\'Ls→如果u满足以下条件，则LTI称为更新表：1）（位置）Aut，s（m）=Aut，s（Am）；2） （单调性）如果m≥ m′，th enut，s（m）≥ ut，s（m′）；对于任何s>t，A∈ Ft和m，m′∈“是的。接下来，我们根据更新规则定义了时间一致性。定义4.2。让它成为一个更新规则。我们说动态LM测量值是u-接受（或u-拒绝）时间一致的，如果≥ ms（分别为。≤) ==> ~nt（X）≥ ut，s（ms）（分别为。≤), （4.1）对于所有s>t，s，t∈ T、 X∈ X和ms∈“是的。

如果属性（4.1）满足s=t+1，t∈ T′，那么我们说φ是一步u-接受（分别是一步u-回复）时间一致的。我们发现，ms和ut，s（ms）分别作为基准，用于比较аs（X）和аt（X）的测量值。因此，验收时间一致性的解释是向前的：如果X∈ X在未来的某个时间被接受∈ T、 至少在ms级，然后今天，在时间T∈ T、 至少在uT，s（ms）级可接受。相似推理适用于本节中讨论的大多数概念，可用于处理随机过程的情况，正如我们将在第6节中所做的那样。12 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera。基本上，更新规则将时间的偏好水平转换为时间t的偏好水平。我们开始了定义4的时间一致性调查。2因为，正如我们将演示的那样，时间一致性的概念涵盖了现有文献中可以找到的风险和绩效度量的时间一致性的各种情况。具体来说，它允许在不同类型的时间一致性之间建立重要的联系。LM度量的时间一致性通常取决于更新规则的选择；我们将参考第5节进行深入讨论。注意，根据更新规则给出的时间一致性属性可以等效地表示为动态规划原理的一个版本（见[BCP14，命题3.6]）：当且仅当|t（X）为u-接受（或u-拒绝）时间一致时，这是有用的≥ ut，s（Фs（X））（r esp。≤), （4.2）对于任何X∈ X和s，t∈ T、 这样s>T。

（4.2）的解释如下：如果关于X的偏好的数值评估是根据动态L M-测量e给出的，那么该测量是u-接受时间一致的，当且仅当在时间t进行的偏好X数值评估大于在任何未来时间>t进行的测量值，并在时间t通过ut进行更新，s、 类似的解释适用于弹射时间一致性。接下来，我们定义了两类有趣且重要的更新规则。定义4.3。让它成为一个更新规则。如果存在{ut}t族，我们说u是1）s-不变量∈Tof映射ut:\'L→\'Lt，使得任何s，t的ut，s（ms）=ut（ms）∈ T、 s>T和ms∈\'Ls；2） 投射的，如果它是s-不变的，并且对于任何t，ut（mt）=mt∈ T、 还有山∈“Lt.备注4.4。如果upd ate规则u是s-不变的，那么只考虑对应的gfamily{ut}t是有必要的∈因此，在稍微滥用符号的情况下，我们写出u={uT}T∈并将其称为upd aterule。例4.5。族u={ut}t∈Tandu={ut}t∈t由ut（m）=E[m|Ft]和ut（m）=ess inftm，m驱动∈L是投影更新规则。在例7中是这样的。3.存在一个动态LM测量，该测量是u–时间一致的，但不是u–时间一致的。4.1.2基准系列基于基准集系列的时间一致性应用程序由[Tut08]启动，作者将此方法应用于动态风险度量。基本上，abenchmark族是包含参考或测试对象的X子集的集合。

在这种情况下，时间一致性的概念是，关于感兴趣对象的偏好必须以一致的方式与关于参考对象的偏好进行比较。定义4.6。（i） 一个家庭Y={Yt}t∈Tof设置Yt X是一个基准系列if0∈ Yt和Yt+R=Yt，风险和绩效指标的时间一致性：针对任何t的调查∈ T.（ii）动态LM测量值是与基准系列Y一致的接受（或拒绝）时间，如果是νs（X）≥ ~ns（Y）（分别为。≤) ==> ~nt（X）≥ t（Y）（分别为。≤), （4.3）适用于所有≥ t、 X∈ X和Y∈ 是的。非正式地说，关于Y的时间一致性的“程度”是通过Y的大小来衡量的。因此，对于每个s，s的大小越大∈ T、 ψ的时间一致性程度越强。例4.7。集合Y={Yt}t的族∈Tand Y={Yt}t∈Tgiven byYt=R和Yt=X是基准族。它们与弱时间一致性和强时间一致性有关，后面将讨论。为了将来的参考，我们从[BCP14，命题3.9的证明]中回忆起，如果且仅当ν是与BYT给出的基准系列一致的接受（或拒绝）时间：={Y∈ X:Y=AY+AcY，对于某些Y，Y∈ YTA和YTA∈ Ft}。（4.4）4.1.3更新规则方法和基准方法之间的关系更新规则方法和基准族方法之间的区别在于参考级别的选择不同。具体而言，在前一种方法中，时间s的参考水平被选为任何ms∈\'Ls，然后使用更新规则在时间t更新到首选项级别。在后一种方法中，对于任何参考对象Y，在s和t两个时间点的偏好水平分别被视为аs（Y）和аt（Y）∈ Ys，其中Ysis是基准测试系列Y的一个元素。这两种方法彼此密切相关。

事实上，对于任何LM度量和任何基准系列Y，可以构造一个更新规则u，使得当且仅当它是u-时间一致的时，就Y而言，u是时间一致的。例如，如果验收时间与Y一致，则使用位置φ，很容易注意到（4.3）相当于φt（X）≥ 苏帕女士∈是苏比吗∈Y-A、 s（аs（X））аt（Y）+Ac(-∞)i、 Y在哪里-A、 s（ms）：={Y∈比斯：Ams≥A~ns（Y）}andbY={bYs}s∈定义见（4.4）。因此，设置ut，s（ms）：=ess supA∈是苏比吗∈Y-A、 s（ms）аt（Y）+Ac(-∞)i、 并使用（4.2），我们推断出满足（4.3）的条件是且仅当μ与更新规则eut，s的时间一致（详见[BCP14，提案3.9]）。阿洛古的论点有助于拒绝时间的一致性。一般来说，相反的含义并不成立；根据更新规则定义的时间一致性概念更为普遍。例如，动态一致性可接受性指数的时间一致性不能用单个基准族来表示。14 T.R.Bielecki，I.Cialanco，M.Pitera4。2特质方法利用此LM度量的特质来实现给定LM度量的时间一致性，这些特质不一定与其他LM度量共享，通常仅适用于动态LM度量的特定子类。例如，在动态凸或货币风险度量的情况下，时间一致性可以根据相关接受集的相关属性和/或惩罚函数的动态和/或概率度量族的矩形属性来表征。这些独特的方法和相关参考文献在第2节中进行了介绍和简要讨论。

对每种方法的详细分析都超出了本次调查的范围。5随机变量的时间一致性在本节中，我们调查应用于随机变量的LM度量的时间一致性。因此，我们假设X=Lp，对于固定的p∈ {0, 1, ∞}. 我们继续讨论各种相关类型的时间一致性，没有太多参考现有文献。第2.5.1节“弱时间一致性”中提供了此类参考。这种时间一致性背后的主要思想是，如果“明天”，比如时间s，我们接受X∈ Lpat级别为аs（X），然后是“今天”，比如在时间t，我们将接受任何低于或等于аs（X）的级别的X，并根据时间t时可用的信息F进行调整。同样，如果明天我们拒绝级别为аs（X）的X，那么今天，我们也应该拒绝任何高于或等于аs（X）的级别的X，并根据信息Ft定义5.1进行调整。如果φt（X），则动态LM测量是弱接受（或弱拒绝）时间一致的≥ ess inftаs（X），（分别аt（X）≤ 对于任何X∈ L和s，t∈ T、 这样s>T命题。2和5.3提供了弱验收时间一致性的一些特征。提议5.2。设φ为Lp上的动态LM测量值。以下特性是等效的：1）ψ是弱一致的。2） u是u-接受时间一致的，其中u是投影更新规则，由ut（m）=ess inftm给出。3） 满足以下不等式φt（X）≥ ess infQ∈Mt（P）等式[~ns（X）| Ft]，（5.1）适用于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T.4）对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T和mt∈\'Lt，它认为s（X）≥ mt=> ~nt（X）≥ mt.风险和绩效指标的时间一致性：一项调查15类似的结果适用于弱拒绝时间一致性。关于1）、2）和4）之间等价性的证明，请参见[BCP14，命题4.3]。

关于3），请注意，任何度量值Q∈ Mt（P）可以用氡-尼科德姆导数来表示，也就是说，我们可以用φt（X）代替（6.4）≥ ess infZ∈PtE[Z~ns（X）| Ft]，其中Pt:={Z∈ L|Z≥ 0，E[Z | Ft]=1}。因此，我们可以证明1）和3）之间的等价性，注意到对于任何m∈“我们会得到ess inftm=ess infZ∈PtE[Zm | Ft]。参见[BCP14，命题4.4]以获取证据。值得一提的是，命题5中的属性4）。2被认为是尺度不变度量中（弱）接受和（弱）拒绝时间一致性的概念，称为可接受性指数（参见[BBN14，BCZ14]）。对于L上的动态货币风险测度，通常考虑弱时间一致性∞（参见[AP11]及其参考文献）。这个案例本身就为这个属性提供了更多的特征。提议5.3。设ψ为可表示的动态货币效用度量L∞. 以下特性是等效的：1）ψ是弱一致的。2） 接收时间是否与{Yt}t一致∈T、 其中，对于任意X，Yt=R.3）∈ L和s，t∈ T、 s>T，~ns（X）≥ 0=> ~nt（X）≥ 0.（5.2）4）在+1处 无论如何∈ T、 对于任何Q，T<T.5）∈ M（P）和t∈ T、 T<T，αmint（Q）≥ EQ[αmint+1（Q）| Ft]，其中αmini是φ的稳健表示中的最小惩罚函数。对于弱排斥时间一致性，也得到了类似的结果。我们注意到，性质1）、2）和3）的等价性在X=L的情况下也是成立的，不仅是f或repr esentable，而且对于任何动态货币效用测度也是成立的；有关证明，请参见[BCP14，命题4.3]。性质4）是用接受集描述弱时间一致性，性质5）用罚函数的超鞅性质描述。