动态风险度量与动态风险度量的时间一致性研究

有关3）、4）和5）等价性的证明，请参见[AP11，命题33]。下一个结果表明，弱时间一致性确实是时间一致性的最弱形式之一，即弱时间一致性由投射更新规则生成的任何时间一致性所隐含；我们参考[BCP14，命题4.5]进行证明。见A节。1.详细信息。16 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Piteraki，5.4号提案。设φ为Lp上的动态LM度量，u为项目更新规则。如果φ为u-接受（或u-拒绝）时间一致，则φ为弱接受（或弱排斥）时间一致。备注5.5。弱时间一致性的一个重要特征是它对tomonotone变换的不变性。具体来说，让g:\'R→“R是一个严格递增的函数，让是一个弱接受/拒绝时间一致的动态LM度量。然后，{go ~nt}t∈这也是一种弱接受/拒绝时间一致的动态LM测量。备注5.6。在一般LM度量的情况下，弱时间一致性可能不像命题5中的2）那样具有特征。3.例如，如果φ是（标准化的）可接受性指数，则φt（R）={0，∞}, 对于t∈ T、 这与命题中的不一致。2.5.2强时间一致性正如引言中所述，强时间一致性的起源可以追溯到[60]。从历史上看，这是动态风险度量文献中首次也是最广泛研究的时间一致性形式。值得一提的是，这种形式的时间一致性也作为迭代性质出现在保险文献中，它与均值原理有关[Ger74，GDV79]。我们从定义连续时间一致性开始。定义5.7。设φ为Lp上的动态LM测量值。

那么，如果φs（X）=φs（Y），则称φ是强时间一致的==> 对于任何X，Y，φt（X）=φt（Y），（5.3）∈ L和s，t∈ T、 因此，s>T.强时间一致性因其与动态规划原理等价而得到了广泛的应用和重视。这种等价性，以及强时间一致性的其他特征，是以下两种观点的主题。提议5.8。设φ为Lp上的动态LM测量值。以下特性是等效的：1）ψ具有很强的时间一致性。2） 存在一个更新规则u，使得u-接受和u-拒绝时间一致。3） 接收时间是否与{Yt}t一致∈T、 其中Yt=Lp。4） 存在更新规则u，因此对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T，uT，s（us（X））=uT（X）。（5.4）5）存在一个一步更新规则u，使得对于任何X∈ Lp，t∈ T、 T<T，uT，T+1（uT+1（X））=uT（X）。关于命题5.8的证明，见附录B。在这个命题中，性质4）被称为贝尔曼原理或动态规划原理。此外，请注意，5）意味着任何时间一致性强的动态LM度量都可以使用向后递归来构造，从T:=, 哪里 这是一个LM度量。参见[CK11]，其中详细讨论了动态风险度量的递归构造。强时间一致性的一种重要且经常被研究的类型是L上动态m-on-etary风险度量的str-on-g时间一致性∞（参见[AP11]及其参考文献）。正如下一个结果所示，在这种情况下，有更多的等价物是有效的。风险和绩效衡量指标的时间一致性：调查第5.9条。设φ为L上的一个可表示的动态货币效用度量∞.

以下特性是等效的：1）ψ具有很强的时间一致性。2） ν是递归的，即对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 对于所有的T，s>T，νT（X）=νT（νs（X））.3）At=At，s+As∈ T、 s>T.4）对于任何Q∈ M（P），t，s∈ T、 s>T，αmint（Q）=αmint，s（Q）+EQ[αmins（Q）| Ft].5）对于任何X∈ Lp，Q∈ M（P），s，t∈ T、 s>T，~nT（X）- α薄荷（Q）≤ 等式[~ns（X）- α分钟（Q）|英尺]。例如，有关证明，请参见[AP11，命题14]。备注5.10。（i） 一般来说，对于动态LM度量，强时间一致性并不意味着弱接受或弱拒绝时间一致性。事实上，让我们考虑一下φ={φt}t∈T、 从而使得φT（X）=T（分别为φT（X）=-t） 为了所有的X∈ L.Sin ce~nt（0）=t6≥ ess inft~ns（0）=s（分别。-t6≤ -s），对于s>t，我们得出结论，ψ不是弱接受（或弱拒绝）时间一致的。然而，因为对于任何X∈ 五十、 那么φ是强时间一致性的。我们注意到，如果定义5中的更新规则。7是投射性的，因为它通常是动态货币风险度量的情况，那么，由于命题5。4.强时间一致性的关键在于弱时间一致性。（ii）值得一提的是，原则上，强时间一致性不适用于可接受性指数[BCZ14、BCC15、CM09]。设φ为标度不变的动态LM度量，设a∈ 对于一些s>0的s，P[A]=1/2∈ T.此外，假设Fis是微不足道的。我们考虑ran dom变量的序列Xn=nA-Ac，n∈ N.根据φ的局部性和尺度不变性，我们得到了φs（Xn）=φs（X），对于N∈ N.如果φ是强时间一致的，那么我们也有φ（Xn）=φ（X），N∈ N

另一方面，任何合理的性能测量都应该随着n的增加在更高的水平上评估Xnat，这与φ（Xn）是一个恒定序列的事实相矛盾。5.3稳健预期、子鞅和超鞅射影更新规则的概念与（有条件的）非线性预期的概念有关（关于非线性预期的定义和性质，参见[Pen97]）。在[RG06，Pen04]中，作者建立了非线性预期和动态测量之间的联系。投影更新规则的一个特别重要的例子是standardconditional Expection操作符。在L中保持一致性∞在[DS05，第5节]中研究了用条件期望定义的框架，并与s上（下）鞅性质相关联。下一个结果介绍了一类由条件透视和确定集合族生成的u更新规则。首先，我们回顾了确定集合族的概念（更多细节参见[Che06]）。18 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera为每个T∈ 定义：={Z∈ L|Z≥ 0，E[Z | Ft]=1}。一类集合D={Dt}t∈这是一个决定性的家庭，如果有任何t∈ T、 设置的数据满足以下属性：Dt6=, Dt 它是L-闭的，Ft-凸的，一致可积的。提案5.11。设D是一个决定性的集合族，设φ是一个动态LM测度。考虑映射族φ={φt}t∈T、 φT:\'L→\'Lt，由以下稳健预期φt（m）=ess infZ给出∈DtE[Zm | Ft]。（5.5）那么，1）族φ是一个投影更新规则；2） 如果φ与验收时间一致，则{go ~nt}t∈这也是φ-接受时间一致的，对于任何递增和凹函数g:\'R→ R.备注5.12。

L定义的经典（静态）一致性风险度量∞对于某些概率度量集Q，允许形式（2.1）的稳健表示。已知该集Q可能不是唯一的。因此，对于定义在“L”上的地图，可能存在ρ的多个扩展（扩展的概念见附录a.3）。然而，正如在[Che06]中，我们可以考虑称为风险度量的确定集的最大集D，它保证了这种扩展的唯一性。（5.5）中定义的地图系列就是此类扩展系列的一个例子。因此，我们看到一致的风险度量构成了生成更新规则的良好起点。为了证明命题。11，见附录B。拒绝时间一致性命题5.11的对应项是通过采用ess su p而不是（5.5）中的ess inf获得的，假设g是凸的。在用Dt={1}确定族的特殊情况下，对于任何t∈ T、 投影更新的形式为uT（m）=E[m|Ft]，m∈这是一个重要的例子，因为它产生了上鞅和下鞅时间一致性的概念。定义5.13。设φ为Lp上的动态LM测量值。如果φt（X），我们说φ是时间一致的上鞅（或下鞅）≥ E[~ns（X）| Ft]，（分别为。≤)对于任何X∈ L和t，s∈ T、 s>T.备注5.14。（i） 注意，任何φ-接受时间一致的动态LM度量，其中φ在（5.5）中给出，也是弱接受时间一致的，因为φ是投影的。特别是，任何超可触发时间一致性LM度量也是弱可接受时间一致性的。对于拒绝时间一致性，类似的说法也适用。（ii）如【BCP14】所述，更新规则的思想可用于加权偏好。从直觉上讲，远未来的损失风险可能比迫在眉睫的损失风险更可取。这个想法在[Che10]中被使用。

例如，形式为ut，s（m，X）的更新规则u=αs-在{E[m|Ft]上的tE[m|Ft]≥ 0}，αt-sE[m|Ft]在{E[m|Ft]<0}上。（5.6）对于固定α∈ （0,1）将实现这一目标。我们所说的Ft凸是指对于任何Z，Z∈ Dt和λ∈ 使0≤ λ ≤ 我们得到λZ+（1）- λ） Z∈ Dt。robu st一词的灵感来源于风险度量的稳健表示。风险和绩效指标的时间一致性：195.4其他类型的时间一致性调查时间一致性的弱、str-on-g和超/次鞅形式在现有文献中吸引了最多的关注。在本节中，我们将介绍已经研究过的其他形式的时间一致性。5.4.1中期一致性中期一致性的概念最初是为L∞（参见[AP11]）。其主要思想是用不平等代替（5.3）中的平等。术语“中间接受”或“中间拒绝”是根据不等式的方向使用的。定义5.15。Lpis中间验收（和中间拒收）上的动态LM测量值在时间上一致，如果≥ ~ns（Y）（分别为。≤) ==> ~nt（X）≥ t（Y）（分别为。≤),对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T和Y∈ Lp∩ 是的。关于基准系列Y={Yt}t，中间接受（或中间拒绝）时间一致性等同于接受（或拒绝）时间一致性∈T、 给定byYt=Lp∩ Lt.在动态凸风险度量的情况下，中间验收时间一致性的其他特征可用，如下所示。提案5.16。设φ为L上的一个可代表的动态货币效用度量∞, 从上面看是连续的。以下特性是等效的：1）ψ是中间验收时间一致的。2） 是--验收时间一致。3） 对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T，~nT（X）≥ ~nt（~ns（X））。

（5.7）4）对于任何X∈ L和t∈ T、 求出T<T，νT+1（X）- ~nt（X）∈ Rt，t+1.5）对于任何X∈ Rtand t∈ T、 求出T<T，νT+1（X）∈ Rt.6）对于任何t∈ T、 使T<T，在 对于任何Q，t+1+At+1.7）∈ M（P）和t∈ T、 T<T，αmint（Q）≥ αmint，t+1（Q）+EQ[αmint+1（Q）| Ft].8）对于任何Q∈ M（P）和t∈ T、 求出T<T，νT（X）≥ 等式[~nt+1（X）|Ft]+αmint，t+1（Q）。自从-对于任何Y，都是φ的LM扩展，且φs（Y）=Y∈ Lp∩Ls，1）和2）之间的等价关系是即时的。所有其他等价物见[AP11，第4.2节]及其参考。命题5中的属性1）。16有时被称为谨慎（见[Pen07]）。见附录A。3.用于定义-20 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera5。4.2由LM度量引起的时间一致性事实证明，任何动态LM度量都会生成更新规则。事实上，正如下一个结果所示，LM度量的任何LM扩展（有关LM扩展的定义，请参见附录A.3）都是s-不变更新规则。提案5.17。动态LM–measure~n的任何LM扩展b~n都是s-不变更新。当且仅当φt（X）=X，对于t∈ T和X∈ Lp∩\'Lt.证据推迟到附加ixB。可以使用LM扩展来提供更强形式的强一致性和中间时间一致性，这尤其适用于动态m-on-etary风险度量。回想一下，对于动态m-on-etary风险度量，L∞, 强时间一致性相当于任意X的|t（X）=|t（νs（X））的性质∈ X，s，t∈ T、 但是，如果X大于L∞, 那么，这种特征化是有问题的，因为我们可能会得到φs（X）6∈ 十、在这种情况下，LM扩展很方便，可以通过以下等式定义强大的时间一致性：^t（X）=^k t（^s（X）），X∈ X，s，t∈ T、 s>T，（5.8），其中^^是^从X到L的延伸。

相应地，我们说φ是*时间一致性，如果存在一个LM扩展^~n，则^是^~n-接受和^拒绝的时间一致性。请注意，由于^~n是一个更新规则，因此*时间一致性意味着定义上的强烈时间一致性5。7.一般来说，相反的含义是不正确的；要看到这一点，我们有必要考虑一个非s-不变的更新规则的强时间一致性。以同样的方式，我们说φ是中间的*验收时间一致，如果存在^的anLM延长，比如说^^^，则^^^-验收时间一致。鉴于命题A。7，这相当于说φ是中间值*验收时间一致（如果是）--验收时间一致。同样，要定义中间层*拒绝时间一致性：我们使用映射+.5.5结果分类法。为了方便读者，在下面的流程图1中，我们总结了第5节中调查的结果。为了透明，我们在流程图中标注了每个箭头（暗示或等效），并将这些标签与相关结果联系起来，在适当的情况下还提供了关于逆转暗示的评论。命题5。3，2）命题5。值得注意。14和5.4号提案。相反的含义一般不成立，见例7。6.命题5。4.一般来说，相反的含义是不正确的。

参见示例7.6：γ<0的动态熵风险度量的负值是弱接受时间一致性，但它不是超平均时间一致性，也就是说，它不是关于投影更新规则ut=Et[m | Ft]的接受时间一致性。风险和绩效指标的时间一致性：调查21图1：随机变量的验收时间一致性结果摘要≥ 0=> ~nt（X）≥ 0if~n是一种货币效用度量单位Фs（X）≥ mt=> ~nt（X）≥ mtDynamic LM Measure洎为弱接受一致性洎t（X）≥ ess inft（~ns（X））动态LM测量洎发布持续性一致性洎t（X）≥ E[~ns（X）| Ft]动态LM测量аisMiddle接受组аs（X）≥ ~ns（Y）=> ~nt（X）≥ νt（Y）代表Y∈ 十、∩\'Ls~nisu–对于X=L，接受一致性u是投影的аs（X）=аt（аs（X））∞, 式中，μ是一个静态公用设施度量单位，μ同时是u–可接受和u–不可接受度量单位。动态LM度量单位是由μs（X）=μs（Y）组成的=> 如果u是投影命题5，则Фt（X）=Фt（Y）ν是标度不变量。8, 4). 相反的应用一般不正确。反例见[AP11，命题37]。命题5。4.另请参见。一般来说，强时间一致性并不意味着弱接受时间一致性，见备注5。10.命题5。16，3）这是一个启发性的陈述。见备注5。10.（二）。命题5。8，5）6随机过程的时间一致性我们为随机变量和随机过程的各种类型的时间一致性保留相同的名称。然而，我们强调，随机过程的时间一致性的本质通常要复杂得多。如果ψ是LM度量，那么V∈ Vp，那么为了比较φt（V）和φs（V），对于s>t，还需要考虑t和s之间的现金流。为了考虑中间现金流，我们适当修改了更新规则的概念。定义6.1。

族u={ut，s:t，s∈ T、 图的T<s}uT，s:\'Ls×X→\'\'LTI称为代理化更新规则（如果适用于任何X）∈ X系列u（·，X）={ut，s（·，X）：t，s∈ T、 T<s}是最新的规则。22 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.PiteraNote注意，定义4中引入了更新规则。2 m可以被认为是广义的dupdate规则，它相对于X是常数，即对于任何X，Y，u（·，X）=u（·，Y）∈ 十、接下来，如果没有歧义，我们就放弃广义这个词。如前所述，如果存在{ut}t族，我们说upd ate规则u是s-不变的∈Tof图ut:\'L×X→\'Lt，使得任何s，t的ut，s（ms，X）=ut（ms，X）∈ T、 s>T，X∈ X和ms∈“是的。我们现在得出了时间一致性的相应定义。定义6.2。设u为广义更新规则。我们说动态LM测量值是u-接受（再sp.u-拒绝）时间一致的，如果≥ ms（分别为。≤) ==> ~nt（X）≥ ut，s（ms，X）（分别为。≤), （6.1）对于所有s，t∈ T、 s>T，X∈ X和ms∈“是的。特别是，如果属性（6.1）满足S=t+1，t=0，T，那么我们说φ是一步u-接受（或一步u-拒绝）时间一致的。在本节中，我们假设X=Vp。我们将把注意力集中在一步更新规则u上，以使ut，t+1（m，V）=ut，t+1（m）+f（Vt），t=0，T- 1，（6.2）式中，μ是随机变量的e步更新规则，d f:\'R→R是一个Borel可测函数，使得f（0）=0。假设属性（6.2）主要是为了在我们的结果和现有文献之间建立直接联系。此外，当使用形式为（6.2）的一步更新函数时，一步时间一致性f或随机变量是随机过程一步时间一致性的一种特殊情况，通过考虑只有最终支付的现金流，即V=（0。