道德风险与逆向选择下的银行监管激励

取ub>bb，然后取kg=kb=0和Rbuc，？（ub）-bUC，？（ub）擦- Bkb+ubbλkb+bUC，？（ub）bλkg- Bkg=（r+bλ）bbCr+bλbλ-bλρbρgr+bλbλ-bλbλ-bλr+bλ-ρgρbBr+bλ≤ （r+bλ）bbρgρbbλ-bλr+bλ-Br+bλρgρb= 0.如果C<ρgρbso是Csuch thatbUC的唯一值，则不等式是严格的，？求解HJB方程为C=ρgρb。- 对于C的大值，即C>ρgρb，我们有xC，？=+∞ 然后呢，布克=bUC公司。我们排除这种情况，因为这些函数不满足条件（4.13）。本节以第4.3条提案的结尾。证明是归纳法。对于j=1，结果在步骤2中得到证明，因此我们取任何j>1并假设bu？j-1求解相应的扩散方程。我们需要考虑三个不同的案例来证明这一点？J解方程（4.15）。在每一个例子中，我们都证明了（4.15）右侧的上确界是在θ=0的情况下得到的，因此扩散方程的形式与剩下一笔贷款的情况下的形式相同。然后，根据步骤2的分析，其解也满足变分不等式（4.9）。- 案例1：ub<bbj，bU？j（ub）<bbj。在这种情况下，对于任何（θ，h）∈bCj，我们有kg=kb=j。为了简化符号，定义cj（ub）：=bU？j（ub）擦- Bj+ubbλSHj.然后（4.15）中的上确界内的项变成了cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+θbλSHjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）,在这种情况下，θ的最佳选择是0（唯一），因为由于推论D.1，我们有bu？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h） <0。- 案例2：ub<bbj，bU？j（ub）≥bbj。在这种情况下，kb=j表示每（θ，h）∈密苏里州。（4.15）中的上确界内的术语变为SCJ（ub）-bU？j（ub）bλkgj+Bkg+θbU？j-1（ub- h） bλkgj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）.定义以下设置BCJ：=（θ，h）∈bCj：bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h）≥bbj公司,bCjj公司：=（θ，h）∈bCj：bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h） <bbj,注意，kg=0表示每（θ，h）∈bCjand kg=j（θ，h）∈bCjj公司。

此外，对于每个可行的h，对（0，h）属于cj。oIf（θ，h）∈bCjwe havecj（ub）-bU？j（ub）bλkgj+Bkg+θbU？j-1（ub- h） bλkgj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）= cj（ub）-bU？j（ub）bλj+θbU？j-1（ub- h） bλj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλj，其中不等式是由推论D.1得出的。oIf（θ，h）∈bCjjwe havecj（ub）-bU？j（ub）bλkgj+Bkg+θbU？j-1（ub- h） bλkgj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）= cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+θbU？j-1（ub- h） bλSHj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）< cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj=cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+bbj（bλSHj-bλj）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+bU？j（ub）bλSHj-bλj= cj（ub）-bU？j（ub）bλj，其中第一个不等式是推论D.1的结果，第二个不等式成立，因为b？j（ub）≥bbj。因此我们得出结论，在这种情况下θ的最佳值也是0（唯一）。- 案例3：ub≥bbj，bU？j（ub）≥bbj。由于命题D.2，我们知道（kb，kg）的值只有三种可能性。确定设置BC0,0j：=n（θ，h）∈密件抄送：ub- θ（ub- h）≥bbj，bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h）≥bbjo，bCj，0j：=n（θ，h）∈密件抄送：ub- θ（ub- h） <bbj，bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h）≥bbjo，bCj，jj：=n（θ，h）∈密件抄送：ub- θ（ub- h） <bbj，bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h） <bbjo。然后，（kb，kg）=（0，0）对于每个（θ，h）∈bC0,0j，（kb，kg）=（j，0）对于每个（θ，h）∈bCj，0jand（kb，kg）=（j，j）对于每个（θ，h）∈bCj，jj。而且，（0，h）对于任何可行的h都属于tobC0,0jif（θ，h）∈bC0,0j当（4.15）中的上确界内的项，由于推论D.1，等于bU？j（ub）ubr+bλj-bU？j（ub）bλj+θbλjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）≤bU？j（ub）ubr+bλj-bU？j（ub）bλj，oIf（θ，h）∈bCj，0j，然后h<bbjandub-bbjub公司-h<θ≤bU？j（ub）-bbjbU？j-1（ub-h） 。

（4.15）iscj（ub）中的上确界术语-bU？j（ub）bλj+θbU？j-1（ub- h） bλj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）< cj（ub）-bU？j（ub）bλj+乌兰巴托-bbjub公司- h类bU？j-1（ub- h） bλj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）λj+（ub-bbj）bU？j（ub）bλj-bU？j（ub）bλSHj=bU？j（ub）摩擦+ubbλj-bU？j（ub）bλj。这两个不等式都是推论D.1的直接结果最后，if（θ，h）∈bCj，jj，注意h<bbj，bU？j（ub）-bU？j-1（ub- h） <bbjandub-bbjub公司- h类≤bU？j（ub）-bbjbU？j-1（ub- h） <θ。然后，（4.15）中sup内的术语变成SCJ（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+θbλSHjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+bU？j（ub）-bbjbU？j-1（ub- h） bλSHjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+bλSHjbU？j（ub）-bbj公司-bU？j（ub）bU？j（ub）-bbjρgρb= cj（ub）-bbjbλj+bλSHj-ρbρgbU？j（ub）bU？j（ub）+ρbρgbU？j（ub）bbj=bλSHjbU？j（ub）乌兰巴托-ρbρgbU？j（ub）+bU？j（ub）摩擦+ρbρgbλSHjbbj- 北京-bλjbbj。第一个不等式来自推论D.1，第二个不等式来自映射h7-→bU？j-1（ub- h） /（ub- h） h的大值是否为非递减常数，这意味着bu？j-1（ub- h） /（ub- h）≤ ρg/ρb。现在我们使用bu的显式形式？jand计算λSHjbU？j（ub）乌兰巴托-ρbρgbU？j（ub）+bU？j（ub）摩擦+ρbρgbλSHjbbj- 北京-bλjbbj=ρgρbrub+bλSHjbbj-ρgρbBj-bλjbbj=ρgρbrub+Bj1.-ρgρb<ρgρbrub。最后一行中的术语对应于bU？j（ub）摩擦+ubbλj-bU？因此，这种情况下的最佳θ也是0。观察在这种情况下，每隔（θ，h）∈bC0,0J如ub所示- h类≥bbjis最佳。接下来我们继续讨论定理4.1。我们将证明分为3个步骤步骤1：让我们首先证明SDE（4.19）有一个独特的解决方案，记住ψ？在第一次违约后立即清算池。我们考虑两种情况：如果ub<bbI-Nt，右–连续性，我们可以找到（4.19）一些ε的每个解∈ （0，τ- t） 使ubs<bbI-Ntfor s∈ [t，t+ε]。

因此，ubsolves the ODEdubs=（r+bλSHI-Nt）瑞银- B（一）- Nt）ds，s∈ [t，t+ε]，其唯一解由ubs=e（r+bλSHI）给出-Nt）（s-t）乌兰巴托-B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司+B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt，s∈ [t，t+ε]。因此，只要没有违约，并且项目持续运行，UBS将是确定的，直到它达到值BBI-Nt。这最终会在timet发生吗？（ub）：=t+r+bλSHI-Ntlog公司bbI公司-Nt（r+bλI-Nt）ub（r+bλSHI-Nt）- B（一）- Nt）,我们从（4.19）中看到，在时间t？（ub）我们的dubs=0，因此ubs=bbI-NTFS∈ [t？（ub），τ）。在第二种情况下，如果ub≥bbI公司-Ntthen（4.19）变为dubs=-瑞银集团-dNs，s∈ [t，τ]，每s的ubs=ubs∈ [t，τ）。这证明了（4.19）的解在这两种情况下的存在性和唯一性。然后立即满足（3.3）中的第一个可积条件。o步骤2：现在我们转向ψ？下的banks值。如果ub≥bbI公司-根据之前的分析，我们知道UBS=ub≥bbI公司-NTFS∈ [t，τ），因此在这种情况下，ψ？是一个固定付款的短期合同，参见第B.1节。使用该节的坐标，因为付款c=ub（r+Bλj）ρbis，因此c≥ (R)cb≥ (R)CG两个银行都将始终工作，坏银行的价值函数为Ubt（ψ？）=ρbc/（r+bλI）-Nt）=U，良好银行之一为Ugt（ψ？）=ρgc/（r+bλI）-Nt）=ρg/ρbub=bU？我-Nt（ub）。如果ub<bbI-Nt，ψ？是否为延期t的短期合同？（ub）和固定付款，见第B.2节。使用该部分的旋转，因为c=(R)Cb，坏银行将始终逃避，其值函数为UBT（ψ？）=ρbce-（r+bλSHI-Nt）t？（ub）r+bλSHI-Nt+Br+bλSHI-Nt=ub。对于好银行，我们有两个子案例。

首先，如果ub∈ [x？I-Nt，bbI-Nt）然后“tg（c）”≥ t？（ub），因此好的银行将始终有效，其价值函数为UGT（ψ？）=ρgρbbbbλSHI-Nt公司-bλI-Ntr+bλSHI-NtI公司-Nt公司r+bλSHI-Ntr+bλI-Nt公司r+bλI-Ntr+bλSHI-Nt公司乌兰巴托-B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司r+bλI-Ntr+bλSHI-Nt=bU？我-Nt（ub）。如果ub∈Br+bλSHI-Nt，x？我-Nt公司那么tg（c）<t？（ub），那么好的银行将在时间t开始工作？（ub）和她的值函数是ugt（ψ？）=ρgρbr+bλSHI-Ntr+bλI-Nt公司乌兰巴托-B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司+B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt=bU？我-Nt（ub）。o步骤3：自Ubt（ψ？）=ub，我们有ψ？∈ Ab（t，ub）。现在考虑一个合同ψ=（D，θ，h1，b，h2，b）∈ Ab（t，ub）。我们可以调用ψsatifiesdubs（ψ）下的坏账银行价值函数=摩擦（ψ）- 黑色？，bs（ψ）+h1，bs+h2，bs（1- θs）λk？，b（ψ）sds公司- ρbdDs- h1，bsdNs- h2，bsdHs，含k？，bs（ψ）=1{h1，bs+（1-θs）h2，bs<bs}。定义流程gw：=Zwte-r（s）-t）ρgdDs+k？，gs（ψ）Bds+ e-r（w-t） bU？我-Nw（Ubw（ψ）），w∈ [t，τ]。注意，我们可以将第二项改写为以下形式（使用约定τNt=t，τNw+1=w）e-r（w-t） bU？我-Nw（Ubw（ψ））=NwXi=Nte-r（τi+1-t） bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）- e-r（τi-t） bU？我-我Ubτi（ψ）+西北方向-1Xi=Nte-r（τi+1-t）bU？我-（i+1）Ubτi+1（ψ）-bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）+bU？我-Nt公司Ubt（ψ）.从功能单元开始？jare C，我们可以将It^o公式应用于区间[τi∧ τ、 τi+1∧ τ） 与i∈ {Nt，…，Nw}获得第一个和的积分表达式。

关于第二个总数，请注意thatbU？我-（i+1）Ubτi+1（ψ）-bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）=bU？我-（i+1）Ub（τi+1）-（ψ）- h1，bτi+1-bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）Nτi+1-bU？我-（i+1）Ub（τi+1）-（ψ）- h1，bτi+1Hτi+1=Zτi+1τibU？我-（i+1）瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）dNs-Zτi+1τibU？我-（i+1）瑞银集团-（ψ）- h1，bs国土安全部。亨塞格τ∧v=bU？我-Nt（ub）+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t）ρg- ρbbU？我-我瑞银（ψ）dDs+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t）kgs（ψ）B- rbU？我-我瑞银（ψ）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） λk？，g（ψ）sθsbU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银（ψ）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） bU？0I-我瑞银（ψ）摩擦（ψ）- 黑色？，bs（ψ）+λk？，b（ψ）s（h1，bs+（1- θs）h2，bs）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）dNs- λk？，g（ψ）十二烷基硫酸钠-我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs国土安全部- λk？，g（ψ）s（1- θs）ds.我们知道每个u的导数？根据定义，jis大于ρg/ρbb，并且由于D是非递减的，因此积分的第一个总和是非正的。还有，功能BU？HJB方程组的jare解，这意味着对于任何可容许的契约，第二和第三个积分和也是非正的。我们推导出gτ∧v≤bU？我-Nt（ub）+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧版本（t-s）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）dNs- λk？，gsds-我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs国土安全部- λk？，g（ψ）s（1- θs）ds. （D.1）定义λ：=最大值1≤j≤IbλSHj。对于每一个我，我们都有这样的功能，回想一下功能单元？jare非递减，0EPk？时为空？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银（ψ）- h1，bsds公司燃气轮机≤ EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbube（r+λ）sds燃气轮机,这是有限的。

实际上，我们有两个连续的NDUB跳跃时间（ψ）=摩擦（ψ）- 黑色？，bs（ψ）+（h1，bs+（Ubs（ψ））- h1，bs）（1- θs））λk？，b（ψ）sds公司- ρbdDs≤摩擦（ψ）+h1，bsλk？，b（ψ）s+（Ubs（ψ）- h1，bs）（1- θs）λk？，b（ψ）sds=Ubs（ψ）r+（1- θs）λk？，b（ψ）sds+h1，bsθsλk？，b（ψ）十二烷基硫酸钠≤ 瑞银（ψ）r+λk？，b（ψ）sds，我们使用了h1，bs∈ [0，Ubs（ψ）]，函数BU？jare非递减，Ubs（ψ）从下方有界，并有正跳跃。类似的Epk？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）ds公司燃气轮机≤ EPk？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bsds公司燃气轮机+ EPk？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我瑞银集团-（ψ）ds公司燃气轮机≤ EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbUbs（ψ）ds燃气轮机+ EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbUbs（ψ）ds燃气轮机≤ 2EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbubr（r+λ）sds燃气轮机< ∞.上面出现的随机积分是鞅，取（D.1）中的条件期望，我们得到EPk？，g[gτ∧v | Gt]≤bU？我-Nt（ub）和从Fatou引理中我们得到了Bu？我-Nt（ub）≥ limv公司→∞EPk？，g级Gτ∧v燃气轮机≥ EPk？，g级limv公司→∞Gτ∧v燃气轮机= Ugt（ψ），我们在哪里使用它，Pk？，g级-a、 s.limv公司→∞Gτ∧v=limv→∞Zτ∧vte公司-r（s）-t）ρgdDs+k？，gs（ψ）Bds+ 1{v<τ}e-r（v-t） bU？我-Nv（Ubv（ψ））=Zτte-r（s）-t）ρgdDs+k？，gs（ψ）Bds.本节以第4.4条提案的结尾。请注意，包含Ct CTHOLD由定义决定，因此我们只需证明反向结论。我们将利用一次性付款合同来证明Ct中的每个点都属于可信的Ct集。我们首先确定通过点（ub，ug）的斜率ρg/ρb的直线=B（一）-Nt）r+λSHt，B（I-Nt）r+λSHtMt（ub）：=ρgρbub+Bjr+λSHt1.-ρgρb,设置CT：=n（ub，ug）∈ Vt×Vt:Mt（ub）≤ ug公司≤ Ut（ub）o，Ct：=n（ub，ug）∈ Vt×Vt:Lt（ub）≤ ug公司≤ Mt（ub）o.根据附录B.4节，我们知道Ct Cj。

事实上，上边界UT的每个点都属于可信集，如果我们仅通过在时间t处添加一次总付ε来扰动合同ψ=（θ，D），即dDψs=1{s=t}ε+dDψs，则ψ下银行的值为Ugt（ψ）=ug+ερgand Ubt（ψ）=ub+ερb，so（Ubt（ψ），Ugt（ψ））=（ub，ug）+ε（ρb，ρg）。我们用这个想法来证明Ct Cj。从命题4.2中，我们知道Ct中包含的Ltis图。因此，以下形式的任何点属于Ct（bub，bug）=（ub，ug）+`（ρb，ρg），`≥ 0，ug=Lt（ub）。（D.2）根据下边界Lt的几何形状，形式（D.2）的点集正好是Ct。可信集边界上的E主值函数。1纯粹道德风险中的最佳全面监控合同【51】中研究的全面监控问题认为，从社会角度来看，银行唯一可以接受的行为是，她从不逃避自己的监控责任。换句话说，只允许推荐值为k=0的合同。在本节中，没有逆向选择，因此只有一种类型的银行，主要结果是i=b、g、好银行或坏银行。该子问题中投资者的价值函数由Vpm给出，0t（R）：=ess sup（Di，θi）∈A0，i（t，R）EPZτt∧τ（I- Ns）uds- dDis燃气轮机,其中，可接受合同集A0，i（t，R）定义为R≥ bt，byA0，i（t，R）：=n（θi，Di）∈ Θ×D，s.t。

（θi，Di）强制k=0和Uit（θi，Di）≥ Ro。定义x>0时的函数φ（x）：=1+x1+2xx个-1，ψ（x）：=φ（x）- x（1- x） φ（x）。然后，让我们定义一些凹函数族，以下ODE系统的唯一解ru+bλjbbj（vij）（u）+ju-bλjvij（u）-u-bbjbbj-1vij-1（bbj-1） ！=0，u∈bbj，bbj+bbj-1i、，ru+bλjbbj（vij）（u）+ju-bλjvij（u）- vij公司-1（u-bbj）= 0，u∈bbj+bbj-1，γiji，ρi（vij）（u）+1=0，u>γij，（E.1），初始值γi：=bbandvi（u）：=vi-ρi（u-bb），u≥bb，vi：=ubλ-bb（r+bλ）ρibλ，其中j≥ 2，γij由r/bλj递归定义- 1.∈ vij公司-1（γij-bbj），（E.2）其中vij-1是凹函数vij的超微分-[51]的主要结果是E.1。假设bλj1.≤j≤i满足以下j的递归条件≥ 2rbλj- 1.≤vij公司-1.bbj公司-1.bbj公司-1和（vij-（1）bbj公司-1.+bbj公司-1vij-1.bbj公司-1.≤ ψrbλj.然后，在假设2.1下，系统（E.1）是适定的，我们有Vpm，0t（R）=suput≥RviI型-Nt（ut），其中（us）s≥定义为[t，τ）DU上SDE的唯一解决方案=rus+λI-NsbbI-Ns系列ds公司- ρidD？，是-{美国∈【bbI-Ns，bbI-Ns系列-1+bbI-Ns）}（美国-bbI公司-Ns系列-1） +bbI-Ns{美国∈【bbI-Ns+bbI-Ns系列-1，γiI-Ns）}dNs-{美国∈【bbI-Ns，bbI-Ns系列-1+bbI-Ns）}bbI-Ns系列-1+（美国-bbI公司-Ns）1{us∈【bbI-Ns+bbI-Ns系列-1，γiI-Ns）}dHs，初始值为utat t，我们定义了∈ [t，τ）和j=1，…，ID？，is：=1{s=t}（ut- γiI-Nt）+ρi+Zstδi-Nri（ur）dr，θ？s： =θI-Nsi（us），δji（u）：=1{u=γij}bλjbbj+rγijρi，θji（u）：=1{u∈[bbj，bbj-1+bbj）}u-bbjbbj-1+1{u∈【bbj+bbj】-1，γij）}。E、 2主要结果的证明我们从命题5.1开始这一部分。考虑任何时间t≥ 0取任意ub，c≥ C（一）- Nt），以及一些ψg∈袋子（t，bLI-Nt（ub，c），ub，c）。从引理C.2可知，ψgm的分量必须满足θg≡ 1和两个银行都逃避ψg。

付款决定了银行的效用以及DefinitionePKSH持有的以下股份Zτ岩-r（s）-t） dDgs燃气轮机=ub，c- C（一）- Nt）ρb。此外，合同项下投资者的效用ψgisEPkSHZτIt（u（I- Ns）ds- dDgs）燃气轮机=我-1Xi=Ntu（I- i） bλSHI-我- EPkSH公司ZτItdDgs燃气轮机.现在，请注意EpkshZτItdDgs燃气轮机≥ EPkSH公司Zτ岩-r（s）-t） dDgs燃气轮机=ub，c- C（一）- Nt）ρb，当且仅当dg在sizeub，c的时间t有跳变时，等式成立-C（一）-Nt）ρband dDgs=0，每s>t一次。这意味着投资者最好使用初始一次性付款的合同，然后不支付任何费用。因此，投资者在下边界上的价值函数由vl，gt（ub，c）=I给出-1Xi=Ntu（I- i） bλSHI-我-ub，c- C（一）- Nt）ρb.我们以第5.2条提案的结尾继续本节。考虑任何时间t≥ 0、取任意ub、c∈ [c（I- Nt，1），C（I- Nt），和ψg∈袋子（t、ub、c、ub、c）。从引理C.1中，我们知道，对于所有s，ψgm的分量必须满足dDgs=0≥ 这两家银行都将在这份合同下逃避责任。