道德风险与逆向选择下的银行监管激励

对于任何（θi，Di）∈ Θ×D，银行的价值函数具有动态性，对于t∈ [0，τ]，P- a、 s.dUit（θi，Di）=rUit（θi，Di）- 黑色？，it+λk？，伊齐特·1.- θitdt公司- ρidDit- Zit·dfMit，其中Zi是BSDE溶液的第二组分（3.2）。特别是，K？给出了银行的最佳监控选择？，it=（I- Nt）1{Zit·（1,1-θit）><bt}，其中bt：=BαI-Ntε，t≥ 请注意，上述结果意味着银行的监控选择必然是“砰砰”式的，即她要么监控所有剩余贷款，要么根本不监控，这反过来意味着投资者无法激励银行在给定时间只监控一小部分贷款。3.2引入可行集根据Cvitani'c、Wan和Yang的术语【14】，让我们讨论所谓的银行可行集。定义3.1。我们称之为ρi型银行预期收益的可行集，从t开始≥ 0，也就是说，从t开始，ρ型银行可以从投资者提供的所有可接受合同中获得所有可能的效用。我们的下一个结果给出了可行集Vit的显式形式，它和银行的类型无关。该证明被归入附录A，并要求引入kSH，这是一家在任何时候都不监控任何贷款的银行的策略，即kSH：=i- Nsfor every s≥ 0引理3.1。对于i∈ {g，b}和对于任何t≥ 0，我们有Vit=Vt，其中Vt：=B（一）- Nt）r+λkSHt+∞.4可信集在本节中，我们回到市场上有两种类型的银行的情况，并研究所谓的信用集，它是由银行在可接受合同下的成对价值函数组成的。如[14]所述，我们并不期望可行集中的所有点都对应于某个可容许合约下银行的一对可达到值。

因此，我们将遵循【14】提出的方法，并将描述可信集合的特征。我们强调了与[14]的一个重要区别，即在我们的背景下，可信集合变得动态，因为它取决于当前池的大小。在本节中，我们使用通用合同（θ，D）∈ Θ×D，不一定为特定类型的银行设计。4.1可信集及其边界的定义我们首先介绍一些符号。LetbλSHjbe当还剩j笔贷款时，kshw下的违约强度，即：saybλSHj：=αjj（1+ε）。我们在此假设，正如委托代理文献中常见的那样，在银行对其监控决策不一致的情况下，即Zit·（1，1- θit）>=bt，她以投资者的最大利益为出发点，因此监控所有I- n保留贷款。观察bλSHj=λkSHt=αI-Nt（I- Nt）（1+ε），每t≥ 0，以便我- Nt=j。然后确定1和I之间的任何整数jb，setbVj：=北京/r+bλSHj, ∞. 观察可行设置=B（一）- Nt）r+λkSHt+∞,满意度Vt=英属维尔京群岛-NTF每t≥ 0，因此可行集在时间上的唯一依赖性是由于剩余贷款的数量。可信集合的严格定义如下。定义4.1。任何时候t≥ 0，我们将可信集CTA定义为（ub，ug）的集合∈ Vt×Vt使得存在一些可容许的契约（θ，D）∈ Θ×D满足Ubt（θ，D）=ub，Ugt（θ，D）=ugand（Ubs（θ，D），Ugs（θ，D））∈ Vs×Vs每s∈ [t，τ），P-a、 s.给定开始时间t≥ 0和ub∈ Vt，定义一组合同，其中坏账银行的价值函数t等于ubAb（t，ub）：=（θ，D）∈ Θ×D:Ubt（θ，D）=ub.我们用Ut（ub）表示良好银行可以从所有合同（θ，D）中获得的最大值Ugt（θ，D）∈ Ab（t，ub）。我们还用Lt（ub）表示最低值。

接下来，连接：=（ub、ug）∈ Vt×Vt:Lt（ub）≤ ug公司≤ Ut（ub）.我们将在下面的命题4.4中证明，对于每个t，Ct=Ct≥ 0，可信集对时间的依赖性，与可行集一样，只来自I的值- Nt。特别是，这允许我们分别调用函数Lt和Ut当存在- Ntloans剩余。下一节的目的是证明所有这些主张，并获得边界的显式公式。我们从一些有用的技术成果开始，这些成果涉及银行根本不监控贷款的特定合同。4.2不监控的效用考虑任何开始时间t，以便I- Nt=j和任意θ∈ Θ。银行从总是逃避（不考虑付款）中获得的持续效用是kSH，θ，0= ubt公司kSH，θ，0= EPkSH公司Zτt∧τe-r（s）-t） BkSHsds公司燃气轮机. （4.1）该数量在θ中显然是不递减的，因此（4.1）在与θ的任何合同下达到其最小值≡ 0，等于c（j，1）：=Bj/r+bλSHj. 以下命题提供了（4.1）的值，当池在固定数量的违约m之后完全液化时。命题4.1。修复一些t≥ 0，设j：=I- Nt。对于m∈ {1，…，j}，设θm∈ Θ应确保在时间t后发生的第m次违约后，池立即清算，即θms：=（1，t≤ s≤ τNt+m，0，s>τNt+m。ρi型库从shirking isc（j，m）得到的效用：=Bjr+bλSHj+j-1Xi=j-m+1Bir+bλSHijY`=i+1bλSH` r+bλSH`。特别是在任何合同下，θ≡ 1，（4.1）达到其最大值，等于toC（j）：=c（j，j）=Bjr+bλSHj+j-1Xi=1Bir+bλSHijY`=i+1bλSH` r+bλSH`。（4.2）4.3可信集的下边界可信集的下边界是两个边界中较简单的边界，可以直接计算。

我们将看到它是一个分段线性函数，对应于两条具有不同斜率的直线。本节的所有证明都收集在附录C中。下一个命题陈述了确定下边界的主要不等式。引理4.1。对于任何t∈ [0，τ]和任何可接受的合同（θ，D）∈ Θ×D，好银行和坏银行的价值函数满足，P-a、 s.Ugt（θ，D）≥ Ubt（θ，D），（4.3）Ugt（θ，D）≥ρgρbUbt（θ，D）-（ρg- ρb）ρbC（I- Nt），（4.4），其中函数C在（4.2）中定义。利用引理4.1，我们证明了可信集下边界的以下特征。提案4.2。对于任何t≥ 0和任何ub∈ Vt，可信集的下边界由t（ub）给出=ub，c（I- Nt，1）≤ 乌兰巴托≤ C（一）- Nt），ρgρbub-（ρg- ρb）ρbC（I- Nt），C（I- Nt）≤ ub<+∞.特别是，Lt（ub）对t的依赖性仅来自于t时的未违约贷款数量，我们可以确定任何j∈ {1，…，I}，由blj（ub）给出的数量blj（ub）：=ub，c（j，1）≤ 乌兰巴托≤ C（j），ρgρbub-（ρg- ρb）ρbC（j），C（j）≤ ub<+∞,为此我们有-Nt（ub）=Lt（ub）。备注4.1。当然，本节的计算取决于我们的建模选择，不太可能直接适用于其他情况。然而，有一种确定下边界（以及上边界）的通用方法，我们将在下一节中详细介绍。这相当于解决一个实际的合同情况，即好银行雇佣坏银行，并在其监控选择上最小化（上限最大化）其效用，以及坏银行收到固定效用ub的所有合同。

这个控制问题的动态值函数正好是Lt（ub），因为它对应于当坏银行收到ub时，好银行可以拥有的最小效用。4.4可信集的上边界可信集的上边界不像下边界那么容易获得，我们必须解决一个特定的随机控制问题来识别它。请注意，此方法与[14]中使用的方法类似。让我们确定任何合同（θ，D）∈ Θ×D.我们提醒读者，由于命题3.1，我们知道存在G-满足（3.3）中第二个可积条件的可预测可积过程（h1，g（θ，D），h2，g（θ，D））和thattdugs（θ，D）=地毯（θ，D）- 黑色？，gs（θ，D）ds公司- ρgdDs- h1，gs（θ，D）dNs- λk？，g（θ，D）十二烷基硫酸钠- h2，gs（θ，D）国土安全部- （1）- θs）λk？，g（θ，D）十二烷基硫酸钠, s∈ [0，τ]，（4.5）其中最佳监测选择k？，g（θ，D）由k？给出？，gs（θ，D）=（I-Ns）1{h1，gs（θ，D）+（1-θs）h2，gs（θ，D）<bs}。同样，存在G-满足（3.3）中第二个可积条件的可预测过程（h1，b（θ，D），h2，b（θ，D））和类似的过程（θ，D）=摩擦（θ，D）- 黑色？，bs（θ，D）ds公司- ρbdDs- h1，bs（θ，D）dNs- λk？，b（θ，D）十二烷基硫酸钠- h2，bs（θ，D）国土安全部- （1）- θs）λk？，b（θ，D）十二烷基硫酸钠, s∈ [0，τ]，（4.6），带k？，bs（θ，D）=（I- Ns）1{h1，bs（θ，D）+（1-θs）h2，bs（θ，D）<bs}。我们将使用动力学（4.5）–（4.6）来定义一组简单的可接受契约，在这些契约中，我们将把两个代理的价值函数重新解释为受控的扩散过程，其中控制是（D、θ、h1、g、h2、g、h1、b、h2、b），并且满足瞬时条件（a.3）。显然，至少乍一看，这样做让我们看到了更大类别的“合同”，因为在上述银行价值函数的表示中，过程（h1、g、h2、g、h1、b、h2、b）的选择不是自由的，因为它们完全由（θ、D）的选择决定。

尽管如此，正如我们将在下面看到的，这仍然描述了完全相同的一组合同。同时，让我们用H表示非负的集合，G-满足某些β>0EP的可预测过程hZτe（βε-2r）s | hs | ds< +∞.我们滥用符号和定义，对于每个ψ：=（D，θ，h1，g，h2，g，h1，b，h2，b）∈ D×Θ×H，过程Ug（ψ）和Ub（ψ），满足以下SDEsdUgs（ψ）=地毯（ψ）- 黑色？，gs（ψ）ds公司- ρgdDs- h1，gsdNs- λk？，g（ψ）十二烷基硫酸钠- h2，gs国土安全部- （1）- θs）λk？，g（ψ）十二烷基硫酸钠, （4.7）dUbs（ψ）=摩擦（ψ）- 黑色？，bs（ψ）ds公司- ρbdDs- h1，bsdNs- λk？，b（ψ）十二烷基硫酸钠- h2，bs国土安全部- （1）- θs）λk？，b（ψ）十二烷基硫酸钠, （4.8）我们在哪里定义？，gs（ψ）：=（I- Ns）1{h1，gs+（1-θs）h2，gs<bs}，k？，bs（ψ）：=（I- Ns）1{h1，bs+（1-θs）h2，bs<bs}。备注4.2。在模型中，没有必要考虑h1、gand h1、bas正过程，我们这样做只是出于技术原因。直觉上，最优合约应该满足这一额外约束，因为投资者不会从早期违约中受益，如果合约在其中一次违约后增加了银行的持续效用，银行应该尽可能提高违约强度。备注4.3。从定义开始，立即给出ψ：=（D，θ，h1，g，h2，g，h1，b，h2，b）∈ D××H，Ug（ψ）的动力学只取决于（D，θ，h1，g，h2，g），而Ub（ψ）的动力学只取决于（D，θ，h1，b，h2，b）。

因此，我们有时也会使用符号Ug（ψ）、Ub（ψ）、k？，g（ψ）和k？，b（ψ）当ψ∈ D×Θ×H.固定（t、ub、ug）∈ R+×Vt，我们将合同集A（t，ub，ug）定义为ψ的集合：=（D，θ，h1，g，h2，g，h1，b，h2，b）∈（4.7）和（4.8）至少有一个弱解，满足（3.3）中的第一个可积条件，此外-（ψ）=h1，is+h2，is，Uis-（ψ）- h1，is≥B（一）- Ns）r+λSHs，s∈ [t，τ]，Uit（ψ）=ui，i∈ {b，g}。我们在上面声明的是所有过程（D，θ）∈ D×Θ可以从合同（D，θ，h1，g，h2，g，h1，b，h2，b）=：ψ）中获得∈ A（0，ub，ug），这意味着我们在重新制定中没有扩大所有可接受合同的类别。事实上，我们已经从第3节的结果中知道，好银行和坏银行的持续效用给定一个合同（D，θ）∈ D×Θ完全被描述为相应BSDE（3.2）的唯一解决方案，此外还满足（3.3）。如果我们取一些ψ∈ A（0，ub，ug），则过程ug（ψ），ub（ψ）立即解出相应的BSDE（3.2），因为动力学是通过定义得到的正确的动力学，我们得到ugτ（ψ）=ubτ（ψ）=0，并且满足所有要求的可积性条件。通过BSDE解的唯一性，我们因此必须得到ug（ψ）=ug（θ，D），ub（ψ）=ub（θ，D）。为了描述可信集上边界的随机控制问题，我们需要引入额外的符号。对于任何开始时间t∈ [0，τ]和每个ub≥ B（一）- Nt）/r+bλSHI-Nt公司, 设Ab（t，ub）为四个小生命ψ=（D，θ，h1，b，h2，b）的集合∈ D×Θ×hs使得（4.8）至少有一个弱溶液，满足（3.3）中的可逆性条件以及asUbs-（ψ）=h1，bs+h2，bs，Ubs-（ψ）- h1，bs≥B（一）- Ns）r+λI-Nss，s∈ [t，τ]，Ubt（ψ）=ub。我们将滥用符号，并将Ab（t，ub）合同的要素称为。

上边界UT解决了以下控制问题UT（ub）=ess sup（kg，ψ）∈K×Ab（t，ub）EPkgZτt∧τe-r（s）-t）ρgdDs+Bkgsds燃气轮机,通常，ψ中的所有过程都可以是Ug（ψ）和Ub（ψ）路径的泛函，在这种情况下，必须假设des的适定性是定义的一部分。根据动态UBR（ψ）=ub+Zrt摩擦- 黑色？，bs（ψ）+h1，bsλk？，bs+h2，bs（1- θs）λk？，学士学位ds公司- ρbdDs-Zrth1，bsdNs-Zrth2，bsdHs，r∈ [t，τ]。事实上，上述随机控制问题对应于好银行可以从任何可接受的合同中获得的最高值，同时确保当坏银行接受所述合同时，她得到的正是ub，这正是可信集上边界的定义。另一种解释这个问题的方法是，它对应于（实际）情况，即好银行雇佣坏银行，而坏银行希望获得ub的效用，并在所有合同中最大化其效用，确保满足该约束。提案3.1结果的重要性在于，它允许我们轻松获得任何初始效用的坏账银行持续效用的动态行为，这反过来又允许我们通过集合ABA和状态变量Ub（ψ）简单地表示问题中的约束。下一小节将首先获得与上述问题相关的HJB方程及其解，然后最终证明适用于我们框架的验证定理。请注意，以上事实上是一个奇异的随机控制问题，因为控制D是一个非递减过程，对于Lebesgue测度，它不一定是绝对连续的。我们请读者参阅弗莱明和索纳的专著，以了解更多细节。

特别是，这意味着与该问题相关的HJB方程将是一个具有梯度约束的变分不等式。4.4.1上限的HJB方程与下限的情况一样，我们预计上限的时间依赖性仅来自当前剩余贷款的数量。在这种情况下，描述上边界行为的HJB方程必然形成一个递归系统，当j贷款剩余时，上边界取决于其中一个和j- 1还剩贷款。我们将写下这个系统，明确地解决它，并证明一个验证定理，确保我们最初的猜测确实是正确的。修复一些1≤ j≤ 一、 并确定每k=0，1，···，j，bλkj：=αj（j+kε）。与之前的控制问题相关的HJB方程组由BU给出≡ 0，对于任何1≤ j≤ I和ub≥Bjr+bλSHjmin(- sup（θ，h，h）∈Cj（bUj（ub）乌兰巴托- Bkb+（h+（1- θ） h）bλkbj+bλkgjθbUj-1（ub- h）- （bλkgj+r）bUj（ub）+Bkg），bUj（ub）-ρgρb）=0，（4.9），附加边界条件buj（Bj/（r+bλSHj））=Bj/（r+bλSHj），其中我们定义了简化kb：=j1{h+（1-θ） h<bbj}，kg：=j1{bUj（ub）-θbUj-1（ub-h） <bbj}，以及asCj：=（θ，h，h）∈ [0，1]×R+：h+h=ub，h≥B（j- 1） r+bλSHj-1..备注4.4。注意，如果我们对上边界的时间依赖性的猜测是正确的，那么我们必须为any≥ 0，Us=bUI-Ns。然后好银行的激励相容条件隐含在HJB方程中。事实上，每次≥ 0我们有-Ns系列瑞银（ψ）-bUI公司-Ns系列-瑞银集团-（ψ）=bUI公司-Ns系列--1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs（ψ）-别伊-Ns系列-瑞银集团-（ψ）Ns系列-bUI公司-Ns系列--1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs（ψ）Hs，这意味着在上边界h1上，gs（ψ）=bUI-Ns系列-瑞银集团-（ψ）-bUI公司-Ns系列--1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs（ψ）h2，gs（ψ）=bUI-Ns系列--1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs（ψ）.

因此H1，gs（ψ）+（1- θgs）h2，gs（ψ）=bUI-Ns系列-瑞银集团-（ψ）- θgsbUI-Ns系列--1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs（ψ）.在buj（ub）>ρg/ρb的点，变分不等式（4.9）的第一项必须等于零，因此上边界必须满足以下等式rbuj（ub）=sup（θ，h，h）∈CjnbUj（ub）擦- Bkb+（h+（1- θ） h）bλkbj+bUj公司-1（ub- h） θ-bUj（ub）bλkgj+Bkgo。（4.10）我们将此方程称为扩散方程步骤1：对于1笔贷款，求解微分方程在处理变分不等式（4.9）之前，我们将求解微分方程（4.10）。当j=1时，它将还原为bU（ub）=bU（ub）擦- Bkb+ubbλkb-bU（ub）bλkg+Bkg，（4.11），其中kb=1{ub<bb}，kg=1{bU（ub）<bb}。备注4.5。请注意，边界条件Br+bλ=Br+bλ在方程中是隐式的。我们的第一个结果如下，其证明推迟到附录D引理4.2。微分方程（4.10）有一系列连续可微分的解，由一些常数C>0索引，由BUC（ub）给出：=Cr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ，ub∈Br+bλ，xC，？,Cbbbλ-bλr+bλr+bλr+bλr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ，ub∈xC，？，bb型,幼崽，ub∈bb+∞,其中xC，？：=Cr+bλr+bλbbr+bλr+bλ+Br+bλ。o步骤2：对于1笔贷款，求解HJB方程在这种情况下，变分不等式（4.9）减少了tominrbU（ub）-bU（ub）擦- Bkb+ubbλkb+bU（ub）bλkg- Bkg，bU（ub）-ρgρb= 0。（4.12）我们已经在这个变分不等式中找到了扩散方程的解，现在我们将处理整个HJB方程。我们期望上边界饱和ub的BigValue变分不等式中的第二项，因此我们将搜索满足以下条件的（4.12）解：存在x？∈ [B/（r+Bλ），∞)例如thatbU（x？）=ρgρbandbU（ub）>ρgρb，对于ub<x？。