道德风险与逆向选择下的银行监管激励

然后，θgd按以下方式确定银行的延续效用ub，c=EPkSHZτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机,所以在这种情况下，问题（5.2）简化为（P）supθ∈ΘEPkSHZτtu（I- Ns）ds燃气轮机, s、 t EPkSH公司Zτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机= 接下来，我们以更方便的方式重写目标函数EpkshZτtu（I- Ns）ds燃气轮机= u（I- Nt）EPkSHτNt+1- t型燃气轮机+我-1Xi=Nt+1u（I- i） EPkSH公司{τ>τi}（τi+1- τi）燃气轮机=u（I- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1u（I- i） EPkSH公司EPkSH公司{τ>τi}GτiEPkSH公司τi+1- τiGτi燃气轮机=u（I- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1u（I- i） bλSHI-iEPkSH[θτi | Gt]。我们对constraintEPkSH执行相同的操作Zτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机= EPkSH公司ZτNt+1tB（I- Nt）e-r（s）-t） ds+I-1Xi=Nt+1{τ>τi}Zτi+1τie-r（s）-t） B（一）- i） ds公司燃气轮机=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1B（I- i） rEPkSH公司EPkSHh{τ>τi}e-r（τi-t）- e-r（τi+1-t）Gτii燃气轮机=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θτie-r（τi-t）燃气轮机.因此，我们得到了问题（P）的以下表达式supθ∈Θu（I- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1u（I- i） bλSHI-iEPkSH[θτi | Gt]，s.tB（i- Nt）r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θτie-r（τi-t）燃气轮机= ub，c。我们不知道如何直接求解（P），因此我们将定义其对偶问题，描述其解的特征，并证明对偶映射为零。

为此，我们定义了拉格朗日函数L：Θ×R×Ohm -→ R如下（θ，ν，ω）：=-u（I- Nt（ω））bλSHI-Nt（ω）-我-1Xi=Nt（ω）+1u（I- i） bλSHI-iEPkSH[θτi | Gt]（ω）+νB（一）- Nt（ω））r+bλSHI-Nt（ω）+I-1Xi=Nt（ω）+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θτie-r（τi-t）燃气轮机（ω）- ub，c,并分别定义了对偶函数和对偶问题asg（ν，ω）：=infθ∈ΘL（θ，ν，ω），（D）supν∈Rg（ν，ω）然后，我们有弱对偶不等式（其中val表示优化问题的值）-val（P）=infθ∈Θsupν∈RL（θ，ν，ω）≥ supν∈Rinfθ∈ΘL（θ，ν，ω）=val（D）。我们将对偶函数重写为如下g（ν，ω）=-u（I- Nt（ω））bλSHI-Nt（ω）+νB（一）- Nt（ω））r+bλSHI-Nt（ω）- ub，c+ infθ∈ΘI-1Xi=Nt（ω）+1ZOhmθτi（eω）νB（I- i） r+bλSHI-ie-r（τi（eω）-t）-u（I- i） bλSHI-我dPSHt，ω（eω），其中PSHt，ω是关于Gt原始（即未完成）版本的条件期望的正则条件概率分布。我们很容易就知道，将最优控制θν设置为θντi（eω）：=1eω是最优的∈Aiν（eω），其中集合Aiν由Aiν定义：=Ohm, 如果ν<uBr+bλSHI-ibλSHI-我，eω：τi（eω）- t>rlnνBbλSHI-iu（r+bλSHI-（一）, 如果ν≥uBr+bλSHI-ibλSHI-i、 因此，对于任何ν∈ R对偶函数具有以下形式，使用τi的条件定律- 给定的t是τig（ν，ω）=-u（I- Nt（ω））bλSHI-Nt（ω）+νB（一）- Nt（ω））r+bλSHI-Nt（ω）- ub，c+我-1Xi=Nt（ω）+1Z∞si（ν）νB（I- i） e类-rxr+bλSHI-我-u（I- i） bλSHI-我fτi（x）dx。（E.3）不难看出g是一个连续且可微分的函数。当我们想在对偶问题中最大化g时，我们计算它对ν的导数，得到g（ν，ω）=B（I- Nt（ω））r+bλSHI-Nt公司- ub，c+I-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（I- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx。自ν7起-→ 对于任何i=1，…，si（ν）都是非递减的，一、 gis不增加，单位为ν。

此外，由于ub，c≥ c（一）- Nt，1），我们的限制为+∞ 因为ub，c<c（I- Nt）和B（I- Nt（ω））r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1Z∞B（一）- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx=C（i- Nt）。因此，有一个唯一的值ν使gequal为0。现在，我们从控制θνI的首要问题中计算任意ν的约束值-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θντie-r（τi-t）燃气轮机=我-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（I- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx，所以θν在问题（P）中是可行的当且仅当g（ν，ω）=0。接下来，我们计算θν的主要（最小化）问题中目标函数的值-u（I- Nt）bλSHI-Nt公司-我-1Xi=Nt+1u（I- i） bλSHI-iEPkSHt公司θντi= -u（I- Nt）bλSHI-Nt公司-我-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）u（I- i） bλSHI-如果τi（x）dx。如果这个量等于g（ν，·），则对偶间隙为零。从（E.3）中我们可以看到，当且仅当νB（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司- ub，c+I-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（I- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx= 0<==> νg（ν，·）=0。我们得出结论，如果ν∈ R是这样的，g（ν）=0，那么控制θν在原始问题中是最优的。我们继续讨论命题5.3。确定流程\'s=bUI-Ns（Ub，cs（ψg））- Ugs（ψg），注意≥ 每s为0≥ 我们将证明\'t=0意味着\'v=0对于每个v≥ t、 因此，假设\'t=0。

遵循定理4.1证明中的相同思想，我们对v≥ t`v=I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧v-地毯（ψg）- 黑色？，gs（ψg）+[h1，gs+（1- θgs）h2，gs]λk？，g（ψg）sds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vbUI-i（Ub，cs（ψg））摩擦，cs（ψg）- 黑色？，b、 cs（ψg）+λk？，b、 c（ψg）I-i（h1、b、cs+（1- θgs）h2，b，cs）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh1，gs+bUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub、cs-（ψg））dNs+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh2，gs-bUI公司-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）国土安全部+ρg- ρbbUI-i（Ub，cs（ψg））dDgs。由于函数可解HJB方程组（4.9），且ρg- ρbbUi（Ub，cs（ψg））dDgs≤ 对于每个s，我们有\'v≤我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vrbUI-i（Ub，cs（ψg））- 地毯（ψg）- [h1，gs+（1- θgs）h2，gs]λk？，g（ψg）sds公司-我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vλk？，g（ψg）sθsbUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub，cs（ψg））ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh1，gs+bUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub、cs-（ψg））dNs+h2，gs-bUI公司-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）dHs=I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vr+λk？，gs公司bUI公司-i（Ub，cs（ψg））- Ugs（ψg）+h2，gs-bUI公司-我-1（Ub，cs（ψg）- h1、b、cs）θgsλk？，gsds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh1，gs+bUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub、cs-（ψg））dNs+h2，gs-bUI公司-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）国土安全部。回想备注4.4，在上边界上，我们有h1，gs=bUI-Ns系列-（Ub、cs-（ψg））-bUI公司-Ns系列--1（Ub、cs-（ψg）- h1，b，cs（ψg）），h2，gs=bUI-Ns系列--1（Ub、cs-（ψg）- h1，b，cs（ψg）），因此对于i=Nt，右侧的漂移为0 in【τi，τi+1】，时间τi+1的跳跃也为0。很容易看出，对于每个i∈ {Nt，…，I}因此\'v≤ 每v 0≥ 0表示“v=0，每v≥ t、 我们继续讨论命题5.4。（i） 我们从命题5.3的证明中得出，过程（θg，h1，b，c，h2，b，c）是HJB方程组（4.9）的必要最大值。

我们可以回到命题4.3的证明，它基于推论D。1，观察对于ub，c<BBJ最佳θ∈ cj由θ=0唯一给出。（ii）观察每个（t、ub、c、ug）∈ [0，τ]×bVI-Nt×bVI-Ntandψg∈袋子（t，ug，ub，c）我们有ub，ct（ψg）≥ EPk？，g（ψg）Zτte-r（s）-t） （ρbdDgs+Bk？，gs（ψg）ds）燃气轮机=ρbρgUgt（ψg）+EPk？，g（ψg）Zτte-r（s）-t） 黑色？，gs（ψg）ds燃气轮机1.-ρbρg≥ρbρgUgt（ψg）。那么Ub，cs（ψg）=ρgρbUgs（ψg）意味着k？，gs（ψg）=k？，b、 cs（ψg）=0，对于每s∈ [s，τ），在随后的ub中，cs（ψg）=ρgρbUgs（ψg）≥ bs，对于每个s∈ [s，τ）。我们继续讨论命题5.5。我们将证明分为两步。o步骤1：我们从区域ub开始，c>bbI-Nt。设ψg=（Dg，θg，h1，b，c，h2，b，c）∈ Ag（t，ub，c）使得ub，ct（ψg）=ub，c≥bbI公司-Nt，Ugt（ψg）=bUI-Nt（ub，c）。根据命题5.4，我们知道ub，cs（ψg）≥bbI公司-Ns，k？，b、 c（ψg）=0，s∈ 因此，问题（5.3）等价于Vu，gt（ub，c）=supψg∈Ag（t、ub、c）EPZτtu（I- Ns）ds-ZτtdDgs, s、 t型Ub，cs（ψg）≥bbI公司-Ns，s∈ [t，τ），EPZτte-r（s）-t） dDgs=ub，cρb。这正是Pagès和Possamaè[51]中考虑的问题（见定理3.15）。

我们得出结论，VU，gt（ub，c）=vbI-Nt（ub，c）。o步骤2：对于上边界的其余部分，观察与（5.3）相关的HJB方程组由BV给出≡ 0，对于任何1≤ j≤ 伊敏(- sup（θ，h，h）∈CU，j（bVj（ub，c）摩擦，c- Bkb，c+（h+（1- θ） h）bλkb，cj+uj+bλkgjθbVj-1（ub，c- h）-bλkgjbVj（ub，c）），bVj（ub，c）+ρb）=0，（E.4）对于每个ub，c≥Bjr+bλSHj，边界条件bvj（Bj/（r+bλSHj））=uj/bλSHj，其中kb，c：=j1{h+（1-θ） h<bbj}，kg：=j1{bU？j（ub，c）-θbU？j-1（ub，c-h） 由命题5.4确定的约束集CU，j由CU，j定义：=（θ，h，h）∈ [0，1]×R+：h+h=ub，c，h≥B（j- 1） r+bλSHj-1，θ1{ub，c<bbj}=（kb，c+kg）1{ub，c≥bbj}=0.然后，对于任何ub，c<bbj，则（E.4）中的扩散方程简化为ODE0=bVj（ub，c）r+bλSHjub，c- 北京-边界条件为bVj的bVj（ub，c）bλkgj+uj，（E.5）Bjr+bλSHj=ujbλSHj。如果ub，c<x？j、 我们得到bvj（ub，c）=ujbλSHj+Cr+bλSHjbλSHj！ub，c-BjbλSHj！bλSHjr+bλSHj，对于某些C∈ R、 如果ub，c∈hx？j、 bbj公司, 方程（E.5）通过bvj（ub，c）=ujbλj+Cr+bλSHjbλj！ub，c-Bjbλj！bλjr+bλSHj，对于某些C∈ R、 方程（E.5）的解为连续的Cand Cfor值areC=ujbλj-ujbλSHj+ρbρgbλjr+bλjvbj（bbj）-ujbλjρbρgbλSHjr+bλjbbj（r+bλj）bλSHjbλSHjr+bλSHj，C=vbj（bbj）-ujbλjbbjr+bλjbλj-bλjr+bλSHj。从贴图vbj的属性可以看出，生成的函数bvjis是坡度大于-1/ρ带因此族{bVj}1≤j≤Iis HJB方程组的解（E.4）。可以类似于第4.1条的证明（也可参见[51]中的定理3.15）证明，验证结果适用于该函数族。因此，我们省略了这个结果的顶部。我们继续讨论命题5.6。根据定义，我们得到了设置的equalitybAg（t，bLI-Nt（ub），ub）=bAb（t，bLI-Nt（ub），ub）。

从引理C.1和C.2我们知道，对于每个ψb∈bAb（t，bLI-Nt（ub），ub），这两个代理总是逃避ψb，因此VL，gt（ub）和VL，bt（ub）定义中的目标函数也是相同的，并且相等。我们继续讨论5.7号提案。该证明与命题5.5的证明相同，唯一不同的是，由于校长雇佣了坏代理人，对于ub<bbj，与值函数相关的ODE为0=bVj（ub）r+bλSHj乌兰巴托- 北京-bVj（ub）bλSHj+uj，边界条件为bVjBjr+bλSHj=ujbλSHj。本节以第5.9条提案的结尾。付款和θ的值？在ub的情况下≥ C（一）- Nt）是命题5.1证明的直接结果。根据命题5.2的证明，如果ub<C（I- Nt）然后θ？s=1ns-t> rln公司ν（ub）BbλSHI-Ntu（r+bλSHI-Nt）o、 其中ν（ub）相关对偶问题的解。由于对数内的量随时间减少，我们得到θ？是一个从零开始，在某个瞬间跳到一，然后保持不变的过程。这意味着如果θ？在某个时间s跳到1，并且项目仍在运行，则坏代理的延续实用程序必然等于toC（I- Ns），因为项目将持续到最后一个默认值。F模型的扩展F。1提案6.1的内生保留效用。定义RibyRit的动态版本：=supk∈KEPk公司Zτ岩-r（s）-t） （ρiu（i- Ns）+Bks）ds英尺.注意，由于我们之前的结果，我们知道前面的表达式仅通过I的值依赖于t- Nt。打电话给thenbRiI-Nt=Rit，存在I时的值- Ntloans剩余。ρiin（τI）型agentof的显式值和最优作用-1，τ）是在B节中对固定付款短期合同的研究中获得的。

现在假设j>1，并且brij的值-1以及违约后代理人的最佳行动τI-jare已经知道了。如果代理行决定监控（τI）中的所有贷款-j、 τI-j+1），其预期效用将由ui（0）给出：=ρiujr+bλj+bλjr+λjbRij-1、与此操作关联的进程h1，i（0）由h1，i（0）：=ui（0）给出-布里吉-1=ρiujr+bλj-rr+bλjbRij-因此，监控（τI）中的所有贷款是激励相容的-1，τ）当且仅当ifh1，i（0）≥ 北京<==> ρiuj- rbRij公司-1.≥ bj（r+bλj）。同样，如果代理人选择逃避（τI-j、 τI-j+1），其预期效用将等于toui（j）：=ρiuj+Bjr+bλSHj+bλSHjr+bλSHjbRij-1、与该动作相关联的过程h1，i（0）由h1，i（j）：=ui（j）给出-布里吉-1=ρiuj+Bjr+bλSHj-rr+bλSHjbRij-1，且不监控（τI）中的任何贷款是激励相容的-1，τ）当且仅当ifh1，i（j）<bj<==> ρiuj+Bj- rbRij公司-1<bj（r+bλSHj）<==> ρiuj- rbRij公司-1<bj（r+bλj）。F、 2银行公用事业之间的无限关系我们模型的可能扩展可能依赖于两家银行工作之间的进一步差异，即当两家银行都工作时，好的银行将更加有效，因为相关违约强度严格小于坏银行的违约强度。我们可以通过引入一个额外的类型变量来实现这一点，该变量的值为mg和mb，mg<mb，并对时间t时未违约贷款j的风险率进行建模，当i类银行将其监测为αj时，它=αi-Nt（1+ej，itmi+（1- ej，it）ε）。然后，如果银行未能监控k贷款，违约强度将为λk，它=αI-Nt（（I- Nt）（1+mi）+（ε- mi）kt）。我们之所以不考虑这种情况，是因为它产生了退化，即可信集合不再有上限。

实际上，为了简单起见，考虑j=1的情况，并取任意ub≥ bj，t？≥ 0并选择相应的付款C（t？）：=ube（r+bλ0，b）t？（r+bλ0，b）ρb≥bb（r+bλ0，b）ρb≥bg（r+bλ0，g）ρg。然后，根据合同，延迟和固定付款由dDs=c（t？）1{s>t？}ds坏银行将始终工作，其价值函数将等于ub（见第B.2节）。请注意，好银行的最佳策略也将是每次都能奏效。然后，她的值函数等于toug：=ubρg（r+bλ0，b）ρb（r+bλ0，g）e（bλ0，b-bλ0，g）t？。我们看到，通过增加t？，我们可以随心所欲地将UGA做大，并固定坏银行的价值。这意味着可信集在区间[bb，∞). 移动到任何j>1，考虑到θ=0和类似付款的延迟短期合同，我们观察到相同的退化，可信集在区间[bbj，∞).解决此问题的一种方法是考虑银行的不同贴现率，即rb和rg，并假设违约强度为λ0，bt+rb≤ λ0，gt+rg。然而，这使事情复杂化了很多，因为我们期望为真的简单陈述很难证明，或者需要对问题的参数进行假设。例如不等式Ugt（D，θ）≥ Ubt（D，θ）不再清晰。因此，我们没有朝着这个方向前进，而是将其留给未来可能的研究。