道德风险与逆向选择下的银行监管激励

（4.13）乍一看，这样做似乎会面临无法找到动态编程方程正确解的风险。然而，事实并非如此，我们稍后将证明一个验证结果，该结果确保我们在此条件下找到的解确实对应于可信集的上边界。附录D引理4.3给出了以下引理的极限。满足条件（4.13）的HJB方程（4.12）的唯一解由Definingx？：=xρg/ρb，？bU？（ub）：=bUρg/ρb（ub）=ρgρbr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ，ub∈Br+bλ，x？,ρgρbbbbλ-bλr+bλr+bλr+bλr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ，ub∈x？，bb型,ρgρbub，ub∈bb+∞.（4.14）如图1所示，我们显示了可信集，该可信集对应于由其上下边界分隔的区域。在这个例子中，我们考虑了r=0.02，B=0.002，ε=0.25，α=0.055，ρgρB=2步骤3：在一般情况下求解HJB方程br+bλ11x？1bb1Br+bλ11bb1ρgρbbb1ug=ubbL1（ub）bU？1（ub）UBUG图1：还剩一笔贷款的可信集合。在一般情况下，当j>1时，我们可以减少变量的数量，并将扩散方程（4.10）改写为一个等效的公式rbuj（ub）=sup（θ，h）∈bCjnbUj（乌兰巴托）擦- Bkb+[ub- θ（ub- h） ]bλkbj+bUj公司-1（ub- h） θ-bUj（ub）bλkgj+Bkgo，（4.15），其中我们记得kb=1{ub-θ（ub-h） <bbj}，kg=1{bUj（ub）-θbUj-1（ub-h） <bbj}约束集现在由bcj给出：=（（θ，h）∈ [0，1]×R+，ub≥ h+B（j- 1） r+bλSHj-1） 。（4.16）当我们证明可信集的下边界是可到达的时，我们使用了最长期限的合同，该合同将维持池直到最后一次违约。这给了我们一种直觉，即合同持续时间越长，银行公用事业之间的差异越小。

因此，可信集的上边界，即两个公用事业公司之间的差异最大，应该可以通过最短期限的合同来达到，该合同在第一次违约后立即终止合同关系。在该模型中，这意味着θ等于零，由此产生的上边界HJB方程与还剩一笔贷款的情况下的HJB方程具有相同的形式。我们预计扩散方程的解与（4.14）的形式相同。下一个建议的目的是严格证明我们的猜测。我们将证明推迟到附录D提案4.3。对于任何j≥ 1、功能BU？jde由BU确定？j（ub）：=ρgρbr+bλSHjr+bλj乌兰巴托-Bjr+bλSHj+Bjr+bλSHj，ub∈Bjr+bλSHj，x？j,ρgρbbbbλSHj-bλjr+bλSHjjr+bλSHjr+bλjr+bλjr+bλSHj乌兰巴托-Bjr+bλSHjr+bλjr+bλSHj，ub∈x？j、 bbj公司,ρgρbub，ub∈bbj、+∞,（4.17）其中x？j:=ρbρgr+bλSHjr+bλjbbjr+bλjr+bλSHj+Bjr+bλSHj是HJB方程（4.9）的解。4.4.2验证理论根据方程式（4.15）中的最大值，我们定义了以下控制δj（ub）：=1{ub≥bbj}ub（r+bλj）ρb，θj（ub）：=0，h1，b，j（ub）：=ub-B（j- 1） r+bλSHj-1，h2，b，j（ub）：=b（j- 1） r+bλSHj-1，kb，j（ub）：=j1{ub<bbj}，kg，j（ub）：=j1{bU？j（ub）<bbj}。（4.18）在说明上边界的验证结果之前，我们先对函数的域SBU？j、 严格地说，银行的公用事业可能为零，但这只发生在时间τ，即所有池都被清算时。BU的领域？jis在验证定理的证明中的setbVjbut，它将隐含理解thatbU？j（0）=0。在任何情况下，我们都不需要功能SBU？jt定义为零，因为其公式将用于不包含τ的区间。定理4.1。考虑任何开始时间t≥ 0

对于任何ub≥B（一）-Nt）r+bλSHI-Nt，让流程（ubs）s∈[t，τ]是以下SDEubv=ub+Zvt的唯一解r+λkb，I-Nss公司瑞银集团- Bkb，I-Ns（瑞银）- ρbδI-Ns（瑞银）ds公司-Zvtubs公司-dNs，v∈ [t，τ]。（4.19）那么，根据合同ψ？：=（D？，θ？，h1，b，？，h2，b，？）∈ D×Θ×Hde为s定义∈ [t，τ]bydD？s： =δI-Ns（ubs）ds，θ？s≡ 0、h1、b、，？s： =h1、b、I-Ns（ubs）、h2、b、，？s： =h2，b，I-Ns（ubs），坏账银行的价值函数为Ubt（ψ？）=uband好的银行之一是Ugt（ψ？）=bU？我-Nt（ub）。此外，ψ？∈ Ab（t，ub）和属于Ab（t，ub）的任何其他合同，该合同下的良好银行的价值函数小于或等于tobU？我-Nt（ub）。特别是，这意味着BU？我-Nt（ub）=bUI-Nt（ub）=Ut（ub）。在本节结束时，我们指出，CJ确实等于可信集，剩下j贷款，因此函数BUJANDBLJ对应于其上下限。提案4.4。每t≥ 0，Ct=Ct。5最佳合同在本节中，我们研究了投资者可以向银行提供的两种合同，一种是停业合同，它对应于只有优质银行才能接受的单一合同，另一种是筛选合同，对应于一系列合同，每种类型的代理各一份，激励银行接受为其真正类型设计的合同。5.1停业合同在所谓的停业合同中，投资者仅为好银行设计合同ψg=（kg，Dg，θg），并确保坏银行不会接受该合同。在这些条件下，投资者在时间t=0时的效用isvg，Shut（ψg）=pgEPkgZτu（I- Ns）ds- dDgs.

（5.1）因此，投资者将根据约束条件（kg，θg，Dg）提供最大化（5.1）的合同≥ Rg，SUP∈Kub（k，θg，Dg）≤ Rb，ug（kg，θg，Dg）=supk∈Kug（k，θg，Dg）。回顾动力学（4.5）–（4.6），我们可以将投资者的最大化问题改写为以下Vshut：=sup（θg，Dg）∈AgShutpgEPk？，g（θg，Dg）Zτu（I- Ns）ds- dDgs,式中：=n（θg，Dg）∈ Θ×D:Ub，c（θg，Dg）≤ Rb，Ug（θg，Dg）≥ Rgo。备注5.1。我们将使用符号Ub，c（θg，Dg）表示坏帐银行获得的价值函数，如果她没有公布其真实类型并接受为好银行设计的合同。我们将这个过程与ub（θb，Db）进行了区分，ub（θb，Db）对应于坏银行在接受投资者为其设计的合同时获得的价值函数。我们对相关过程h1、b、c（θ，D）、h2、b、c（θ，D）和h1、b（θ，D）、h2、b（θ，D）进行了相同的区分。如前一节所述，我们将定义一组简单的合同，并将代理的价值函数视为受（D、θ、h1、g、h2、g、h1、b、c、h2、b、c）控制的差异过程。

如前所述，通过这样做，我们不会看到更大类别的“合同”。任何（t、ug、ub、c）的定义∈ [0+∞)×Ct，bAg（t，ug，ub，c）是ψg=（Dg，θg，h1，g，h2，g，h1，b，c，h2，b，c）的集合∈ （4.7）和（4.8）至少有一个弱解，满足（3.3）中的第一个可积条件，此外，对于任何∈ [t，τ]Ugs-（ψg）=h1，gs+h2，gs，Ugs-（ψg）- h1，gs≥B（一）- Ns）r+λI-Nss，Ugt（ψg）=ug，Ub，cs-（ψg）=h1，b，cs+h2，b，cs，Ub，cs-（ψg）- h1、b、cs≥B（一）- Ns）r+λI-Nss，Ub，ct（ψg）=Ub，c。我们还将在续集中考虑以下标准控制问题，对于任何（Ub，c，ug）∈ Cbvg（ub、c、ug）：=supψg∈袋子（0，ug，ub，c）pgEPk？，g（ψg）Zτu（I- Ns）ds- dDgs.我们滥用符号，也将BAG（t、ug、ub、c）合同的要素称为要素。5.1.1投资者的价值函数在本节中，我们描述了投资者仅提供停业合同时的价值函数。我们将首先计算可信集边界上的值函数，然后解释如何在合理的假设下，通过可信集内部的特定HJB方程来表征它。投资者在下边界上的价值函数用j loans leftbLj（ub，c）收回下边界=ub，c，c（j，1）≤ ub，c≤ C（j），ρgρbub，C-（ρg- ρb）ρbC（j），C（j）≤ ub，c<∞.考虑任何开始时间t≥ 0.对于ub，c∈ Ct，我们用VL，g（ub，c）表示投资者在下基数上的价值函数，即isVL，gt（ub，c）：=ess supψg∈袋子（t，bLI-Nt（ub，c），ub，c）EPk？，g（ψg）Zτtu（I- Ns）ds- dDgs燃气轮机. （5.2）附录E证明了以下两个命题，并明确给出了VL，gt（ub，c）的值。提案5.1。对于每个ub，c∈ Ct，如果ub，c≥ C（一）-Nt）那么投资者在下界上的价值函数由vl，gt（ub，c）=I给出-1Xi=Ntu（I- i） bλSHI-我-ub，c- C（一）- Nt）ρb.提案5.2。修复一些t≥ 0

对于每个ub，c∈ Ct，带c（I- Nt，1）≤ ub，c<c（I- Nt），设ν（ub，c）为ν中下列方程的唯一解B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司- ub，c+我-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（一）- i） r+bλSHI-ie-接收fτi（x）dx=0，其中fτi是τi定律在PkSHand下的密度，其中si（ν）：=0，ν≤u（r+bλSHI-i） BbλSHI-i、 rln公司νBbλSHI-iu（r+bλSHI-（一）, ν≥u（r+bλSHI）-i） BbλSHI-i、 然后投资者在下边界的价值函数由vl给出，gt（ub，c）=u（i- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1Z∞si（ν（ub，c））u（I- i） bλSHI-如果τi（x）dx。备注5.2。观察命题5.1和5.2中计算的函数VL，GT仅通过量I依赖于t- Nt。定义，对于任何j=1，J mapbVL，gj（ub，c）：=jXi=1uibλSHi-ub，c- C（j）ρb, ub，c≥ C（j），ujbλSHj+j-1Xi=1Z∞sI公司-j（ν（ub，c））uibλSHifτI-i（x）dx，ub，c∈ （c（j，1），c（j））。因此，我们得到，VL，gt（ub，c）=bVL，gI-Nt（ub，c）。投资者在上边界上的价值函数下一个命题指出，可信集合的上边界在以下意义上是吸收的：如果在任何合同下，银行的一对价值函数在某个时间达到上边界，那么这对价值函数将留在上边界，直到池被清算。提案5.3。固定三元组（t、ug、ub、c）∈ [0+∞) ×CTUG=bUI-Nt（ub，c）。对于任何合同ψg=（Dg，θg，h1，g，h2，g，h1，b，c，h2，b，c）∈bAg（t，ug，ub，c），我们有Ugs（ψg）=bUI-Ns（Ub，cs（ψg）），每s∈ [t，τ）。下一个命题陈述了合同满足的一个重要属性，该属性使得银行的持续效用位于可信集的上限。命题5.4。固定三元组（t，ug，ub，c）∈ [0+∞) ×CTUG=bUI-Nt（ub，c）。

对于任何合同ψg=（Dg，θg，h1，g，h2，g，h1，b，c，h2，b，c）∈bAg（t，ug，ub，c），每s有（i）θgs=0∈ [t，τ）使得Ub，cs（ψg）<bs。（ii）如果Ub，cs（ψg）≥ BSS对于某些∈ [t，τ）然后k？，b，cs（ψg）=0和Ub，cs（ψg）≥ bsfor每s∈ [s，τ）。我们现在准备给出可信集合上边界上投资者的价值函数。在上边界的最后一个区域，其中好代理和坏代理都在监控所有贷款，它与[50]中研究的子问题的价值函数一致，用vbj表示。为了便于介绍，我们回顾了附录E.1中[50]的结果。提案5.5。在假设2.1下，对于任何t≥ 0和任何ub，c∈英属维尔京群岛-Nt，上边界上投资者的值函数，由Vu定义，gt（ub，c）：=ess supψg∈袋子（t，bUI-Nt（ub，c），ub，c）EPk？，g（ψg）Zτtu（I- Ns）ds- dDgs燃气轮机, （5.3）验证VU，gt（ub，c）=bVU，gI-Nt（ub，c），其中对于任何j=1，···，IbVU，gj（ub，c）：=ujbλSHj+bCjub，c-Bjr+bλSHjbλSHjr+bλSHj，ub，c<x？j、 ujbλj+vbj（bbj）-ujbλjbbjr+bλjr+bλSHj-bλjr+bλSHjub，c-Bjr+bλSHjbλjr+bλSHj，x？j≤ ub，c<bbj，vbj（ub，c），ub，c≥bbj，VBJ由（E.1）和BCJ驱动：=ujbλj-ujbλSHj+ρbρgbλjr+bλjvbj（bbj）-ujbλjρbρg-bλSHjr+bλjbbj（r+bλj）r+bλSHj-bλSHjr+bλSHj。作者只关注代理人发挥最大效用的合同，即每次监控所有贷款。在我们定义的可信集合中，对于任何t≥ 0和任何（ub、c、ug）∈bCI公司-Nt，Vgt（ub，c，ug）可信集合中投资者的价值函数：=ess supψg∈袋子（t、ug、ub、c）EPk？，g（ψg）Zτtu（I- Ns）ds- dDgs燃气轮机.

（5.4）与该控制问题相关的HJB方程组由BVG给出≡ 0，对于任何1≤ j≤ 一、 onbVj×bVjmaxsupCjub、cbVgj摩擦，c- Bkb，c+（h1，b，c+（1- θ） h2，b，c）bλkb，cj+ugbVgj小地毯- Bkg+（h1，g+（1- θ） h2，g）bλkgj+bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）-bVgj（ub、c、ug）bλkgj-bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）（1- θ） bλkgj+uj, -ρbub、cbVgj- ρgugbVgj- 1.= 0，（5.5），其中我们定义了kb，c=j·1{h1，b，c+（1-θ） h2，b，c<bbj}，kg=j·1{h1，g+（1-θ） h2，g<bbj}与约束集=（θ，h1，b，c，h2，b，c，h1，g，h2，g）∈ R+：θ∈ [0，1]，ug=h1，g+h2，g，ub，c=h1，b，c+h2，b，c，h2，g；h2、b、c≥B（j- 1） r+bλSHj-1..对于每个ub，c，给出了（5.5）的边界条件∈bVj，bybVgj（ub，c，bUj（ub，c））=bVU，gj（ub，c），bVgj（ub，c，bLj（ub，c））=bVL，gj（ub，c）。（5.6）最后一步是使用经典参数证明BVGj是上述偏微分方程的粘度解，每j=1，函数是充分光滑的（至少是弱可微的），以获得上述最大化器的最优契约。该程序原则上可以使用哈密顿-雅可比方程粘度理论中的标准参数来执行。然而，鉴于论文的篇幅，我们认为它不会达到特定的目的，因此决定只描述导致这一结果的主要步骤。我们在下面列出了它们（i）对于j=1，我们可以使用[20]的抽象结果来证明（5.4）与自身的强公式一致。这一事实可以直接证明，价值函数bvgis是凹的，因此几乎在任何地方都是可以区分的。（ii）对于j>1，让我们定义离散方程的惩罚哈密顿量，剩下j个贷款。

GivenbVgj-1，定义实例HNJ（ub、c、ug、v、pb、c、pg）=supCjpb，c摩擦，c- Bkb，c+（h1，b，c+（1- θ） h2，b，c）λkb，cj+pg公司小地毯- Bkg+（h1，g+（1- θ） h2，g）bλkgj+bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）- v（ub、c、ug）bλkgj-bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）（1- θ） bλkgj+uj+ n个(-ρbpb，c- ρgpg- 1） +。（5.7）让vnjbe计算我们问题的惩罚版本的值函数，其中付款是绝对连续的，密度有界。然后，可以如[21]中所述，在适当的可信集和边界条件下，vnjis是Hnj（u，v，p）=0的粘度解。（iii）注意，Hnjis在p中是凸的，作为线性泛函的上确界和凸函数的组合。此外，对于任何R<+∞ 我们有HNJ（u，v，p）- Hnj（u、v、p）≥ -bλSHj（v- v） ，则，（u、p）和R≥ v≥ v≥ -R、 Hnjis还包括当地的Lipschitz和Hnj（u、v、p）-→ ∞ as | p |→ ∞ 对于任何u>Bjr+bλSHj。最后，注意到内部最大化发生在可信集的内部（更精确地说，边界最大化对应于将代理引导到可信集吸收边界的契约），通过使用包络定理，我们可以证明Hnjis实际上在可信集的内部是严格凸的，因此满足R>0，αR>0，Hnj公司p（u、v、p）-Hnj公司p（u，v，q），p- q≥ αR | p- q |、| p |、| q |、| u |≤ R、 对于Lions[37]中的定理3.3中的任何u，那么vnj∈ W1，∞locand vnjis SSH（半超谐波）。（iv）如[21]中所述，可以证明序列VNjc收敛于我们问题的值函数bvgj，因此这是SSH，是（5.5）的粘性解，具有边界条件（5.6）。最后，由于bvgj几乎在任何地方都是可微的，因此我们可以通过哈密顿量（5.5）中的最大值确定最优契约。

然后，利用微分方程不饱和的域有界的经典结果（相关参数参见示例[32]），可以得出最优控制（h1，g，？，h2，g，？，h1，b，c，？，h2，b，c，？）有界且相应的SDE允许弱解du？，gs公司=rU？，gs公司- 黑色？，gs（U？、b、cs、U？、gs）- ρgδ？，gI公司-Ns（U？、b、cs、U？、gs）ds公司- h？，1，gI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）dNs- λk？，g（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠- h？，2，gI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）国土安全部- （1）- θ？，gI公司-Ns（U？，b，cs，U？，gs））λk？，g（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠,dU？，b、 cs公司=rU？，b、 cs公司- 黑色？，b、 cs（U？，b，cs，U？，gs）- ρbδ？，gI公司-Ns（U？、b、cs、U？、gs）ds公司- h？，1、b、cI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）dNs- λk？，b、 c（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠- h？，2，b，cI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）国土安全部- （1）- θ？，gs（U？，b，cs，U？，gs））λk？，b、 c（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠.事实上，这可以通过注意到在两个跳跃时间之间，上述实际上是一阶常微分方程来证明，由于Carathéodory的常微分方程定理，它们在适当的指数加权Lspace中允许弱解（以确保有界函数在可信集上是可积的）。因此，我们得到了等价物vshut=supub，c≤Rb，ug≥Rgbvg（ub，c，ug）=supub，c≤Rb，ug≥RgpgbVgI（ub、c、ug）。5.2筛选合同回顾一下，在筛选合同中，投资者为每个代理人设计了一份合同菜单，其预期效用由V给出（ψi）i∈{g，b}=xi∈{g，b}piEPkiZτ我- Ns系列uds- dDis. （5.8）在这种情况下，我们必须跟踪两家银行的价值函数，当他们选择为他们设计的合同时，以及当他们没有如实披露其类型时。