道德风险与逆向选择下的银行监管激励

（i） 如果ρi型气缸组工作，则在任何时候t≤ s<t？，她的延拓效用是，注意到θ=0，我们有（λu）u≥tis constantuis（0，0，D）=EPZτt？∧τe-r（u-s） ρicduGs公司=e-（r+λt）（t？-s） ρicr+λt=uit（0，0，D）e（r+λt）（s-t） 。因此，在s=t？银行的持续效用是uit？（0，0，D）=uit（0，0，D）e（r+λt）（t？-t） 。接下来，对于任何s>t？，银行的持续效用将为（0，0，D）=EPZτse-r（u-s） ρICDGs公司=ρicr+λt。然后，我们看到，一旦银行开始付款，她的连续效用变为常数，它必须等于uit？（0，0，D）。那么，如果对于某些ui≥ 0，选择c等于touie（r+λt）t？（r+λt）ρi，（B.1）银行的持续效用将是一个随初始值ui增加的过程。因此，当且仅当ui≥ bI公司-Nt。使银行始终工作的最低付款和延迟为t？=0且ci=bI-Nt（r+λt）ρi.（ii）如果ρi型河岸在任何时间t≤ s<t？，她的延续实用程序IsUIkSH，0，D= EPkSH公司Zτt？∧τe-r（u-s） ρicdu+ZτsBe-r（u-s） （一）- Nt）duGs公司=e-r+λkSHt（t？-s） ρicr+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt。Thereforeuis公司kSH，0，D= er+λkSHt（s）-t）uit（kSH，0，D）-B（一）- Nt）r+λkSHt+B（一）- Nt）r+λkSHt，延拓效用是一个递增过程。回想一下，kSHis激励相容当且仅当uiskSH，0，D< bI公司-NTFS≥ t、 然而，如果t？较大时，将存在TW，以便uitwkSH，0，D= bI公司-n银行将开始工作。更精确地说，tw取决于初始值uit（kSH，0，D），由tw给出：=t+r+λkSHtlogbI公司-Nt（r+λkSHt）- B（一）- Nt）uit（kSH，0，D）（r+λkSHt）- B（一）- Nt）.请注意，tw≥ t当且仅当bI-Nt公司≥ uit（kSH，0，D）。因此，当且仅当t？<tw。

在此条件下，t=t？银行的持续效用是什么？kSH，0，D= e（r+λkSHt）（t？-t）uit（kSH，θ，D）-B（一）- Nt）r+λkSHt+B（一）- Nt）r+λkSHt<bI-Nt。一旦银行开始收到付款，其续期效用将保持不变且等于touiskSH，0，D= EPkSH公司Zτse-r（u-s） （ρic+B（I- Nt））duGs公司=ρic+B（I- Nt）r+λkSHt。所以如果对于某些ui≥ 0付款c等于toe（r+λkSHt）（t？-t）ui（r+λkSHt）- B（一）- Nt）ρi，（B.2）t时银行的预期付款为ui。导致银行总是逃避的延误和付款的上限分别为twande（r+λkSHt）（tw-t）bI公司-Nt（r+λkSHt）- B（一）- Nt）ρi=bI-Nt（r+λt）ρi=ci。（iii）最后，考虑t？大于tw。根据这份合同，银行将一直拖延到时间t，然后再工作。事实上，从前面的分析中我们知道，这种策略是激励相容的。在时间tw时，我们得到了thatuitw（kSH，0，D）=bI-s的N和∈ [tw，t？）延拓实用程序由uis（0，0，D）=EP给出Zτt？∧τe-r（u-s） ρicduGs公司=e-（r+λt）（t？-s） ρicr+λt=e（r+λt）（s-tw）uitw（kSH，0，D）=bI-Nte（r+λt）（s-tw）。因此，在t=t？银行的持续效用是什么？（0，0，D）=bI-Nte（r+λt）（t？-tw），对于任何s>t？，银行的连续效用为常数且等于touis（0，0，D）=EPZτse-r（u-s） ρicduGs公司=ρicr+λt.So如果对于某些ui≥ 0付款c等于I-Nt（r+λt）e（r+λt）（t？-t） ρiui（r+λkSHt）- B（一）- Nt）bI-Nt（r+λt）r+λtr+λkSHt，（B.3）t时银行的预期收益为ui。最低付款和延迟，使银行首先逃避责任，然后再工作是t？=twand ci=bI-Nt（r+λt）ρi。

请注意，命题陈述中的ti（c）是twas的对应表达式，是付款c的函数。我们在本节结束时得出以下结果，即可信集上边界的每一点都可以通过具有延迟的短期合同获得。提案B.3。修复一些t≥ 对于可信集Ct上边界的任何点（ub，ug），存在Gt-可计量的付款c和t？≥ t使得θs=0，dDs=c1s的合同（θ，D）≥t？ds，s≥ t、 即Ubt（θ，D）=UB，Ugt（θ，D）=ug。证据（i） 让c>cb>CG和t？≤tb（c）<tg（c）。那么k？，b（θ，D）=k？，g（θ，D）=0，河岸的值为ugt（θ，D）=ρgcr+λte-（r+λt）（t？-t） ，Ubt（θ，D）=ρbcr+λte-（r+λt）（t？-t） 。因此，效用满足Ugt（θ，D）=ρgρbUbt（θ，D），Ugt（θ，D）∈ρgρbbI-Nt，∞, Ubt（θ，D）∈ [商务智能-Nt，∞) .（ii）如果c>Cb和tb（c）<t？≤“tg（c），我们知道，好的银行将始终工作，坏的银行将在时间”tb（c）开始工作。

其值函数为ugt（θ，D）=ρgcr+λte-（r+λt）（t？-t） ，Ubt（θ，D）=e-（r+λkSHt）（t？-t）ρbcbI-Nt（r+λt）r+λkSHtr+λtbI-Nt（r+λt）r+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt，因此它们属于曲线ugt（θ，D）=ρgρbbλkSHt-λtr+λkSHtI-Nt公司Ubt（θ，D）-B（一）- Nt）r+λkSHtr+λtr+λkSHtr+λkSHtr+λtr+λtr+λkSHt，并取集合中的值（回忆x？jin命题4.3的定义）Ugt（θ，D）∈bI公司-Nt，ρgρbbI-Nt公司, Ubt（θ，D）∈ [x？I-Nt，bI-Nt）。（iii）如果c>Cb且tg（c）<t？，好的银行将在时间\'tg（c）开始工作，坏的银行将在时间\'tb（c）开始工作。它们的值函数为ugt（θ，D）=e-（r+λkSHt）（t？-t）ρgcbI-Nt（r+λt）r+λkSHtr+λtbI-Nt（r+λt）r+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt，Ubt（θ，D）=e-（r+λkSHt）（t？-t）ρbcbI-Nt（r+λt）r+λkSHtr+λtbI-Nt（r+λt）r+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt，因此它们属于直线（θ，D）=ρgρbr+λkSHtr+λtUbt（θ，D）-B（一）- Nt）r+λkSHt+B（一）- Nt）r+λkSHt，带（θ，D）∈B（一）- Nt）r+λkSHt，bI-Nt公司, Ubt（θ，D）∈B（一）- Nt）r+λkSHt，x？我-Nt公司.B、 3初始一次性付款在时间t的可信集合中取任意点（ub，ug）。我们知道存在一个可接受的合同（θ，D），这样UBT（θ，D）=ub，Ugt（θ，D）=ug。考虑仅在时间t时与D不同的付款D，其中一次性付款的规模大于0。这一追加的一次性付款不会改变银行的激励措施，也不会改变在twill beUgt（θ，D`）=ug+ρg`，Ubt（θ，D`）=ub+ρb`时的新价值函数。因此，河岸的新值对属于斜率为ρgρb的线，该线穿过点（ub，ug）。

由于在我们的设置中，付款没有上限，因此通过增加“的值，可以到达射线的每个点，该点从（ub，ug）开始并朝着正方向移动。B、 4根据上一小节的延迟合同，我们知道，对于上边界上的每个点（ub，ug），都存在一对（c，t？），根据合同（θ≡ 0，dDs=c1{s≥t？}ds）我们有Ubt（θ，D）=UB和Ugt（θ，D）=ug。如B.3节所述，如果我们考虑合同（θ，D`）和额外的初始一次性付款，银行的激励不会改变，代理人的新价值函数将是Ubt（θ，D`）=ub+ρB`，Ugt（θ，D）=ug+ρg`。因此，在达到上限和一次性付款的延期短期合同下，可以达到由图6所示线条分隔的可信集合的所有子区域。我们将不讨论细节，但可以证明，在所有延期的短期合同（不仅是达到上限的合同）和一次性付款的情况下，可以达到的可信范围的次区域是完全相同的。当只剩下一笔贷款时，该区域等于整个可信集，但当j>1时，可信集严格地更大，因为在θ6的情况下可以实现一对效用≡ 0.ubugug=ubLbU？j（ub）Br+bλSHjBr+bλSHjbjρgρbbjx？jbjL:ug=ρgρbub+Br+bλSHj1.-ρgρb.图6：延期和一次性付款短期合同下的可信区域。C下边界的技术结果我们从命题4.1的顶部开始本节。首先观察我们有Epkshe-r（τNt+1-t）燃气轮机=Z∞e-rxbλSHI-Nte公司-bλSHI-Ntxdx=bλSHI-Ntr+bλSHI-Nt，对于任何`∈ {Nt+1。

我- 1} EPkSH公司e-r（τ`+1-τ`）燃气轮机=Z∞e-rxbλSHI-`e-bλSHI-`xdx=bλSHI-`r+bλSHI-`.因此，银行从逃避中获得的效用（不考虑合同中的付款）为ut（kSH，θ，0）=EPkSHZτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机= EPkSH公司ZτNt+1te-r（s）-t） B（I）- Nt）ds+Nt+m-1Xi=Nt+1Zτi+1τie-r（s）-t） B（一）- i） ds公司燃气轮机=B（一）- Nt）rEPkSH1.- e-r（τNt+1-t）燃气轮机+Nt+m-1Xi=Nt+1B（I- i） rEPkSH公司e-r（τi-t）- e-r（τi+1-t）燃气轮机=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+Nt+m-1Xi=Nt+1B（I- i） rEPkSH公司1.- e-r（τi+1-τi）我-1Y`=Nte-r（τ`+1-τ`）燃气轮机.因此，根据独立性，我们有（kSH，θ，0）=B（I- Nt）r+bλSHI-Nt+Nt+m-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-二-1Y`=NtbλSHI-`r+bλSHI-`=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+I-Nt公司-1Xi=I-Nt公司-m+1Bir+bλSHiI-NtY`=i+1bλSH `r+bλSH`。我们继续讨论引理4.1。在ψ：=（θ，D）下，银行的价值函数由ugt（ψ）=EPk？给出？，g（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρgdDs+Bk？，gs（ψ）ds）燃气轮机, Ubt（ψ）=EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρbdDs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机.因此，我们首先有，P-a、 s.Ugt（ψ）≥ EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρgdDs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机≥ EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρbdDgs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机= Ubt（ψ）。但我们也有ugt（ψ）≥ EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρgdDs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机= Ubt（ψ）+（ρg- ρb）EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） dDs公司燃气轮机=ρgρbUbt（ψ）-（ρg- ρb）ρbEPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） 黑色？，bs（ψ）ds燃气轮机.注意下一步∈KEPk公司Zτte-r（t-s） Bksds公司燃气轮机= EPkSH公司Zτte-r（t-s） BkSHsds公司燃气轮机,因为左边是一家银行的价值函数，该银行签订了一份没有付款的合同。因此，我们有thatUgt（ψ）≥ρgρbUbt（ψ）-（ρg- ρb）ρbEPkSHZτte-r（s）-t） BkSHsds公司燃气轮机≥ρgρbUbt（ψ）-（ρg- ρb）ρbC（I- Nt），因为银行从逃避中获得的效用相对于过程θ是非递减的，其最大值等于C（I- Nt），当θ≡ 1（见（4.2））。我们以第4.2条提案的结尾继续本节。

由于引理4.1，它有助于证明合同的存在，根据这些合同，银行的价值函数满足等式步骤1：首先，固定一些t≥ 0，取任意ub∈ [c（I- Nt，1），C（I- Nt）]和fix m∈ {1，…，I- Nt公司- 1} 这样C（I-Nt，m）≤ 乌兰巴托≤ c（一）-Nt，m+1）。接下来，取θt（ub）∈ [0，1]使得ub=c（I-Nt，m）+θt（ub）（c（I）-Nt，m+1）-c（一）-Nt，m））。然后，有一个契约（θ，D）∈ Θ×D，使得Ugt（θ，D）=Ubt（θ，D）=ub。此类合同可定义为如下dds：=0，θs：=1{t≤s≤τNt+m}+（1- θt（ub））1{τNt+m<s≤τNt+m+1}，对于每s≥ t、 合同没有付款，它总是在第一个m违约后维持池，在违约m+1后以概率θ维持池，并在违约m+2时清算池。很明显，根据该合同，两家银行总是逃避[t，τ]，因为它们没有得到付款，并且它们的价值函数满足Gt（θ，D）=Ubt（θ，D）=EPkSHZτte-r（s）-t） BkSHsds公司燃气轮机= c（一）- Nt，m）+θt（ub）（c（I- Nt，m+1）- c（一）- Nt，m））=ub.o第二步：再次修复一些t≥ 0，然后立即选择任何ub≥ C（一）- Nt）和定义ug：=ρgρbub-（ρg-ρb）ρbC（I- Nt）。让我们：=（ub- C（一）- Nt））/ρband考虑每s满足θs=1，dDs=`t{s=t}的容许契约≥ t、 根据该合同，两家银行的最佳策略是总是逃避，然后逃避（θ，D）=EPkSHZτte-r（s）-t）ρbdDs+BkSHsds燃气轮机= ρb\'t+C（I- Nt）=ub，Ugt（θ，D）=EPkSHZτte-r（s）-t）ρgdDs+BkSHsds）燃气轮机= ρg\'t+C（I- Nt）=ug。我们通过证明一些有用的结果来结束本节，这些结果将在第5.1.1节中用于研究下边界上的投资者的值函数。我们证明了有几种达到下边界的方法，并且所有能够达到下边界的合同都具有与命题4.2证明中使用的相同的结构。引理C.1。考虑任何（t、ub、ug）∈ [0，τ]×bVI-Nt×bVI-Nt除此之外，ub=ug。

任何合同ψ=（θ，D）∈ Θ×d这样，Ubt（ψ）=UB和Ugt（ψ）=ug，对[t，τ]没有付款，因此两家银行总是逃避ψ。证据根据（4.3）的证明，我们推断出k？，gs（ψ）=k？，bs（ψ），dDs=0，s≥ t、 因为没有付款，所以我们有k？，gs（ψ）=k？，bs（ψ）=s的kshs∈ [t，τ]和haveUgt（ψ）=Ubt（ψ）=EPkSHZτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机.引理C.2。考虑任何（t、ug、ub）∈ R+×英属维尔京群岛-Nt×bVI-ntug=ρgρbub-（ρg- ρb）ρbC（I- Nt）。根据任何合同ψ=（θ，D）∈ Θ×D，使得Ubt（ψ）=UB和Ugt（ψ）=ug，直到最后一次违约（τ=τI）时，池才被清算，而且两家银行总是逃避[t，τ]。证据根据（4.4）的证明，我们推断出k？，gs（ψ）=k？，bs（ψ）=kSHs，θs=1，对于每s≥ t、 因此，银行的价值函数由ugt（ψ）=ρgEPkSH给出Zτ岩-r（s）-t） dDs公司燃气轮机+ C（一）- Nt），Ubt（ψ）=ρbEPkSHZτ岩-r（s）-t） dDs公司燃气轮机+ C（一）- Nt）。D上界引理D.1的技术结果。对于每个j≥ 1，x？j> ρbρgbbj。证据对于任何j≥ 1、定义函数g、h:R-→ R byg（x）：=xr+bλSHjr+bλjbbjr+bλjr+bλSHj+Bjr+bλSHj，h（x）：=bbjx。那么g在R+上是严格凸的，我们得到g（1）=h（1）=bbjan和g（1）=h（1）=bbj。因此，h是g atx=1的切线，因此g（x）>h（x），对于每x 6=1，因此？j=gρbρg> h类ρbρg=ρbρgbbj。提案D.1。对于每个j≥ 1、功能BU？jde由（4.17）satis fiesbu定义？j（x）x≤ρgρb，x个≥Bjr+bλSHj。此外，等式成立的充要条件是x≥bbj。证据定义A（x）：=bU？j（x）x.如果x≥bbj公司-1然后A（x）=ρg/ρb。如果现在x∈ [x？j，bbj），我们有a（x）=ρgρb（bbj）bλSHj-bλjr+bλSHjr+bλSHjr+bλjr+bλjr+bλSHjxx个-Bjr+bλSHjr+bλjr+bλSHj。该函数递减，使得A在x？j处的[x？j，bbj）上达到其最大值。接下来，我们得到A（x？j）=bbjx？j<ρgρb<==> x？j> ρbρgbbj，作为引理D.1的结果，最后一个不等式成立。

最后，如果x∈Bjr+bλSHj，x？jthenA（x）=xρgρbr+bλSHjr+bλjx个-Bjr+bλSHj+xBjr+bλSHj。此函数正在增加，因此A（x）≤ A（x？j）<ρgρb，x个∈hBjr+bλSHj，x？ji。推论D.1。让j≥ 2和BU？j、 bU？j-1由（4.17）定义，并假设bλkgj≤bλkbj。那么，对于任何ub≥ h1，b+b（j-1） r+bλSHj-1 Wehavebu？j-1（ub- h1，b）bλkgj-bU？j（ub）bλkbj（ub- h1，b）≤ 此外，当且仅当ub- h1，b≥bbj，ub≥bbjandbλkbj=bλkgj。证据在推论的条件下，下面让我们可以立即得出结论ybu？j-1（ub- h1，b）ub- h1，b≤ρgρb≤bU？j（ub）。推论D.2。对于j≥ 1，letbCjandbU？jbe分别由（4.16）和（4.17）定义。If（θ，h1，b）∈bCjis使ub- θ（ub-h1，b）≥bbjthenbU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h1，b）≥bbj。因此，在方程（4.15）的上下文中，对于每个（θ，h1，b）∈bCjwehave千克≤ kbandbλkgj≤bλkbj。证据首先观察ub- θ（ub- h1，b）≥bbjimplies ub≥bbj。那我们有了吗？j（ub）-bbj公司≥ρgρb（ub-bbj）≥bU？j-1（ub- h1，b）ub- h1，b（ub-bbj）。还有θ≤乌兰巴托-bbjub公司- h1，乐队thusbU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h1，b）≥bU？j（ub）-乌兰巴托-bbjub公司- h1，bbU？j-1（ub- h1，b）≥bbj。现在我们继续讨论引理4.2的极限。我们从区域ub<bb，bU（ub）<bb开始。对于这些点，我们有kb=kg=1，所以（4.11）可以很容易地解决，并导致，对于一些C∈ RbU（ub）=C乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ。如果ub<bbandbU（ub）≥bb，然后kb=1，kg=0，我们可以求解（4.11），得到一些C∈ RbU（ub）=C乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ。最后，当ub≥bbandbU（ub）≥BB最佳策略是kb=kg=0，对于一些C∈ R、 bU（ub）=幼体。我们对（4.11）的光滑解感兴趣。用bU（1）、bU（2）和bU（3）表示以下函数bU（1）（ub）：=C乌兰巴托-Br+bλ+Br+λ，bU（2）（ub）：=C乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ，bU（3）（ub）：=立方。我们将确定允许BU平滑拟合的常数之间的关系。

首先，我们假设bU（2）（bb）=bU（3）（bb），得到cbbr+bλr+bλr+bλr+bλ=Cbb。可以检查，Cand和谴责之间的这种关系也是（bU（2））（bb）=（bU（3））（bb）。接下来，定义x为点，使BU（1）（x）=bb，即x=bbCr+bλr+bλ+Br+bλ。此外，定义x为点，使得BU（2）（x）=bb，即x=英国广播公司r+bλr+bλ+Br+bλ。我们施加x=x，我们得到BBCr+bλr+bλ=英国广播公司r+bλr+bλ，这个关系也确保了（bU（1））（x）=（bU（2））（x）。表示Cwe getbU（3）（ub）=Cub和bu（1）（ub）=Cr+bλr+bλ的Cand和Cin项乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ，bU（2）（ub）=Cbbbλ-bλr+bλr+bλr+bλr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ。我们用引理4.3的极限来追求。对于C>0，定义以下修改Buc，？布布克的，？（ub）：=bUC（ub），ub≤ xC，？，ρgρb（ub- xC，？）+bUC（xC，？），乌兰巴托≥ xC，？，其中xc，？：=inf公司乌兰巴托∈Br+bλ+∞:bUC公司（ub）≤ρgρb.功能BUC，？是连续可微分的，求解[B/（r+Bλ），xC，？）中的微分方程，并满足bUC，？= ρg/ρbin（xC，？，∞). 在下文中，我们将研究该函数的哪些值确实可以解决HJB方程。- 首先，如果Cr+bλr+bλ≤ρgρb，我们有xc=Br+bλ，bUC，？（ub）=ρgρbub-Br+bλ+Br+bλ，bUC，？（ub）ρb- ρg=0，因此我们需要检查每个ubin[B/（r+Bλ），∞)rbUC，？（ub）-bUC，？（ub）擦- Bkb+ubbλkb+bUC，？（ub）bλkg- Bkg公司≥ 取ub>bb。那么kg=kb=0，我们有rbuc，？（ub）-bUC，？（ub）擦- Bkb+ubbλkb+bUC，？（ub）bλkg- Bkg=rρgρb乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ-ρgρb（r+bλ）ub+bλρgρb乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ= （r+bλ）Br+bλ1.-ρgρb< 0.HencebUC，？不是（4.12）的解决方案。- 如果ρgρbr+bλr+bλ<C≤ρgρb，那么xC=bbr+bλr+bλCρb/ρgr+bλbλ-bλ+Br+bλ。