收益率分布建模的修正布朗运动方法

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英文标题：
《Modified Brownian Motion Approach to Modelling Returns Distribution》
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作者：
Gurjeet Dhesi, Muhammad Bilal Shakeel and Ling Xiao
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  An innovative extension of Geometric Brownian Motion model is developed by incorporating a weighting factor and a stochastic function modelled as a mixture of power and trigonometric functions. Simulations based on this Modified Brownian Motion Model with optimal weighting factors selected by goodness of fit tests, substantially outperform the basic Geometric Brownian Motion model in terms of fitting the returns distribution of historic data price indices. Furthermore we attempt to provide an interpretation of the additional stochastic term in relation to irrational behaviour in financial markets and outline the importance of this novel model.
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中文摘要：
几何布朗运动模型的一个创新性扩展是通过引入加权因子和一个随机函数，将其建模为幂函数和三角函数的混合物。基于该修正布朗运动模型的模拟，在拟合历史数据价格指数的收益分布方面，通过拟合优度检验选择最佳权重因子，大大优于基本几何布朗运动模型。此外，我们试图解释金融市场中与非理性行为有关的额外随机项，并概述这种新模型的重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Modified_Brownian_Motion_Approach_to_Modelling_Returns_Distribution.pdf (781.28 KB)

2022-5-8 20:25:08 上传

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关键词：布朗运动 收益率 Quantitative distribution Applications

用改进的布朗运动方法模拟返回分布Gurjeet-Dhesi(dhesig@lsbu.ac.uk)穆罕默德·比拉尔·沙克尔(shakeem2@lsbu.ac.uk)凌晓(xiaol4@lsbu.ac.uk)摘要通过引入加权因子和一个由幂函数和三角函数混合而成的随机函数，对几何布朗运动模型进行了创新性的扩展。基于这种改进的布朗运动模型，通过拟合优度测试选择最佳权重因子，模拟在拟合历史数据价格指数的收益分布方面，基本上实现了几何布朗运动模型。此外，我们试图解释金融市场中与非理性行为有关的额外随机项，并概述这种新模型的重要性。伦敦南岸大学商学院，SE10AA。导言：在关于有效市场假说的传统金融理论中，主要假设是关于投资者对资产/股票未来价格的理性预期，这些价格被假设为反映所有可用信息（Fama，19651970）。相应地，金融理论和模型假设连续复合财务收益是正态分布的。然而，经验证据表明，许多财务收益序列是轻量级的。众所周知，许多不同的方法和方法已被用于研究市场行为、定价过程和收益分布模型。其中包括Mandelbrot（1963a，1963b）的早期研究、稳定分布和跳跃扩散模型的应用。

关于这方面有大量文献；读者可以参考Mills&Markellos（2008年：第7章）、Rachev等人（2005年：第3章和第7章）和Birge&Linetsky（2008年：第2章和第3章）以及其中包含的参考文献。量化金融的基础仍然严重依赖于投资者的理性行为和弱有效市场假说。也就是说，持续的财务回报可以表示为21ln（）（0，）tt t ttPr NIDP     （1） 式中u是平均回报率和t假设为正态独立分布，均值为零，方差为常数。上面的方程式可以写成exp（）t t tP t Z t  （2） 其中TZ是从标准化正态分布和是最小的时间步长。该方程用于运行模拟，并基于几何布朗运动（GBM）构建模型化收益分布。此外，上述方程的连续时间版本为xp（）1dPdt Z dtP  （3） 应用伊藤引理，将（3）的等价随机微分方程（SDE）形式表示为21，其中=+2dPdt Z dtP    （4） 上述模型（方程式（1）、（2）、（3）和（4））提供了经典定量金融的基础，进一步的金融建模依赖于这种表示。如上所述，问题在于，该GBMmodel产生的收益分布与历史收益数据的分布不匹配，而历史收益数据往往显示出瘦肉症。本文旨在对GBM模型进行修改，以用于财务收益建模。动机来自于一篇关于半封闭股票市场的实验论文（Dhesi et.al.（2011），本文附于附录A）。

实验使用的模型是GBM模型，其中嵌入了额外的需求和供应因素。本研究通过添加Z乘以均值的函数和一个参数，增强了GBM与历史收益分布的匹配能力. 当然什么时候 我们找到了GBM。符合作为时间t的一项创新，它也可以松散地被视为时间t生成的新闻。修改后的模型的一般形式为isexp（（））t t t tP t Z Kf Z t      （5） 方程式（5）中规定的模型现在称为修正布朗运动模型（MBMM）。它也可以被称为随机平均模型。这个修改后的规范很重要，因为当选择适当的（）fZ实现时，这种内生的（而不是理论上的外生的）分布是轻量级的，因此适用于返回分布。还可以注意到，与使用包含正态跳跃和泊松跳跃的跳跃扩散过程对返回分布建模的大量文献相比，该模型中只出现了正态分布的Z创新。这表明MBMM更省钱，更容易使用。

这种建模过程也可以被视为从特定时间段内特定收益数据集的一般建模（GBM）到特定建模（MBMM）的转变。此外，该建模过程可以提供金融中非理性行为的初步联系，还可以展示如何在提供收益和copula理论之间的超额相关性预测模型、应用增强以及投资组合优化的后续影响的背景下，对知识做出贡献。本段的理由将在进一步讨论部分提供。分析和结果：FZI的实现依赖于对历史数据的广泛实证分析。我们提出的函数是：2（）（2exp（）1）arctan（）2Zf Z  （6） 对各种市场指数进行了分析。用于大量仿真的软件包是MATLAB。适用于特定用途参数的最佳值 对于特定的数据集，采用卡方拟合优度统计法进行选择。出于说明目的：下图（1）提供了历史数据（直方图）、GBM（绿色）和MBBM（红色）的返回分布的比较。每日数据集&P500:1stJan。2010年12月31日。2011年图（1）：标普500指数与GBM和MBMM（K=-28，c=0.6）在上图中可以看出，红色曲线MBMM（与) 与绿色曲线表示的GBMR相比，非常接近历史直方图。通过对历史数据（观察到的频率）进行卡方拟合优度测试，并对GBM和MBMM（相应的预期频率）进行模拟，进一步验证了这一点。历史数据以柱状图表示，并记录每个观测频率的频率。

然后，我们通过运行广泛的模拟，并将这些模拟的这些箱子高度的平均值作为预期频率，对同一箱子上的GBM和MBMM的相应预期频率进行建模。极限 并对存储箱进行定制，使每个存储箱的频率至少为数据集中总值的1%。调整后的频率标记为历史数据的自定义观测频率（foc），以及相应GBM和MBMM的自定义预期频率（fec）。GBM和MBMM的拟合优度统计数据通过以下公式计算：    自由度。哪里 是数据集中定制箱子的数量，以及 是为数据集估计的参数数。应用上述技术，GBM和14的定制配送（包括21个料仓在内的配送）的卡方检验总值为77.04（p值=2.80E-09）。93（p值=0.53）表示MBMM。因此，我们可以推断，MBMM提供了更符合历史数据的amuch。此外，定制历史数据的峰度为4.06，MBMM的建模峰度为3.83。随后两年时间段的MBMM总结结果，即dailyS&P500从1月1日返回。2012年至12月31日。2013年也在这里介绍。该数据（定制分布中的26个箱子）的chisquare总数为32.57（p值=0.09），BM为32.57（p值=0.09），MBMM为19.97（p值=0.52）().

定制历史数据的峰度为3.50，MBMM的模拟峰度为3.57。天真的预测过程可能基于当前时间序列收益分布的Koptimala和Coptimalo，用于后续时间段收益分布，这将对GBM模型进行改进，进一步的研究正在进行中，以改进预测机制。我们还将修改后的模型应用于许多其他指标，也适用于不同的时间段。这个练习的一个值得注意的方面是 每个数据集的值都不同，因为不同时间段和不同市场的资产具有不同的特征。资产的价格变动受金融、政治和经济因素的不同影响，Cont（2000）。因此，MBMM参数适用于不同的数据集。如果我们将GBM视为一般建模过程，那么MBMM就是特定的建模过程。拟合优度平方值（用于优化) 对于大多数情况，p值大于0.05。出于诊断目的：MBMM应用于日常数据，如本研究所示；然而，结果导致了这样一个问题：如果Z的额外函数乘以σ而不是u，结果会是什么。MBMM模型应用于2天数据（u和σ仍保持在每日水平，目前为2 1.4dt）  .

模拟结果与日常数据一致与均值相乘，但完全缺乏拟合和不一致与西格玛相乘，确认MBMM为随机平均模型。此外，通过应用伊托斯莱玛将MBMM转化为等效的SDE版本。21+（）式中=+2dPdt Z dt Kf Z dtP     （7） 这可能不完全严格，但在以下情况下适用： 当使用方程（7）的离散形式进行大量模拟时，结果与从MBMM的指数形式（方程（5））获得的结果一致，这一点得到了验证。MBMM还应用于更大的每日数据集，以分析性能。1月1日标准普尔500指数10年每日数据汇总结果。1994年至2003年12月31日在这里展示。这一数据（定制配送中的75个箱子）haschi square GBM总计251.37（p值=1.04E-21），BMM总计90.68（p值=0.05）(). 定制历史数据的峰度为3。78，MBMM的模拟峰度为3.64。此外，在随后的十年（2004年1月1日至2013年12月31日）湍流时段应用MBMM，以观察K和C的最佳值的输出。对于GBM，该数据（定制分布中的50个箱子）的卡方值为614.26（pvalue=7.6E-100），对于MBMM，卡方值为88.4（p值=0.00012）(). 定制历史数据的峰度为4.95，MBMM的模型峰度为4.32。卡方值的显著降低（可以通过p值的巨大改善看出）表明，与GBM相比，MBMM提供了更接近fitto的历史数据。关于如何对高度动荡的时间序列进行tomodel回归分布的进一步研究正在进行中。MBMM在大型（即。

50年）的月度数据集进行了测试，令人鼓舞的是，MBMM再次提供了优越的拟合。最佳值同样是负数，绝对大小比预期的要小。进一步讨论：函数的不同负值的连续可微函数（） 我画在下面。为了便于说明，我们绘制了以下函数：.图（2）：K.c=1的不同负值的Kf（Z）。此函数的根取决于正参数c的值。c的值越大，根越靠近原点。因此，c是控制参数，从远离平均值的标准偏差的数量开始，尾部扁平化建模。例如，如果c=1，则尾部的展平开始于距平均值1.18个标准偏差处。下面是一个特定数据集的实证数据快照（经验、GBM、MBMM）。可以看出，BMM与肥胖的尾巴非常吻合。图（3）。S&P500的右尾对于历史、GBM和MBMMNow，考虑时间t时Z的正值（Z负值的解释将以类似但相反的方式进行）。WhentZis small（在本例中，small意味着：0t阳性Rootzz), 这取决于（）fZ的正根，即（）0tKf Z的值. 这个inturn具有TPP的效果从MBMM到小于TTP对于GBM，其峰值为平均值的分布。

现在，如果我们允许这种创新被视为新闻，那么可以建立以下联系：当市场好转的消息很少，而不是实质性的时候，然后，总体而言，市场的监管者（投资者）感觉到市场疲软（市场向积极方向没有太大的推动），变得不耐烦（和Henceirational:称之为消极的非理性），并决定出售属于市场的资产，以便将资金投资于替代产品，因此，与理性GBM模型相比，MBMM模型所模拟的供应大于需求，因此价格增长减少。现在，当zbecomes正大（在这个例子中，大意味着：t positiverootZZ）), 这超出了（）fZ的正根，即（）0tKf Z的值. 这反过来又会对TPP产生影响从MBMM到大于TTP对于GBM，这反过来会使尾部区域的分布变平。在这种情况下，市场推动者认为市场是积极看涨的，并且总体上采取了一种非理性行为（积极的交易非理性），即买入市场，需求减少供应，因此，与理性GBM模型相比，MBMM模型中建模的价格上涨加剧。从表（1）的说明性研究结果中可以看出，coptimal=0.6意味着, 可能被认为是一个感应点。此外，围绕原点的180度旋转对称性（因此根与原点的距离不再相等）可以被打破，以模拟偏斜。