离散双障碍期权定价的数值方法

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英文标题：
《A Numerical Method for Pricing Discrete Double Barrier Option by
  Legendre Multiwavelet》
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作者：
Amirhossein Sobhani, Mariyan Milev
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this Article, a fast numerical numerical algorithm for pricing discrete double barrier option is presented. According to Black-Scholes model, the price of option in each monitoring date can be evaluated by a recursive formula upon the heat equation solution. These recursive solutions are approximated by using Legendre multiwavelets as orthonormal basis functions and expressed in operational matrix form. The most important feature of this method is that its CPU time is nearly invariant when monitoring dates increase. Besides, the rate of convergence of presented algorithm was obtained. The numerical results verify the validity and efficiency of the numerical method.
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中文摘要：
本文提出了一种离散双障碍期权定价的快速数值算法。根据Black-Scholes模型，可以在热方程解的基础上，通过递推公式计算每个监测日的期权价格。这些递归解用勒让德多小波作为正交基函数进行逼近，并用运算矩阵形式表示。该方法最重要的特点是，当监视日期增加时，其CPU时间几乎不变。此外，还得到了该算法的收敛速度。数值结果验证了数值方法的有效性和有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Numerical_Method_for_Pricing_Discrete_Double_Barrier_Option_by_Legendre_Multiwavelet.pdf (197.57 KB)

2022-5-31 07:01:23 上传

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关键词：期权定价 障碍期权 数值方法 Mathematical Quantitative

Legendre多小波MirHossein Sobhania的离散双障碍期权定价的数值方法，*, 伊朗科技大学数学学院，伊朗德黑兰16844。数学与物理系bUFT PLOVDIV摘要本文提出了一种离散双障碍期权定价的快速数值算法。根据Black-Scholes模型，在热方程解的基础上，通过递推公式可以计算出每个监测日的期权价格。这些递推解用单广义多小波作为正交基函数进行逼近，并以运算矩阵的形式表示。该方法最重要的特点是，当监控日期增加时，其CPUtime几乎不变。此外，还得到了该算法的收敛速度。数值结果验证了数值方法的有效性和有效性。关键词：双障碍和单障碍期权、BlackScholes模型、期权定价、Legendre Multiwavelete2010 MSC:65D15、35E15、46A321。介绍障碍期权在金融市场的价格风险管理中起着关键作用。bar rier选项有两种类型：single和double。在单一情况下，我们有一个障碍，但在双重情况下，有两个障碍。当5个股票价格触及其中一个障碍时，如果一个障碍选项被停用（激活），则称为敲出（敲入）。如果在固定日期（例如弱日期或每月）检查股票价格对障碍的影响，则障碍期权称为离散期权。期权定价作为数学金融中最有趣的话题之一，在文献中得到了广泛的研究。Kamrad和Ritchken【1】、10Boyle和La u【2】、Kwok【3】、Heyen和Kat【4】、Tian【5】和Dai和Lyuu【6】使用标准晶格技术，即二项树和三项树，作为pricingbarrier选项。

Ahn e t al.【7】介绍自适应网格模型（AMM）*对应的authorEmail地址：a_sobhani@mathdep.iust.ac.ir，a_sobhani@aut.ac.ir（AmirhosseinSobhani），marianmilev2002@gmail.com（Mariyan Milev）2017年3月29日提交给Elsevier的预印本，增加了三项式晶格的效率。蒙特卡罗模拟方法在[8、9、10、11、12]中实现。在[13，14]中，提出了基于求积方法的数值算法ITHMS15。事实上，最近开发了多种价格壁垒期权的半分析方法，这些方法基于积分变换[15、16、17]，或用于描述潜在资产证券化定价的过程的转移概率密度函数[13、14、18、19、20、21、22、23]。这些技术对单障碍期权和双障碍期权的定价有很高的影响，我们的计算结果与它们非常一致。我们要发表以下重要评论。Fusai等人在[15]中提出了单势垒期权的解析解，其中单势垒问题被简化为维纳-霍普夫积分方程及其给定的z变换形式25解。为了推导连续双势垒敲出和敲入选项的公式，Pelsser通过轮廓积分对Laplace变换进行了分析反转【24】。Broadie et.al.发现了一个显式修正公式，用于具有一个bar rier的离散监控选项【19】。然而，这三种众所周知的方法【15、19、24】尚未应用于两个30barrier的存在，即离散双barrier期权。Farnoosh等人[25，26]提出了一种数字算法，用于定价具有时间依赖性参数的离散单屏障和双屏障期权。

此外，在我的上一篇文章【27】中，还提出了一种利用投影法对离散单障碍和双障碍期权进行定价的数值方法。35本文组织如下。在第2节中，解释了在Black-Scholes模型下，通过递归公式确定离散双障碍期权价格的过程。第3节给出了勒让德多小波的定义和一些特征。在第4节中，采用Legendre多小波展开对离散双障碍期权进行定价。最后，第5节给出了数字结果，以证明所提出方法的有效性。2、定价模型我们假设股票价格过程遵循几何布朗运动：dSt=^rStdt+σstdbtw，其中S、^r和σa分别是初始股票价格、无风险利率和波动率。我们考虑了敲出式离散双障碍看涨期权45i的定价问题。e、 一种看涨期权，如果股票价格在预定的监控日期达到较低或较高的水平，则该看涨期权将变得毫无价值：0=t<t<····<tM=t。如果在监控日期未触及这些障碍，则到期时的薪酬为最高（ST- E、 0），当行使价格为行使价格时。期权价格为到期时的贴现预期报酬。50基于Black-Scholes框架，期权价格P（S，t，m- 1） 作为时间t时股价的函数∈ （tm）-1，tm），满足以下偏微分方程[28]-Pt+^rSPS+σSPS- ^rP=0，（1）根据初始条件：P（S，t，0）=（S- E） 1（最大（E，L）≤S≤U） P（S，tm，0）=P（S，tm，m- 1） 1（L≤S≤U）；m=1，2。。。，M-1，其中P（S，tm，m- 1） ：=限制→tmP（S、t、m- 1） 。

B y变量z=ln的变化SL公司偏微分方程1及其初始条件简化如下：-Ct+uCz+σCzz=^rC（2）C（z，t，0）=Lez公司- eE公司*（δ≤z≤θ） C（z，tm，m）=C（z，tm，m- 1） 1（0≤z≤θ） ；m=1，2。。。，M-其中C（z，t，m）：=P（S，t，m）；E*= ln公司埃尔; u=^r-σ；θ=ln联邦制药and60δ=最大{E*, 0}。接下来，考虑C（z，tm，m）=eαz+βth（z，t，m），其中：α=-uσ；c=-σ；β=αu+ασ- ^r.方程式2简化为众所周知的热方程式：-ht+chzz=0h（z，t，0）=Le-αzez公司- eE公司*（δ≤z≤θ） ；m=0h（z，tm，m）=h（z，tm，m- 1） 1（0≤θ≤z） ；m=1。。。，M- 1可通过分析解决的问题，参见以下示例【29】；65h（z，t，m）=（LRθδk（z- ξ、 t）e-αξeξ- eE公司*dξ；m=0Rθk（z- ξ、 t型- tm）h（ξ，tm，m- 1） dξ；m=1，2。。。，M-其中k（z，t）=√4πcte-z4ct。（3） 假设监测日期间隔相等，即：；tm=mτ，其中τ=tm，h（z，tm，m- 1） 是两个变量z，m的函数。因此，bydefiningfm（z）：=h（z，tm，m- 1） ，我们有：f（z）=zθk（z- ξ、 τ）f（ξ）dξ（4）fm（z）=zθk（z- ξ、 τ）fm-1（ξ）dξ；m=2，3。。。，M（5），其中f（z）=Le-αzez公司- eE公司*（δ≤z≤θ） 。（6） 通过定义fm（z）：=fm（θz）和k（z，τ）：=θk（θz，τ）=√4πcte-（θz）4ct（7）我们从4,5和6得到以下关系：f（z）=Zk（z- ξ、 τ）f（ξ）dξ（8）fm（z）=Zk（z- ξ、 τ）fm-1（ξ）dξ；m=2，3。。。，M（9），其中75f（z）=Le-αθzeθz- eE公司*（Δθ≤z≤1） 。（10） 这有助于我们在区间[0，1]上使用勒让德多小波。Legendre多小波L（[0，1]）是区间[0，1]上所有平方可积函数的希尔伯特空间，内积<f，g>：=Zf（x）g（x）dx，无rm kfk=√< f、 f>。多重数r为L（[0，1]）的正交多分辨率分析80（MRA）定义如下：定义1。

闭泛函s子空间链Vj，j≥ L的0（[0，1]）称为多重性r的正交多分辨分析，如果：（i）Vj Vj+1，j≥ 0.（ii）Sj≥0Vjis密于L（[0，1]），即Sj≥0Vj=L（[0，1]）。85（iii）存在一个正交函数的向量Φ=[φ，…，φr-1] TinL（[0，1]），称为多重标度向量，使得{φlj，k：=2j/2φl（2jx-k） ；0≤ l≤ r- 1，0≤ k≤ 2j- 1} 形成Vj的正交基。现在让小波空间Wjbe子空间Vj+1，使得Vj+1=Vj⊕ Wjand V j⊥ Wj，即Vjin Vj+1的正交补，所以我们有90vj=V⊕ W⊕ W⊕ ...Wj公司-1（11）L（[0，1]）=V 0⊕∞Mj=0Wj。（12） MRA的性质表明，dim（Vj）=dim（Wj）=r2j。设函数向量ψ=[ψ，…，ψr-1] 是W的正交基的向量，称为多小波向量，那么MRA的结构意味着wj=span{ψlj，k；0≤ l≤ r- 1，0≤ k≤ 2j- 1} ，（13）式中ψlj，k：=2j/2ψl（2jx- k） 。根据ny Vjj的iii和11，我们有两个95正交基集，如下所示：Φj（x）=[φj，0（x），…，φr-1j，0（x）。。。，φj，2j-1（x）。。。，φr-1j、2j-1（x）]（14）ψj（x）=[φ0,0（x），…，φr-10,0（x），ψ0,0（x）。。。，ψr-10,0（x）。。。，ψj-1,0（x）。。。，ψr-1j-1,0（x）。。。，ψj-1,2j-1.-1（x）。。。，ψr-1j-1,2j-1.-1（x）]（15）对于任何f∈ L（[0，1]）我们有f（x）=r-1Xl=0clφl（x）+∞Xj=0j-1Xk=0r-1Xl=0cj，kψlj，k（x）（16），其中cl=Rf（x）φl（x）dx和cj，k=Rf（x）ψlj，k（x）dx。现在我们定义正交投影算子PJ:L（[0，1]）→ VJas如下：PJ（f）：=r-1Xl=0clφl（x）+J-1Xj=0j-1Xk=0r-1Xl=0cj，kψlj，k（x）（17）或等效的100pj（f）：=JXk=0r-1Xl=0dJ，kφlJ，k（x）（18），其中dj，k=Rf（x）φlJ，k（x）dx。为了简化符号，我们用ψi（x）表示ψj（x）的i-thement，所以：ψj（x）=[ψ（x），ψ（x），…，ψj（x）]（19），然后我们可以重写17：PJ（f）：=JXi=0aiψi（x）=ψj（x）′f（20），其中ai=Rf（x）ψi（x）dx，f=[a，…，aj]。

从关系16 PJis逐点收敛到恒等式算子I，即105f∈ L[0，θ]limJ→∞kPJ（f）- fk=0。（21）我们使用Legendre多项式构造Legendre多小波，这是Alpert在[30]中介绍的。勒让德多项式pi（x）定义如下p（x）=1，p（x）=x，递推公式如下：pi（x）=xpi-1（x）+ii+1（xpi-1（x）- pi-2（x））{pi（x）}∞i=0是L的正交基([-1，1]）。我们将VJA定义为110Vj：={f | f是一个次多项式≤ r on Ii，1≤ 我≤ 2j}（22），其中Ii：=[2-j（i）- 1） ，2个-ji）。很明显，Vj Vj+1和SJ≥0Vj=L（[0，1]）。现在让φlbe表示一个Lege ndre多尺度函数，定义为φl：=√2升+1升（2倍- 1） x个∈ [0，1），0，o.w，（23）和Φ：=[φ，…，φr-1] t即多尺度向量。很容易验证{φlj，k：=2j/2φl（2jx- k） ；0≤ l≤ r- 1，0≤ k≤ 2j- 1} ，（24）构成Vj的正态基础。现在让ψ=[ψ，…，ψr-1] 是Legendremultiwavelet向量。因为W Veachψl可展开如下：115ψl=r-1Xk=0gl，kφk（2x）+r-1Xk=0gl，kφk（2x- 1） ，0≤ l≤ r- 1（25）此外，W⊥ Vand 1，x。。，xr公司-1.∈ 五、 所以{ψl}r的第一个r矩-1l=0消失：Zψl（x）xidx=0 0≤ l、 我≤ r- 1（26）另一方面，我们有zψi（x）ψj（x）dx=0 0≤ i、 j≤ r- 1（27）因此，为了找到2未知系数gi，jin 2 5，只需解2方程26和27即可。如果f∈ L（[0，1]）是k次可微的，得到以下120定理ab误差外界[30]：定理1。前提是实函数f∈ Cr（[0，1]）。然后PJ（f）用以下误差界近似f：kPJ（f）- fk公司≤(-Jr+1）rr！supx公司∈[0,1]| fr（x）|。

（28）r=4的勒让德多尺度和多小波函数如下所示[31]：125φ（x）=1 0≤ x<1φ（x）=√3（2 x- 1） 0个≤ x<1φ（x）=√6 x- 6 x+10≤ x<1φ（x）=√20倍- 30 x+12 x- 1.0≤ x<1（29）ψ（x）=-q224 x- 216 x+56 x- 3.0≤ x<1/2q224 x- 456 x+296 x- 611/2≤ x<1/2ψ（x）=-q1680 x- 1320 x+270 x- 110≤ x个≤ 1/2季度1680 x- 3720 x+2670 x- 6191/2≤ x<1/2ψ（x）=-q256 x- 174 x+30 x- 1.0≤ x<1/2q256 x- 594 x+450 x- 1111/2≤ x<1/2ψ（x）=q420 x- 246 x+36 x- 1.0≤ x<1/2q420 x- 1014 x+804 x- 2091/2≤ x<1/2（30）4。Legendre多小波算子定价K:L（[0，1]）→ L（[0，1]）定义如下：K（f）（z）：=zκ（z- ξ、 τ）f（ξ）dξ。（31）其中κ在7中定义。因为κ是一个连续函数，所以K是L（[0，1]）[32，33]上的有界线性紧算子。根据130k算子的定义，方程8和9可以写成如下：f=Kf（32）fm=Kfm-1m=2，3。。。，M（33）我们表示▄f1，J=PJK（f）（34）▄fm，J=PJKfm-1，J= （PJK）m（f），m≥ 2.（35）其中PJK如下：135（PJK）（f）=PJ（K（f））。由于连续投影算子pjc在点方向上与identityoperator I相交，因此算子PJK也是紧算子和limn→∞kPJK公司- Kk=0（36）（见[34]）。注意以下不等式k（PJK）m- Kmk公司≤ k（PJK）kk（PJK）m-1.-公里数-1公里- kPJK公司- KkkKkm-1（37）和关系36通过归纳我们得到→∞k（PJK）m- Kmk=0。（38）因此，得出以下收敛结果：140fm，J- fm公司= k（PJK）m（f）- 公里（f）k≤ k（PJK）m- Kmkkfk公司→ 0as J→ ∞.（39）从37和39中，我们推断收敛速度efm、Jto fm和PJK toK是相同的。利用关系式28和积分算子K的性质，很容易确定kpjk- Kk公司≤(-Jr+1）rr！supz，ξ∈[0,1]|κ（z- ξ、 τ）zr |。（40）自年月日起∈ 适用于m的VJV≥ 1，我们可以写出▄fm，J=r2JXi=0amiψi（z）=ψ′J（x）fm，其中fm=[am0，am1，·····，am2j]\'。

从方程35中，我们得到145fm，J=（PJK）m-1.f1，J. （41）由于VJI是一个有限维线ar空间，因此VJC上的线性算子PJK可以被视为是一个s a r2J×r2Jmatrix K。因此，方程41可以写成以下矩阵算子形式▄fm，J=ψ′JKm-1F。（42）对于42的期权价格评估，计算矩阵算子K和向量F就足够了。很容易检查（见[27]）：150F=[a，a，···，a1r 2J]’K=（kij）r2J×r2J，其中1i=ZZδ/θψi（η）κ（η- ξ、 τ）f（ξ）dξdη，0≤ 我≤ r2J。kij=ZZψi（η）ψj（ξ）κ（η- ξ、 τ）dξdη。因此，敲出式圆盘网双载体选件的价格可以估计如下：155P（S，tM，M- （1） eαz+βtfM，J（z/θ）（43），其中z=对数SL公司和▄fM，nfrom 42。关系42的矩阵形式表明，当监控日期增加时，所提出算法的计算时间几乎是固定的。实际上，如果我们设置N=r2j，我们算法的复杂度是O（N），它不依赖于监控日期的数量。5、数值结果LT160在本节中，将前一节中提出的敲出式看涨期权离散双杆rier期权定价方法与其他一些方法进行了比较。数值结果是从r2Jbasisfunctions的关系式43得到的。在下文中，我们表示fm，J- fm公司由e（J）和L-错误（J）。正如我们在前一节中所讨论的，收敛速度fm、Jto fm和165pjk到K是相同的。因此，e（J-1） /e（J）必须大约为2rfrom 40。此外，关系式40表示对数的斜率（L- 关于α=-rlog（2）。源代码已在Matlab 2015中编写在一台3.2 GHzIntel Core i5 PC上，带有8 GB RAM。示例1。在第一个示例中，敲出买入离散double170barrier期权的定价考虑以下参数：r=0.05，σ=0.25，T=0.5，S=100，E=100，U=120和L=80，90，95，99，99.5。

在表1中，对以Milev numerical算法【14】、Crank Nicholson【35】、三项式、自适应网格模型（AMM）和求积方法QU AD-K200为基准的方法【36】的数值结果进行了比较，以不同数量的监测数据为例。此外，可以看出，presentedmethod的CPU时间与监控日期的增加是固定的。L- 表2中显示了L=90和M=250的误差（J），其结果验证了我们算法的收敛率。